अनुप्रयोग और शब्द समस्याएँ

शब्द समस्या में AP पहचानना

अनेक वास्तविक स्थितियाँ प्रत्येक चरण में नियत राशि से बढ़ती हैं — ठीक एक AP। संकेत शब्द हैं 'प्रत्येक … नियत राशि से बढ़ती/घटती है', 'प्रत्येक पंक्ति में पिछली से 2 अधिक', इत्यादि।

रणनीति

1. $a$ (प्रथम पद) और $d$ (नियत परिवर्तन) पहचानें।
2. तय करें कि आपको nवाँ पद ($a_n$, किसी स्थिति पर एकल मान हेतु) चाहिए या योग ($S_n$, कुल हेतु)।
3. सही सूत्र लगाएँ और उत्तर की इकाइयों सहित व्याख्या करें।

मुख्य बिंदु: 'चरण $n$ पर मान' हेतु $a_n = a + (n-1)d$ और '$n$ चरणों का कुल' हेतु $S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ उपयोग करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] तय करने हेतु प्रश्न पढ़ें: '10वें वर्ष में कितना?' → nवाँ पद; '10 वर्षों में कुल?' → योग।

बचत, वेतन और किश्तें

ये उत्कृष्ट AP अनुप्रयोग हैं।

बचत उदाहरण

'माह 1 में ₹100, प्रत्येक माह ₹20 बढ़ती है।' यहाँ $a = 100$, $d = 20$। 12वें माह की बचत $a_{12}$ है; एक वर्ष का कुल $S_{12}$ है।

ऋण किश्तें

जब किसी ऋण को ऐसी किश्तों में चुकाया जाए जो नियत राशि से घटें (या बढ़ें), तो किश्तें एक AP बनाती हैं, और कुल चुकाई गई राशि $S_n$ है।

मुख्य बिंदु: '$n$वें कालखंड में' $a_n$ माँगता है; '$n$ कालखंडों में कुल' $S_n$ माँगता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] '$n$ महीनों में कुल कितना बचाता है' हेतु सदैव योग सूत्र $S_n$ उपयोग करें, nवाँ पद नहीं।

पंक्तियाँ, सीटें और ढेर

प्रति पंक्ति नियत संख्या से बढ़ने वाली व्यवस्थाएँ AP होती हैं।

बैठक उदाहरण

'एक थिएटर में पंक्ति 1 में 20 सीटें, पंक्ति 2 में 22, पंक्ति 3 में 24, …' यहाँ $a = 20$, $d = 2$। $n$वीं पंक्ति में सीटें $= a_n$; $n$ पंक्तियों में कुल सीटें $= S_n$।

ढेर / लट्ठे

प्रत्येक ऊपरी पंक्ति में एक कम के साथ ढेर किए लट्ठे एक (घटती) AP बनाते हैं; लट्ठों की कुल संख्या $S_n$ है।

मुख्य बिंदु: पंक्तियों/स्थितियों को $n$ गिनें; प्रति पंक्ति नियत चरण इसे AP बनाता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक सामान्य बोर्ड समस्या: 'यदि पंक्तियों में 20, 19, 18, … लट्ठे हों तो 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में ढेर हैं?' — $S_n = 200$ रखकर द्विघात हल करें।

दूरी, उत्पादन और अन्य पैटर्न

उत्पादन

'एक कारखाने ने वर्ष 3 में 600 सेट और वर्ष 7 में 700 बनाए; उत्पादन एकसमान रूप से बढ़ता है।' वार्षिक उत्पादन एक AP है — $a$ और $d$ ज्ञात करने हेतु दो पद उपयोग करें, फिर अभीष्ट वर्ष या कुल।

दूरी / आलू-दौड़ प्रकार

कुछ समस्याओं में बार-बार ऐसी दूरियाँ तय करना शामिल है जो नियत राशि से बढ़ती हैं; कुल दूरी एक योग $S_n$ है।

मुख्य बिंदु: यदि दो आँकड़े दिए हों (जैसे वर्ष 3 और वर्ष 7 का मान), तो $a$ और $d$ ज्ञात करने हेतु पहले दो समीकरण $a + 2d = \dots$ और $a + 6d = \dots$ बनाएँ।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] वर्णित स्थितियों का सही अनुवाद करें: 'वर्ष 3' का अर्थ है $a_3 = a + 2d$ (न कि $a + 3d$)।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: बचत (nवाँ पद)

एक व्यक्ति पहले महीने ₹100 और प्रत्येक माह ₹20 अधिक बचाता है। वह 12वें माह में कितना बचाता है?

हल:

1. $a = 100$, $d = 20$, $n = 12$।
2. $a_{12} = 100 + 11(20) = 320$।

अंतिम उत्तर: ₹320।

सार: '$n$वें माह में' → $a_n$ उपयोग करें।

उदाहरण 2: बचत (कुल)

उसी बचतकर्ता (₹100, फिर +₹20/माह) के लिए, 12 महीनों में कुल बचत ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $S_{12} = \dfrac{12}{2}[2(100) + 11(20)] = 6[200 + 220] = 6(420) = 2520$।

अंतिम उत्तर: ₹2520।

सार: '$n$ महीनों में कुल' → $S_n$ उपयोग करें।

उदाहरण 3: पंक्तियों में सीटें

एक हॉल की पहली पंक्ति में 20 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में 2 अधिक। 15वीं पंक्ति में कितनी सीटें हैं, और 15 पंक्तियों में कुल कितनी?

हल:

1. $a = 20$, $d = 2$। $a_{15} = 20 + 14(2) = 48$।
2. $S_{15} = \dfrac{15}{2}[40 + 14(2)] = \dfrac{15}{2}(68) = 510$।

अंतिम उत्तर: पंक्ति 15 में 48 सीटें; कुल 510 सीटें।

सार: एक प्रश्न, दो सूत्र — जो पूछा गया है उसे पढ़ें।

उदाहरण 4: ढेर किए लट्ठे

200 लट्ठे इस प्रकार ढेर किए गए हैं कि सबसे नीचे की पंक्ति में 20, अगली में 19, अगली में 18, इत्यादि। वे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं?

हल:

1. $a = 20$, $d = -1$। $S_n = 200$ रखें: $\dfrac{n}{2}[40 + (n-1)(-1)] = 200$।
2. $n(41 - n) = 400 \Rightarrow n^2 - 41n + 400 = 0 \Rightarrow (n - 16)(n - 25) = 0$।
3. $n = 16$ या $25$। परंतु $n = 25$ के लिए 25वीं पंक्ति में $20 + 24(-1) = -4$ लट्ठे (असंभव) होंगे, अतः $n = 16$।

अंतिम उत्तर: 16 पंक्तियाँ।

सार: जो मूल किसी पद को ऋणात्मक बनाए (असंभव लट्ठे) उसे त्यागें।

उदाहरण 5: दो वर्षों से उत्पादन

एक निर्माता ने 3रे वर्ष में 600 TV सेट और 7वें वर्ष में 700 बनाए। उत्पादन एकसमान बढ़ता है। 1ले वर्ष का उत्पादन ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_3 = a + 2d = 600$; $a_7 = a + 6d = 700$।
2. घटाएँ: $4d = 100 \Rightarrow d = 25$; फिर $a = 600 - 50 = 550$।

अंतिम उत्तर: 1ले वर्ष में 550 सेट।

सार: दो दिए पद $a$ और $d$ देते हैं; 'वर्ष 3' = $a + 2d$।

उदाहरण 6: कुल उत्पादन

उपरोक्त निर्माता ($a = 550$, $d = 25$) के लिए, प्रथम 7 वर्षों में कुल उत्पादन ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $S_7 = \dfrac{7}{2}[2(550) + 6(25)] = \dfrac{7}{2}[1100 + 150] = \dfrac{7}{2}(1250) = 4375$।

अंतिम उत्तर: 4375 सेट।

सार: $a$ और $d$ ज्ञात होने पर योग सीधे निकलता है।

उदाहरण 7: साधारण ब्याज एक AP के रूप में

₹1000, 8% साधारण ब्याज प्रति वर्ष पर निवेशित है। प्रत्येक वर्ष के अंत की राशियाँ एक AP बनाती हैं। 30 वर्ष बाद राशि ज्ञात कीजिए।

हल:

1. प्रति वर्ष SI $= 1000$ का $8\%$ $= ₹80$। वर्ष 1 अंत: $1080$, वर्ष 2: $1160$, … एक AP जिसमें $a = 1080$, $d = 80$।
2. 30 वर्ष बाद: $a_{30} = 1080 + 29(80) = 1080 + 2320 = 3400$।

अंतिम उत्तर: ₹3400।

सार: साधारण ब्याज प्रत्येक वर्ष नियत राशि जोड़ता है, एक AP बनाते हुए।

उदाहरण 8: वेतन वृद्धि

एक व्यक्ति का प्रारंभिक वेतन ₹25000 है जिसमें ₹2000 की वार्षिक वृद्धि होती है। किस वर्ष में वेतन ₹39000 हो जाता है?

हल:

1. $a = 25000$, $d = 2000$। $a_n = 39000$ रखें: $25000 + (n-1)2000 = 39000$।
2. $(n-1)2000 = 14000 \Rightarrow n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8$।

अंतिम उत्तर: 8वें वर्ष में।

सार: 'कब किसी मान तक पहुँचता है?' → $a_n$ को उस मान के बराबर रखें।

उदाहरण 9: लगाए गए पेड़

एक विद्यालय इस प्रकार पेड़ लगाता है कि प्रत्येक कक्षा में लगाई संख्या 5 बढ़ती है: कक्षा 1 में 10, कक्षा 2 में 15, इत्यादि कक्षा 12 तक। कुल कितने पेड़?

हल:

1. $a = 10$, $d = 5$, $n = 12$।
2. $S_{12} = \dfrac{12}{2}[20 + 11(5)] = 6[20 + 55] = 6(75) = 450$।

अंतिम उत्तर: 450 पेड़।

सार: 'सभी कक्षाओं में कुल' → योग सूत्र।

उदाहरण 10: आलू दौड़ (दूरियाँ)

एक दौड़ में, बाल्टी पहले आलू से 5 मी दूर है, और आलू 3 मी की दूरी पर हैं। एक प्रतियोगी बाल्टी से प्रत्येक आलू तक और वापस दौड़ता है। 10 आलुओं के लिए, कुल दौड़ी गई दूरी ज्ञात कीजिए (आगे-पीछे की दूरियाँ एक AP बनाती हैं)।

हल:

1. 1ले आलू तक और वापस: $2 \times 5 = 10$ मी। 2रे तक: $2 \times 8 = 16$ मी। अतः $a = 10$, $d = 6$।
2. $S_{10} = \dfrac{10}{2}[20 + 9(6)] = 5[20 + 54] = 5(74) = 370$।

अंतिम उत्तर: 370 मी।

सार: $a$ और $d$ ज्ञात करने हेतु पहली दो आना-जाना दूरियाँ बनाएँ, फिर योग।