त्रिभुज: समझें, सिद्ध करें और अभ्यास करें

त्रिभुज

मोबाइल पर किसी फ़ोटो को दो उँगलियों से बड़ा करके देखिए। चेहरा वही रहता है, बस हर चीज़ एक ही अनुपात में बड़ी हो जाती है। त्रिभुजों में इसी बात को समरूपता कहते हैं। इस पाठ में हम देखेंगे कि दो त्रिभुजों के कौन-से कोण और कौन-सी भुजाएँ आपस में संगत हैं, भुजाओं का अनुपात कैसे लिखा जाता है और क्षेत्रफल में उसी अनुपात का वर्ग क्यों आ जाता है। आख़िर में पाइथागोरस प्रमेय और उसके उपयोग आएँगे।

हर चित्र अपनी कॉपी में खुद बनाते चलिए। एक बात शुरू से याद रखिए: चित्र में कोई भुजा लंबी या छोटी दिखे, इससे उत्तर मत निकालिए। उत्तर हमेशा दी हुई शर्तों और प्रमेय से ही निकलता है।

1. समरूप और सर्वांगसम में अंतर

सर्वांगसम त्रिभुजों का आकार और माप दोनों एक जैसे होते हैं। समरूप त्रिभुजों का सिर्फ़ आकार एक जैसा होता है, माप बराबर भी हो सकते हैं और अलग भी। इसलिए सर्वांगसम त्रिभुज समरूप भी होते हैं, पर समरूप त्रिभुज हमेशा सर्वांगसम नहीं होते।

दो समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं। जैसे 3, 4, 5 भुजाओं वाला त्रिभुज और 6, 8, 10 भुजाओं वाला त्रिभुज समरूप हैं, क्योंकि दूसरे की हर भुजा पहले की दुगुनी है।

सभी समबाहु त्रिभुज आपस में समरूप होते हैं, क्योंकि हर एक के तीनों कोण 60° के होते हैं। लेकिन सभी समद्विबाहु त्रिभुज या सभी समकोण त्रिभुज समरूप नहीं होते, क्योंकि उनके बाकी कोण अलग-अलग हो सकते हैं।

दूसरी आकृतियों में कोण बराबर होना और भुजाएँ समानुपाती होना, दोनों शर्तें चाहिए। वर्ग और आयत के सारे कोण 90° होते हैं, फिर भी वे समरूप नहीं हैं। त्रिभुजों के लिए आगे आसान कसौटियाँ हैं।

2. नामों का क्रम और संगत भुजाएँ

अगर $\triangle ABC\sim\triangle PQR$ लिखा है, तो नामों का क्रम ही बता देता है कि कौन किसके संगत है:

$$A\leftrightarrow P,\quad B\leftrightarrow Q,\quad C\leftrightarrow R$$

इसलिए,

$$\angle A=\angle P,\quad\angle B=\angle Q,\quad\angle C=\angle R$$

$$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}$$

चित्र में पहले त्रिभुज की हर भुजा और संगत ऊँचाई दूसरे की $2/3$ है। त्रिभुज को घुमा दीजिए या उलटा रख दीजिए, संगत क्रम नहीं बदलता। अगर प्रश्न में $\triangle ABC\sim\triangle QRP$ लिखा हो, तो $B$ का जोड़ीदार $R$ है और $C$ का $P$, इसलिए $BC$ की संगत भुजा $RP$ होगी, $QR$ नहीं।

अनुपात लिखते समय हर भिन्न में ऊपर एक ही त्रिभुज की भुजा रखिए। उलटा अनुपात माँगा हो, तो आख़िर में पलट दीजिए। जैसे $AB/PQ=2/3$ हो, तो $RP/CA=3/2$ होगा।

3. मूल समानुपातिकता प्रमेय (BPT)

कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर काटे, तो वह उन दोनों भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। इसे थेल्स प्रमेय भी कहते हैं।

मान लीजिए $\triangle ABC$ में $D$ भुजा $AB$ पर और $E$ भुजा $AC$ पर है, तथा $DE\parallel BC$ है। तब,

$$\boxed{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$$

यहाँ $AD$ और $DB$ एक ही भुजा के दो टुकड़े हैं, जबकि $AB=AD+DB$ पूरी भुजा है। सबसे ज़्यादा गलती इसी फ़र्क़ पर होती है। जैसे $AD:DB=2:3$ हो, तो $AD:AB=2:5$ होगा। इसे $AD/AB=2/3$ लिख देना गलत है।

समरूपता से एक और काम का संबंध मिलता है, जिसमें टुकड़े की तुलना पूरी भुजा से होती है:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$$

पहले संबंध में टुकड़ा/दूसरा टुकड़ा है और दूसरे में टुकड़ा/पूरी भुजा। एक ही समीकरण में दोनों रूप मत मिलाइए।

4. BPT का प्रमाण

दिया है: $\triangle ABC$ में $D$ भुजा $AB$ पर, $E$ भुजा $AC$ पर और $DE\parallel BC$ है। सिद्ध करना है: $AD/DB=AE/EC$।

रचना: $BE$ और $CD$ को मिलाइए। किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल को हम $\operatorname{ar}(\triangle)$ लिखेंगे।

$\triangle ADE$ और $\triangle BDE$ के आधार $AD$ और $DB$ एक ही रेखा $AB$ पर हैं, और $E$ से $AB$ पर लंब दोनों की ऊँचाई है। इसलिए क्षेत्रफल आधारों के अनुपात में होंगे:

$$\frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(BDE)}=\frac{AD}{DB}\qquad(1)$$

इसी तरह $\triangle ADE$ और $\triangle CDE$ की $AC$ पर ऊँचाई एक ही है:

$$\frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(CDE)}=\frac{AE}{EC}\qquad(2)$$

अब $\triangle BDE$ और $\triangle CDE$ एक ही आधार $DE$ पर बने हैं और समांतर रेखाओं $DE$ और $BC$ के बीच हैं। इसलिए दोनों के क्षेत्रफल बराबर हैं। यानी (1) और (2) के बाएँ पक्ष बराबर हो गए, तो दाएँ पक्ष भी बराबर होंगे:

$$\boxed{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$$

प्रमाण में दोनों क्षेत्रफल बराबर होने का कारण ज़रूर लिखिए। सिर्फ़ “चित्र से स्पष्ट है” लिख देना काफ़ी नहीं है।

5. BPT का विलोम

कथन: यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

मान लीजिए $D$ भुजा $AB$ पर और $E$ भुजा $AC$ पर है, और $AD/DB=AE/EC$ दिया है। $D$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए, जो $AC$ को $E'$ पर काटे। अब BPT से,

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE'}{E'C}$$

दिए हुए अनुपात से $AE'/E'C=AE/EC$ भी हुआ। मान लीजिए $AC=L$, $AE'=x$ और $AE=y$ है। तब,

$$\frac{x}{L-x}=\frac{y}{L-y}$$

$$xL-xy=yL-xy\quad\Rightarrow\quad x=y$$

यानी $E'$ और $E$ एक ही बिंदु हैं, इसलिए $DE\parallel BC$।

दोनों का फ़र्क़ याद रखिए: BPT में समांतरता दी होती है और अनुपात निकालते हैं, जबकि विलोम में अनुपात दिया होता है और समांतरता सिद्ध करते हैं।

6. समरूपता की तीन मुख्य कसौटियाँ

AA (या AAA): दो संगत कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप हैं। तीसरे कोण अपने आप बराबर हो जाते हैं, क्योंकि कोणों का योग 180° है। जैसे 50°, 60° और 70° कोणों वाले कोई भी दो त्रिभुज AA से समरूप हैं।

SSS: तीनों संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप हैं। जैसे 3, 4, 5 और 6, 8, 10 में $3/6=4/8=5/10=1/2$ है, इसलिए ये समरूप हैं। भुजाओं का बराबर होना ज़रूरी नहीं, अनुपात बराबर होना चाहिए।

SAS: दो संगत भुजाएँ एक अनुपात में हों और उन्हीं दोनों के बीच का कोण बराबर हो। जैसे $AB/PQ=AC/PR$ और $\angle A=\angle P$ हो, तो $\triangle ABC\sim\triangle PQR$। अगर बराबर कोण इन भुजाओं के बीच का न हो, तो SAS नहीं लगेगा।

प्रमाण लिखते समय पहले बराबर कोण या भुजाओं के अनुपात लिखिए, फिर कसौटी का नाम और समरूप त्रिभुजों के नाम सही क्रम में। भुजाओं का अनुपात इसके बाद ही लिखिए, अपनी मर्ज़ी के क्रम से नहीं।

दो समकोण त्रिभुजों में कर्ण और एक संगत भुजा एक ही अनुपात में हों, तो पाइथागोरस से तीसरी भुजाएँ भी उसी अनुपात में आती हैं, इसलिए वे समरूप हैं (RHS)। यह सिर्फ़ समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है।

7. परिमाप, ऊँचाई और माध्यिका का अनुपात

मान लीजिए दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात $k$ है। तब,

$$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}=k$$

भुजाओं को जोड़ने पर,

$$\frac{AB+BC+CA}{PQ+QR+RP}=k$$

यानी परिमापों का अनुपात भी $k$ ही है। संगत ऊँचाइयों, संगत माध्यिकाओं और संगत कोण समद्विभाजकों का अनुपात भी $k$ होता है। ये सब लंबाइयाँ हैं, इसलिए इनमें वर्ग नहीं आता।

ऊँचाइयों के लिए $AD\perp BC$ और $PT\perp QR$ खींचिए। समकोण त्रिभुज $ABD$ और $PQT$ में समकोण के अलावा $\angle B=\angle Q$ भी है, इसलिए AA से ये समरूप हैं और $AD/PT=AB/PQ$ मिलता है।

माध्यिकाओं के लिए मान लीजिए $D$ और $M$ संगत आधारों $BC$ और $QR$ के मध्यबिंदु हैं। तब $BD/QM=BC/QR=AB/PQ$ है और बीच के कोण $\angle B$ और $\angle Q$ बराबर हैं। SAS से $\triangle ABD\sim\triangle PQM$, इसलिए माध्यिकाओं का अनुपात भी वही आता है।

8. क्षेत्रफल में अनुपात का वर्ग

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

$$\boxed{\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(PQR)}=\left(\frac{AB}{PQ}\right)^2=\left(\frac{BC}{QR}\right)^2}$$

कारण सीधा है। क्षेत्रफल $=\tfrac12\times$ आधार $\times$ ऊँचाई होता है। समरूप त्रिभुज में आधार भी $k$ गुना होता है और ऊँचाई भी $k$ गुनी, इसलिए क्षेत्रफल $k^2$ गुना हो जाता है।

जैसे भुजाएँ $2:3$ में हों, तो परिमाप भी $2:3$ में होंगे, पर क्षेत्रफल $4:9$ में। और क्षेत्रफल $25:49$ में दिए हों तो भुजाएँ, माध्यिकाएँ और ऊँचाइयाँ $5:7$ में होंगी। लंबाई ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए वर्गमूल धनात्मक ही लीजिए।

मान लीजिए $DE\parallel BC$ और $AD/AB=2/3$ है। तब छोटे त्रिभुज $ADE$ का क्षेत्रफल पूरे $\triangle ABC$ का $4/9$ होगा, और बचा हुआ चतुर्भुज $DBCE$ पूरे का $5/9$। इसलिए छोटे त्रिभुज और बचे भाग का अनुपात $4:5$ है, $4:9$ नहीं।

9. समकोण से कर्ण पर लंब

मान लीजिए $\triangle ABC$ में $\angle B=90^\circ$ है और $B$ से कर्ण $AC$ पर लंब $BD$ डाला गया है। इससे दो छोटे त्रिभुज बनते हैं, जो पूरे त्रिभुज के भी समरूप हैं और आपस में भी।

AA से $\triangle ADB\sim\triangle ABC$ और $\triangle BDC\sim\triangle ABC$। संगत भुजाओं का सही अनुपात लेने पर,

$$AB^2=AD\cdot AC,\qquad BC^2=DC\cdot AC$$

दोनों छोटे त्रिभुजों को आपस में मिलाने पर,

$$BD^2=AD\cdot DC$$

यहाँ $AD$ और $DC$ कर्ण के दो टुकड़े हैं, जिनका योग $AC$ है। जैसे टुकड़े 4 और 9 हों, तो लंब $BD=\sqrt{4\times9}=6$ होगा, 13 नहीं। ये संबंध तभी लगते हैं जब त्रिभुज समकोण हो और लंब समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाला गया हो।

10. पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम

प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग बाकी दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। अगर $\angle B=90^\circ$ है, तो कर्ण $AC$ है और

$$\boxed{AC^2=AB^2+BC^2}$$

कर्ण समकोण के सामने वाली और सबसे लंबी भुजा है। अगर कर्ण 13 और एक भुजा 5 हो, तो दूसरी भुजा $\sqrt{13^2-5^2}=12$ होगी। यहाँ वर्गों का अंतर लेना है, सीधे $13-5=8$ नहीं।

प्रमाण का आधार: कर्ण पर लंब वाले पहले दो संबंध जोड़ दीजिए:

$$AB^2+BC^2=AC(AD+DC)=AC\cdot AC=AC^2$$

परीक्षा में यह प्रमाण रचना और हर चरण के कारण के साथ लिखा जाता है। इसका पूरा हल आगे लिखित प्रश्नों में मिलेगा।

विलोम: अगर किसी त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा $c$ हो और $c^2=a^2+b^2$ हो, तो $c$ के सामने का कोण 90° होता है। इसे सिद्ध करने के लिए एक नया समकोण त्रिभुज बनाइए, जिसकी लंबवत भुजाएँ $a$ और $b$ हों। पाइथागोरस से उसका कर्ण $c$ आएगा। अब दोनों त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए SSS सर्वांगसमता से मूल त्रिभुज का वह कोण भी समकोण है।

5, 12, 13 एक पाइथागोरस त्रिक है, क्योंकि $25+144=169$ है। पर 5, 6, 7 त्रिक नहीं है। इसलिए हर बार वर्ग मिलाकर देखिए।

11. समबाहु और समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई

मान लीजिए समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा $a$ है। $A$ से $AD\perp BC$ खींचिए। समकोण त्रिभुज $ABD$ और $ACD$ में कर्ण $AB=AC$ है और भुजा $AD$ उभयनिष्ठ है। RHS सर्वांगसमता से $BD=DC=a/2$। इसलिए,

$$AD^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4}$$

$$\boxed{h=\frac{\sqrt3}{2}a},\qquad\boxed{\operatorname{ar}=\frac{\sqrt3}{4}a^2}$$

समद्विबाहु त्रिभुज में भी शिखर से आधार पर डाला गया लंब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है। जैसे बराबर भुजाएँ 13 और आधार 10 हो, तो आधा आधार 5 है और ऊँचाई $\sqrt{13^2-5^2}=12$ होगी। समकोण त्रिभुज की भुजा पूरा आधार 10 नहीं, आधा आधार 5 बनता है।

12. प्रमाण और शब्द-प्रश्न कैसे लिखें

प्रमाण में सबसे पहले दिया है, फिर सिद्ध करना है, ज़रूरत हो तो रचना, और उसके बाद हर चरण उसके कारण के साथ लिखिए। समांतर रेखाओं से मिले संगत या एकांतर कोण, बराबर कोण, समरूपता की कसौटी और अनुपात कहाँ से आया, यह साफ़ लिखिए। जो सिद्ध करना है, उसे पहले से सही मानकर प्रमाण शुरू मत कीजिए।

सीढ़ी, खंभे की छाया या टूटी टहनी वाले प्रश्नों में पहले पहचानिए कि समकोण त्रिभुज बन रहा है या समरूप त्रिभुज। दीवार समतल ज़मीन पर सीधी खड़ी हो, तो उस पर टिकी सीढ़ी कर्ण बनती है। एक ही समय पर समतल ज़मीन पर सीधे खड़े दो खंभों पर सूरज की किरणें एक ही कोण से पड़ती हैं, इसलिए उनकी छायाओं से बने त्रिभुज समरूप होते हैं। तब दोनों में ऊँचाई/छाया का अनुपात बराबर होता है।

उत्तर लिखने के बाद तीन बातें देख लीजिए: संगत क्रम सही है या नहीं, लंबाई और क्षेत्रफल के अनुपात में सही घात ली है या नहीं, और लंबाई का उत्तर धनात्मक है या नहीं। इकाइयाँ भी मिलाइए, सेमी के साथ सेमी और मीटर के साथ मीटर। क्षेत्रफल की इकाई वर्ग सेमी या वर्ग मीटर लिखिए।

संगत क्रम से भुजा

$\triangle ABC\sim\triangle QRP$ में $AB=12$, $QR=18$ और $BC=10$ सेमी हैं। $RP$ निकालिए।

हल:

दिए क्रम से $A\leftrightarrow Q$, $B\leftrightarrow R$ और $C\leftrightarrow P$ है। तो $AB$ की संगत भुजा $QR$ है और $BC$ की संगत भुजा $RP$।

$$\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{RP}$$

$$\frac{12}{18}=\frac{10}{RP}$$

$$12RP=180\quad\Rightarrow\quad RP=15$$

इसलिए $RP=15$ सेमी।

कोणों से समरूपता

$\triangle ABC$ में $\angle A=50^\circ,\angle B=60^\circ$ तथा $\triangle PQR$ में $\angle P=50^\circ,\angle Q=60^\circ$ हैं। दोनों की समरूपता सिद्ध कीजिए।

हल:

दिया है,

$$\angle A=\angle P=50^\circ$$

$$\angle B=\angle Q=60^\circ$$

दोनों त्रिभुजों के दो संगत कोण बराबर हैं, इसलिए AA कसौटी से $\triangle ABC\sim\triangle PQR$।

चाहें तो तीसरा कोण भी देख लीजिए: दोनों में $180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$ है।

तीनों भुजाओं की जाँच

दो त्रिभुजों की भुजाएँ क्रमशः 4, 6, 8 सेमी और 6, 9, 12 सेमी हैं। क्या वे समरूप हैं?

हल:

छोटी भुजा को छोटी से, बीच वाली को बीच वाली से और बड़ी को बड़ी से मिलाइए:

$$\frac46=\frac69=\frac8{12}=\frac23$$

तीनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए SSS कसौटी से दोनों त्रिभुज समरूप हैं।

बीच के कोण का उपयोग

$AB=6,AC=8,PQ=9,PR=12$ सेमी और $\angle A=\angle P=90^\circ$ हैं। यदि $BC=10$ सेमी हो, तो $QR$ निकालिए।

हल:

कोण $A$ और $P$ बनाने वाली भुजाओं के अनुपात देखिए:

$$\frac{AB}{PQ}=\frac69=\frac23,\qquad\frac{AC}{PR}=\frac8{12}=\frac23$$

दोनों अनुपात बराबर हैं और इन्हीं भुजाओं के बीच के कोण $A$ और $P$ भी बराबर हैं। इसलिए SAS से $\triangle ABC\sim\triangle PQR$। अब $BC$ की संगत भुजा $QR$ है:

$$\frac{BC}{QR}=\frac23\quad\Rightarrow\quad\frac{10}{QR}=\frac23$$

$$QR=\frac{10\times3}{2}=15$$

इसलिए $QR=15$ सेमी।

एक भुजा के दो हिस्से

$\triangle ABC$ में $D\in AB,E\in AC$ और $DE\parallel BC$। यदि $AD=3,DB=5,AE=4.5$ सेमी हों, तो $EC$ निकालिए।

हल:

$DE\parallel BC$ है, तो मूल समानुपातिकता प्रमेय से,

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

$$\frac35=\frac{4.5}{EC}$$

$$3EC=22.5\quad\Rightarrow\quad EC=7.5$$

तो $EC=7.5$ सेमी। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $4.5/7.5=3/5$, जो $AD/DB$ के बराबर है।

हिस्सा और पूरी भुजा

$D\in AB,E\in AC,DE\parallel BC$ तथा $AD=4,AB=10,AC=15$ सेमी हैं। $AE$ और $EC$ निकालिए।

हल:

यहाँ टुकड़ा $AD$ और पूरी भुजा $AB$ दी है, इसलिए टुकड़ा/पूरी भुजा वाला रूप लेंगे। $DE\parallel BC$ होने से $\triangle ADE\sim\triangle ABC$, तो

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$

$$\frac4{10}=\frac{AE}{15}\quad\Rightarrow\quad AE=6$$

अब पूरी भुजा $AC=AE+EC$ है, इसलिए

$$EC=15-6=9$$

तो $AE=6$ सेमी और $EC=9$ सेमी।

समांतरता सिद्ध करना

$D,E$ क्रमशः $AB,AC$ के अंदरूनी बिंदु हैं। $AD=2,DB=3,AE=4,EC=6$ सेमी हों, तो सिद्ध कीजिए कि $DE\parallel BC$।

हल:

दोनों भुजाओं के टुकड़ों का अनुपात निकालिए:

$$\frac{AD}{DB}=\frac23$$

$$\frac{AE}{EC}=\frac46=\frac23$$

दोनों अनुपात बराबर हैं, यानी $AD/DB=AE/EC$। इसलिए BPT के विलोम से $DE\parallel BC$। ध्यान दीजिए, यहाँ समांतरता सिद्ध करनी थी, इसलिए इसे शुरू में दिया हुआ मानकर BPT नहीं लगा सकते।

अनुपात से अज्ञात लंबाई

$D\in AB,E\in AC,DE\parallel BC$। यदि $AD=x,DB=x-2,AE=x+3,EC=x-1$ सेमी हों, तो $x$ निकालिए।

हल:

BPT से,

$$\frac{x}{x-2}=\frac{x+3}{x-1}$$

$$x(x-1)=(x+3)(x-2)$$

$$x^2-x=x^2+x-6$$

$$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

अब $x=3$ रखकर चारों लंबाइयाँ देखिए: 3, 1, 6 और 2 सेमी। सभी धनात्मक हैं और $3/1=6/2$ भी सही बैठता है। इसलिए $x=3$।

परिमाप से संगत भुजा

दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप 24 और 36 सेमी हैं। पहले की एक भुजा 8 सेमी है। दूसरे की संगत भुजा निकालिए।

हल:

समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात परिमापों के अनुपात के बराबर होता है। मान लीजिए दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा $x$ सेमी है।

$$\frac8x=\frac{24}{36}=\frac23$$

$$2x=24\quad\Rightarrow\quad x=12$$

इसलिए संगत भुजा 12 सेमी है।

भुजाओं से क्षेत्रफल

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ $4:5$ में हैं। बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है। छोटे का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। यानी यहाँ $4:5$ नहीं, उसका वर्ग लगेगा:

$$\frac{\text{छोटे का क्षेत्रफल}}{150}=\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}$$

$$\text{छोटे का क्षेत्रफल}=150\times\frac{16}{25}=96$$

तो छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी है।

बचे हुए चतुर्भुज का क्षेत्रफल

$D\in AB,E\in AC,DE\parallel BC$ और $AD:AB=2:3$। यदि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल 135 वर्ग सेमी हो, तो $DBCE$ का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

$DE\parallel BC$ है, इसलिए $\triangle ADE\sim\triangle ABC$ और

$$\frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(ABC)}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=\frac49$$

$$\operatorname{ar}(ADE)=135\times\frac49=60$$

चतुर्भुज $DBCE$ वह भाग है जो पूरे त्रिभुज में से छोटा त्रिभुज हटाने पर बचता है:

$$\operatorname{ar}(DBCE)=135-60=75$$

इसलिए चतुर्भुज का क्षेत्रफल 75 वर्ग सेमी है।

दीवार पर लगी सीढ़ी

17 मीटर की सीढ़ी समतल जमीन से लंबवत दीवार पर टिकी है। उसका निचला सिरा दीवार से 8 मीटर दूर है। वह कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?

हल:

दीवार ज़मीन पर सीधी खड़ी है, इसलिए दीवार और ज़मीन के बीच समकोण बनता है और सीढ़ी कर्ण है। मान लीजिए सीढ़ी $h$ मीटर ऊँचाई तक पहुँचती है। पाइथागोरस से,

$$h^2+8^2=17^2$$

$$h^2=289-64=225$$

$$h=15$$

ऊँचाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सीढ़ी 15 मीटर ऊँचाई तक पहुँचती है।

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई और क्षेत्रफल

8 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई और क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

शिखर से आधार पर डाला गया लंब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है, इसलिए आधा आधार $8/2=4$ सेमी है। अब पाइथागोरस से,

$$h^2=8^2-4^2=64-16=48$$

$$h=\sqrt{48}=4\sqrt3$$

$$\text{क्षेत्रफल}=\frac12\times8\times4\sqrt3=16\sqrt3$$

तो ऊँचाई $4\sqrt3$ सेमी और क्षेत्रफल $16\sqrt3$ वर्ग सेमी है। सूत्र $h=\frac{\sqrt3}{2}a$ से भी यही आता है।

छाया से पेड़ की ऊँचाई

समतल जमीन पर लंबवत खड़ी 1.5 मीटर छड़ी की छाया 2 मीटर है। उसी समय एक लंबवत पेड़ की छाया 12 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई निकालिए।

हल:

छड़ी और पेड़ दोनों ज़मीन से समकोण बनाते हैं, और एक ही समय पर सूरज की किरणें ज़मीन से एक ही कोण बनाती हैं। इसलिए छड़ी और उसकी छाया से बना त्रिभुज, पेड़ और उसकी छाया से बने त्रिभुज के AA से समरूप है।

मान लीजिए पेड़ की ऊँचाई $h$ मीटर है। दोनों में ऊँचाई/छाया का अनुपात बराबर होगा:

$$\frac{h}{12}=\frac{1.5}{2}$$

$$h=\frac{12\times1.5}{2}=9$$

इसलिए पेड़ की ऊँचाई 9 मीटर है।