दूरी सूत्र

दूरी सूत्र

दो बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ कितने दूर हैं? लंब डालकर एक समकोण त्रिभुज बनाएँ: क्षैतिज भुजा $(x_2 - x_1)$ और ऊर्ध्वाधर भुजा $(y_2 - y_1)$ है। पाइथागोरस प्रमेय से, दूरी कर्ण है:

$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

मुख्य बिंदु: इससे कोई अंतर नहीं पड़ता कि आप किस बिंदु को पहला कहते हैं — वर्ग करने से कोई चिह्न-समस्या हट जाती है। अतः $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] यह सूत्र अध्याय का हृदय है। पहले इसे लिखें, फिर सावधानी से प्रतिस्थापित करें — यहाँ अधिकांश अंक सही प्रतिस्थापन के लिए हैं।

मूल बिंदु से दूरी

बिंदु $P(x, y)$ की मूल बिंदु $O(0, 0)$ से दूरी एक विशेष स्थिति है जहाँ $x_1 = y_1 = 0$:

$$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$$

इसे ऐसे समझें: यह केवल दूरी सूत्र है जिसमें मूल बिंदु दूसरा बिंदु है।

मुख्य बिंदु: $OP = \sqrt{x^2 + y^2}$ — इस शॉर्टकट को याद करें; यह कई 1-अंक प्रश्नों में आता है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] उदाहरण के लिए, $(3, 4)$ की मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।

आकृतियाँ पहचानने हेतु दूरी का उपयोग

दूरियाँ हमें त्रिभुजों और चतुर्भुजों को वर्गीकृत करने देती हैं:

• समबाहु त्रिभुज: तीनों भुजाएँ बराबर।
• समद्विबाहु त्रिभुज: ठीक दो भुजाएँ बराबर।
• समकोण त्रिभुज: तीनों भुजाएँ पाइथागोरस संबंध $a^2 + b^2 = c^2$ संतुष्ट करती हैं।
• वर्ग: चारों भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण बराबर।
• समचतुर्भुज: चारों भुजाएँ बराबर, पर विकर्ण असमान।
• आयत: सम्मुख भुजाएँ बराबर और विकर्ण बराबर।
• समांतर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाएँ बराबर (विकर्ण सामान्यतः असमान)।

मुख्य बिंदु: किसी चतुर्भुज का नाम बताने के लिए, चारों भुजाएँ और दोनों विकर्ण निकालें, फिर तुलना करें।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] एक बार-बार आने वाला 3-अंक प्रश्न: 'दिखाइए कि बिंदु … वर्ग/समचतुर्भुज/समकोण त्रिभुज बनाते हैं।' सदैव भुजा और विकर्ण लंबाइयों से न्यायसंगत ठहराएँ।

दूरियों से संरेखता

तीन बिंदु $A$, $B$, $C$ संरेख होते हैं (एक सीधी रेखा पर) यदि सबसे लंबी दूरी अन्य दो के योग के बराबर हो — उदाहरण के लिए $AC = AB + BC$।

ऐसा इसलिए क्योंकि $A$ से $C$ तक $B$ के माध्यम से बिना घुमाव के यात्रा करने का एकमात्र तरीका सीधी रेखा के अनुदिश है।

मुख्य बिंदु: संरेख ⇒ एक दूरी = अन्य दो का योग। (खंड 4 में हम एक तेज़ क्षेत्रफल-आधारित जाँच देखेंगे।)

[JEE युक्ति] संरेखता हेतु दूरी विधि विश्वसनीय है पर धीमी; तीन दिए बिंदुओं के लिए शून्य-क्षेत्रफल जाँच तेज़ है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मूल दूरी

$A(1, 2)$ और $B(4, 6)$ के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2}$।
2. $= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$।

अंतिम उत्तर: $AB = 5$ इकाई।

सार: $(3, 4, 5)$ लगातार आता है — पाइथागोरस त्रिक पहचानें।

उदाहरण 2: मूल बिंदु से दूरी

$P(-6, 8)$ की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $OP = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64}$।
2. $= \sqrt{100} = 10$।

अंतिम उत्तर: 10 इकाई।

सार: $OP = \sqrt{x^2 + y^2}$ सीधे उपयोग करें।

उदाहरण 3: अज्ञात निर्देशांक ज्ञात करना

$(2, -3)$ और $(10, y)$ के बीच दूरी 10 है। $y$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\sqrt{(10-2)^2 + (y+3)^2} = 10 \Rightarrow 64 + (y+3)^2 = 100$।
2. $(y+3)^2 = 36 \Rightarrow y + 3 = \pm 6$।
3. $y = 3$ या $y = -9$।

अंतिम उत्तर: $y = 3$ या $y = -9$।

सार: दोनों ओर वर्ग करें; $\pm$ से दो उत्तर अपेक्षित।

उदाहरण 4: दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु

x-अक्ष पर $A(2, -5)$ और $B(-2, 9)$ से समदूरस्थ बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें बिंदु $P(x, 0)$ है।
2. $PA^2 = PB^2$: $(x-2)^2 + 25 = (x+2)^2 + 81$।
3. $x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81$।
4. $-8x = 56 \Rightarrow x = -7$।

अंतिम उत्तर: $(-7, 0)$।

सार: समदूरस्थ ⇒ वर्ग दूरियाँ बराबर रखें; $x^2$ पद कट जाते हैं।

उदाहरण 5: समद्विबाहु त्रिभुज

दिखाइए कि $A(5, -2)$, $B(6, 4)$, $C(7, -2)$ समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

हल:

1. $AB = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{37}$।
2. $BC = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{37}$।
3. $AC = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$।
4. $AB = BC \neq AC$।

अंतिम उत्तर: समद्विबाहु (दो बराबर भुजाएँ)।

सार: दो बराबर भुजाएँ ⇒ समद्विबाहु।

उदाहरण 6: समकोण त्रिभुज जाँच

क्या $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(0, 8)$ समकोण त्रिभुज बनाते हैं?

हल:

1. $AB = 6$, $AC = 8$, $BC = \sqrt{36 + 64} = 10$।
2. जाँचें: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = BC^2$।

अंतिम उत्तर: हाँ, $A$ पर समकोण।

सार: सबसे लंबी भुजा को कर्ण मानकर पाइथागोरस संबंध सत्यापित करें।

उदाहरण 7: दूरियों से संरेखता

क्या $A(1, 1)$, $B(3, 3)$, $C(5, 5)$ संरेख हैं?

हल:

1. $AB = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt2$; $BC = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt2$; $AC = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt2$।
2. $AB + BC = 2\sqrt2 + 2\sqrt2 = 4\sqrt2 = AC$।

अंतिम उत्तर: हाँ, संरेख।

सार: यदि एक दूरी अन्य दो के योग के बराबर हो, तो बिंदु संरेख हैं।

उदाहरण 8: समबाहु त्रिभुज

दिखाइए कि $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(2, 2\sqrt3)$ समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

हल:

1. $AB = 4$।
2. $AC = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$।
3. $BC = \sqrt{(2-4)^2 + (2\sqrt3)^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$।
4. सभी भुजाएँ 4 के बराबर।

अंतिम उत्तर: समबाहु (सभी भुजाएँ 4)।

सार: तीनों भुजाएँ बराबर ⇒ समबाहु।

उदाहरण 9: y-अक्ष पर समदूरस्थ बिंदु

y-अक्ष पर $A(6, 5)$ और $B(-4, 3)$ से समदूरस्थ बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें $P(0, y)$। तब $PA^2 = PB^2$।
2. $36 + (y-5)^2 = 16 + (y-3)^2$।
3. $36 + y^2 - 10y + 25 = 16 + y^2 - 6y + 9$।
4. $61 - 10y = 25 - 6y \Rightarrow 36 = 4y \Rightarrow y = 9$।

अंतिम उत्तर: $(0, 9)$।

सार: y-अक्ष पर बिंदु का $x = 0$; वर्ग दूरियाँ बराबर रखें।

उदाहरण 10: वृत्त की त्रिज्या

एक वृत्त का केंद्र $(2, 3)$ है और उस पर एक बिंदु $(5, 7)$ है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. त्रिज्या = केंद्र से बिंदु तक दूरी।
2. $r = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$।

अंतिम उत्तर: त्रिज्या $= 5$ इकाई।

सार: त्रिज्या केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी है।