समांतर माध्य और पदों का चयन

समांतर माध्य

यदि तीन संख्याएँ $a, b, c$ AP में हैं, तो बीच वाली $b$ अन्य दो का समांतर माध्य (AM) होती है:

$$b = \frac{a + c}{2}$$

यह बस सामान्य औसत है। यह क्यों काम करता है: AP में, $b - a = c - b$, जो $2b = a + c$ में पुनर्व्यवस्थित होता है।

उदाहरण

4 और 10 का AM $\dfrac{4 + 10}{2} = 7$ है। वास्तव में $4, 7, 10$ एक AP है जिसमें $d = 3$।

मुख्य बिंदु: तीन संख्याएँ AP में होती हैं यदि और केवल यदि बीच वाला पद बाहरी दो के औसत के बराबर हो: $2b = a + c$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यह जाँचने हेतु कि तीन संख्याएँ AP में हैं या नहीं, सत्यापित करें $2 \times (\text{बीच}) = (\text{पहली}) + (\text{अंतिम})$ — एक-पंक्ति परीक्षण।

समांतर माध्य रखना

कभी-कभी हम दो दी गई संख्याओं के बीच कई संख्याएँ रखना चाहते हैं ताकि पूरी सूची एक AP बन जाए। ये रखी गई संख्याएँ समांतर माध्य हैं।

विधि

$a$ और $b$ के बीच $k$ समांतर माध्य रखने हेतु:

• पूरी AP में $k + 2$ पद होते हैं: $a$, फिर $k$ माध्य, फिर $b$।
• अतः $b$, $(k+2)$वाँ पद है: $b = a + (k + 1)d$, जिससे $d = \dfrac{b - a}{k + 1}$।
• माध्य हैं $a + d, a + 2d, \dots, a + kd$।

हल किया गया उदाहरण

2 और 18 के बीच 3 माध्य रखें: $d = \dfrac{18 - 2}{4} = 4$। माध्य: $6, 10, 14$। AP है $2, 6, 10, 14, 18$।

मुख्य बिंदु: $k$ माध्यों के साथ, सार्व अंतर $d = \dfrac{b - a}{k + 1}$ है (अंतराल $k+1$ समान चरणों में बँटता है)।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] ध्यान से गिनें: $k$ माध्य रखने से $a$ और $b$ के बीच $k + 1$ अंतराल बनते हैं, अतः अंतर को $k + 1$ से भाग दें।

AP में पद चतुराई से चुनना

जब कोई समस्या कहे 'तीन (या चार) संख्याएँ AP में हैं' और उनके योग या गुणनफल पर शर्तें दे, तो पदों को सममित रूप से चुनना बीजगणित को बहुत आसान बना देता है।

तीन पद AP में

उन्हें $a - d, \ a, \ a + d$ लें। इनका योग $3a$ है — $d$ रद्द हो जाते हैं!

चार पद AP में

उन्हें $a - 3d, \ a - d, \ a + d, \ a + 3d$ लें (सार्व अंतर $2d$)। इनका योग $4a$ है।

मुख्य बिंदु: सममित चयन ($a - d, a, a + d$ इत्यादि) योग को $d$ से स्वतंत्र बना देते हैं, अतः योग शर्त तुरंत $a$ देती है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'तीन संख्याएँ AP में योग 15 के साथ' तुरंत $3a = 15 \Rightarrow a = 5$ देता है। फिर दूसरी शर्त (गुणनफल, वर्गों का योग) $d$ ज्ञात करती है।

सब एक साथ

सममित-पद तरकीब एक दो-शर्त समस्या को दो आसान समीकरणों में बदल देती है।

हल किया गया उदाहरण

'AP में तीन संख्याओं का योग 15 और गुणनफल 105 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।'

1. माना वे $a - d, a, a + d$ हैं। योग $= 3a = 15 \Rightarrow a = 5$।
2. गुणनफल $= (5 - d)(5)(5 + d) = 105 \Rightarrow 5(25 - d^2) = 105 \Rightarrow 25 - d^2 = 21 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$।
3. संख्याएँ: $3, 5, 7$ (या $7, 5, 3$)।

मुख्य बिंदु: योग से $a$ ज्ञात करें, फिर दूसरी शर्त से $d$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $d = +2$ और $d = -2$ दोनों भिन्न क्रम में समान संख्याएँ देते हैं — समुच्चय बताएँ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: समांतर माध्य

12 और 30 का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

1. AM $= \dfrac{12 + 30}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$।

अंतिम उत्तर: 21।

सार: AM दोनों संख्याओं का औसत है।

उदाहरण 2: तीन संख्याएँ AP में जाँचें

क्या 7, 11, 15 AP में हैं?

हल:

1. जाँचें $2 \times 11 = 7 + 15$: $22 = 22$। ✓

अंतिम उत्तर: हाँ, वे AP में हैं।

सार: $2(\text{बीच}) = (\text{पहली}) + (\text{अंतिम})$ AP परीक्षण है।

उदाहरण 3: AP हेतु मान ज्ञात करना

$x$ ज्ञात कीजिए ताकि $x, 2x + 1, 7$ AP में हों।

हल:

1. $2(2x + 1) = x + 7 \Rightarrow 4x + 2 = x + 7$।
2. $3x = 5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{5}{3}$।

सार: $2(\text{बीच}) = (\text{पहली}) + (\text{अंतिम})$ लगाएँ।

उदाहरण 4: एक माध्य रखना

8 और 20 के बीच एक समांतर माध्य रखिए।

हल:

1. एक माध्य ⇒ यह बस AM है: $\dfrac{8 + 20}{2} = 14$।

अंतिम उत्तर: 14 (AP है $8, 14, 20$)।

सार: एकल रखा गया माध्य सामान्य औसत है।

उदाहरण 5: कई माध्य रखना

2 और 18 के बीच 3 समांतर माध्य रखिए।

हल:

1. $d = \dfrac{18 - 2}{3 + 1} = \dfrac{16}{4} = 4$।
2. माध्य: $2 + 4 = 6$, $6 + 4 = 10$, $10 + 4 = 14$।

अंतिम उत्तर: 6, 10, 14।

सार: $k$ माध्यों के साथ, $d = \dfrac{b - a}{k + 1}$।

उदाहरण 6: तीन संख्याएँ, योग और गुणनफल

AP में तीन संख्याओं का योग 15 और गुणनफल 105 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना वे $a - d, a, a + d$ हैं। योग $= 3a = 15 \Rightarrow a = 5$।
2. गुणनफल $= 5(25 - d^2) = 105 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$।
3. संख्याएँ: $3, 5, 7$।

अंतिम उत्तर: 3, 5, 7।

सार: सममित पद योग को सीधे $a$ देने देते हैं।

उदाहरण 7: तीन संख्याएँ, वर्गों का योग

AP में तीन संख्याओं का योग 12 और उनके वर्गों का योग 56 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a - d, a, a + d$: योग $= 3a = 12 \Rightarrow a = 4$।
2. वर्गों का योग $= (4-d)^2 + 16 + (4+d)^2 = 48 + 2d^2 = 56 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$।
3. संख्याएँ: $2, 4, 6$।

अंतिम उत्तर: 2, 4, 6।

सार: $(a-d)^2 + (a+d)^2 = 2a^2 + 2d^2$ साफ़ सरल होता है।

उदाहरण 8: चार संख्याएँ AP में

AP में चार संख्याओं का योग 20 और उनके वर्गों का योग 120 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a - 3d, a - d, a + d, a + 3d$ लें। योग $= 4a = 20 \Rightarrow a = 5$।
2. वर्गों का योग $= 2(a^2 + 9d^2) + 2(a^2 + d^2) = 4a^2 + 20d^2 = 120 \Rightarrow 100 + 20d^2 = 120 \Rightarrow d^2 = 1 \Rightarrow d = 1$।
3. संख्याएँ: $2, 4, 6, 8$।

अंतिम उत्तर: 2, 4, 6, 8।

सार: चार पदों हेतु $a \pm d, a \pm 3d$ (सार्व अंतर $2d$) उपयोग करें।

उदाहरण 9: संदर्भ में AM

दो संख्याओं के बीच समांतर माध्य 25 है, और एक संख्या 18 है। दूसरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. AM $= \dfrac{18 + x}{2} = 25 \Rightarrow 18 + x = 50 \Rightarrow x = 32$।

अंतिम उत्तर: 32।

सार: औसत को AM के बराबर रखकर हल करें।

उदाहरण 10: माध्य रखना — एक विशेष ज्ञात करना

यदि 1 और 19 के बीच 5 समांतर माध्य रखे जाएँ, तो तीसरा माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $d = \dfrac{19 - 1}{5 + 1} = \dfrac{18}{6} = 3$।
2. तीसरा माध्य $= a + 3d = 1 + 9 = 10$।

अंतिम उत्तर: 10।

सार: $k$वाँ माध्य $a + kd$ है, जहाँ $d = \dfrac{b-a}{(\text{माध्य}) + 1}$।