अध्याय सारांश और त्वरित पुनरावृत्ति

अध्याय सारांश: निर्देशांक ज्यामिति

इस अध्याय के प्रत्येक मुख्य विचार और सूत्र का एक-पृष्ठीय पुनरावलोकन। परीक्षा से एक रात पहले इसे पढ़ें।

1. कार्तीय तल

• एक बिंदु क्रमित युग्म $(x, y)$ है: $x$ भुज, $y$ कोटि है।
• चतुर्थांश चिह्न (वामावर्त): I $(+,+)$, II $(-,+)$, III $(-,-)$, IV $(+,-)$।
• x-अक्ष पर $y = 0$; y-अक्ष पर $x = 0$; मूल बिंदु $(0, 0)$ है।

2. दूरी सूत्र

$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, \qquad OP = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

• आकृतियाँ (समबाहु, समद्विबाहु, समकोण त्रिभुज, वर्ग, समचतुर्भुज आदि) और संरेखता जाँचने हेतु इसका उपयोग करें (एक दूरी = अन्य दो का योग)।

3. विभाजन और मध्य-बिंदु सूत्र

• विभाजन सूत्र (आंतरिक अनुपात $m:n$): $$\left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n},\; \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}\right).$$
• मध्य-बिंदु ($1:1$): $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$।
• अनुपात ज्ञात करने हेतु इसे $k:1$ रखें और हल करें; धनात्मक $k$ आंतरिक विभाजन दर्शाता है।
• त्रिविभाजन बिंदु अनुपात $1:2$ और $2:1$ उपयोग करते हैं।
• समांतर चतुर्भुज का लुप्त शीर्ष विकर्ण मध्य-बिंदु बराबर रखकर ज्ञात होता है।

4. त्रिभुज का क्षेत्रफल और संरेखता

$$\text{क्षेत्रफल} = \tfrac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|.$$

• तीन बिंदु संरेख हैं $\iff$ यह क्षेत्रफल 0 है।
• चतुर्भुज क्षेत्रफल = विकर्ण से बने दो त्रिभुज क्षेत्रफलों का योग। (त्रिभुज का क्षेत्रफल कई राज्य बोर्डों द्वारा रखा गया है।)

5. केंद्रक

$$G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\; \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).$$

• केंद्रक तीनों शीर्षों का औसत है और प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से $2:1$ में बाँटता है।

सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• क्षेत्रफल सूत्र में निरपेक्ष मान या $\tfrac12$ भूलना।
• केंद्रक ज्ञात करते समय 3 के बजाय 2 से भाग देना।
• विभाजन-सूत्र पैटर्न बदलना — याद रखें $m$, $x_2$ के साथ और $n$, $x_1$ के साथ जुड़ता है।
• 'बराबर भुजाएँ' (समचतुर्भुज) को 'बराबर भुजाएँ + बराबर विकर्ण' (वर्ग) से भ्रमित करना।

अंतिम युक्ति: तय करें कि प्रश्न चार उपकरणों में से किसकी माँग करता है — दूरी, विभाजन/मध्य-बिंदु, क्षेत्रफल, या केंद्रक — सूत्र लिखें, फिर सावधानी से प्रतिस्थापित करें। यह एक आदत इस अध्याय के अधिकांश अंक सुनिश्चित करती है।