बोर्ड के पिछले वर्षों के प्रश्न (Board PYQs)

बोर्ड PYQs को कैसे हल करें

यह खंड AP के उन प्रकार के प्रश्नों को एकत्र करता है जो CBSE और राज्य बोर्ड परीक्षाओं में बार-बार आते हैं, पूर्ण चरणबद्ध हल सहित। इन 26 प्रश्नों को हल करना आपकी परीक्षा का अनुमान लगाने का सबसे अच्छा तरीका है।

परीक्षक इस अध्याय में क्या पसंद करते हैं:

1. nवाँ पद और 'कौन-सा पद' समस्याएँ (2–3 अंक)।
2. $n$ पदों का योग, और दिए योग से $n$ ज्ञात करना (3 अंक)।
3. दो दिए पदों या योगों से $a$ और $d$ ज्ञात करना (3 अंक)।
4. शब्द समस्याएँ — बचत, सीटें, लट्ठे, उत्पादन (3–4 अंक)।

टैग नोट: प्रश्न परीक्षा द्वारा टैग किए गए हैं (जैसे [CBSE Board]); जहाँ सटीक वर्ष अपुष्ट है, केवल परीक्षा का नाम दिया गया है।

परीक्षा सुझाव: सूत्र लिखें, सावधानी से प्रतिस्थापित करें ($(n-1)$ का ध्यान रखें), और शब्द-समस्या उत्तर इकाइयों सहित शब्दों में बताएँ।

हल किए गए पिछले वर्षों के प्रश्न

PYQ 1: nवाँ पद ज्ञात करना (2 अंक)

AP $-3, -\dfrac{1}{2}, 2, \dots$ का 11वाँ पद ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $a = -3$, $d = -\dfrac{1}{2} - (-3) = \dfrac{5}{2}$।
2. $a_{11} = -3 + 10\left(\dfrac{5}{2}\right) = -3 + 25 = 22$।

अंतिम उत्तर: 22।

सार: जब पद भिन्न हों तो $d$ सावधानी से ज्ञात करें।

PYQ 2: कौन-सा पद शून्य है (2 अंक)

AP $5, 9, 13, \dots$ का कौन-सा पद 0 है? यदि कोई नहीं, तो समझाइए। [CBSE Board]

हल:

1. $a = 5$, $d = 4$। $5 + (n-1)4 = 0 \Rightarrow 4(n-1) = -5 \Rightarrow n - 1 = -\dfrac{5}{4}$।
2. $n$ ऋणात्मक/अपूर्णांक है।

अंतिम उत्तर: कोई पद 0 नहीं है (AP का कोई शून्य पद नहीं)।

सार: अधनात्मक-पूर्णांक $n$ का अर्थ है मान पद नहीं है।

PYQ 3: $a$ और $d$ ज्ञात करना (3 अंक)

एक AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $a_{17} - a_{10} = 7 \Rightarrow (a + 16d) - (a + 9d) = 7 \Rightarrow 7d = 7$।
2. $d = 1$।

अंतिम उत्तर: $d = 1$।

सार: $a_{17} - a_{10} = 7d$ सीधे $d$ देता है।

PYQ 4: n पदों का योग (3 अंक)

AP $5, 8, 11, 14, \dots$ के प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $a = 5$, $d = 3$। $S_{24} = \dfrac{24}{2}[10 + 23(3)] = 12[10 + 69] = 12(79) = 948$।

अंतिम उत्तर: 948।

सार: $S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ लगाएँ।

PYQ 5: योग से $n$ ज्ञात करना (3 अंक)

AP $9, 17, 25, \dots$ के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 636 हो? [CBSE Board]

हल:

1. $a = 9$, $d = 8$। $\dfrac{n}{2}[18 + (n-1)8] = 636 \Rightarrow 4n^2 + 5n - 636 = 0$।
2. $(4n + 53)(n - 12) = 0 \Rightarrow n = 12$।

अंतिम उत्तर: 12 पद।

सार: ऋणात्मक मूल त्यागें।

PYQ 6: AP निर्धारित करना (3 अंक)

एक AP का 3रा पद 5 और 7वाँ पद 9 है। AP और उसका 20वाँ पद ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $a + 2d = 5$, $a + 6d = 9$। घटाएँ: $4d = 4 \Rightarrow d = 1$; $a = 3$।
2. AP: $3, 4, 5, \dots$; $a_{20} = 3 + 19(1) = 22$।

अंतिम उत्तर: AP $3, 4, 5, \dots$; 20वाँ पद 22।

सार: दो पद ⇒ $a$ और $d$ ⇒ कोई भी पद।

PYQ 7: शब्द समस्या — लट्ठे (4 अंक)

200 लट्ठे इस प्रकार ढेर हैं कि सबसे नीचे की पंक्ति में 20, अगली में 19, इत्यादि। 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे हैं, और सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने हैं? [CBSE Board]

हल:

1. $a = 20$, $d = -1$, $S_n = 200$। $\dfrac{n}{2}[40 - (n-1)] = 200 \Rightarrow n^2 - 41n + 400 = 0 \Rightarrow (n-16)(n-25) = 0$।
2. $n = 16$ (25 अस्वीकार, ऋणात्मक लट्ठे)। ऊपरी पंक्ति $= a_{16} = 20 + 15(-1) = 5$।

अंतिम उत्तर: 16 पंक्तियाँ; ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे।

सार: अस्वीकार्य मूल त्यागें, फिर अभीष्ट पद ज्ञात करें।

PYQ 8: दो-अंकीय गुणजों का योग (3 अंक)

3 से विभाज्य सभी दो-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. AP $12, 15, \dots, 99$। $a = 12$, $d = 3$, $l = 99$, $n = 30$ (क्योंकि $99 = 12 + (n-1)3$)।
2. $S_{30} = \dfrac{30}{2}(12 + 99) = 15(111) = 1665$।

अंतिम उत्तर: 1665।

सार: $n$ ज्ञात करें, फिर $\dfrac{n}{2}(a + l)$ उपयोग करें।

PYQ 9: पद और योग दिए (3 अंक)

एक AP में, प्रथम पद 8, $n$वाँ पद 33, और प्रथम $n$ पदों का योग 123 है। $n$ और $d$ ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $S_n = \dfrac{n}{2}(a + a_n) = \dfrac{n}{2}(8 + 33) = \dfrac{41n}{2} = 123 \Rightarrow n = 6$।
2. $a_6 = 8 + 5d = 33 \Rightarrow 5d = 25 \Rightarrow d = 5$।

अंतिम उत्तर: $n = 6$, $d = 5$।

सार: पहले $n$ ज्ञात करने हेतु $S_n = \dfrac{n}{2}(a + a_n)$ उपयोग करें।

PYQ 10: गुणजों का योग (2 अंक)

8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. AP $8, 16, 24, \dots$: $a = 8$, $d = 8$, $n = 15$।
2. $S_{15} = \dfrac{15}{2}[16 + 14(8)] = \dfrac{15}{2}(128) = 960$।

अंतिम उत्तर: 960।

सार: 8 के गुणज $a = d = 8$ वाली AP बनाते हैं।

PYQ 11: अंत से nवाँ पद (2 अंक)

AP $7, 10, 13, \dots, 184$ का अंत से 8वाँ पद ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $l = 184$, $d = 3$। अंत से 8वाँ $= l - (8-1)d = 184 - 21 = 163$।

अंतिम उत्तर: 163।

सार: $l - (n-1)d$ अंत से गिनता है।

PYQ 12: $S_n$ संबंध दिखाएँ (3 अंक)

एक AP के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 4n - n^2$ है। प्रथम पद, प्रथम दो पदों का योग, और 10वाँ पद ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $S_1 = a_1 = 4 - 1 = 3$; $S_2 = 8 - 4 = 4$।
2. $a_n = S_n - S_{n-1} = 5 - 2n$, अतः $a_{10} = 5 - 20 = -15$।

अंतिम उत्तर: $a_1 = 3$, $S_2 = 4$, $a_{10} = -15$।

सार: $a_n = S_n - S_{n-1}$; $S_1$ प्रथम पद देता है।

PYQ 13: AP में तीन पद (3 अंक)

AP में तीन संख्याओं का योग 12 और उनके घनों का योग 288 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $a - d, a, a + d$: $3a = 12 \Rightarrow a = 4$।
2. घन: $(4-d)^3 + 64 + (4+d)^3 = 288$। अब $(4-d)^3 + (4+d)^3 = 2(4^3 + 3 \cdot 4 d^2) = 128 + 24d^2$।
3. $128 + 24d^2 + 64 = 288 \Rightarrow 24d^2 = 96 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$।
4. संख्याएँ: $2, 4, 6$।

अंतिम उत्तर: 2, 4, 6।

सार: $(a-d)^3 + (a+d)^3 = 2a^3 + 6ad^2$ घन-योग को सरल करता है।

PYQ 14: शब्द समस्या — पुरस्कार (3 अंक)

₹2800 की राशि विद्यार्थियों को 10 नकद पुरस्कार देने हेतु उपयोग होनी है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने पिछले पुरस्कार से ₹40 कम हो, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए। (पहला पुरस्कार ज्ञात कीजिए।) [CBSE Board]

हल:

1. पुरस्कार $d = -40$, $n = 10$, $S_{10} = 2800$ वाली AP बनाते हैं।
2. $\dfrac{10}{2}[2a + 9(-40)] = 2800 \Rightarrow 5[2a - 360] = 2800 \Rightarrow 2a - 360 = 560 \Rightarrow a = 460$।

अंतिम उत्तर: पहला पुरस्कार ₹460 (फिर 420, 380, …)।

सार: ज्ञात कुल के साथ $S_n$ उपयोग कर प्रथम पद ज्ञात करें।

PYQ 15: $S_{12}$ ज्ञात करना (3 अंक)

यदि किसी AP का प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 8$ है, तो $S_{12}$ ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $S_{12} = \dfrac{12}{2}[2(2) + 11(8)] = 6[4 + 88] = 6(92) = 552$।

अंतिम उत्तर: 552।

सार: योग सूत्र का सीधा अनुप्रयोग।

PYQ 16: योग (3 अंक)

एक AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसके 2रे और 3रे पद क्रमशः 14 और 18 हैं। [CBSE Board]

हल:

1. $d = 18 - 14 = 4$; $a_2 = a + d = 14 \Rightarrow a = 10$।
2. $S_{51} = \dfrac{51}{2}[20 + 50(4)] = \dfrac{51}{2}(220) = 51(110) = 5610$।

अंतिम उत्तर: 5610।

सार: क्रमागत पदों से $a$ और $d$ ज्ञात करें, फिर योग।

PYQ 17: AP निर्धारित करना (3 अंक)

वह AP ज्ञात कीजिए जिसका 4वाँ पद 18 है और 15वें पद का 9वें पद से अंतर 30 है। [CBSE Board]

हल:

1. $a_{15} - a_9 = 6d = 30 \Rightarrow d = 5$।
2. $a_4 = a + 3d = 18 \Rightarrow a + 15 = 18 \Rightarrow a = 3$।
3. AP: $3, 8, 13, 18, \dots$

अंतिम उत्तर: $3, 8, 13, 18, \dots$

सार: $a_{15} - a_9 = 6d$; फिर $a$ हेतु ज्ञात पद उपयोग करें।

PYQ 18: $S_n$ से AP (3 अंक)

एक AP के प्रथम $n$ पदों का योग $3n^2 + 5n$ है। AP और उसका 25वाँ पद ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $a_n = S_n - S_{n-1} = 6n + 2$ (पूर्व में व्युत्पन्न)। $a_1 = 8$, $d = 6$।
2. AP: $8, 14, 20, \dots$; $a_{25} = 6(25) + 2 = 152$।

अंतिम उत्तर: AP $8, 14, 20, \dots$; 25वाँ पद 152।

सार: $a_n = S_n - S_{n-1}$ व्यापक पद देता है।

PYQ 19: समान योग (4 अंक)

यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $S_7 = 7(a + 3d) = 49 \Rightarrow a + 3d = 7$।
2. $S_{17} = 17(a + 8d) = 289 \Rightarrow a + 8d = 17$।
3. घटाएँ: $5d = 10 \Rightarrow d = 2$, $a = 1$।
4. $S_n = \dfrac{n}{2}[2 + (n-1)2] = n^2$।

अंतिम उत्तर: $S_n = n^2$।

सार: दो योग-शर्तें $a$ और $d$ देती हैं, फिर व्यापक $S_n$।

PYQ 20: शब्द समस्या — उत्पादन (3 अंक)

एक निर्माता ने 3रे वर्ष में 600 सेट और 7वें वर्ष में 700 बनाए। एकसमान वृद्धि मानते हुए, 10वें वर्ष का उत्पादन और प्रथम 10 वर्षों का कुल ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $a + 2d = 600$, $a + 6d = 700 \Rightarrow d = 25$, $a = 550$।
2. $a_{10} = 550 + 9(25) = 775$।
3. $S_{10} = \dfrac{10}{2}[1100 + 9(25)] = 5(1325) = 6625$।

अंतिम उत्तर: वर्ष 10 में 775 सेट; कुल 6625।

सार: पहले $a$, $d$ ज्ञात करें; फिर पद और योग दोनों।

PYQ 21: प्रथम पद और अनुपात (3 अंक)

एक AP का 5वाँ पद 26 और 10वाँ पद 51 है। AP ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $a + 4d = 26$, $a + 9d = 51$। घटाएँ: $5d = 25 \Rightarrow d = 5$; $a = 6$।
2. AP: $6, 11, 16, 21, \dots$

अंतिम उत्तर: $6, 11, 16, 21, \dots$

सार: मानक दो-पद विधि।

PYQ 22: सभी पदों का योग (3 अंक)

100 और 200 के बीच 4 से विभाज्य सभी प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. AP $104, 108, \dots, 196$। $a = 104$, $d = 4$, $l = 196$। $196 = 104 + (n-1)4 \Rightarrow n = 24$।
2. $S = \dfrac{24}{2}(104 + 196) = 12(300) = 3600$।

अंतिम उत्तर: 3600।

सार: परास के भीतर पहले और अंतिम गुणज पहचानें।

PYQ 23: पद अनुपात शर्त (3 अंक)

एक AP का 4वाँ पद शून्य है। सिद्ध कीजिए कि इसका 25वाँ पद इसके 11वें पद का तिगुना है। [CBSE Board]

हल:

1. $a_4 = a + 3d = 0 \Rightarrow a = -3d$।
2. $a_{25} = a + 24d = -3d + 24d = 21d$; $a_{11} = a + 10d = -3d + 10d = 7d$।
3. $a_{25} = 21d = 3(7d) = 3 a_{11}$।

अंतिम उत्तर: $a_{25} = 3 a_{11}$। $\blacksquare$

सार: शर्त $a = -3d$ से सब कुछ $d$ के माध्यम से व्यक्त करें।

PYQ 24: लक्ष्य तक योग (दंड) (4 अंक)

एक ठेकेदार विलंब के लिए दंड चुकाता है: पहले दिन ₹200, दूसरे दिन ₹250, तीसरे दिन ₹300, इत्यादि। 30 दिन के विलंब के लिए कितना दंड? [CBSE Board]

हल:

1. $a = 200$, $d = 50$, $n = 30$।
2. $S_{30} = \dfrac{30}{2}[400 + 29(50)] = 15[400 + 1450] = 15(1850) = 27750$।

अंतिम उत्तर: ₹27750।

सार: दैनिक दंड AP में; कुल $S_n$ है।

PYQ 25: अंतिम पद और योग दिए होने पर n ज्ञात करना (3 अंक)

एक AP के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो कितने पद हैं, और उनका योग क्या है? [CBSE Board]

हल:

1. $350 = 17 + (n-1)9 \Rightarrow 333 = 9(n-1) \Rightarrow n = 38$।
2. $S_{38} = \dfrac{38}{2}(17 + 350) = 19(367) = 6973$।

अंतिम उत्तर: 38 पद; योग 6973।

सार: $n$ हेतु $l = a + (n-1)d$, फिर $\dfrac{n}{2}(a + l)$ उपयोग करें।

PYQ 26: संयुक्त शर्तें (4 अंक)

एक AP के 4वें और 8वें पदों का योग 24 है, और 6वें और 10वें पदों का योग 44 है। प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $2a + 10d = 24$ और $2a + 14d = 44$। घटाएँ: $4d = 20 \Rightarrow d = 5$; $a = -13$।
2. $S_{10} = \dfrac{10}{2}[2(-13) + 9(5)] = 5[-26 + 45] = 5(19) = 95$।

अंतिम उत्तर: 95।

सार: पद-योगों से दो समीकरण बनाएँ, फिर अभीष्ट योग परिकलित करें।