परिचय और कार्तीय तल

कार्तीय तल

इसे समझते हैं। किसी समतल सतह पर बिंदु का स्थान बताने के लिए हम दो संख्या रेखाओं का उपयोग करते हैं जो समकोण पर एक-दूसरे को काटती हैं। यह व्यवस्था कार्तीय तल कहलाती है (रेने देकार्त के नाम पर)।

• क्षैतिज संख्या रेखा x-अक्ष है।
• ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा y-अक्ष है।
• जहाँ वे काटती हैं वह मूल बिंदु है, जिसे $O$ लिखते हैं, निर्देशांक $(0, 0)$।

तल का प्रत्येक बिंदु एक क्रमित युग्म $(x, y)$ से वर्णित होता है:

• $x$ (भुज) बताता है कि मूल बिंदु से कितना बाएँ/दाएँ जाना है,
• $y$ (कोटि) बताता है कि कितना ऊपर/नीचे जाना है।

मुख्य बिंदु: क्रम महत्वपूर्ण है — $(3, 5)$ और $(5, 3)$ भिन्न बिंदु हैं। सदैव $(x, y)$ को 'पहले x, फिर y' के रूप में पढ़ें।

चार चतुर्थांश

दोनों अक्ष तल को चार क्षेत्रों में बाँटते हैं जिन्हें चतुर्थांश कहते हैं, जिन्हें ऊपर-दाएँ से वामावर्त चलते हुए I से IV तक क्रमांकित किया जाता है।

चतुर्थांश	x चिह्न	y चिह्न	उदाहरण
I	+	+	$(3, 2)$
II	−	+	$(-3, 2)$
III	−	−	$(-3, -2)$
IV	+	−	$(3, -2)$

मुख्य बिंदु: वामावर्त चलते हुए चिह्न पैटर्न याद रखें: $(+,+), (-,+), (-,-), (+,-)$।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] किसी बिंदु का चतुर्थांश पूर्णतः उसके निर्देशांकों के चिह्नों से तय होता है। 1-अंक का प्रश्न अक्सर पूछता है '$(-5, 7)$ किस चतुर्थांश में है?' — उत्तर: चतुर्थांश II।

अक्षों पर बिंदु

ठीक किसी अक्ष पर स्थित बिंदु विशेष स्थितियाँ हैं:

• x-अक्ष पर स्थित बिंदु का रूप $(x, 0)$ होता है — उसका y-निर्देशांक 0 है।
• y-अक्ष पर स्थित बिंदु का रूप $(0, y)$ होता है — उसका x-निर्देशांक 0 है।
• मूल बिंदु $(0, 0)$ दोनों अक्षों पर स्थित है।

इसे ऐसे समझें: यदि आप ऊपर या नीचे बिल्कुल नहीं जाते, तो x-अक्ष पर रहते हैं; यदि बाएँ या दाएँ नहीं जाते, तो y-अक्ष पर रहते हैं।

मुख्य बिंदु: x-अक्ष पर $y = 0$; y-अक्ष पर $x = 0$। अक्षों पर स्थित बिंदु किसी चतुर्थांश में नहीं आते।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] 'बिंदु $(0, -4)$ किस अक्ष पर है?' — y-अक्ष पर, क्योंकि $x = 0$।

निर्देशांक ज्यामिति क्यों महत्वपूर्ण है

निर्देशांक ज्यामिति (जिसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी कहते हैं) हमें बीजगणित का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन करने देती है। एक बार बिंदु संख्या-युग्म बन जाने पर, हम कर सकते हैं:

• दो बिंदुओं के बीच दूरी ज्ञात करना,
• किसी रेखाखंड को दिए अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात करना,
• शीर्षों से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना,
• जाँचना कि बिंदु संरेख हैं (एक रेखा पर हैं) या नहीं।

ये सब निर्देशांकों को सूत्रों में रखने तक सिमट जाते हैं — यही इस अध्याय को अधिक अंक देने वाला बनाता है।

मुख्य बिंदु: पूरा अध्याय सूत्र-आधारित है। चार सूत्रों — दूरी, विभाजन, मध्य-बिंदु, और क्षेत्रफल — में निपुणता से लगभग हर प्रश्न हल हो जाता है।

[JEE/NEET युक्ति] निर्देशांक ज्यामिति कक्षा 11 में सरल रेखाओं, वृत्तों और शांकवों की नींव है — यहाँ मजबूत पकड़ आगे लाभ देती है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: चतुर्थांश पहचानें

बिंदु $(-4, 6)$ किस चतुर्थांश में है?

हल:

1. x-निर्देशांक ऋणात्मक, y-निर्देशांक धनात्मक।
2. चिह्न पैटर्न $(-, +)$ ⇒ चतुर्थांश II।

अंतिम उत्तर: चतुर्थांश II।

सार: चतुर्थांश केवल निर्देशांकों के चिह्नों पर निर्भर करता है।

उदाहरण 2: अक्ष पर बिंदु

बिंदु $(7, 0)$ कहाँ स्थित है?

हल:

1. y-निर्देशांक 0 है।
2. $y = 0$ वाला बिंदु x-अक्ष पर स्थित होता है।

अंतिम उत्तर: x-अक्ष पर।

सार: $y = 0$ ⇒ x-अक्ष; $x = 0$ ⇒ y-अक्ष।

उदाहरण 3: क्रम महत्वपूर्ण है

क्या $(2, 5)$ और $(5, 2)$ एक ही बिंदु हैं?

हल:

1. $(2, 5)$ का अर्थ $x = 2$, $y = 5$।
2. $(5, 2)$ का अर्थ $x = 5$, $y = 2$।
3. भिन्न निर्देशांक ⇒ भिन्न बिंदु।

अंतिम उत्तर: नहीं, ये भिन्न बिंदु हैं।

सार: क्रमित युग्म पहले x, फिर y पढ़ा जाता है — क्रम बदला नहीं जा सकता।

उदाहरण 4: निर्देशांक पढ़ना

एक बिंदु y-अक्ष से 5 इकाई बाएँ और x-अक्ष से 3 इकाई नीचे है। इसके निर्देशांक लिखिए।

हल:

1. y-अक्ष के बाएँ ⇒ ऋणात्मक x: $x = -5$।
2. x-अक्ष के नीचे ⇒ ऋणात्मक y: $y = -3$।

अंतिम उत्तर: $(-5, -3)$ (चतुर्थांश III)।

सार: बाएँ/नीचे ऋणात्मक; दाएँ/ऊपर धनात्मक।

उदाहरण 5: मूल बिंदु का विचार

मूल बिंदु के निर्देशांक क्या हैं, और उसका विशेष गुण क्या है?

हल:

1. मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
2. यह x-अक्ष और y-अक्ष दोनों पर स्थित है, जहाँ दोनों अक्ष मिलते हैं।

अंतिम उत्तर: $(0, 0)$; यह दोनों अक्षों पर स्थित है।

सार: मूल बिंदु सभी निर्देशांकों का संदर्भ बिंदु है।

उदाहरण 6: चिह्न तर्क

यदि किसी बिंदु का $x > 0$ और $y < 0$ है, तो वह किस चतुर्थांश में है?

हल:

1. $x > 0$ (दाएँ), $y < 0$ (नीचे)।
2. चिह्न पैटर्न $(+, -)$ ⇒ चतुर्थांश IV।

अंतिम उत्तर: चतुर्थांश IV।

सार: $(+, -)$ नीचे-दाएँ का क्षेत्र है।

उदाहरण 7: समान निर्देशांक वाले बिंदु

$a > 0$ के साथ $(a, a)$ रूप के सभी बिंदु कहाँ स्थित होते हैं?

हल:

1. दोनों निर्देशांक धनात्मक ⇒ चतुर्थांश I।
2. ये रेखा $y = x$ (मूल बिंदु से जाने वाला विकर्ण) पर स्थित होते हैं।

अंतिम उत्तर: चतुर्थांश I में, रेखा $y = x$ पर।

सार: समान निर्देशांक वाले बिंदु रेखा $y = x$ पर होते हैं।

उदाहरण 8: अक्ष के अनुदिश दूरी

बिंदु $(0, 2)$ और $(0, 7)$ कितने दूर हैं?

हल:

1. दोनों y-अक्ष पर हैं ($x = 0$)।
2. y-अक्ष के अनुदिश दूरी $= 7 - 2 = 5$ इकाई।

अंतिम उत्तर: 5 इकाई।

सार: एक ही अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए केवल भिन्न निर्देशांक घटाएँ।

उदाहरण 9: x-अक्ष में प्रतिबिंब

$(4, 3)$ का x-अक्ष में प्रतिबिंब क्या है?

हल:

1. x-अक्ष में परावर्तन $x$ को समान रखता है और $y$ का चिह्न बदलता है।
2. $(4, 3) \to (4, -3)$।

अंतिम उत्तर: $(4, -3)$।

सार: x-अक्ष में परावर्तन: $(x, y) \to (x, -y)$।

उदाहरण 10: y-अक्ष में प्रतिबिंब

$(4, 3)$ का y-अक्ष में प्रतिबिंब क्या है?

हल:

1. y-अक्ष में परावर्तन $y$ को समान रखता है और $x$ का चिह्न बदलता है।
2. $(4, 3) \to (-4, 3)$।

अंतिम उत्तर: $(-4, 3)$।

सार: y-अक्ष में परावर्तन: $(x, y) \to (-x, y)$।