AP के प्रथम n पदों का योग

योग सूत्र

AP के अनेक पदों को एक-एक कर जोड़ना धीमा है। एक सुंदर शॉर्टकट है। AP के प्रथम $n$ पदों का योग, जिसे $S_n$ लिखते हैं, है:

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2a + (n - 1)d\right]$$

जहाँ $a$ प्रथम पद, $d$ सार्व अंतर, और $n$ पदों की संख्या है।

इसके पीछे की कहानी

किंवदंती है कि युवा गणितज्ञ गाउस ने $1 + 2 + \dots + 100$ को प्रथम और अंतिम पदों को जोड़ी बनाकर तुरंत जोड़ दिया। प्रत्येक जोड़ी का योग समान मान होता है, और यही विचार सूत्र देता है।

मुख्य बिंदु: $S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$। आपको $a$, $d$, और $n$ चाहिए।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $S_n$ ($n$ पदों का योग) को $a_n$ ($n$वें पद) से भ्रमित न करें। $S_n$, $n$वें पद तक के सभी पद जोड़ता है।

वैकल्पिक योग सूत्र

जब अंतिम पद $l$ ज्ञात हो, तो एक सरल रूप है:

$$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$$

यह कहता है: योग पदों की संख्या गुणा प्रथम और अंतिम पद के औसत के बराबर है।

यह वही क्यों है

चूँकि $l = a_n = a + (n-1)d$, इसे $\dfrac{n}{2}(a + l)$ में प्रतिस्थापित करने पर पहला सूत्र पुनः मिलता है।

हल किया गया उदाहरण

$1 + 2 + 3 + \dots + 100$ ज्ञात करें: यहाँ $a = 1$, $l = 100$, $n = 100$। $$S_{100} = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50 \times 101 = 5050.$$

मुख्य बिंदु: जब अंतिम पद दिया हो तो $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$ उपयोग करें; जब $d$ दिया हो तो $S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'प्रथम + अंतिम' औसत सूत्र तब सबसे तेज़ है जब आप अंतिम पद जानते हैं — एक वास्तविक समय-बचत।

योग से कोई पद ज्ञात करना

योगों और पदों के बीच एक सुंदर संबंध है:

$$a_n = S_n - S_{n-1}$$

अर्थात्, $n$वाँ पद प्रथम $n$ पदों के योग में से प्रथम $(n-1)$ पदों के योग को घटाने पर मिलता है।

जब $S_n$ सूत्र के रूप में दिया हो

यदि कोई समस्या $S_n = 3n^2 + 5n$ देती है, तो:

• $S_1 = a_1 = 8$ (प्रथम पद)।
• $a_n = S_n - S_{n-1}$ व्यापक पद देता है, और $d$ निकलता है।

मुख्य बिंदु: $a_n = S_n - S_{n-1}$ आपको योग सूत्र से सीधे पद (और $a$, $d$) पुनः प्राप्त करने देता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यदि $S_n$, $n$ में द्विघात हो (जैसे $3n^2 + 5n$), तो सूची स्वतः एक AP होती है, और गुणांक पैटर्न आपको $a$ और $d$ बताता है।

योग से पदों की संख्या ज्ञात करना

प्रायः कोई समस्या योग देती है और पूछती है कि कितने पद उसे बनाते हैं। $S_n$ को दिए योग के बराबर रखें — इससे हल करने हेतु एक $n$ में द्विघात मिलता है।

हल किया गया उदाहरण

$24, 21, 18, \dots$ के कितने पद 78 का योग देते हैं? यहाँ $a = 24$, $d = -3$। $$\frac{n}{2}[48 + (n-1)(-3)] = 78 \Rightarrow n(51 - 3n) = 156 \Rightarrow 3n^2 - 51n + 156 = 0 \Rightarrow n^2 - 17n + 52 = 0.$$ गुणनखंडन: $(n - 4)(n - 13) = 0$, अतः $n = 4$ या $n = 13$। दोनों मान्य हो सकते हैं (AP ऋणात्मक हो जाती है और बाद के पद रद्द हो जाते हैं)।

मुख्य बिंदु: $S_n$ को किसी मान के बराबर रखने पर $n$ में द्विघात मिलता है। कभी-कभी $n$ के दोनों मान काम करते हैं — सावधानी से व्याख्या करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] किसी भी अऋणात्मक या अपूर्णांक $n$ को त्यागें। यदि दोनों मूल मान्य धनात्मक पूर्णांक हों, तो दोनों बताएँ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: $a$, $d$, $n$ से योग

$8, 3, -2, \dots$ के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 8$, $d = -5$, $n = 22$।
2. $S_{22} = \dfrac{22}{2}[16 + 21(-5)] = 11[16 - 105] = 11(-89) = -979$।

अंतिम उत्तर: $-979$।

सार: $S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ को चिह्नों सहित सावधानी से लगाएँ।

उदाहरण 2: प्रथम और अंतिम से योग

$1 + 2 + 3 + \dots + 100$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 1$, $l = 100$, $n = 100$।
2. $S_{100} = \dfrac{100}{2}(1 + 100) = 50 \times 101 = 5050$।

अंतिम उत्तर: 5050।

सार: अंतिम पद ज्ञात होने पर $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$ सबसे तेज़ है।

उदाहरण 3: प्रथम 1000 धनात्मक पूर्णांकों का योग

प्रथम 1000 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 1$, $l = 1000$, $n = 1000$।
2. $S = \dfrac{1000}{2}(1 + 1000) = 500 \times 1001 = 500500$।

अंतिम उत्तर: 500500।

सार: वही औसत-आधारित सूत्र किसी भी परास तक काम करता है।

उदाहरण 4: कितने पद योग देते हैं?

$24, 21, 18, \dots$ के कितने पद 78 का योग देने हेतु आवश्यक हैं?

हल:

1. $a = 24$, $d = -3$। $\dfrac{n}{2}[48 + (n-1)(-3)] = 78$।
2. $n(51 - 3n) = 156 \Rightarrow 3n^2 - 51n + 156 = 0 \Rightarrow n^2 - 17n + 52 = 0$।
3. $(n - 4)(n - 13) = 0 \Rightarrow n = 4$ या $13$।

अंतिम उत्तर: 4 या 13 पद।

सार: $S_n = 78$ रखने पर द्विघात मिलता है; यहाँ दोनों धनात्मक मूल मान्य हैं।

उदाहरण 5: प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग

प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग $n$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 1$, $l = n$, पदों की संख्या $= n$।
2. $S_n = \dfrac{n}{2}(1 + n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{n(n+1)}{2}$।

सार: प्रसिद्ध सूत्र $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$।

उदाहरण 6: $S_n$ से $a_n$ ज्ञात करना

यदि $S_n = 3n^2 + 5n$, तो $n$वाँ पद और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 5n) - [3(n-1)^2 + 5(n-1)]$।
2. $= 3n^2 + 5n - (3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5) = 6n + 2$।
3. $a_1 = 8$, $a_2 = 14$, अतः $d = 6$।

अंतिम उत्तर: $a_n = 6n + 2$, $d = 6$।

सार: $a_n = S_n - S_{n-1}$ पद सूत्र पुनः प्राप्त करता है।

उदाहरण 7: प्रथम 20 विषम संख्याओं का योग

प्रथम 20 विषम प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. AP $1, 3, 5, \dots$: $a = 1$, $d = 2$, $n = 20$।
2. $S_{20} = \dfrac{20}{2}[2 + 19(2)] = 10[2 + 38] = 10(40) = 400$।

अंतिम उत्तर: 400।

सार: प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ होता है (यहाँ $20^2 = 400$)।

उदाहरण 8: दिए योग हेतु $n$ ज्ञात करना (एक मूल)

AP $9, 17, 25, \dots$ के कितने पद 636 का योग देने हेतु लिए जाने चाहिए?

हल:

1. $a = 9$, $d = 8$। $\dfrac{n}{2}[18 + (n-1)8] = 636$।
2. $n(8n + 10) = 1272 \Rightarrow 8n^2 + 10n - 1272 = 0 \Rightarrow 4n^2 + 5n - 636 = 0$।
3. $(4n + 53)(n - 12) = 0 \Rightarrow n = 12$ (ऋणात्मक मूल अस्वीकार)।

अंतिम उत्तर: 12 पद।

सार: ऋणात्मक/अपूर्णांक मूल त्यागें; केवल $n = 12$ स्वीकार्य है।

उदाहरण 9: दो शर्तों सहित योग

यदि किसी AP के प्रथम 14 पदों का योग 1050 और प्रथम पद 10 है, तो 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $S_{14} = \dfrac{14}{2}[2(10) + 13d] = 7[20 + 13d] = 1050 \Rightarrow 20 + 13d = 150 \Rightarrow d = 10$।
2. $a_{20} = 10 + 19(10) = 200$।

अंतिम उत्तर: $a_{20} = 200$।

सार: $d$ ज्ञात करने हेतु योग उपयोग करें, फिर nवें-पद सूत्र।

उदाहरण 10: गुणजों का योग

1 और 100 के बीच स्थित 7 के सभी गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. गुणज: $7, 14, \dots, 98$। यहाँ $a = 7$, $d = 7$, $l = 98$।
2. पदों की संख्या: $98 = 7 + (n-1)7 \Rightarrow n = 14$।
3. $S_{14} = \dfrac{14}{2}(7 + 98) = 7 \times 105 = 735$।

अंतिम उत्तर: 735।

सार: पहले $n$ ज्ञात करें, फिर $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$ लगाएँ।