समांतर क्रम में प्रतिरोधक

जब प्रतिरोधक समान दो बिंदुओं के बीच जुड़ें (जिससे प्रत्येक की अपनी शाखा हो), तो वे समांतर क्रम में जुड़े कहलाते हैं।

बैटरी के आर-पार पार्श्वक्रम में जुड़े तीन प्रतिरोधक

आरेख के अंग्रेज़ी लेबलों के हिन्दी अर्थ:

English (in image)	हिन्दी
Battery	बैटरी
Resistor R1	प्रतिरोधक R1
Resistor R2	प्रतिरोधक R2
Resistor R3	प्रतिरोधक R3
branch currents I1, I2, I3	शाखा धाराएँ I1, I2, I3
same voltage V	समान विभवांतर V
Parallel combination	समांतर संयोजन

समांतर संयोजन के दो मुख्य तथ्य:

प्रत्येक प्रतिरोधक पर समान विभवांतर $V$ होता है (वे सभी समान दो बिंदुओं के आर-पार हैं)।
कुल धारा $I$ अलग-अलग शाखाओं की धाराओं का योग होती है:

$I = I_1 + I_2 + I_3$

समांतर में तुल्य प्रतिरोध

मान लें $R_p$ तुल्य प्रतिरोध है। पूरे संयोजन तथा प्रत्येक शाखा पर ओम का नियम लगाने पर:

$I = \frac{V}{R_p}, \qquad I_1 = \frac{V}{R_1},\quad I_2 = \frac{V}{R_2},\quad I_3 = \frac{V}{R_3}$

चूँकि $I = I_1 + I_2 + I_3$ :

$\frac{V}{R_p} = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} + \frac{V}{R_3}$

$\boxed{\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$

तुल्य समांतर प्रतिरोध का व्युत्क्रम व्युत्क्रमों का योग है। अतः $R_p$ सबसे छोटे व्यक्तिगत प्रतिरोध से भी छोटा होता है।

घरों में समांतर परिपथ क्यों प्रयुक्त होते हैं

घरेलू वायरिंग में समांतर संयोजन इसलिए प्रयुक्त होता है क्योंकि:

प्रत्येक उपकरण को पूरी आपूर्ति वोल्टता (जैसे 220 V) मिलती है, अतः भिन्न धाराओं वाले सभी उपकरण ठीक से काम करते हैं।
यदि एक उपकरण विफल हो या बंद कर दिया जाए, तो अन्य काम करते रहते हैं (परिपथ नहीं टूटता)।
कुल प्रतिरोध घटता है, अतः उपकरणों के लिए अधिक धारा उपलब्ध होती है।

मुख्य बिंदु: समांतर → समान वोल्टता, धाराएँ जुड़ती हैं, $\dfrac{1}{R_p}$ व्युत्क्रमों का योग है ( $R_p$ सबसे छोटा)।

[परीक्षा युक्ति] समांतर में दो प्रतिरोधकों के लिए सरल सूत्र: $R_p = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: समांतर में तीन प्रतिरोधक (NCERT 11.8)

R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 30 Ω, 12 V बैटरी से समांतर में जुड़े हैं। ज्ञात कीजिए (क) प्रत्येक में धारा, (ख) कुल धारा, (ग) कुल प्रतिरोध।

हल: प्रत्येक पर 12 V है। $I_1 = 12/5 = 2.4\ \text{A}$ , $I_2 = 12/10 = 1.2\ \text{A}$ , $I_3 = 12/30 = 0.4\ \text{A}$ । (ख) $I = 2.4 + 1.2 + 0.4 = 4\ \text{A}$ । (ग) $\dfrac{1}{R_p} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{3}$ , अतः $R_p = 3\ \Omega$ ।

उदाहरण 2: समांतर में दो प्रतिरोधक

समांतर में 6 Ω व 3 Ω का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात कीजिए।

हल: $R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\ \Omega$

उदाहरण 3: श्रेणी-समांतर संयोजन (NCERT 11.9)

R1 = 10 Ω, R2 = 40 Ω समांतर में; R3 = 30 Ω, R4 = 20 Ω, R5 = 60 Ω समांतर में; दोनों समूह 12 V के आर-पार श्रेणी में। कुल प्रतिरोध व कुल धारा ज्ञात कीजिए।

हल: समूह 1: $1/R' = 1/10 + 1/40 = 5/40$ , अतः $R' = 8\ \Omega$ । समूह 2: $1/R'' = 1/30 + 1/20 + 1/60 = 6/60$ , अतः $R'' = 10\ \Omega$ । कुल $R = R' + R'' = 18\ \Omega$ ; $I = V/R = 12/18 = 0.67\ \text{A}$ ।

उदाहरण 4: लक्षित प्रतिरोध प्राप्त करना (NCERT अभ्यास प्र.11)

तीन 6 Ω प्रतिरोधकों को कैसे जोड़ें ताकि (i) 9 Ω, (ii) 4 Ω मिले?

हल: (i) दो को समांतर में ( $6\parallel6 = 3\ \Omega$ ) और इसे तीसरे के साथ श्रेणी में: $3 + 6 = 9\ \Omega$ । (ii) दो को श्रेणी में ( $6 + 6 = 12\ \Omega$ ) और इसे तीसरे के साथ समांतर में: $\dfrac{12 \times 6}{12 + 6} = 4\ \Omega$ ।

विद्युत

समांतर क्रम में प्रतिरोधक