पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

ये प्रश्न पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। हर प्रश्न पहले खुद कॉपी पर हल कीजिए, फिर नीचे के हल से मिलाइए। शुरुआत में ठोस पहचानिए और उसके माप लिखिए। क्षेत्रफल वाले सवाल में देखिए कि कौन-सी सतहें खुली हैं, और पिघलाने वाले सवाल में आयतन बराबर रखिए। अलग निर्देश न हो, तो $\pi$ का मान $22/7$ लीजिए। जिन उत्तरों में $\pi$ रखना है, उनमें उसे वैसे ही रहने दीजिए।

अर्धगोले का वक्र पृष्ठ

3.5 सेमी त्रिज्या वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

यहाँ $r=3.5$ सेमी है। अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,

$$S_c=2\pi r^2$$

$$S_c=2\times\frac{22}{7}\times3.5\times3.5=77$$

तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 77 वर्ग सेमी है। सवाल में सिर्फ़ वक्र पृष्ठ पूछा है, इसलिए नीचे का समतल आधार नहीं जोड़ा गया।

दोनों सिरों से खोखला बेलन

लकड़ी के ठोस बेलन की ऊँचाई 10 सेमी और त्रिज्या 3.5 सेमी है। प्रत्येक सिरे से उसी त्रिज्या का एक अर्धगोला खोखला किया गया। बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालिए।

हल:

चित्र में बेलन को बीच से काटकर दिखाया गया है, और सफ़ेद भाग वे खाँचे हैं जो निकाले गए। यहाँ $r=3.5$ सेमी और $h=10$ सेमी है। दोनों अर्धगोलों की गहराई मिलाकर $7$ सेमी है, जो 10 सेमी से कम है, इसलिए दोनों खाँचे आपस में नहीं मिलते।

पृष्ठीय क्षेत्रफल: बाहर बेलन का वक्र पृष्ठ बचा है और अंदर दोनों अर्धगोलाकार खाँचों की सतहें खुली हैं। दोनों समतल सिरे निकल चुके हैं।

$$S=2\pi rh+2(2\pi r^2)$$

$$S=2\times\frac{22}{7}\times3.5\times10+4\times\frac{22}{7}\times3.5^2$$

$$S=220+154=374$$

आयतन: बेलन में से दो अर्धगोलों का, यानी एक पूरे गोले का, आयतन घटाइए।

$$V=\pi r^2h-\frac43\pi r^3$$

$$V=385-\frac{539}{3}=\frac{1155-539}{3}=\frac{616}{3}$$

तो बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल 374 वर्ग सेमी और आयतन $616/3$ घन सेमी है, जो लगभग 205.33 घन सेमी होता है।

कुएँ से निकली मिट्टी

7 मीटर व्यास और 20 मीटर गहराई का कुआँ खोदा गया। निकली मिट्टी को 22 मीटर × 14 मीटर के चबूतरे पर समान रूप से फैलाया गया। चबूतरे की ऊँचाई निकालिए। मिट्टी के आयतन में परिवर्तन न मानिए।

हल:

कुएँ की त्रिज्या $r=7/2=3.5$ मीटर है। निकली मिट्टी का आयतन कुएँ के आयतन के बराबर होगा:

$$V=\pi r^2h=\frac{22}{7}\times3.5\times3.5\times20=770$$

चबूतरे की ऊँचाई $H$ मीटर मान लीजिए। यही मिट्टी चबूतरे में फैली है, इसलिए

$$22\times14\times H=770$$

$$H=\frac{770}{308}=2.5$$

तो चबूतरे की ऊँचाई 2.5 मीटर है।

शंकु का वक्र क्षेत्रफल

शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

यहाँ $r=7$ सेमी और $h=24$ सेमी है। वक्र पृष्ठ के लिए तिर्यक ऊँचाई चाहिए, तो पहले वही निकालिए:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$$

अब वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,

$$S_c=\pi rl=\frac{22}{7}\times7\times25=550$$

तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 550 वर्ग सेमी है।

घन के विकर्ण से क्षेत्रफल

घन का विकर्ण $9\sqrt3$ सेमी है। उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

घन की भुजा $a$ मान लीजिए। घन का विकर्ण $a\sqrt3$ होता है, इसलिए

$$a\sqrt3=9\sqrt3\Rightarrow a=9$$

अब कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल,

$$S=6a^2=6\times9^2=6\times81=486$$

तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 486 वर्ग सेमी है।

छिन्नक में परिधियों से वक्र पृष्ठ

शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी और वृत्तीय सिरों की परिधियाँ 18 तथा 6 सेमी हैं। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

बड़ी त्रिज्या $R$ और छोटी त्रिज्या $r$ मान लीजिए। परिधियाँ दी गई हैं:

$$2\pi R=18$$

$$2\pi r=6$$

दोनों को जोड़कर 2 से भाग दीजिए:

$$\pi(R+r)=\frac{18+6}{2}=12$$

वक्र पृष्ठ के सूत्र में हमें $\pi(R+r)$ ही चाहिए, जो सीधे मिल गया:

$$S_c=\pi(R+r)l=12\times4=48$$

तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है। देखिए, $R$ और $r$ के अलग-अलग दशमलव मान निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

धातु के घनाभ से घन

100 सेमी लंबाई, 80 सेमी चौड़ाई और 64 सेमी ऊँचाई के धातु के घनाभ को पिघलाकर घन बनाया जाता है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए। धातु की हानि नहीं होती।

हल:

घन की भुजा $a$ सेमी मान लीजिए। पिघलाने पर धातु का कुल आयतन वही रहता है, इसलिए घन का आयतन घनाभ के आयतन के बराबर होगा:

$$a^3=100\times80\times64$$

$$a^3=512000$$

$$a=\sqrt[3]{512000}=80$$

घनमूल ठीक है या नहीं, यह देख लेते हैं: $80^3=512000$। तो घन की भुजा 80 सेमी है।