भूमिका और समांतर श्रेढ़ी

हमारे चारों ओर पैटर्न

इन सूचियों को देखें: प्रत्येक माह ₹100, ₹150, ₹200, ₹250, … की बचत; या किसी थिएटर की क्रमागत पंक्तियों में 20, 22, 24, 26, … सीटें। कुछ ध्यान दिया? प्रत्येक संख्या पिछली में एक ही नियत राशि जोड़कर प्राप्त होती है।

ऐसी सूची समांतर श्रेढ़ी (AP) कहलाती है।

परिभाषा: समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की वह सूची है जिसमें प्रत्येक पद (पहले के बाद) पिछले पद में एक नियत संख्या $d$ जोड़कर प्राप्त होता है। नियत संख्या $d$ को सार्व अंतर कहते हैं।

ऐसे समझिए: एक AP समान चरणों में बढ़ती (या घटती) है। चरण का आकार $d$ है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] AP की मुख्य जाँच: किसी भी पद और उसके पिछले पद के बीच का अंतर सदैव समान मान $d$ होता है।

प्रथम पद, सार्व अंतर, और सामान्य रूप

एक AP दो संख्याओं द्वारा पूर्णतः वर्णित होती है:

• प्रथम पद, जिसे $a$ (या $a_1$) लिखते हैं;
• सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots$ (कोई भी पद घटा उसका पिछला पद)।

AP का सामान्य रूप है:

$$a, \ a + d, \ a + 2d, \ a + 3d, \ \dots$$

उदाहरण

AP $3, 7, 11, 15, \dots$ के लिए: $a = 3$ और $d = 7 - 3 = 4$। अतः पद $3, 3+4, 3+2(4), \dots$ हैं।

मुख्य बिंदु: $d$ ज्ञात करने हेतु, किसी पद को उसके बाद आने वाले पद से घटाएँ: $d = a_{n+1} - a_n$। सदैव इसी क्रम में घटाएँ (बाद वाला घटा पहले वाला)।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $d$ धनात्मक (बढ़ती AP), ऋणात्मक (घटती AP), या शून्य (सभी पद समान) हो सकता है। निश्चित करने हेतु कम-से-कम दो क्रमागत अंतरों से इसकी गणना करें।

जाँचना कि सूची AP है या नहीं

यह परीक्षण करने हेतु कि कोई सूची AP बनाती है या नहीं, क्रमागत पदों के बीच अंतर ज्ञात करें। यदि सभी अंतर समान हों, तो यह AP है; अन्यथा नहीं।

हल किया गया उदाहरण

• $2, 5, 8, 11, \dots$: अंतर $3, 3, 3, \dots$ — समान → AP ($d = 3$)।
• $1, 4, 9, 16, \dots$: अंतर $3, 5, 7, \dots$ — असमान → AP नहीं।

मुख्य बिंदु: केवल एक अंतर न जाँचें — निष्कर्ष से पहले सत्यापित करें कि कई क्रमागत अंतर समान हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] वर्ग ($1, 4, 9, \dots$) और अन्य गैर-रैखिक पैटर्न AP नहीं हैं। एक AP प्रत्येक चरण में नियत राशि से बढ़नी/घटनी चाहिए।

सांत और अनंत AP

एक AP में सीमित पद हो सकते हैं या यह सदैव चलती रह सकती है।

• एक सांत AP में पदों की नियत संख्या और एक अंतिम पद ($l$ या $a_n$ से दर्शाया) होता है। उदाहरण: $2, 4, 6, \dots, 100$।
• एक अनंत AP बिना अंत के चलती रहती है। उदाहरण: $5, 10, 15, 20, \dots$

हम सामान्यतः निरंतरता दर्शाने हेतु तीन बिंदु '…' लिखते हैं।

मुख्य बिंदु: सांत AP में अंतिम पद $l$ होता है; अनंत AP में नहीं। सांत AP में पदों की संख्या $n$ से दर्शाई जाती है।

$a$ और $d$ से AP बनाना

$a = 6$ और $d = -2$ दिए होने पर, AP है $6, 4, 2, 0, -2, \dots$ (एक घटती AP)।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] जब कोई समस्या $a$ और $d$ दे, तो आप $d$ बार-बार जोड़कर तुरंत आवश्यकतानुसार उतने पद लिख सकते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: $a$ और $d$ ज्ञात करना

AP $5, 8, 11, 14, \dots$ के लिए, प्रथम पद और सार्व अंतर लिखिए।

हल:

1. प्रथम पद $a = 5$।
2. $d = 8 - 5 = 3$ (जाँच: $11 - 8 = 3$, $14 - 11 = 3$)। ✓

अंतिम उत्तर: $a = 5$, $d = 3$।

सार: $d$ = कोई पद घटा पिछला पद।

उदाहरण 2: घटती AP

$10, 7, 4, 1, \dots$ के लिए $a$ और $d$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 10$।
2. $d = 7 - 10 = -3$।

अंतिम उत्तर: $a = 10$, $d = -3$।

सार: ऋणात्मक $d$ का अर्थ है घटती AP।

उदाहरण 3: क्या यह AP है?

क्या $2, 4, 8, 16, \dots$ एक AP बनाती है?

हल:

1. अंतर: $4 - 2 = 2$, $8 - 4 = 4$, $16 - 8 = 8$।
2. अंतर ($2, 4, 8$) समान नहीं हैं।

अंतिम उत्तर: नहीं, यह AP नहीं है।

सार: असमान क्रमागत अंतर ⇒ AP नहीं (यह एक GP है)।

उदाहरण 4: AP की पुष्टि

क्या $-3, -1, 1, 3, \dots$ एक AP बनाती है? यदि हाँ, तो $d$ दीजिए।

हल:

1. अंतर: $-1 - (-3) = 2$, $1 - (-1) = 2$, $3 - 1 = 2$।
2. सभी 2 के बराबर।

अंतिम उत्तर: हाँ, $d = 2$ वाली AP।

सार: ऋणात्मक घटाने में सावधानी: $-1 - (-3) = 2$।

उदाहरण 5: $a$ और $d$ से पद लिखना

$a = 7$ और $d = -2$ वाली AP के प्रथम चार पद लिखिए।

हल:

1. $a_1 = 7$; $a_2 = 7 + (-2) = 5$; $a_3 = 5 - 2 = 3$; $a_4 = 3 - 2 = 1$।

अंतिम उत्तर: $7, 5, 3, 1$।

सार: पद उत्पन्न करने हेतु $d$ बार-बार जोड़ें।

उदाहरण 6: भिन्नों वाली AP

AP $\dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{3}{2}, 2, \dots$ के लिए $d$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $d = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ (जाँच: $\dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$)। ✓

अंतिम उत्तर: $d = \dfrac{1}{2}$।

सार: भिन्नात्मक सार्व अंतर पूर्णतः मान्य हैं।

उदाहरण 7: लुप्त पद ज्ञात करना

एक AP के प्रथम तीन पद $x, 2x + 1, 5x - 2$ हैं। $x$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. AP में, $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$।
2. $(2x + 1) - x = (5x - 2) - (2x + 1) \Rightarrow x + 1 = 3x - 3$।
3. $4 = 2x \Rightarrow x = 2$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$।

सार: समान क्रमागत अंतर अज्ञात के लिए एक समीकरण देते हैं।

उदाहरण 8: परिस्थिति से AP बनाना

एक व्यक्ति पहले महीने ₹500 बचाता है और प्रत्येक माह अपनी बचत ₹50 बढ़ाता है। उसकी मासिक बचत की AP लिखिए।

हल:

1. प्रथम पद $a = 500$, सार्व अंतर $d = 50$।
2. AP: $500, 550, 600, 650, \dots$

अंतिम उत्तर: $500, 550, 600, 650, \dots$ (₹ में)।

सार: 'हर बार नियत राशि से बढ़ता है' AP का संकेत देता है।

उदाहरण 9: सामान्य रूप जाँच

क्या $a_n = 3n + 2$ से दी गई सूची एक AP है? $a$ और $d$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_1 = 5$, $a_2 = 8$, $a_3 = 11$।
2. अंतर सभी 3 हैं, अतः यह $a = 5$, $d = 3$ वाली AP है।

अंतिम उत्तर: $a = 5$, $d = 3$ वाली AP।

सार: यदि $a_n$, $n$ में रैखिक हो (जैसे $3n + 2$), तो सूची सदैव AP होती है; $d$, $n$ का गुणांक है।

उदाहरण 10: दो पदों के अंतर से $d$ ज्ञात करना

एक AP में, चौथे और प्रथम पद के बीच का अंतर 9 है। $d$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_4 - a_1 = (a + 3d) - a = 3d$।
2. $3d = 9 \Rightarrow d = 3$।

अंतिम उत्तर: $d = 3$।

सार: $a_4 - a_1 = 3d$; सामान्यतः $a_m - a_n = (m - n)d$।