पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

ये प्रश्न पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। हर प्रश्न का चित्र पहले अपनी कॉपी में बनाइए और उस पर दिए हुए माप लिखिए। फिर खुद हल कीजिए और बाद में नीचे के हल से मिलाइए। प्रमाण में हर चरण का कारण लिखिए, और भुजाओं का अनुपात लेने से पहले संगत क्रम ज़रूर जाँच लीजिए।

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई

$2a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए समबाहु त्रिभुज $ABC$ में $AB=BC=CA=2a$ है, जहाँ $a\gt0$, और $AD\perp BC$ है।

समकोण त्रिभुज $ABD$ और $ACD$ में कर्ण $AB=AC$ है और भुजा $AD$ उभयनिष्ठ है। RHS से दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इसलिए

$$BD=DC=\frac{BC}{2}=a$$

अब समकोण त्रिभुज $ABD$ में पाइथागोरस लगाइए:

$$AD^2=AB^2-BD^2=(2a)^2-a^2=3a^2$$

लंबाई धनात्मक होती है, इसलिए ऊँचाई $AD=a\sqrt3$ है।

समद्विबाहु त्रिभुज का आधार

$\triangle ABC$ में $AB=AC=13$ सेमी हैं। $A$ से $BC$ पर डाले गए लंब की लंबाई 5 सेमी है। $BC$ निकालिए।

हल:

मान लीजिए $A$ से $BC$ पर लंब $AD$ है, यानी $AD\perp BC$ और $AD=5$ सेमी।

$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में कर्ण $AB=AC$ है और $AD$ उभयनिष्ठ है। RHS सर्वांगसमता से $BD=DC$।

अब समकोण त्रिभुज $ABD$ में,

$$BD^2=AB^2-AD^2=13^2-5^2=169-25=144$$

$$BD=12$$

तो $DC$ भी 12 सेमी है, और

$$BC=BD+DC=12+12=24$$

इसलिए आधार $BC=24$ सेमी है।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का प्रमेय

सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

हल:

दिया है: $\triangle ABC\sim\triangle PQR$।

सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(ABC)/\operatorname{ar}(PQR)=BC^2/QR^2$।

ज़रूरत हो तो संगत शीर्षों के नाम ऐसे रखिए कि $B$ और $Q$ तीक्ष्ण कोण हों। हर त्रिभुज में ऐसे कोण होते हैं।

रचना: आधारों की रेखाओं पर $AD\perp BC$ और $PT\perp QR$ खींचिए।

समरूपता से $\angle B=\angle Q$ है, और $\angle ADB=\angle PTQ=90^\circ$ भी। इसलिए AA से $\triangle ABD\sim\triangle PQT$, और

$$\frac{AD}{PT}=\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}\qquad(1)$$

अगर कोई लंब बढ़ाई हुई आधार-रेखा पर गिरे, तब भी $B$ तीक्ष्ण होने से $\triangle ABD$ में कोण वही $\angle B$ रहता है और यही अनुपात मिलता है। अब क्षेत्रफल के सूत्र से,

$$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(PQR)}=\frac{\tfrac12 BC\cdot AD}{\tfrac12 QR\cdot PT}$$

$$=\frac{BC}{QR}\cdot\frac{AD}{PT}$$

इसमें (1) रखने पर,

$$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(PQR)}=\frac{BC}{QR}\cdot\frac{BC}{QR}=\frac{BC^2}{QR^2}$$

बाकी संगत भुजाओं का अनुपात भी यही है, इसलिए

$$\boxed{\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(PQR)}=\frac{AB^2}{PQ^2}=\frac{BC^2}{QR^2}=\frac{CA^2}{RP^2}}$$

यही सिद्ध करना था।

क्षेत्रफल से संगत लंबाई

$\triangle ABC\sim\triangle DEF$ के क्षेत्रफल क्रमशः 9 और 64 वर्ग सेमी हैं। यदि $DE=5.1$ सेमी, तो $AB$ ज्ञात कीजिए।

हल:

क्षेत्रफल प्रमेय से,

$$\frac{AB^2}{DE^2}=\frac9{64}$$

लंबाइयाँ धनात्मक हैं, इसलिए दोनों तरफ़ धनात्मक वर्गमूल लेने पर,

$$\frac{AB}{DE}=\frac38$$

$$AB=5.1\times\frac38=\frac{15.3}{8}=1.9125$$

तो $AB=1.9125$ सेमी। छोटे क्षेत्रफल वाले त्रिभुज की संगत भुजा छोटी आई है, यानी उत्तर ठीक बैठता है।

अनुपात से समद्विबाहु त्रिभुज

$\triangle PQR$ में $S\in PQ,T\in PR$ तथा $PS/SQ=PT/TR$ और $\angle PST=\angle PRQ$ हैं। सिद्ध कीजिए कि $\triangle PQR$ समद्विबाहु है।

हल:

दिया है,

$$\frac{PS}{SQ}=\frac{PT}{TR}$$

तो BPT के विलोम से $ST\parallel QR$।

$ST\parallel QR$ है और $PQ$ इन्हें काटती है, इसलिए संगत कोण बराबर होंगे:

$$\angle PST=\angle PQR$$

प्रश्न में $\angle PST=\angle PRQ$ भी दिया है। दोनों को मिलाने पर,

$$\angle PQR=\angle PRQ$$

त्रिभुज में बराबर कोणों के सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए $PR=PQ$, यानी $\triangle PQR$ समद्विबाहु है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज

$ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसमें $\angle C=90^\circ$। सिद्ध कीजिए कि $AB^2=2AC^2$।

हल:

समकोण $C$ के सामने वाली भुजा $AB$ कर्ण है। कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है, इसलिए वह बराबर भुजाओं में नहीं आ सकती। तो बराबर भुजाएँ $AC$ और $BC$ हैं:

$$AC=BC$$

पाइथागोरस से,

$$AB^2=AC^2+BC^2$$

इसमें $BC=AC$ रखिए:

$$AB^2=AC^2+AC^2=2AC^2$$

इस तरह $AB^2=2AC^2$ सिद्ध हुआ।

SAS समरूपता का प्रमाण

सिद्ध कीजिए कि यदि दो त्रिभुजों के एक-एक कोण बराबर हों और उन कोणों को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

हल:

दिया है: $\angle A=\angle D$ और $AB/DE=AC/DF$।

सिद्ध करना है: $\triangle ABC\sim\triangle DEF$।

अगर यह अनुपात 1 हो, तो SAS सर्वांगसमता से त्रिभुज सर्वांगसम होंगे, और सर्वांगसम त्रिभुज समरूप होते ही हैं। इसलिए नाम ऐसे रखिए कि $ABC$ बड़ा त्रिभुज हो, यानी $AB\gt DE$ और $AC\gt DF$।

रचना: $AB$ पर बिंदु $X$ और $AC$ पर बिंदु $Y$ ऐसे लीजिए कि $AX=DE$ और $AY=DF$ हो। $XY$ को मिलाइए।

$\triangle AXY$ और $\triangle DEF$ में,

$$AX=DE,\quad AY=DF,\quad\angle XAY=\angle EDF$$

इसलिए SAS सर्वांगसमता से $\triangle AXY\cong\triangle DEF$। इससे $\angle AXY=\angle E$ और $\angle AYX=\angle F$ मिलते हैं।

अब दिए हुए अनुपात में $DE$ की जगह $AX$ और $DF$ की जगह $AY$ रखिए:

$$\frac{AB}{AX}=\frac{AC}{AY}$$

दोनों पक्षों में से 1 घटाने पर,

$$\frac{XB}{AX}=\frac{YC}{AY}$$

यानी $AX/XB=AY/YC$। BPT के विलोम से $XY\parallel BC$, इसलिए संगत कोण बराबर होंगे:

$$\angle ABC=\angle AXY=\angle E$$

$$\angle ACB=\angle AYX=\angle F$$

तो AA से $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, यही सिद्ध करना था। ध्यान दीजिए, यहाँ SAS समरूपता सिद्ध करने के लिए पहले से जानी हुई SAS सर्वांगसमता का उपयोग हुआ है।

परिमाप और भुजाओं का अंतर

एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 40 सेमी और कर्ण 17 सेमी है। बाकी दो भुजाओं का अंतर 7 सेमी है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए बड़ी भुजा $x$ सेमी और छोटी भुजा $y$ सेमी है। परिमाप 40 सेमी है, तो

$$x+y+17=40\quad\Rightarrow\quad x+y=23\qquad(1)$$

भुजाओं का अंतर 7 सेमी है, तो

$$x-y=7\qquad(2)$$

(1) और (2) को जोड़ने पर $2x=30$, यानी $x=15$। फिर $y=23-15=8$।

ये भुजाएँ पाइथागोरस पर भी खरी उतरनी चाहिए, यह देख लेते हैं:

$$15^2+8^2=225+64=289=17^2$$

इसलिए त्रिभुज की भुजाएँ 8, 15 और 17 सेमी हैं।

SSS कसौटी और उसका चित्र

दो त्रिभुजों की समरूपता की भुजा-भुजा-भुजा कसौटी लिखिए और संबंधित चित्र बनाइए।

हल:

कसौटी: यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत तीनों भुजाओं के समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

चित्र के त्रिभुजों के लिए शर्त ऐसे लिखेंगे:

$$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}$$

तब SSS कसौटी से $\triangle ABC\sim\triangle PQR$। नाम लिखते समय संगत शीर्ष एक ही क्रम में रखे गए हैं: $A$ के साथ $P$, $B$ के साथ $Q$ और $C$ के साथ $R$।

क्षेत्रफल-अनुपात का वर्गमूल

$\triangle ABC\sim\triangle PQR$ के क्षेत्रफल क्रमशः 64 और 121 वर्ग सेमी हैं। यदि $QR=15.4$ सेमी हो, तो $BC$ निकालिए।

हल:

क्षेत्रफल प्रमेय से,

$$\frac{BC^2}{QR^2}=\frac{64}{121}$$

दोनों तरफ़ धनात्मक वर्गमूल लेने पर,

$$\frac{BC}{QR}=\frac8{11}$$

$$BC=15.4\times\frac8{11}=1.4\times8=11.2$$

तो $BC=11.2$ सेमी।

पूरी भुजा और बचा हुआ भाग

$D,E$ क्रमशः $AB,AC$ पर हैं और $DE\parallel BC$। $AD=3.6,AB=10,AE=4.5$ सेमी हों, तो $EC$ और $AC$ निकालिए।

हल:

$DE\parallel BC$ है, इसलिए AA से $\triangle ADE\sim\triangle ABC$। तो

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$

$$\frac{3.6}{10}=\frac{4.5}{AC}$$

$$3.6AC=45\quad\Rightarrow\quad AC=12.5$$

अब $AE$ पूरी भुजा $AC$ का एक टुकड़ा है, इसलिए

$$EC=AC-AE=12.5-4.5=8$$

तो $EC=8$ सेमी और $AC=12.5$ सेमी। BPT से उत्तर मिलाकर देख लेते हैं: $DB=10-3.6=6.4$ है और $3.6/6.4=4.5/8$ सही बैठता है।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण

पाइथागोरस प्रमेय का कथन लिखिए और सिद्ध कीजिए।

हल:

कथन: समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

दिया है: $\triangle ABC$ में $\angle B=90^\circ$। सिद्ध करना है: $AC^2=AB^2+BC^2$।

रचना: $B$ से कर्ण $AC$ पर लंब $BD$ खींचिए।

$\triangle ADB$ और $\triangle ABC$ में $\angle ADB=\angle ABC=90^\circ$ है और $\angle A$ उभयनिष्ठ है। इसलिए AA से,

$$\triangle ADB\sim\triangle ABC$$

संगत भुजाओं का अनुपात लेने पर,

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}\quad\Rightarrow\quad AB^2=AD\cdot AC\qquad(1)$$

इसी तरह $\triangle BDC$ और $\triangle ABC$ में समकोण बराबर हैं और $\angle C$ उभयनिष्ठ है। तो AA से,

$$\triangle BDC\sim\triangle ABC$$

$$\frac{DC}{BC}=\frac{BC}{AC}\quad\Rightarrow\quad BC^2=DC\cdot AC\qquad(2)$$

(1) और (2) को जोड़ने पर,

$$AB^2+BC^2=AD\cdot AC+DC\cdot AC$$

$$=AC(AD+DC)=AC\cdot AC=AC^2$$

इसलिए $AC^2=AB^2+BC^2$ सिद्ध हुआ।