AP का nवाँ पद

nवें पद का सूत्र

AP को पद-दर-पद लिखना कुछ पदों के लिए ठीक है, परंतु यदि आपको 100वाँ पद चाहिए तो? इसके लिए एक सीधा सूत्र है।

प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ वाली AP का nवाँ पद (जिसे व्यापक पद भी कहते हैं) है:

$$a_n = a + (n - 1)d$$

यहाँ $n$ उस पद की स्थिति है जो आप चाहते हैं।

यह क्यों काम करता है

1ला पद $a$ है, 2रा $a + d$, 3रा $a + 2d$ — ध्यान दें प्रत्येक पद अपनी स्थिति संख्या से एक बार कम $d$ जोड़ता है। अतः $n$वाँ पद ठीक $(n-1)$ बार $d$ जोड़ता है।

मुख्य बिंदु: $a_n = a + (n-1)d$। सावधान रहें — $d$ के साथ $(n-1)$ गुणा होता है, $n$ नहीं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] सबसे सामान्य भूल $(n-1)d$ के स्थान पर $nd$ का उपयोग है। सदैव स्थिति में से पहले 1 घटाएँ।

किसी विशेष पद को ज्ञात करना

किसी विशिष्ट पद को ज्ञात करने हेतु, बस $a$, $d$, और $n$ के मान प्रतिस्थापित करें।

हल किया गया उदाहरण: $2, 7, 12, \dots$ का 10वाँ पद

• $a = 2$, $d = 5$, $n = 10$।
• $a_{10} = 2 + (10 - 1)(5) = 2 + 45 = 47$।

कोई पद दिए होने पर $a$ या $d$ ज्ञात करना

यदि आप एक पद और $a$ या $d$ में से एक जानते हैं, तो सूत्र दूसरा दे देता है। दो दिए पदों के लिए, आपको $a$ और $d$ हल करने हेतु दो समीकरण मिलते हैं।

मुख्य बिंदु: सूत्र चार राशियों $a, d, n, a_n$ को जोड़ता है। किन्हीं तीन दिए होने पर, आप चौथी ज्ञात कर सकते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] जब दो पद दिए हों (माना $a_3 = 5$ और $a_7 = 17$), तो $a$ का विलोपन करने हेतु घटाएँ: $a_7 - a_3 = 4d$, जो तुरंत $d$ देता है।

कौन-सा पद दिए मान के बराबर है?

एक सामान्य प्रश्न: 'AP का कौन-सा पद (कोई संख्या) के बराबर है?' $a_n$ को उस संख्या के बराबर रखें और $n$ के लिए हल करें।

हल किया गया उदाहरण

$21, 18, 15, \dots$ का कौन-सा पद $-81$ है? यहाँ $a = 21$, $d = -3$। $$a_n = 21 + (n-1)(-3) = -81 \Rightarrow 24 - 3n = -81 \Rightarrow n = 35.$$ अतः $-81$ 35वाँ पद है।

मुख्य बिंदु: यदि हल करने पर धनात्मक पूर्ण संख्या $n$ मिले, तो वह मान एक पद ($n$वाँ) है। यदि $n$ पूर्ण संख्या न हो, तो वह मान AP का पद नहीं है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'क्या 301, $5, 11, 17, \dots$ का पद है?' $5 + (n-1)6 = 301$ हल करें। यदि $n$ भिन्नात्मक आए, तो उत्तर 'नहीं, पद नहीं' है।

अंत से nवाँ पद

अंतिम पद $l$ वाली सांत AP के लिए, अंत से गिना गया $n$वाँ पद, अंतिम पद को नया प्रथम पद मानकर और $-d$ को सार्व अंतर मानकर ज्ञात किया जाता है:

$$\text{अंत से nवाँ पद} = l - (n - 1)d$$

उदाहरण

AP $3, 8, 13, \dots, 253$ में $d = 5$ है। अंत से इसका 3रा पद $253 - (3-1)(5) = 253 - 10 = 243$ है।

मुख्य बिंदु: अंत से, सार्व अंतर प्रभावी रूप से $-d$ बन जाता है, अतः अंतिम पद $l$ में से $(n-1)d$ घटाएँ।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] वैकल्पिक रूप से, आप पदों की कुल संख्या ज्ञात कर आरंभ से स्थिति में बदल सकते हैं — परंतु सूत्र $l - (n-1)d$ तेज़ है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 10वाँ पद ज्ञात करना

AP $2, 7, 12, \dots$ का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 2$, $d = 5$, $n = 10$।
2. $a_{10} = 2 + 9(5) = 47$।

अंतिम उत्तर: 47।

सार: $a_n = a + (n-1)d$ में प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 2: कौन-सा पद $-81$ है?

$21, 18, 15, \dots$ का कौन-सा पद $-81$ है?

हल:

1. $a = 21$, $d = -3$। $a_n = -81$ रखें: $21 + (n-1)(-3) = -81$।
2. $24 - 3n = -81 \Rightarrow 3n = 105 \Rightarrow n = 35$।

अंतिम उत्तर: 35वाँ पद।

सार: $a_n$ को मान के बराबर रखकर $n$ हल करें।

उदाहरण 3: दो पदों से AP ज्ञात करना

एक AP का 3रा पद 5 और 7वाँ पद 9 है। AP ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a + 2d = 5$ और $a + 6d = 9$।
2. घटाएँ: $4d = 4 \Rightarrow d = 1$; फिर $a = 3$।
3. AP: $3, 4, 5, 6, \dots$

अंतिम उत्तर: $3, 4, 5, 6, \dots$

सार: दो पद दो समीकरण देते हैं; $d$ ज्ञात करने हेतु घटाएँ।

उदाहरण 4: क्या 301 एक पद है?

क्या 301, $5, 11, 17, 23, \dots$ का पद है?

हल:

1. $a = 5$, $d = 6$। $5 + (n-1)6 = 301$ रखें।
2. $6n - 1 = 301 \Rightarrow 6n = 302 \Rightarrow n = \dfrac{151}{3}$, पूर्ण संख्या नहीं।

अंतिम उत्तर: नहीं, 301 पद नहीं है।

सार: अपूर्णांक $n$ का अर्थ है मान AP में नहीं है।

उदाहरण 5: अंत से nवाँ पद

AP $10, 7, 4, \dots, -62$ के अंतिम पद से 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $l = -62$, $d = -3$। अंत से nवाँ पद $= l - (n-1)d$।
2. $= -62 - (11 - 1)(-3) = -62 + 30 = -32$।

अंतिम उत्तर: $-32$।

सार: अंत से, $l - (n-1)d$ उपयोग करें (यहाँ $d = -3$)।

उदाहरण 6: 3 से विभाज्य दो-अंकीय संख्याएँ

3 से विभाज्य कितनी दो-अंकीय संख्याएँ हैं?

हल:

1. वे AP $12, 15, 18, \dots, 99$ बनाती हैं जहाँ $a = 12$, $d = 3$, $l = 99$।
2. $99 = 12 + (n-1)3 \Rightarrow 87 = 3(n-1) \Rightarrow n - 1 = 29 \Rightarrow n = 30$।

अंतिम उत्तर: 30 संख्याएँ।

सार: $l = a + (n-1)d$ को $n$ के लिए हल कर पद गिनें।

उदाहरण 7: दो पदों से $d$ ज्ञात करना

यदि किसी AP में $a_5 = 19$ और $a_{12} = 47$, तो $a$ और $d$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a + 4d = 19$ और $a + 11d = 47$।
2. घटाएँ: $7d = 28 \Rightarrow d = 4$; फिर $a = 19 - 16 = 3$।

अंतिम उत्तर: $a = 3$, $d = 4$।

सार: $a_{12} - a_5 = 7d$ तुरंत $d$ देता है।

उदाहरण 8: $d$ का उपयोग कर बाद का पद ज्ञात करना

एक AP का 6वाँ पद 12 और सार्व अंतर 2 है। 15वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_6 = a + 5d = 12$ जहाँ $d = 2$: $a + 10 = 12 \Rightarrow a = 2$।
2. $a_{15} = 2 + 14(2) = 30$।

अंतिम उत्तर: 30।

सार: पहले $a$ ज्ञात करें, फिर अभीष्ट $n$ प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 9: दो दिए पदों से $d$ ज्ञात करना

एक AP में, 3रा पद 6 और 7वाँ पद 24 है। सार्व अंतर $d$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_3 = a + 2d = 6$; $a_7 = a + 6d = 24$।
2. घटाएँ: $4d = 18 \Rightarrow d = 4.5$।

अंतिम उत्तर: $d = 4.5$।

सार: दो पद-समीकरण घटाने पर सदैव $d$ देते हैं।

उदाहरण 10: पहला ऋणात्मक पद

AP $30, 27, 24, \dots$ का पहला ऋणात्मक पद कौन-सा है?

हल:

1. $a = 30$, $d = -3$। हमें $a_n < 0$ चाहिए: $30 + (n-1)(-3) < 0$।
2. $33 - 3n < 0 \Rightarrow n > 11$। अतः पहला पूर्णांक $n = 12$ है।
3. $a_{12} = 30 + 11(-3) = -3$।

अंतिम उत्तर: 12वाँ पद, $-3$ के बराबर।

सार: असमिका $a_n < 0$ बनाएँ और सबसे छोटा पूर्णांक $n$ लें।