पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: समझें और अभ्यास करें

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

मान लीजिए आपके घर में टिन का एक डिब्बा है। उस पर पेंट करना हो, तो जानना होगा कि उसकी सतह कितनी बड़ी है, यानी उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल। अगर जानना हो कि उसमें कितना पानी या अनाज आएगा, तो उसके अंदर की जगह, यानी आयतन चाहिए। डिब्बा वही है, पर दोनों सवालों का हिसाब अलग है। इसलिए हर सवाल में सूत्र लगाने से पहले तय कीजिए कि चादर या रंग की मात्रा पूछी गई है, ठोस का आयतन पूछा गया है, या बर्तन की क्षमता।

इस पाठ में हम घन, घनाभ, बेलन, शंकु और गोले के सूत्रों से शुरू करेंगे। फिर जुड़े हुए और खोखले ठोस, पिघलाकर नया ठोस बनाना, कुएँ और पाइप वाले सवाल, और अंत में शंकु का छिन्नक देखेंगे।

इस अध्याय में बेलन और शंकु हमेशा लम्ब वृत्तीय हैं। कई चित्रों में ठोस को बीच से काटकर दिखाया गया है, ताकि ऊँचाई, जुड़ा हुआ आधार और खोखला भाग साफ़ दिखे। यह रंगा हुआ काट ठोस की पूरी सतह नहीं है, क्षेत्रफल के लिए पूरे ठोस का सूत्र ही लगेगा। जब तक अलग से न कहा जाए, $\pi$ का मान $22/7$ लीजिए। उत्तर $\pi$ के रूप में माँगा हो, तो $\pi$ को वैसे ही रहने दीजिए।

1. पृष्ठीय क्षेत्रफल, आयतन और क्षमता

किसी ठोस की सतह का माप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल है। कुल पृष्ठ में ठोस की सारी सतहें आती हैं। पार्श्व या वक्र पृष्ठ में ऊपर और नीचे के आधार नहीं गिने जाते। बर्तन का ढक्कन न हो, तो ढक्कन वाला भाग मत जोड़िए। रंग सिर्फ़ बाहर करना हो, तो भीतर की सतह नहीं जुड़ेगी।

ठोस जितनी जगह घेरता है, वह उसका आयतन है। किसी बर्तन के अंदर जितनी खाली जगह है, वह उसकी क्षमता है। मोटी दीवार वाली टंकी की क्षमता के लिए अंदर के माप लीजिए। अगर पूछा जाए कि उसमें कितनी धातु लगी है, तो बाहर के माप वाले आयतन में से अंदर की खाली जगह घटाइए। चादर की मोटाई नगण्य बताई हो, तभी अंदर और बाहर के माप एक मानिए।

क्षेत्रफल वर्ग सेमी या वर्ग मीटर में आता है और आयतन घन सेमी या घन मीटर में। $1$ मीटर $=100$ सेमी है, इसलिए $1$ वर्ग मीटर $=10000$ वर्ग सेमी और $1$ घन मीटर $=1000000$ घन सेमी होता है। घन इकाई बदलते समय सिर्फ़ 100 से गुणा कर देना बहुत आम गलती है।

2. घन और घनाभ के सूत्र

मान लीजिए घनाभ की लंबाई $l$, चौड़ाई $b$ और ऊँचाई $h$ है। इसमें तीन तरह के फलक हैं, जिनके क्षेत्रफल $lb$, $bh$ और $hl$ हैं, और हर तरह के दो-दो फलक हैं। इसलिए,

$$S=2(lb+bh+hl)$$

$$V=lbh$$

ऊपर और नीचे के $lb$ वाले फलक छोड़ने पर पार्श्व पृष्ठ $2h(l+b)$ बचता है। कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल इसी सूत्र से निकलता है। दरवाज़े और खिड़कियाँ नहीं रंगनी हों, तो उनका क्षेत्रफल घटा दीजिए। छत भी रंगनी हो, तो $lb$ एक बार और जोड़िए।

घन में सभी भुजाएँ बराबर, यानी $a$ होती हैं। उसका कुल पृष्ठ $6a^2$, पार्श्व पृष्ठ $4a^2$ और आयतन $a^3$ है। विकर्ण में ध्यान रखिए: घन के एक फलक का विकर्ण $a\sqrt2$ है, जबकि पूरे घन का विकर्ण $a\sqrt3$ है। घनाभ का विकर्ण $\sqrt{l^2+b^2+h^2}$ होता है। सवाल में सिर्फ़ “घन का विकर्ण” लिखा हो, तो पूरे घन वाला विकर्ण लीजिए, किसी एक फलक का नहीं।

3. बेलन का वक्र पृष्ठ

बेलन के वक्र पृष्ठ को काटकर खोल दीजिए, तो एक आयत बन जाता है। इस आयत की एक भुजा आधार की परिधि $2\pi r$ है और दूसरी भुजा ऊँचाई $h$। इसलिए वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh$ होता है। दोनों सिरों से बंद बेलन में इसके साथ दो वृत्ताकार आधार भी जुड़ते हैं।

$$S_c=2\pi rh$$

$$S=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(h+r)$$

$$V=\pi r^2h$$

ऊपर से खुले बर्तन में वक्र पृष्ठ के साथ सिर्फ़ नीचे का आधार जोड़िए: $2\pi rh+\pi r^2$। दोनों तरफ़ से खुली पतली नली में केवल वक्र पृष्ठ जितनी चादर लगती है। पर मोटे धातु के पाइप में बाहर और अंदर दो वक्र सतहें होती हैं, और दोनों सिरों पर छल्ले जैसी वलयाकार सतहें भी। इसलिए “बेलन” शब्द देखते ही कुल पृष्ठ का सूत्र मत लगाइए, पहले देखिए कि कौन-सी सतहें सच में हैं।

4. शंकु की दो ऊँचाइयाँ

शंकु के शीर्ष से आधार के केंद्र तक की सीधी खड़ी दूरी $h$ उसकी लंबवत ऊँचाई है। शीर्ष से आधार के किनारे तक की तिरछी दूरी $l$ उसकी तिर्यक ऊँचाई है। शंकु को शीर्ष से आधार तक बीच से काटने पर त्रिज्या, लंबवत ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

$$l^2=r^2+h^2$$

$$S_c=\pi rl$$

$$S=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$$

$$V=\frac13\pi r^2h$$

याद रखिए, वक्र पृष्ठ में $l$ लगता है और आयतन में $h$। जैसे त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी हो, तो पृष्ठ के लिए पहले $l=25$ सेमी निकालिए, पर आयतन में 24 ही रखिए।

समान आधार और समान ऊँचाई वाले शंकु का आयतन बेलन के आयतन का एक तिहाई होता है। शंकु के आकार के तंबू में नीचे फर्श पर कपड़ा न हो, तो कपड़ा सिर्फ़ $\pi rl$ जितना लगेगा। बर्बादी का प्रतिशत दिया हो, तो उसे मूल क्षेत्रफल निकालने के बाद जोड़िए।

5. गोला और अर्धगोला

गोले की एक ही सतह होती है, और वह पूरी वक्र है। त्रिज्या $r$ हो, तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2$ और आयतन $4\pi r^3/3$ है। गोले को केंद्र से होकर काटने पर दो बराबर अर्धगोले बनते हैं। हर अर्धगोले का आयतन गोले का आधा होगा, और उसका वक्र पृष्ठ भी गोले के पृष्ठ का आधा।

$$S_{c,\text{hemisphere}}=2\pi r^2$$

$$V_{\text{hemisphere}}=\frac23\pi r^3$$

काटने से हर टुकड़े पर एक नया समतल वृत्ताकार आधार भी बन जाता है। इसलिए ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठ $2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2$ है। इसे गोले के कुल पृष्ठ का आधा लिख देना गलत होगा।

कटोरे की क्षमता निकालनी हो, तो भीतर की त्रिज्या लीजिए। सिर्फ़ कटोरे के अंदर का गोल भाग रंगना हो, तो $2\pi r^2$ लगेगा। ठोस अर्धगोले की हर सतह पर पालिश करनी हो, तो $3\pi r^2$ लगेगा। सवाल के “वक्र”, “कुल”, “भीतर” और “ठोस” जैसे शब्द ही बताते हैं कि कौन-सा सूत्र लगेगा।

6. दो ठोस जोड़ने पर

मान लीजिए एक शंकु और एक अर्धगोला अपने बराबर वृत्ताकार आधारों से जुड़े हैं, कुछ-कुछ लट्टू जैसे। जुड़ने के बाद दोनों आधार अंदर छिप जाते हैं। बाहर से सिर्फ़ शंकु का वक्र पृष्ठ और अर्धगोले का वक्र पृष्ठ दिखता है। आयतन में दोनों ठोसों के पूरे आयतन जुड़ेंगे, क्योंकि दोनों के भीतर का भाग एक-दूसरे पर नहीं चढ़ा है।

$$S=\pi rl+2\pi r^2$$

$$V=\frac13\pi r^2h+\frac23\pi r^3$$

हर ठोस का कुल पृष्ठ निकालकर सीधे जोड़ देंगे, तो जुड़ा हुआ आधार दो बार गिना जाएगा। चाहें तो दोनों कुल पृष्ठ जोड़कर जुड़े हुए आधार का दुगुना घटा सकते हैं, उत्तर वही आएगा।

बेलन के दोनों सिरों पर अर्धगोले लगे हों, जैसे दवा का कैप्सूल, तो दोनों अर्धगोले मिलकर एक पूरे गोले के बराबर होते हैं। पूरी लंबाई $L$ दी हो, तो बीच के बेलन की लंबाई $L-2r$ होगी। बेलन के सूत्र में पूरे कैप्सूल की लंबाई रख देना आम गलती है।

7. ठोस को खोखला करने पर

बेलन में से शंकु के आकार का भाग निकाल दिया जाए, तो बचा आयतन बेलन के आयतन में से शंकु का आयतन घटाकर मिलता है। पर सतह का हिसाब सिर्फ़ घटाने से नहीं होता। जहाँ से भाग निकाला गया, वहाँ अंदर एक नई शंक्वाकार सतह खुल जाती है। इसलिए बाहर की बची सतहों के साथ यह भीतरी सतह भी जोड़नी पड़ती है।

ऊपर का पूरा वृत्त ही निकल गया हो, तो वहाँ कोई समतल आधार नहीं बचता। लेकिन खोखले शंकु की त्रिज्या बेलन से छोटी हो, तो ऊपर छल्ले जैसा वलयाकार भाग बचा रहता है। चित्र और माप देखकर यह ज़रूर जाँच लीजिए।

दोनों सिरों से समान त्रिज्या के अर्धगोले निकाले जाएँ, तो आयतन में से एक पूरे गोले का आयतन घटेगा। खुली सतह में बेलन का वक्र पृष्ठ और दोनों अर्धगोलों के वक्र पृष्ठ आएँगे। यह सीधा हिसाब तभी चलता है जब दोनों खाँचे अंदर जाकर आपस में न मिलें। जैसे बेलन की ऊँचाई 10 सेमी हो और $2r=7$ सेमी, तो दोनों खाँचे अलग-अलग रहते हैं।

8. पिघलाकर नया ठोस बनाना

किसी धातु को पिघलाकर नया ठोस बनाया जाए और धातु ज़रा भी बर्बाद न हो, तो पुराना कुल आयतन नए कुल आयतन के बराबर होता है। पृष्ठीय क्षेत्रफल, भुजा या त्रिज्या बराबर नहीं रहती। इसलिए पहले दोनों आकृतियों के आयतन अलग-अलग लिखिए, फिर उन्हें बराबर रखिए।

एक बड़े गोले से $n$ बराबर छोटे गोले बनें, तो

$$\frac43\pi R^3=n\times\frac43\pi r^3$$

$$n=\frac{R^3}{r^3}$$

तीन घन पिघलाकर एक घन बने, तो $a^3=a_1^3+a_2^3+a_3^3$ होगा। नई भुजा पुरानी भुजाओं का जोड़ नहीं होती। धातु से लंबा तार बनाया जाए, तो तार को एक पतला बेलन मानिए और उसका आयतन $\pi r^2L$ लिखिए। तार का व्यास दिया हो, तो उसे आधा करके त्रिज्या लीजिए।

पिछले अध्याय में तार मोड़कर नई आकृति बनाने वाले सवालों से इसे मत मिलाइए। तार मोड़ने में उसकी लंबाई वही रहती है, जबकि पिघलाने में आयतन वही रहता है।

9. अनुपात में वर्ग और घन

एक ही तरह की दो आकृतियों में हर लंबाई $k$ गुनी हो जाए, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल $k^2$ गुना और आयतन $k^3$ गुना हो जाता है। त्रिज्याएँ $2:3$ हों, तो क्षेत्रफल $4:9$ और आयतन $8:27$ के अनुपात में होंगे।

उलटा सवाल भी आता है। आयतनों का अनुपात $64:125$ दिया हो, तो पहले घनमूल लेकर त्रिज्याओं का अनुपात $4:5$ निकालिए। फिर उसका वर्ग करके क्षेत्रफलों का अनुपात $16:25$ मिलेगा। $64:125$ को ही क्षेत्रफल का अनुपात मत लिख दीजिए।

बेलन में त्रिज्या और ऊँचाई अलग-अलग अनुपात में बदल सकती हैं। तब आयतन के सूत्र $\pi r^2h$ से,

$$V_1:V_2=r_1^2h_1:r_2^2h_2$$

वक्र पृष्ठ $2\pi rh$ है, इसलिए वक्र पृष्ठों का अनुपात $r_1h_1:r_2h_2$ होगा। इसमें त्रिज्या का वर्ग नहीं आता। अनुपात लिखने से पहले मूल सूत्र लिख लीजिए, तो यह गलती नहीं होगी।

10. कुआँ, पानी और इकाइयाँ

कुआँ खोदने पर जितनी मिट्टी निकलती है, उसका आयतन कुएँ के बेलनाकार गड्ढे के आयतन के बराबर माना जाता है, जब तक सवाल में मिट्टी के फैलने या दबने की बात न हो। उसी मिट्टी से घनाभ जैसा चबूतरा बने, तो $\pi r^2h=lbH$ लिखिए। यहाँ $h$ कुएँ की गहराई है और $H$ चबूतरे की ऊँचाई।

कोई ठोस पानी में पूरा डूबे, तो वह अपने आयतन जितना पानी हटाता है। बेलनाकार बर्तन में पानी का स्तर $x$ बढ़ जाए, तो बढ़े हुए पानी का आयतन $\pi r^2x$ होगा। ठोस आधा-अधूरा डूबा हो, तो सिर्फ़ डूबे भाग का आयतन लीजिए।

पानी से पूरा भरा पाइप चाल $v$ से समय $t$ तक पानी छोड़े, तो इतने समय में निकले पानी का स्तंभ $vt$ लंबा होगा और उसका आयतन $\pi r^2vt$। चाल मीटर प्रति सेकंड में हो और त्रिज्या सेमी में, तो पहले दोनों को एक इकाई में लाइए। मिनट को सेकंड में बदलना भी मत भूलिए। लीटर के लिए याद रखिए: $1000$ घन सेमी $=1$ लीटर और $1$ घन मीटर $=1000$ लीटर।

11. शंकु का छिन्नक

एक शंकु को उसके आधार के समानांतर काटिए और ऊपर का छोटा नुकीला शंकु हटा दीजिए। नीचे जो बचता है, वही छिन्नक है। घर की बाल्टी या चाय का कुल्हड़ अक्सर इसी आकार का होता है। इसके दो वृत्ताकार सिरे होते हैं। बड़ी त्रिज्या को $R$, छोटी को $r$ और दोनों सिरों के बीच की लंबवत दूरी को $h$ कहते हैं। तिर्यक ऊँचाई $l$ वाले समकोण त्रिभुज की क्षैतिज भुजा $R-r$ होती है, पूरी $R$ नहीं।

$$l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}$$

$$S_c=\pi(R+r)l$$

$$S=\pi(R+r)l+\pi R^2+\pi r^2$$

$$V=\frac13\pi h(R^2+r^2+Rr)$$

आयतन के सूत्र में केवल $R^2-r^2$ नहीं आता, क्योंकि छिन्नक खोखला बेलन नहीं है। उसकी त्रिज्या ऊपर जाते-जाते बदलती है। कुल पृष्ठ में दो वृत्त हैं, पर दोनों अलग त्रिज्या के। ऊपर से खुली बाल्टी में ऊपर वाला वृत्त नहीं जोड़ना है।

12. छिन्नक के सूत्र कहाँ से आते हैं

मान लीजिए पूरे शंकु की ऊँचाई $H$ थी। तब हटाए गए छोटे शंकु की ऊँचाई $H-h$ है। समरूप त्रिभुजों से $(H-h)/H=r/R$ मिलता है। इससे,

$$H=\frac{Rh}{R-r}$$

$$H-h=\frac{rh}{R-r}$$

अब बड़े शंकु के आयतन में से छोटे शंकु का आयतन घटाइए:

$$V=\frac13\pi\left(R^2\frac{Rh}{R-r}-r^2\frac{rh}{R-r}\right)$$

$$V=\frac{\pi h}{3}\frac{R^3-r^3}{R-r}$$

यहाँ $R^3-r^3=(R-r)(R^2+Rr+r^2)$ लगाइए, तो छिन्नक के आयतन का सूत्र मिल जाता है। इसमें $R\gt r$ माना गया है।

वक्र पृष्ठ भी इसी तरह निकलता है। बड़े शंकु की तिर्यक ऊँचाई $L$ हो, तो छोटे की $L-l$ होगी, और समरूपता से इनका अनुपात भी $r/R$ होगा। इससे $L=Rl/(R-r)$ और $L-l=rl/(R-r)$ मिलते हैं। दोनों वक्र पृष्ठ घटाने पर $\pi l(R^2-r^2)/(R-r)=\pi(R+r)l$ आता है। परीक्षा में सूत्र सिद्ध करना हो, तो समरूप त्रिभुजों वाला कदम ज़रूर लिखिए।

13. उत्तर-पुस्तिका में हल कैसे लिखें

पहले माप लिखिए और व्यास को त्रिज्या में बदलिए। जुड़े या खोखले ठोस में साफ़ लिखिए कि कौन-से आयतन या कौन-सी सतहें जोड़ या घटा रहे हैं। फिर सूत्र, मान रखना और गणना अलग-अलग पंक्तियों में दिखाइए। सिर्फ़ अंतिम संख्या लिख देने से परीक्षक को आपकी विधि नहीं दिखती।

खर्च पूछा हो, तो पहले क्षेत्रफल निकालिए, फिर दर से गुणा कीजिए। जैसे रंगने का क्षेत्रफल 40 वर्ग मीटर हो और दर ₹25 प्रति वर्ग मीटर, तो खर्च $40\times25=1000$ रुपये होगा। लीटर वाले सवाल में पहले आयतन घन इकाई में निकालिए, फिर उसे लीटर में बदलिए।

आख़िर में जाँच लीजिए: शंकु की $l$ उसकी $h$ से बड़ी है? खोखला करने के बाद आयतन पहले से कम हुआ है? घन की भुजा का घन करने पर वही आयतन लौटता है? क्षेत्रफल के साथ वर्ग इकाई और आयतन के साथ घन इकाई लिखी है? दशमलव में उत्तर चाहिए, तो बीच में बार-बार गोल मत कीजिए, आख़िरी कदम पर ही सन्निकटन कीजिए।

घनाभ का क्षेत्रफल, आयतन और विकर्ण

एक घनाभ की लंबाई 12 सेमी, चौड़ाई 9 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल, आयतन और विकर्ण निकालिए।

हल:

यहाँ $l=12$ सेमी, $b=9$ सेमी और $h=8$ सेमी है।

$$S=2(lb+bh+hl)=2(108+72+96)=552$$

$$V=lbh=12\times9\times8=864$$

विकर्ण के लिए तीनों मापों के वर्ग जोड़कर वर्गमूल लीजिए:

$$d=\sqrt{l^2+b^2+h^2}=\sqrt{144+81+64}=\sqrt{289}=17$$

तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 552 वर्ग सेमी, आयतन 864 घन सेमी और विकर्ण 17 सेमी है।

विकर्ण से घन की भुजा

घन का विकर्ण $6\sqrt3$ सेमी है। उसकी भुजा, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

घन की भुजा $a$ मान लीजिए। घन का विकर्ण $a\sqrt3$ होता है, इसलिए

$$a\sqrt3=6\sqrt3\Rightarrow a=6$$

$$S=6a^2=6\times36=216$$

$$V=a^3=6^3=216$$

इसलिए भुजा 6 सेमी, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 216 वर्ग सेमी और आयतन 216 घन सेमी है। दोनों संख्याएँ 216 हैं, पर एक क्षेत्रफल है और दूसरी आयतन, इसलिए इकाइयाँ अलग लिखिए।

बंद बेलन का क्षेत्रफल और आयतन

7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले दोनों सिरों से बंद बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालिए।

हल:

पहले वक्र पृष्ठ निकालते हैं:

$$S_c=2\pi rh=2\times\frac{22}{7}\times7\times10=440$$

दोनों सिरे बंद हैं, इसलिए दो वृत्ताकार आधार भी जुड़ेंगे। इनका क्षेत्रफल $2\pi r^2=308$ वर्ग सेमी है। तो,

$$S=440+308=748$$

अब आयतन,

$$V=\pi r^2h=\frac{22}{7}\times49\times10=1540$$

इस तरह वक्र पृष्ठ 440 वर्ग सेमी, कुल पृष्ठ 748 वर्ग सेमी और आयतन 1540 घन सेमी है।

शंकु के पृष्ठ और आयतन

शंकु की त्रिज्या 5 सेमी और लंबवत ऊँचाई 12 सेमी है। वक्र पृष्ठ, कुल पृष्ठ और आयतन निकालिए। उत्तर में π रहने दीजिए।

हल:

शंकु को बीच से काटने पर जो समकोण त्रिभुज बनता है, उसका कर्ण तिर्यक ऊँचाई $l$ है। पहले वही निकालिए:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{25+144}=13$$

अब पृष्ठ के सूत्रों में $l$ और आयतन में $h$ रखिए:

$$S_c=\pi rl=\pi\times5\times13=65\pi$$

$$S=\pi rl+\pi r^2=65\pi+25\pi=90\pi$$

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\times25\times12=100\pi$$

तो वक्र पृष्ठ $65\pi$ वर्ग सेमी, कुल पृष्ठ $90\pi$ वर्ग सेमी और आयतन $100\pi$ घन सेमी है।

ठोस अर्धगोले के पृष्ठ और आयतन

7 सेमी त्रिज्या वाले ठोस अर्धगोले का वक्र पृष्ठ, कुल पृष्ठ और आयतन निकालिए।

हल:

अर्धगोले का वक्र भाग पूरे गोले के पृष्ठ का आधा होता है:

$$S_c=2\pi r^2=2\times\frac{22}{7}\times49=308$$

ठोस अर्धगोले के कुल पृष्ठ में नीचे का समतल वृत्ताकार आधार भी जुड़ता है:

$$S=3\pi r^2=3\times\frac{22}{7}\times49=462$$

$$V=\frac23\pi r^3=\frac23\times\frac{22}{7}\times343=\frac{2156}{3}$$

तो वक्र पृष्ठ 308 वर्ग सेमी, कुल पृष्ठ 462 वर्ग सेमी और आयतन $2156/3$ घन सेमी है।

शंकु और अर्धगोले का खिलौना

3 सेमी त्रिज्या वाले अर्धगोले के समतल आधार पर समान त्रिज्या का 4 सेमी ऊँचा शंकु जुड़ा है। खिलौने का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालिए। उत्तर में π रहने दीजिए।

हल:

पहले शंकु की तिर्यक ऊँचाई निकालिए: $l=\sqrt{3^2+4^2}=5$ सेमी। शंकु और अर्धगोला जहाँ जुड़े हैं, वह वृत्ताकार आधार अंदर छिप गया है। इसलिए बाहर का क्षेत्रफल सिर्फ़ दोनों वक्र पृष्ठों का जोड़ है:

$$S=\pi rl+2\pi r^2=15\pi+18\pi=33\pi$$

आयतन में दोनों ठोसों के आयतन जोड़ दीजिए:

$$V=\frac13\pi r^2h+\frac23\pi r^3$$

$$V=\frac13\pi\times9\times4+\frac23\pi\times27=12\pi+18\pi=30\pi$$

इसलिए खिलौने का बाहरी पृष्ठ $33\pi$ वर्ग सेमी और आयतन $30\pi$ घन सेमी है।

कैप्सूल की लंबाई, पृष्ठ और आयतन

एक ठोस कैप्सूल के बीच का बेलन 10 सेमी लंबा और 3 सेमी त्रिज्या का है। दोनों सिरों पर समान त्रिज्या के अर्धगोले हैं। कुल लंबाई, बाहरी पृष्ठ और आयतन निकालिए।

हल:

हर अर्धगोला लंबाई में एक त्रिज्या, यानी 3 सेमी, जोड़ता है। तो कुल लंबाई $10+3+3=16$ सेमी है। दोनों अर्धगोले मिलकर एक पूरा गोला बनाते हैं, इसलिए

$$S=2\pi rh+4\pi r^2=60\pi+36\pi=96\pi$$

$$V=\pi r^2h+\frac43\pi r^3=90\pi+36\pi=126\pi$$

ध्यान दीजिए कि बेलन वाले भाग में ऊँचाई 10 सेमी ही ली गई है, 16 सेमी नहीं। तो कुल लंबाई 16 सेमी, बाहरी पृष्ठ $96\pi$ वर्ग सेमी और आयतन $126\pi$ घन सेमी है।

बेलन से शंकु खोखला करना

3 सेमी त्रिज्या और 12 सेमी ऊँचाई के ठोस बेलन के ऊपरी सिरे से समान त्रिज्या का 4 सेमी गहरा शंकु खोखला किया गया है। बचे ठोस का आयतन और सभी खुली सतहों का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

खोखले शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{3^2+4^2}=5$ सेमी है। बचा आयतन पाने के लिए बेलन के आयतन में से शंकु का आयतन घटाइए:

$$V=\pi\times3^2\times12-\frac13\pi\times3^2\times4$$

$$V=108\pi-12\pi=96\pi$$

अब सतहें गिनिए। बाहर बेलन का वक्र पृष्ठ है, नीचे का आधार है, और अंदर शंकु की खोखली सतह है। ऊपर का आधार पूरा कट गया है, इसलिए वह नहीं जुड़ेगा।

$$S=2\pi\times3\times12+\pi\times3^2+\pi\times3\times5$$

$$S=72\pi+9\pi+15\pi=96\pi$$

तो बचे ठोस का आयतन $96\pi$ घन सेमी और खुली सतहों का क्षेत्रफल $96\pi$ वर्ग सेमी है।

एक गोले से छोटे गोले

6 सेमी त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या के समान गोले बनाए जाते हैं। धातु की हानि नहीं होती। कितने गोले बनेंगे?

हल:

मान लीजिए $n$ छोटे गोले बनते हैं। पिघलाने पर धातु का कुल आयतन वही रहता है:

$$n\times\frac43\pi\times2^3=\frac43\pi\times6^3$$

दोनों तरफ़ से $\frac43\pi$ कट जाता है:

$$8n=216$$

$$n=27$$

तो 27 गोले बनेंगे। त्रिज्या केवल 3 गुनी है, फिर भी गोले 27 बने, क्योंकि आयतन त्रिज्या के घन के हिसाब से बदलता है।

कुएँ की मिट्टी से चबूतरा

7 मीटर व्यास और 12 मीटर गहराई का कुआँ खोदा गया। निकली मिट्टी को 22 मीटर × 7 मीटर के आयताकार चबूतरे पर समान रूप से फैलाया गया। आयतन में परिवर्तन न मानते हुए चबूतरे की ऊँचाई निकालिए।

हल:

कुएँ का व्यास 7 मीटर है, तो त्रिज्या $7/2=3.5$ मीटर हुई। निकली मिट्टी का आयतन कुएँ के आयतन जितना है:

$$V=\pi r^2h=\frac{22}{7}\times3.5\times3.5\times12=462$$

चबूतरे की ऊँचाई $H$ मीटर मान लीजिए। चबूतरे का आयतन भी इतना ही होगा:

$$22\times7\times H=462$$

$$H=462/154=3$$

तो चबूतरे की ऊँचाई 3 मीटर है।

पाइप में धातु कितनी है?

एक खुले धातु के पाइप की बाहरी त्रिज्या 4 सेमी, भीतरी त्रिज्या 3 सेमी और लंबाई 10 सेमी है। धातु का आयतन और सभी सतहों का कुल क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

पाइप में धातु उतनी है, जितना बाहरी बेलन का आयतन उसमें से अंदर के खाली बेलन का आयतन घटाने पर बचे:

$$V=\pi(R^2-r^2)h=\frac{22}{7}(16-9)\times10=220$$

सतहों में बाहर और अंदर की दो वक्र सतहें हैं, और दोनों सिरों पर छल्ले जैसी वलयाकार सतहें:

$$S=2\pi Rh+2\pi rh+2\pi(R^2-r^2)$$

$$S=2\pi(4+3)\times10+2\pi(16-9)=154\pi=484$$

इसलिए धातु का आयतन 220 घन सेमी और सभी सतहों का कुल क्षेत्रफल 484 वर्ग सेमी है।

छिन्नक के सभी माप

शंकु के एक छिन्नक की त्रिज्याएँ 6 और 3 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी हैं। तिर्यक ऊँचाई, वक्र पृष्ठ, कुल पृष्ठ और आयतन निकालिए।

हल:

यहाँ $R=6$ सेमी, $r=3$ सेमी और $h=4$ सेमी है। तिर्यक ऊँचाई निकालते समय त्रिज्याओं का अंतर $R-r$ लगेगा:

$$l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

$$S_c=\pi(R+r)l=\pi(6+3)\times5=45\pi$$

$$S=S_c+\pi R^2+\pi r^2=45\pi+36\pi+9\pi=90\pi$$

$$V=\frac13\pi h(R^2+r^2+Rr)$$

$$V=\frac13\pi\times4(36+9+18)=84\pi$$

तो तिर्यक ऊँचाई 5 सेमी, वक्र पृष्ठ $45\pi$ वर्ग सेमी, कुल पृष्ठ $90\pi$ वर्ग सेमी और आयतन $84\pi$ घन सेमी है।

ऊपर से खुली बाल्टी

पतली चादर की बाल्टी छिन्नक के आकार की है। ऊपर की त्रिज्या 7 सेमी, नीचे की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है। चादर का क्षेत्रफल और क्षमता निकालिए। मोटाई और जोड़ का अतिरिक्त भाग नगण्य मानिए।

हल:

पहले तिर्यक ऊँचाई निकालिए:

$$l=\sqrt{3^2+(7-3)^2}=5$$

बाल्टी ऊपर से खुली है, इसलिए चादर में वक्र पृष्ठ और नीचे का छोटा आधार ही आएगा:

$$S=\pi(R+r)l+\pi r^2=50\pi+9\pi=59\pi$$

क्षमता बाल्टी के अंदर का आयतन है। चादर की मोटाई नगण्य है, इसलिए दिए गए माप सीधे लगा सकते हैं:

$$V=\frac13\pi\times3(49+9+21)=79\pi$$

तो चादर का क्षेत्रफल $59\pi$ वर्ग सेमी और क्षमता $79\pi$ घन सेमी है। $\pi=22/7$ लेने पर क्षमता लगभग 248.29 घन सेमी, यानी लगभग 248.29 मिलीलीटर होती है।

पाइप से बहता पानी

3.5 सेमी भीतरी त्रिज्या के पाइप से पानी 2 मीटर प्रति सेकंड की चाल से बहता है। पाइप पूरा भरा है। 10 मिनट में कितने लीटर पानी निकलेगा?

हल:

पहले सारी इकाइयाँ सेमी और सेकंड में लाइए। चाल $2$ मीटर/सेकंड $=200$ सेमी/सेकंड है और समय $10\times60=600$ सेकंड। इतने समय में पाइप से $200\times600=120000$ सेमी लंबा पानी का स्तंभ निकलेगा।

$$V=\pi r^2\times\text{लंबाई}$$

$$V=\frac{22}{7}\times3.5^2\times120000=4620000\ \text{cm}^3$$

$1000$ घन सेमी में $1$ लीटर होता है, इसलिए

$$V=4620000/1000=4620\ \text{litre}$$

तो 10 मिनट में 4620 लीटर पानी निकलेगा।