बोर्ड परीक्षा के पिछले वर्ष के प्रश्न

बोर्ड परीक्षा के पिछले वर्ष के प्रश्न (PYQs)

ये CBSE और राज्य बोर्ड के हाल के प्रश्नपत्रों के आधार पर परीक्षा-शैली के प्रश्न हैं। प्रत्येक को उस तर्क के साथ पूर्णतः हल किया गया है जो एक बोर्ड परीक्षक अपेक्षा करता है।

अंक-युक्ति: निर्देशांक ज्यामिति में, सदैव पहले सूत्र लिखें, फिर प्रतिस्थापित करें। परीक्षक विधि के अंक देते हैं भले ही गणना में चूक हो जाए।

सभी 26 प्रश्नों का अभ्यास करें। ये 1-अंक, 2-अंक, 3-अंक और 5-अंक के प्रारूपों को समेटते हैं।

PYQ 1 (1 अंक): $(0, 0)$ और $(36, 15)$ के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $d = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39$।

अंतिम उत्तर: 39 इकाई।

PYQ 2 (1 अंक): $(-5, 7)$ और $(3, -1)$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $M = \left(\dfrac{-5+3}{2}, \dfrac{7-1}{2}\right) = (-1, 3)$।

अंतिम उत्तर: $(-1, 3)$।

PYQ 3 (1 अंक): शीर्ष $(0, 6)$, $(8, 0)$, $(-2, 3)$ वाले त्रिभुज का केंद्रक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $G = \left(\dfrac{0+8-2}{3}, \dfrac{6+0+3}{3}\right) = (2, 3)$।

अंतिम उत्तर: $(2, 3)$।

PYQ 4 (1 अंक): बिंदु $(-1, 6)$, $(-3, 10)$ और $(6, -8)$ को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

1. x पर अनुपात $k:1$: $-1 = \dfrac{6k - 3}{k+1} \Rightarrow -k - 1 = 6k - 3 \Rightarrow 7k = 2 \Rightarrow k = \tfrac27$।
2. अनुपात $= 2 : 7$।

अंतिम उत्तर: $2 : 7$।

PYQ 5 (2 अंक): $k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $(2, 3)$, $(4, k)$, $(6, -3)$ संरेख हों।

हल:

1. $2(k+3) + 4(-3-3) + 6(3-k) = 0$।
2. $2k + 6 - 24 + 18 - 6k = 0 \Rightarrow -4k = 0 \Rightarrow k = 0$।

अंतिम उत्तर: $k = 0$।

PYQ 6 (2 अंक): उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(2, 3)$, $(-1, 0)$, $(2, -4)$ हैं।

हल:

1. क्षेत्रफल $= \tfrac12|2(0+4) + (-1)(-4-3) + 2(3-0)|$।
2. $= \tfrac12|8 + 7 + 6| = \tfrac{21}{2} = 10.5$।

अंतिम उत्तर: 10.5 वर्ग इकाई।

PYQ 7 (2 अंक): x-अक्ष पर $(2, -5)$ और $(-2, 9)$ से समदूरस्थ बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें $P(x, 0)$: $(x-2)^2 + 25 = (x+2)^2 + 81$।
2. $-4x + 29 = 4x + 85 \Rightarrow -8x = 56 \Rightarrow x = -7$।

अंतिम उत्तर: $(-7, 0)$।

PYQ 8 (2 अंक): y-अक्ष $(5, -6)$ और $(-1, -4)$ को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

1. y-अक्ष पर $x = 0$; अनुपात $k:1$: $0 = \dfrac{-k + 5}{k+1} \Rightarrow k = 5$।
2. अनुपात $= 5 : 1$।

अंतिम उत्तर: $5 : 1$।

PYQ 9 (2 अंक): यदि बिंदु $P(x, y)$, $A(5, 1)$ और $B(-1, 5)$ से समदूरस्थ है, तो सिद्ध कीजिए $3x = 2y$।

हल:

1. $(x-5)^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2 + (y-5)^2$।
2. $-10x + 25 - 2y + 1 = 2x + 1 - 10y + 25$।
3. $-10x - 2y = 2x - 10y \Rightarrow 8y = 12x \Rightarrow 3x = 2y$।

अंतिम उत्तर: $3x = 2y$। सिद्ध हुआ।

PYQ 10 (3 अंक): $(4, -1)$ और $(-2, -3)$ को मिलाने वाले खंड के त्रिविभाजन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $P$ ($1:2$): $\left(\dfrac{1(-2)+2(4)}{3}, \dfrac{1(-3)+2(-1)}{3}\right) = (2, -\tfrac53)$।
2. $Q$ ($2:1$): $\left(\dfrac{2(-2)+1(4)}{3}, \dfrac{2(-3)+1(-1)}{3}\right) = (0, -\tfrac73)$।

अंतिम उत्तर: $(2, -\tfrac53)$ और $(0, -\tfrac73)$।

PYQ 11 (3 अंक): $(1, -5)$ और $(-4, 5)$ को मिलाने वाला खंड x-अक्ष द्वारा किस अनुपात में विभाजित होता है? विभाजन बिंदु भी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. x-अक्ष पर $y = 0$; अनुपात $k:1$: $0 = \dfrac{5k - 5}{k+1} \Rightarrow 5k = 5 \Rightarrow k = 1$।
2. अनुपात $= 1 : 1$; $x = \dfrac{-4 + 1}{2} = -\tfrac32$।

अंतिम उत्तर: अनुपात $1 : 1$; बिंदु $(-\tfrac32, 0)$।

PYQ 12 (3 अंक): दिखाइए कि बिंदु $(1, 7)$, $(4, 2)$, $(-1, -1)$, $(-4, 4)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं।

हल:

1. $AB = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$; $BC = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$; $CD = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$; $DA = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$ — सभी बराबर।
2. विकर्ण: $AC = \sqrt{4+64} = \sqrt{68}$; $BD = \sqrt{64+4} = \sqrt{68}$ — बराबर।
3. सभी भुजाएँ बराबर + बराबर विकर्ण ⇒ वर्ग।

अंतिम उत्तर: वर्ग। सिद्ध हुआ।

PYQ 13 (3 अंक): $(1, -1)$, $(-4, 6)$, $(-3, -5)$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. क्षेत्रफल $= \tfrac12|1(6+5) + (-4)(-5+1) + (-3)(-1-6)|$।
2. $= \tfrac12|11 + 16 + 21| = \tfrac{48}{2} = 24$।

अंतिम उत्तर: 24 वर्ग इकाई।

PYQ 14 (3 अंक): $(-1, 7)$ और $(4, -3)$ को मिलाने वाले खंड को $2 : 3$ अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = \dfrac{2(4)+3(-1)}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$।
2. $y = \dfrac{2(-3)+3(7)}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$।

अंतिम उत्तर: $(1, 3)$।

PYQ 15 (3 अंक): यदि $A(-2, 1)$, $B(a, 0)$, $C(4, b)$, $D(1, 2)$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष हैं, तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. विकर्ण समद्विभाजित करते हैं: $AC$ का मध्य-बिंदु = $BD$ का मध्य-बिंदु।
2. $\dfrac{-2+4}{2} = \dfrac{a+1}{2} \Rightarrow 2 = a + 1 \Rightarrow a = 1$।
3. $\dfrac{1+b}{2} = \dfrac{0+2}{2} \Rightarrow 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1$।

अंतिम उत्तर: $a = 1$, $b = 1$।

PYQ 16 (3 अंक): $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि बिंदु $A(2, 3)$, $B(4, k)$, $C(6, -3)$ 5 वर्ग इकाई क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाते हैं।

हल:

1. क्षेत्रफल $= \tfrac12|2(k+3) + 4(-3-3) + 6(3-k)| = 5$।
2. $|{-4k}| = 10 \Rightarrow |k| = \tfrac52$।
3. $k = \tfrac52$ या $k = -\tfrac52$।

अंतिम उत्तर: $k = \pm\tfrac52$।

PYQ 17 (3 अंक): बिंदुओं $(a \cos\theta, 0)$ और $(0, a \sin\theta)$ के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $d = \sqrt{(a\cos\theta)^2 + (a\sin\theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}$।
2. $= \sqrt{a^2} = |a|$।

अंतिम उत्तर: $|a|$ इकाई।

PYQ 18 (5 अंक): $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(4, 6)$, $B(1, 5)$, $C(7, 2)$ हैं। एक रेखा $DE$ जिसमें $D$, $AB$ पर और $E$, $AC$ पर है, उन्हें इस प्रकार विभाजित करती है कि $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac14$। $\triangle ADE$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और $\triangle ABC$ के क्षेत्रफल से तुलना कीजिए।

हल:

1. $D$, $AB$ को $1:3$ में बाँटता है: $D = \left(\dfrac{1(1)+3(4)}{4}, \dfrac{1(5)+3(6)}{4}\right) = \left(\dfrac{13}{4}, \dfrac{23}{4}\right)$।
2. $E$, $AC$ को $1:3$ में बाँटता है: $E = \left(\dfrac{1(7)+3(4)}{4}, \dfrac{1(2)+3(6)}{4}\right) = \left(\dfrac{19}{4}, 5\right)$।
3. क्षेत्रफल $\triangle ABC = \tfrac12|4(5-2)+1(2-6)+7(6-5)| = \tfrac12|12-4+7| = \tfrac{15}{2}$।
4. क्षेत्रफल $\triangle ADE = \tfrac12|4(\tfrac{23}{4}-5) + \tfrac{13}{4}(5-6) + \tfrac{19}{4}(6-\tfrac{23}{4})|= \tfrac12|3 - \tfrac{13}{4} + \tfrac{19}{16}| = \tfrac{15}{32}$।
5. अनुपात $= \dfrac{15/32}{15/2} = \dfrac{1}{16} = \left(\dfrac14\right)^2$।

अंतिम उत्तर: क्षेत्रफल$(ADE) = \tfrac{15}{32}$, जो क्षेत्रफल$(ABC)$ का $\tfrac{1}{16}$ है। भुजा अनुपात के वर्ग से संगत सिद्ध।

PYQ 19 (5 अंक): $A(-2, 2)$ और $B(2, 8)$ को मिलाने वाले खंड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मध्य-बिंदु $M = (0, 5)$।
2. चौथाई बिंदु $P$ ($A$ और $M$ का मध्य-बिंदु) $= (-1, 3.5)$।
3. तीन-चौथाई बिंदु $Q$ ($M$ और $B$ का मध्य-बिंदु) $= (1, 6.5)$।

अंतिम उत्तर: $(-1, 3.5)$, $(0, 5)$, $(1, 6.5)$।

PYQ 20 (5 अंक): बिंदु $A(0, -1)$, $B(2, 1)$, $C(0, 3)$, $D(-2, 1)$ एक चतुर्भुज के शीर्ष हैं। दिखाइए कि यह वर्ग है और इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AB = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$; $BC = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$; $CD = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$; $DA = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$।
2. विकर्ण: $AC = \sqrt{0+16} = 4$; $BD = \sqrt{16+0} = 4$ — बराबर।
3. सभी भुजाएँ बराबर + बराबर विकर्ण ⇒ वर्ग।
4. क्षेत्रफल $= \text{भुजा}^2 = (2\sqrt2)^2 = 8$।

अंतिम उत्तर: वर्ग; क्षेत्रफल 8 वर्ग इकाई।

PYQ 21 (3 अंक): $x$ और $y$ के बीच संबंध ज्ञात कीजिए ताकि बिंदु $(x, y)$, $(3, 6)$ और $(-3, 4)$ से समदूरस्थ हो।

हल:

1. $(x-3)^2 + (y-6)^2 = (x+3)^2 + (y-4)^2$।
2. $-6x + 9 - 12y + 36 = 6x + 9 - 8y + 16$।
3. $-6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25 \Rightarrow -12x - 4y + 20 = 0 \Rightarrow 3x + y = 5$।

अंतिम उत्तर: $3x + y = 5$।

PYQ 22 (3 अंक): बिंदु $P(\tfrac34, \tfrac{5}{12})$, $A(\tfrac12, \tfrac32)$ और $B(2, -5)$ को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

1. x पर अनुपात $k:1$: $\tfrac34 = \dfrac{2k + \tfrac12}{k+1}$।
2. $\tfrac34(k+1) = 2k + \tfrac12 \Rightarrow \tfrac34 k + \tfrac34 = 2k + \tfrac12 \Rightarrow \tfrac14 = \tfrac54 k \Rightarrow k = \tfrac15$।
3. अनुपात $= 1 : 5$।

अंतिम उत्तर: $1 : 5$।

PYQ 23 (3 अंक): सिद्ध कीजिए कि बिंदु $(3, 0)$, $(6, 4)$, $(-1, 3)$ समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल:

1. $AB^2 = 9+16 = 25$; $BC^2 = 49+1 = 50$; $CA^2 = 16+9 = 25$।
2. $AB = CA$ ⇒ समद्विबाहु।
3. $AB^2 + CA^2 = 25+25 = 50 = BC^2$ ⇒ $A$ पर समकोण।

अंतिम उत्तर: समकोण समद्विबाहु त्रिभुज। सिद्ध हुआ।

PYQ 24 (5 अंक): यदि $A(-5, 7)$, $B(-4, -5)$, $C(-1, -6)$, $D(4, 5)$ एक चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\triangle ABC = \tfrac12|{-5(-5+6) -4(-6-7) -1(7+5)}| = \tfrac12|{-5 + 52 - 12}| = \tfrac{35}{2}$।
2. $\triangle ACD = \tfrac12|{-5(-6-5) -1(5-7) +4(7+6)}| = \tfrac12|55 + 2 + 52| = \tfrac{109}{2}$।
3. कुल $= \tfrac{35}{2} + \tfrac{109}{2} = 72$।

अंतिम उत्तर: 72 वर्ग इकाई।

PYQ 25 (3 अंक): एक त्रिभुज के दो शीर्ष $(3, -5)$ और $(-7, 4)$ हैं और इसका केंद्रक मूल बिंदु पर स्थित है। तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{3 - 7 + x}{3} = 0 \Rightarrow x = 4$।
2. $\dfrac{-5 + 4 + y}{3} = 0 \Rightarrow y = 1$।

अंतिम उत्तर: तीसरा शीर्ष $(4, 1)$।

PYQ 26 (5 अंक): उस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(0, 3)$ हैं। इस क्षेत्रफल का मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मध्य-बिंदु: $(0,-1),(2,1)$ का $P = (1, 0)$; $(2,1),(0,3)$ का $Q = (1, 2)$; $(0,3),(0,-1)$ का $R = (0, 1)$।
2. मध्य-बिंदु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \tfrac12|1(2-1) + 1(1-0) + 0(0-2)| = \tfrac12|1+1| = 1$।
3. मूल का क्षेत्रफल $= \tfrac12|0(1-3) + 2(3+1) + 0(-1-1)| = \tfrac12|8| = 4$।
4. अनुपात $= 1 : 4$।

अंतिम उत्तर: मध्य-बिंदु त्रिभुज का क्षेत्रफल 1; अनुपात $1 : 4$। (सदैव $1:4$, क्योंकि माध्यिक त्रिभुज की भुजाएँ मूल की आधी होती हैं।)