विभाजन सूत्र और मध्य-बिंदु

विभाजन सूत्र (आंतरिक विभाजन)

मान लें कोई बिंदु $P$, $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से $m : n$ अनुपात में विभाजित करता है (अर्थात $AP : PB = m : n$)। तब

$$P = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n},\; \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right)$$

मुख्य बिंदु: किसी बिंदु के निकटतम अनुपात संख्या दूर वाले निर्देशांक से गुणा होती है: $m$ ($AP$ में $A$ के पास) $x_2$ से गुणा होती है, और $n$, $x_1$ से। पैटर्न $\dfrac{m x_2 + n x_1}{m+n}$ याद करें।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] अनुपात को $A$ से $B$ खंड के समान क्रम में $m : n$ लिखें, फिर सावधानी से प्रतिस्थापित करें।

मध्य-बिंदु सूत्र

$A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ का मध्य-बिंदु विशेष स्थिति $m : n = 1 : 1$ है:

$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

इसे ऐसे समझें: मध्य-बिंदु केवल दोनों x-निर्देशांकों का औसत और दोनों y-निर्देशांकों का औसत है।

मुख्य बिंदु: मध्य-बिंदु = निर्देशांकों का औसत। यह पूरे अध्याय में सर्वाधिक प्रयुक्त सूत्रों में से एक है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं — अतः उनके मध्य-बिंदु संपाती होते हैं। यह तथ्य कई 'चौथा शीर्ष ज्ञात करें' समस्याओं को हल करता है।

विभाजन का अनुपात ज्ञात करना

यदि हमें ज्ञात हो कि कोई बिंदु $P(x, y)$ खंड $AB$ पर स्थित है पर अनुपात ज्ञात नहीं, तो अनुपात को $k : 1$ मानें और एक निर्देशांक पर विभाजन सूत्र उपयोग करें:

$$x = \frac{k x_2 + x_1}{k + 1}$$

$k$ के लिए हल करें। धनात्मक $k$ आंतरिक विभाजन दर्शाता है।

यही वह तरीका है जिससे हम वह अनुपात ज्ञात करते हैं जिसमें x-अक्ष ($y = 0$) या y-अक्ष ($x = 0$) किसी खंड को विभाजित करते हैं: संबंधित निर्देशांक को 0 रखें और $k$ के लिए हल करें।

मुख्य बिंदु: दो अज्ञातों ($m, n$) को एक ($k$) में घटाने हेतु $k : 1$ उपयोग करें। तब धनात्मक $k$ आंतरिक विभाजन की पुष्टि करता है।

[JEE युक्ति] ऋणात्मक $k$ बाह्य विभाजन दर्शाएगा — कक्षा 10 बोर्ड पाठ्यक्रम के बाहर पर पहचानना उपयोगी।

त्रिविभाजन के बिंदु

किसी खंड के दो त्रिविभाजन बिंदु उसे तीन बराबर भागों में बाँटते हैं। $A$ के निकटतम बिंदु $AB$ को $1 : 2$ अनुपात में, और $B$ के निकटतम बिंदु $2 : 1$ अनुपात में विभाजित करता है।

दोनों बिंदु पाने के लिए इन अनुपातों के साथ विभाजन सूत्र लगाएँ।

मुख्य बिंदु: त्रिविभाजन बिंदु अनुपात $1:2$ और $2:1$ उपयोग करते हैं — एक बहुत सामान्य बोर्ड प्रश्न।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] त्रिविभाजन (तीन बराबर भाग, दो आंतरिक बिंदु) को समद्विभाजन (दो बराबर भाग, एक मध्य-बिंदु) से न भ्रमित करें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मध्य-बिंदु

$A(2, 3)$ और $B(8, 11)$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $M = \left( \dfrac{2+8}{2}, \dfrac{3+11}{2} \right) = (5, 7)$।

अंतिम उत्तर: $(5, 7)$।

सार: मध्य-बिंदु निर्देशांकों का औसत है।

उदाहरण 2: विभाजन सूत्र

$A(1, 2)$ और $B(6, 7)$ को $2 : 3$ अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = \dfrac{2(6) + 3(1)}{2+3} = \dfrac{12 + 3}{5} = 3$।
2. $y = \dfrac{2(7) + 3(2)}{5} = \dfrac{14 + 6}{5} = 4$।

अंतिम उत्तर: $(3, 4)$।

सार: $m = 2$, $B$ के निर्देशांकों से गुणा; $n = 3$, $A$ के।

उदाहरण 3: x-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है

x-अक्ष $A(1, -3)$ और $B(4, 5)$ को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

1. अनुपात $k : 1$ मानें; x-अक्ष पर $y = 0$।
2. $0 = \dfrac{k(5) + 1(-3)}{k+1} \Rightarrow 5k - 3 = 0 \Rightarrow k = \dfrac{3}{5}$।
3. अनुपात $= 3 : 5$ (धनात्मक ⇒ आंतरिक)।

अंतिम उत्तर: $3 : 5$।

सार: $y = 0$ रखकर $k$ हल करें ताकि ज्ञात हो x-अक्ष खंड को कहाँ काटता है।

उदाहरण 4: समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष

समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के तीन शीर्ष $A(1, 2)$, $B(4, 3)$, $C(6, 6)$ हैं। $D$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. विकर्ण समद्विभाजित करते हैं ⇒ $AC$ का मध्य-बिंदु = $BD$ का मध्य-बिंदु।
2. $AC$ का मध्य-बिंदु $= \left( \dfrac{1+6}{2}, \dfrac{2+6}{2} \right) = (3.5, 4)$।
3. मान लें $D = (x, y)$: $\dfrac{4+x}{2} = 3.5$ और $\dfrac{3+y}{2} = 4$।
4. $x = 3$, $y = 5$।

अंतिम उत्तर: $D = (3, 5)$।

सार: लुप्त शीर्ष पाने हेतु विकर्ण मध्य-बिंदुओं को बराबर रखें।

उदाहरण 5: त्रिविभाजन के बिंदु

$A(2, -2)$ और $B(-7, 4)$ को मिलाने वाले खंड के त्रिविभाजन बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. बिंदु $P$ ($1:2$): $\left( \dfrac{1(-7)+2(2)}{3}, \dfrac{1(4)+2(-2)}{3} \right) = (-1, 0)$।
2. बिंदु $Q$ ($2:1$): $\left( \dfrac{2(-7)+1(2)}{3}, \dfrac{2(4)+1(-2)}{3} \right) = (-4, 2)$।

अंतिम उत्तर: $(-1, 0)$ और $(-4, 2)$।

सार: त्रिविभाजन अनुपात $1:2$ और $2:1$ उपयोग करता है।

उदाहरण 6: मध्य-बिंदु दिया, अंत्य बिंदु ज्ञात करें

$A(3, 4)$ और $B$ का मध्य-बिंदु $(5, 7)$ है। $B$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{3 + x}{2} = 5 \Rightarrow x = 7$।
2. $\dfrac{4 + y}{2} = 7 \Rightarrow y = 10$।

अंतिम उत्तर: $B = (7, 10)$।

सार: लुप्त अंत्य बिंदु निकालने हेतु मध्य-बिंदु समीकरण उपयोग करें।

उदाहरण 7: y-अक्ष द्वारा अनुपात

y-अक्ष $A(-3, 1)$ और $B(5, 6)$ को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

1. y-अक्ष पर $x = 0$; अनुपात $k : 1$ मानें।
2. $0 = \dfrac{k(5) + 1(-3)}{k+1} \Rightarrow 5k - 3 = 0 \Rightarrow k = \dfrac{3}{5}$।
3. अनुपात $= 3 : 5$।

अंतिम उत्तर: $3 : 5$।

सार: y-अक्ष ⇒ $x = 0$ रखकर $k$ हल करें।

उदाहरण 8: मध्य-बिंदु सत्यापित करें

क्या $(0, 0)$, $A(-3, -4)$ और $B(3, 4)$ का मध्य-बिंदु है?

हल:

1. मध्य-बिंदु $= \left( \dfrac{-3+3}{2}, \dfrac{-4+4}{2} \right) = (0, 0)$।

अंतिम उत्तर: हाँ, $(0, 0)$ मध्य-बिंदु है।

सार: मूल बिंदु के विपरीत बिंदुओं का मध्य-बिंदु मूल बिंदु होता है।

उदाहरण 9: दिए अनुपात 3:1 से विभाजन

$A(-1, 7)$ और $B(4, -3)$ को $3 : 1$ अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = \dfrac{3(4) + 1(-1)}{4} = \dfrac{12 - 1}{4} = \dfrac{11}{4}$।
2. $y = \dfrac{3(-3) + 1(7)}{4} = \dfrac{-9 + 7}{4} = -\dfrac{1}{2}$।

अंतिम उत्तर: $\left( \dfrac{11}{4}, -\dfrac{1}{2} \right)$।

सार: अनुपात सीधे प्रतिस्थापित करें; भिन्न उत्तर ठीक हैं।

उदाहरण 10: व्यास का केंद्र

एक वृत्त के व्यास के अंत्य बिंदु $(-2, 3)$ और $(6, -5)$ हैं। केंद्र ज्ञात कीजिए।

हल:

1. केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु है।
2. $\left( \dfrac{-2+6}{2}, \dfrac{3-5}{2} \right) = (2, -1)$।

अंतिम उत्तर: $(2, -1)$।

सार: वृत्त का केंद्र किसी भी व्यास का मध्य-बिंदु होता है।