हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह निर्देशांक ज्यामिति के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — दूरी, विभाजन और मध्य-बिंदु सूत्र, त्रिभुज का क्षेत्रफल, संरेखता, और आकृति पहचान — मोटे तौर पर सरल से कठिन।

कैसे पढ़ें: हल ढककर प्रत्येक को स्वयं हल करने का प्रयास करें, फिर चरण जाँचें। निर्देशांक ज्यामिति में, अंक पहले सूत्र लिखने और सावधानी से प्रतिस्थापित करने से मिलते हैं।

ये साथ रखें:

• दूरी: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$।
• विभाजन ($m:n$): $\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$।
• मध्य-बिंदु: $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$।
• क्षेत्रफल: $\tfrac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$।
• केंद्रक: $\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: दूरी

$(2, 3)$ और $(5, 7)$ के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$।

अंतिम उत्तर: 5 इकाई।

सार: फिर से एक $(3,4,5)$ त्रिक।

उदाहरण 2: मूल बिंदु से दूरी

$(7, 24)$ की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $d = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$।

अंतिम उत्तर: 25 इकाई।

सार: $(7, 24, 25)$ एक पाइथागोरस त्रिक है।

उदाहरण 3: मध्य-बिंदु

$(-3, 5)$ और $(7, -1)$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $M = \left(\dfrac{-3+7}{2}, \dfrac{5-1}{2}\right) = (2, 2)$।

अंतिम उत्तर: $(2, 2)$।

सार: निर्देशांकों का औसत लें।

उदाहरण 4: विभाजन सूत्र

$(2, 3)$ और $(7, 8)$ को $2 : 3$ अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = \dfrac{2(7)+3(2)}{5} = \dfrac{20}{5} = 4$।
2. $y = \dfrac{2(8)+3(3)}{5} = \dfrac{25}{5} = 5$।

अंतिम उत्तर: $(4, 5)$।

सार: अनुपात सावधानी से प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 5: त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(0, 4)$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. क्षेत्रफल $= \tfrac12|0(0-4) + 5(4-0) + 0(0-0)| = \tfrac12|20| = 10$।

अंतिम उत्तर: 10 वर्ग इकाई।

सार: अक्ष-संरेखित भुजाओं के लिए, $\tfrac12 \times 5 \times 4 = 10$ इसकी पुष्टि करता है।

उदाहरण 6: संरेखता

क्या $(1, -1)$, $(2, 1)$, $(4, 5)$ संरेख हैं?

हल:

1. व्यंजक $= 1(1-5) + 2(5+1) + 4(-1-1) = -4 + 12 - 8 = 0$।

अंतिम उत्तर: हाँ, संरेख।

सार: शून्य क्षेत्रफल ⇒ संरेख।

उदाहरण 7: केंद्रक

$(2, 4)$, $(6, 4)$, $(4, 10)$ का केंद्रक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $G = \left(\dfrac{2+6+4}{3}, \dfrac{4+4+10}{3}\right) = (4, 6)$।

अंतिम उत्तर: $(4, 6)$।

सार: निर्देशांक योगों को 3 से भाग दें।

उदाहरण 8: दूरी से अज्ञात निर्देशांक

$(3, y)$ और $(3, 7)$ के बीच दूरी 5 है। $y$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. समान x, अतः $|y - 7| = 5 \Rightarrow y - 7 = \pm 5$।
2. $y = 12$ या $y = 2$।

अंतिम उत्तर: $y = 12$ या $y = 2$।

सार: बराबर x-निर्देशांक ⇒ दूरी केवल y-अंतर है।

उदाहरण 9: समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष

$A(1, 1)$, $B(2, 3)$, $C(5, 4)$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के तीन शीर्ष हैं। $D$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AC$ का मध्य-बिंदु = $BD$ का मध्य-बिंदु।
2. $AC$ का मध्य-बिंदु $= (3, 2.5)$।
3. $\dfrac{2+x}{2} = 3 \Rightarrow x = 4$; $\dfrac{3+y}{2} = 2.5 \Rightarrow y = 2$।

अंतिम उत्तर: $D = (4, 2)$।

सार: विकर्ण मध्य-बिंदु बराबर रखें।

उदाहरण 10: किसी बिंदु द्वारा विभाजन का अनुपात

$(4, 5)$, $(2, 3)$ और $(7, 8)$ को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

1. x पर अनुपात $k : 1$ मानें: $4 = \dfrac{7k + 2}{k+1} \Rightarrow 4k + 4 = 7k + 2 \Rightarrow 3k = 2 \Rightarrow k = \dfrac{2}{3}$।
2. अनुपात $= 2 : 3$।

अंतिम उत्तर: $2 : 3$।

सार: एक निर्देशांक पर $k:1$ उपयोग करें, फिर अनुपात पढ़ें।

उदाहरण 11: समद्विबाहु त्रिभुज

दिखाइए कि $(0, 5)$, $(-3, 1)$, $(3, 1)$ समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

हल:

1. $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$; $AC = \sqrt{9 + 16} = 5$; $BC = \sqrt{36 + 0} = 6$।
2. $AB = AC = 5 \neq BC$।

अंतिम उत्तर: समद्विबाहु।

सार: दो बराबर भुजाएँ ⇒ समद्विबाहु।

उदाहरण 12: त्रिविभाजन के बिंदु

$(3, -2)$ और $(-3, -4)$ को मिलाने वाले खंड के त्रिविभाजन बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $P$ ($1:2$): $\left(\dfrac{1(-3)+2(3)}{3}, \dfrac{1(-4)+2(-2)}{3}\right) = (1, -\tfrac83)$।
2. $Q$ ($2:1$): $\left(\dfrac{2(-3)+1(3)}{3}, \dfrac{2(-4)+1(-2)}{3}\right) = (-1, -\tfrac{10}{3})$।

अंतिम उत्तर: $(1, -\tfrac83)$ और $(-1, -\tfrac{10}{3})$।

सार: अनुपात $1:2$ और $2:1$।

उदाहरण 13: समकोण त्रिभुज जाँच

क्या $(2, 1)$, $(5, 1)$, $(2, 5)$ समकोण त्रिभुज बनाते हैं?

हल:

1. $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = \sqrt{9 + 16} = 5$।
2. $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$।

अंतिम उत्तर: हाँ, $(2, 1)$ पर समकोण।

सार: सबसे लंबी भुजा के साथ पाइथागोरस जाँचें।

उदाहरण 14: संरेखता हेतु k ज्ञात करें

$k$ ज्ञात कीजिए यदि $(7, -2)$, $(5, 1)$, $(3, k)$ संरेख हैं।

हल:

1. $7(1-k) + 5(k+2) + 3(-2-1) = 0$।
2. $7 - 7k + 5k + 10 - 9 = 0 \Rightarrow -2k + 8 = 0 \Rightarrow k = 4$।

अंतिम उत्तर: $k = 4$।

सार: क्षेत्रफल व्यंजक को 0 रखें और हल करें।

उदाहरण 15: y-अक्ष पर समदूरस्थ बिंदु

y-अक्ष पर $(5, -2)$ और $(-3, 2)$ से समदूरस्थ बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें $P(0, y)$: $25 + (y+2)^2 = 9 + (y-2)^2$।
2. $25 + y^2 + 4y + 4 = 9 + y^2 - 4y + 4$।
3. $29 + 4y = 13 - 4y \Rightarrow 8y = -16 \Rightarrow y = -2$।

अंतिम उत्तर: $(0, -2)$।

सार: $x = 0$ के साथ वर्ग दूरियाँ बराबर रखें।

उदाहरण 16: व्यास का केंद्र

एक व्यास के अंत्य बिंदु $(3, 4)$ और $(-1, -2)$ हैं। केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. केंद्र = मध्य-बिंदु $= (1, 1)$।
2. त्रिज्या = केंद्र से $(3, 4)$ तक दूरी $= \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$।

अंतिम उत्तर: केंद्र $(1, 1)$, त्रिज्या $\sqrt{13}$।

सार: केंद्र मध्य-बिंदु है; त्रिज्या केंद्र-से-अंत्य बिंदु दूरी है।

उदाहरण 17: x-अक्ष द्वारा विभाजन

x-अक्ष $(2, -3)$ और $(5, 6)$ को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

1. x-अक्ष पर $y = 0$; अनुपात $k:1$: $0 = \dfrac{6k - 3}{k+1} \Rightarrow 6k = 3 \Rightarrow k = \tfrac12$।
2. अनुपात $= 1 : 2$।

अंतिम उत्तर: $1 : 2$।

सार: यह जानने हेतु कि x-अक्ष खंड को कहाँ काटता है, $y = 0$ रखें।

उदाहरण 18: वर्ग सत्यापन

दिखाइए कि $(0, 0)$, $(3, 4)$, $(7, 1)$, $(4, -3)$ वर्ग बनाते हैं।

हल:

1. $AB = \sqrt{9+16} = 5$; $BC = \sqrt{16+9} = 5$; $CD = \sqrt{9+16} = 5$; $DA = \sqrt{16+9} = 5$।
2. विकर्ण: $AC = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$; $BD = \sqrt{1+49} = \sqrt{50}$ — बराबर।
3. सभी भुजाएँ बराबर + बराबर विकर्ण ⇒ वर्ग।

अंतिम उत्तर: वर्ग।

सार: भुजाएँ बराबर और विकर्ण बराबर वर्ग को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 19: दो सामान्य बिंदुओं के बीच दूरी

$(a, b)$ और $(-a, -b)$ के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $d = \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = 2\sqrt{a^2 + b^2}$।

अंतिम उत्तर: $2\sqrt{a^2 + b^2}$।

सार: मूल बिंदु के विपरीत बिंदु $2\sqrt{a^2+b^2}$ दूर होते हैं।

उदाहरण 20: केंद्रक से तीसरा शीर्ष

एक त्रिभुज का केंद्रक $(0, 0)$ है और दो शीर्ष $(2, 3)$ और $(-4, 1)$ हैं। तीसरा ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{2 - 4 + x}{3} = 0 \Rightarrow x = 2$।
2. $\dfrac{3 + 1 + y}{3} = 0 \Rightarrow y = -4$।

अंतिम उत्तर: $(2, -4)$।

सार: जब केंद्रक मूल बिंदु हो, निर्देशांकों का योग 0 होना चाहिए।

उदाहरण 21: चतुर्भुज का क्षेत्रफल

चतुर्भुज $A(1, 1)$, $B(7, -3)$, $C(12, 2)$, $D(7, 21)$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\triangle ABC = \tfrac12|1(-3-2) + 7(2-1) + 12(1+3)| = \tfrac12|{-5 + 7 + 48}| = \tfrac{50}{2} = 25$।
2. $\triangle ACD = \tfrac12|1(2-21) + 12(21-1) + 7(1-2)| = \tfrac12|{-19 + 240 - 7}| = \tfrac{214}{2} = 107$।
3. कुल $= 25 + 107 = 132$।

अंतिम उत्तर: 132 वर्ग इकाई।

सार: $AC$ के अनुदिश बाँटें और दोनों त्रिभुज क्षेत्रफल जोड़ें।

उदाहरण 22: विभाजन सूत्र से

यदि $(x, 2)$, $(1, 4)$ और $(5, -4)$ को मिलाने वाले खंड को विभाजित करता है, तो $x$ और अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. y पर: $2 = \dfrac{-4k + 4}{k+1} \Rightarrow 2k + 2 = -4k + 4 \Rightarrow 6k = 2 \Rightarrow k = \tfrac13$।
2. अनुपात $1:3$; $x = \dfrac{1(5)+3(1)}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, अनुपात $1 : 3$।

सार: ज्ञात निर्देशांक से $k$ ज्ञात करें, फिर दूसरा निर्देशांक।

उदाहरण 23: समबाहु त्रिभुज भुजा

वह संबंध ज्ञात कीजिए ताकि $(0, 0)$, $(3, \sqrt3)$, और $(a, b)$ समबाहु त्रिभुज बनाएँ जिसमें पहले दो एक भुजा हों।

हल:

1. भुजा $AB = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt3$।
2. तीसरा शीर्ष $A$ और $B$ दोनों से समदूरस्थ ($2\sqrt3$) है।
3. ऐसा एक बिंदु: जैसे $(0, 2\sqrt3)$ देता है $OA' = 2\sqrt3$ और जाँचें $BA' = \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt3$। मान्य।

अंतिम उत्तर: $(0, 2\sqrt3)$ एक मान्य तीसरा शीर्ष है।

सार: समबाहु त्रिभुज का तीसरा शीर्ष दोनों अंत्य बिंदुओं से भुजा-लंबाई के बराबर समदूरस्थ होता है।

उदाहरण 24: अंत्य बिंदु ज्ञात करने हेतु मध्य-बिंदु

यदि $(2, -1)$, $(x, 3)$ और $(6, y)$ को मिलाने वाले खंड का मध्य-बिंदु है, तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{x + 6}{2} = 2 \Rightarrow x = -2$।
2. $\dfrac{3 + y}{2} = -1 \Rightarrow y = -5$।

अंतिम उत्तर: $x = -2$, $y = -5$।

सार: प्रत्येक मध्य-बिंदु समीकरण अलग हल करें।

उदाहरण 25: रेखा पर बिंदुओं के बीच दूरी

$(1, 2)$ और $(4, 6)$ के बीच दूरी, और मध्य-बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूरी $= \sqrt{9 + 16} = 5$।
2. मध्य-बिंदु $= \left(\dfrac{5}{2}, 4\right)$।

अंतिम उत्तर: दूरी 5; मध्य-बिंदु $(2.5, 4)$।

सार: दो सूत्र, बिंदुओं का एक युग्म।

उदाहरण 26: अपह्रासी त्रिभुज जाँचने हेतु क्षेत्रफल

त्रिभुज $(a, b+c)$, $(b, c+a)$, $(c, a+b)$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. क्षेत्रफल $= \tfrac12|a((c+a)-(a+b)) + b((a+b)-(b+c)) + c((b+c)-(c+a))|$।
2. $= \tfrac12|a(c-b) + b(a-c) + c(b-a)| = \tfrac12|ac - ab + ab - bc + bc - ac| = 0$।

अंतिम उत्तर: 0 — बिंदु संरेख हैं।

सार: एक प्रसिद्ध सर्वसमिका: ये तीनों बिंदु सदैव संरेख होते हैं।

उदाहरण 27: आयत सत्यापन

दिखाइए कि $(2, -2)$, $(8, 4)$, $(5, 7)$, $(-1, 1)$ आयत बनाते हैं।

हल:

1. $AB = \sqrt{36+36} = \sqrt{72}$; $BC = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$; $CD = \sqrt{36+36} = \sqrt{72}$; $DA = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$ ⇒ सम्मुख भुजाएँ बराबर।
2. विकर्ण: $AC = \sqrt{9+81} = \sqrt{90}$; $BD = \sqrt{81+9} = \sqrt{90}$ ⇒ बराबर।
3. समांतर चतुर्भुज + बराबर विकर्ण ⇒ आयत।

अंतिम उत्तर: आयत।

सार: सम्मुख भुजाएँ बराबर और बराबर विकर्ण ⇒ आयत।

उदाहरण 28: प्राचल का उपयोग कर दूरी

यदि बिंदु $(x, y)$, $(7, 1)$ और $(3, 5)$ से समदूरस्थ है, तो $x$ और $y$ के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $(x-7)^2 + (y-1)^2 = (x-3)^2 + (y-5)^2$।
2. $-14x + 49 - 2y + 1 = -6x + 9 - 10y + 25$।
3. $-14x - 2y + 50 = -6x - 10y + 34 \Rightarrow -8x + 8y + 16 = 0 \Rightarrow x - y = 2$।

अंतिम उत्तर: $x - y = 2$।

सार: समदूरस्थता लंब समद्विभाजक का समीकरण देती है।

उदाहरण 29: केंद्रक और क्षेत्रफल एक साथ

त्रिभुज $(1, 1)$, $(4, 1)$, $(1, 5)$ का केंद्रक और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. केंद्रक $= \left(\dfrac{1+4+1}{3}, \dfrac{1+1+5}{3}\right) = (2, \tfrac73)$।
2. क्षेत्रफल $= \tfrac12|1(1-5) + 4(5-1) + 1(1-1)| = \tfrac12|{-4 + 16 + 0}| = 6$।

अंतिम उत्तर: केंद्रक $(2, \tfrac73)$; क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई।

सार: समान शीर्षों से दो स्वतंत्र गणनाएँ।

उदाहरण 30: y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है

y-अक्ष $(-4, 7)$ और $(8, -5)$ को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है, और विभाजन बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. y-अक्ष पर $x = 0$; अनुपात $k:1$: $0 = \dfrac{8k - 4}{k+1} \Rightarrow 8k = 4 \Rightarrow k = \tfrac12$।
2. अनुपात $1 : 2$; $y = \dfrac{1(-5) + 2(7)}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$।

अंतिम उत्तर: अनुपात $1 : 2$; बिंदु $(0, 3)$।

सार: $x = 0$ पर $k$ हल करें, फिर y-निर्देशांक ज्ञात करें।

उदाहरण 31: बड़ी क्षेत्रफल समस्या

शीर्ष $(-5, -1)$, $(3, -5)$, $(5, 2)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. क्षेत्रफल $= \tfrac12|{-5(-5-2) + 3(2+1) + 5(-1+5)}|$।
2. $= \tfrac12|35 + 9 + 20| = \tfrac12(64) = 32$।

अंतिम उत्तर: 32 वर्ग इकाई।

सार: सावधानी से प्रतिस्थापित करें; निरपेक्ष मान क्षेत्रफल को धनात्मक रखता है।