अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: ज़रूरी सूत्र एक नज़र में

1. पहले संगत क्रम लिखिए

$$\triangle ABC\sim\triangle PQR$$

इसका मतलब है $A\leftrightarrow P$, $B\leftrightarrow Q$ और $C\leftrightarrow R$। इसलिए,

$$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}$$

और संगत कोण बराबर होते हैं। चित्र घूमा हुआ हो, तब भी भुजाएँ नामों के क्रम से ही मिलाइए। समरूपता में माप बदल सकते हैं, सर्वांगसमता में माप भी बराबर रहते हैं। सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।

2. समरूपता की कसौटियाँ

• AA: दो संगत कोण बराबर हों। तीसरे अपने आप बराबर हो जाते हैं।
• SSS: तीनों संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों।
• SAS: दो संगत भुजाएँ एक अनुपात में हों और उन्हीं के बीच का कोण बराबर हो।

सिर्फ़ परिमाप या क्षेत्रफल बराबर होने से समरूपता सिद्ध नहीं होती। SAS में बराबर कोण दोनों भुजाओं के बीच वाला ही होना चाहिए।

3. BPT और उसका विलोम

अगर $D$ भुजा $AB$ पर, $E$ भुजा $AC$ पर और $DE\parallel BC$ हो, तो

$$\boxed{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$$

विलोम में यही अनुपात दिया हो, तो $DE\parallel BC$ सिद्ध होता है। टुकड़े और पूरी भुजा के लिए,

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$$

$AD:DB=m:n$ हो, तो $AD:AB=m:(m+n)$ होगा। जैसे $2:3$ से टुकड़ा/पूरा $2:5$ बनता है।

4. लंबाई और क्षेत्रफल के अनुपात

संगत भुजाओं का अनुपात $k$ हो, तो परिमापों, संगत ऊँचाइयों, माध्यिकाओं और कोण समद्विभाजकों का अनुपात भी $k$ ही होता है।

$$\boxed{\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(PQR)}=\left(\frac{AB}{PQ}\right)^2=k^2}$$

भुजा से क्षेत्रफल पर जाना हो तो वर्ग कीजिए, और क्षेत्रफल से लंबाई पर आना हो तो धनात्मक वर्गमूल लीजिए। भुजाएँ $3:4$ में हों तो क्षेत्रफल $9:16$ में होंगे। क्षेत्रफल $25:36$ में हों तो परिमाप $5:6$ में होंगे।

$DE\parallel BC$ और $AD/AB=k$ हो, तो छोटा त्रिभुज पूरे क्षेत्रफल का $k^2$ भाग है और बचा चतुर्भुज $1-k^2$ भाग। प्रश्न पूरे से तुलना पूछ रहा है या बचे भाग से, यह ध्यान से पढ़िए।

5. पाइथागोरस और उसका विलोम

$\angle B=90^\circ$ हो, तो $AC$ कर्ण है:

$$\boxed{AC^2=AB^2+BC^2}$$

कर्ण निकालना हो तो वर्ग जोड़िए। दूसरी भुजा निकालनी हो तो कर्ण के वर्ग में से ज्ञात भुजा का वर्ग घटाइए। जैसे कर्ण 13 और भुजा 5 हो, तो दूसरी भुजा $\sqrt{169-25}=12$ है।

विलोम में सबसे लंबी भुजा का वर्ग बाकी दो के वर्गों के योग के बराबर हो, तो उसके सामने का कोण समकोण है। ये त्रिक याद रखिए: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) और (7, 24, 25)। इन्हें किसी एक ही संख्या से गुणा करने पर भी त्रिक मिलते हैं।

6. कर्ण पर लंब

$\angle B=90^\circ$ और $BD\perp AC$ हो, तो

$$AB^2=AD\cdot AC$$

$$BC^2=DC\cdot AC$$

$$BD^2=AD\cdot DC,\qquad AC=AD+DC$$

ये संबंध AA समरूपता से आते हैं। सीधे शब्दों में, कर्ण के दोनों टुकड़ों का योग कर्ण है और उनके गुणनफल का वर्गमूल लंब।

7. समबाहु और समद्विबाहु त्रिभुज

भुजा $a$ वाले समबाहु त्रिभुज में,

$$h=\frac{\sqrt3}{2}a,\qquad\operatorname{ar}=\frac{\sqrt3}{4}a^2$$

समद्विबाहु त्रिभुज में शिखर से आधार पर डाला गया लंब आधार को आधा-आधा बाँटता है। बराबर भुजा $s$ और आधार $b$ हो, तो

$$h=\sqrt{s^2-\left(\frac b2\right)^2}$$

8. प्रमाण लिखने का क्रम

पहले दिया है, फिर सिद्ध करना है, ज़रूरत हो तो रचना, फिर कारण के साथ चरण और आख़िर में निष्कर्ष। पहले समरूपता सिद्ध कीजिए, उसके बाद ही संगत भुजाओं का अनुपात लिखिए। क्षेत्रफल बराबर होने का कारण, समांतर रेखाओं से बने बराबर कोण और कसौटी का नाम लिखना मत भूलिए। लंबाई की इकाई सेमी या मीटर और क्षेत्रफल की इकाई वर्ग सेमी या वर्ग मीटर रखिए।