हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह समांतर श्रेढ़ी के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — AP पहचानना, $n$वाँ पद, योग, समांतर माध्य, पदों का चयन, तथा शब्द समस्याएँ — मोटे तौर पर सरल से कठिन क्रम में।

कैसे पढ़ें: प्रत्येक प्रश्न को हल ढककर स्वयं हल करने का प्रयास करें, फिर चरण जाँचें। बोर्ड अंक चरण-दर-चरण मिलते हैं।

ये सूत्र साथ रखें:

• $n$वाँ पद: $a_n = a + (n-1)d$।
• योग: $S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \dfrac{n}{2}(a + l)$।
• $a_n = S_n - S_{n-1}$।
• AP में तीन पद: $a - d, a, a + d$।
• $a, b$ का AM: $\dfrac{a+b}{2}$।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: $d$ ज्ञात करना

$11, 8, 5, 2, \dots$ का सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $d = 8 - 11 = -3$।

अंतिम उत्तर: $d = -3$।

सार: $d$ = कोई पद घटा पिछला पद।

उदाहरण 2: nवाँ पद

$3, 8, 13, \dots$ का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 3$, $d = 5$। $a_{20} = 3 + 19(5) = 98$।

अंतिम उत्तर: 98।

सार: $a_n = a + (n-1)d$ लगाएँ।

उदाहरण 3: कौन-सा पद?

$5, 9, 13, \dots$ का कौन-सा पद 81 है?

हल:

1. $a = 5$, $d = 4$। $5 + (n-1)4 = 81 \Rightarrow 4(n-1) = 76 \Rightarrow n = 20$।

अंतिम उत्तर: 20वाँ पद।

सार: $a_n$ को मान के बराबर रखकर $n$ हल करें।

उदाहरण 4: दो पदों से AP ज्ञात करना

एक AP का 4वाँ पद 9 और 9वाँ पद 24 है। AP ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a + 3d = 9$, $a + 8d = 24$। घटाएँ: $5d = 15 \Rightarrow d = 3$; $a = 0$।
2. AP: $0, 3, 6, 9, \dots$

अंतिम उत्तर: $0, 3, 6, 9, \dots$

सार: दो पद ⇒ $d$ हेतु घटाएँ, फिर $a$।

उदाहरण 5: प्रथम n पदों का योग

$2, 5, 8, \dots$ के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 2$, $d = 3$। $S_{15} = \dfrac{15}{2}[4 + 14(3)] = \dfrac{15}{2}(46) = 345$।

अंतिम उत्तर: 345।

सार: $S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$।

उदाहरण 6: अंतिम पद सहित योग

योग $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 2$, $l = 200$, $d = 2$। पदों की संख्या: $200 = 2 + (n-1)2 \Rightarrow n = 100$।
2. $S = \dfrac{100}{2}(2 + 200) = 50(202) = 10100$।

अंतिम उत्तर: 10100।

सार: $n$ ज्ञात करें, फिर $\dfrac{n}{2}(a + l)$ उपयोग करें।

उदाहरण 7: समांतर माध्य

दो संख्याओं का AM 17 है और एक संख्या 12 है। दूसरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{12 + x}{2} = 17 \Rightarrow x = 22$।

अंतिम उत्तर: 22।

सार: AM औसत है; व्यवस्था कर हल करें।

उदाहरण 8: AP में तीन पद

AP में तीन संख्याओं का योग 27 और गुणनफल 504 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a - d, a, a + d$: $3a = 27 \Rightarrow a = 9$।
2. $9(81 - d^2) = 504 \Rightarrow 81 - d^2 = 56 \Rightarrow d^2 = 25 \Rightarrow d = \pm 5$।
3. संख्याएँ: $4, 9, 14$।

अंतिम उत्तर: 4, 9, 14।

सार: सममित पद योग को $a$ देने देते हैं।

उदाहरण 9: अंत से nवाँ पद

$17, 14, 11, \dots, -40$ का अंत से 6वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $l = -40$, $d = -3$। अंत से: $l - (n-1)d = -40 - 5(-3) = -40 + 15 = -25$।

अंतिम उत्तर: $-25$।

सार: अंत से $l - (n-1)d$ उपयोग करें।

उदाहरण 10: AP में कितने पद

$7, 13, 19, \dots, 205$ में कितने पद हैं?

हल:

1. $a = 7$, $d = 6$, $l = 205$। $205 = 7 + (n-1)6 \Rightarrow 198 = 6(n-1) \Rightarrow n = 34$।

अंतिम उत्तर: 34 पद।

सार: $l = a + (n-1)d$ को $n$ के लिए हल करें।

उदाहरण 11: प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग

$1 + 2 + 3 + \dots + 50$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $S = \dfrac{50 \times 51}{2} = 1275$।

अंतिम उत्तर: 1275।

सार: प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं हेतु $\dfrac{n(n+1)}{2}$।

उदाहरण 12: योग हेतु $n$ ज्ञात करना

$18, 16, 14, \dots$ के कितने पद 78 का योग देते हैं?

हल:

1. $a = 18$, $d = -2$। $\dfrac{n}{2}[36 + (n-1)(-2)] = 78 \Rightarrow n(38 - 2n) = 156$।
2. $2n^2 - 38n + 156 = 0 \Rightarrow n^2 - 19n + 78 = 0 \Rightarrow (n-6)(n-13) = 0$।
3. $n = 6$ या $13$।

अंतिम उत्तर: 6 या 13 पद।

सार: दोनों धनात्मक मूल मान्य हो सकते हैं।

उदाहरण 13: योग सूत्र से पद

यदि $S_n = 2n^2 + 3n$, तो 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_{10} = S_{10} - S_9$। $S_{10} = 200 + 30 = 230$; $S_9 = 162 + 27 = 189$।
2. $a_{10} = 230 - 189 = 41$।

अंतिम उत्तर: 41।

सार: $a_n = S_n - S_{n-1}$।

उदाहरण 14: मध्य पद

AP $3, 7, 11, \dots, 47$ का मध्य पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 3$, $d = 4$, $l = 47$। $47 = 3 + (n-1)4 \Rightarrow n = 12$ (सम संख्या में पद)।
2. 12 पदों के साथ दो मध्य पद हैं, 6वाँ और 7वाँ: $a_6 = 3 + 5(4) = 23$, $a_7 = 27$।

अंतिम उत्तर: मध्य पद 23 और 27।

सार: सम संख्या में दो मध्य पद; विषम में एक।

उदाहरण 15: माध्य रखना

4 और 24 के बीच 4 समांतर माध्य रखिए।

हल:

1. $d = \dfrac{24 - 4}{4 + 1} = 4$।
2. माध्य: $8, 12, 16, 20$।

अंतिम उत्तर: 8, 12, 16, 20।

सार: $k$ माध्यों हेतु $d = \dfrac{b - a}{k + 1}$।

उदाहरण 16: 5 से विभाज्य तीन-अंकीय संख्याओं का योग

5 से विभाज्य सभी तीन-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. AP $100, 105, \dots, 995$। $a = 100$, $d = 5$, $l = 995$। $995 = 100 + (n-1)5 \Rightarrow n = 180$।
2. $S = \dfrac{180}{2}(100 + 995) = 90(1095) = 98550$।

अंतिम उत्तर: 98550।

सार: पहले $n$ ज्ञात करें, फिर प्रथम + अंतिम से योग।

उदाहरण 17: पहला ऋणात्मक पद

$50, 47, 44, \dots$ का पहला ऋणात्मक पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 50$, $d = -3$। $a_n < 0$: $50 + (n-1)(-3) < 0 \Rightarrow 53 - 3n < 0 \Rightarrow n > 17.67$।
2. पहला पूर्णांक $n = 18$: $a_{18} = 50 + 17(-3) = -1$।

अंतिम उत्तर: 18वाँ पद, $-1$।

सार: असमिका $a_n < 0$ को सबसे छोटे पूर्णांक $n$ हेतु हल करें।

उदाहरण 18: AP के एक भाग का योग

$2, 5, 8, \dots$ के 5वें से 12वें पद तक का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 2$, $d = 3$। $S_{12} - S_4$। $S_{12} = \dfrac{12}{2}[4 + 33] = 6(37) = 222$; $S_4 = \dfrac{4}{2}[4 + 9] = 2(13) = 26$।
2. अभीष्ट $= 222 - 26 = 196$।

अंतिम उत्तर: 196।

सार: पद $p$ से $q$ तक योग $S_q - S_{p-1}$ है।

उदाहरण 19: $n$ में समीकरण

$n$ के किस मान के लिए $63, 65, 67, \dots$ और $3, 10, 17, \dots$ के $n$वें पद समान हैं?

हल:

1. पहली AP: $a_n = 63 + (n-1)2 = 61 + 2n$। दूसरी: $a_n = 3 + (n-1)7 = 7n - 4$।
2. समान रखें: $61 + 2n = 7n - 4 \Rightarrow 65 = 5n \Rightarrow n = 13$।

अंतिम उत्तर: $n = 13$।

सार: प्रत्येक का $n$वाँ पद लिखकर बराबर रखें।

उदाहरण 20: $a$ और $l$ दिए होने पर योग

एक AP का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45, और योग 400 है। पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l) = \dfrac{n}{2}(5 + 45) = 25n = 400 \Rightarrow n = 16$।

अंतिम उत्तर: 16 पद।

सार: $a$ और $l$ ज्ञात होने पर $S_n = \dfrac{n}{2}(a+l)$ सीधे $n$ देता है।

उदाहरण 21: $d$ ज्ञात करना

एक AP का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45, योग 400 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल:

1. उदाहरण 20 से, $n = 16$। फिर $l = a + (n-1)d$: $45 = 5 + 15d \Rightarrow d = \dfrac{40}{15} = \dfrac{8}{3}$।

अंतिम उत्तर: $d = \dfrac{8}{3}$।

सार: $n$ ज्ञात होने पर $l = a + (n-1)d$ उपयोग करें।

उदाहरण 22: दो पदों का योग दिया

एक AP के 4वें और 8वें पदों का योग 24 है, और 6वें और 10वें पदों का योग 44 है। प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_4 + a_8 = (a+3d)+(a+7d) = 2a + 10d = 24$।
2. $a_6 + a_{10} = (a+5d)+(a+9d) = 2a + 14d = 44$।
3. घटाएँ: $4d = 20 \Rightarrow d = 5$; फिर $2a + 50 = 24 \Rightarrow a = -13$।
4. प्रथम तीन: $-13, -8, -3$।

अंतिम उत्तर: $-13, -8, -3$।

सार: पद-योग शर्तों से दो समीकरण बनाएँ।

उदाहरण 23: सम संख्याओं का योग

प्रथम 40 धनात्मक सम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. AP $2, 4, 6, \dots$: $a = 2$, $d = 2$, $n = 40$।
2. $S_{40} = \dfrac{40}{2}[4 + 39(2)] = 20[4 + 78] = 20(82) = 1640$।

अंतिम उत्तर: 1640।

सार: प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $= n(n+1)$ (यहाँ $40 \times 41 = 1640$)।

उदाहरण 24: शब्द समस्या — बचत लक्ष्य

कविता सप्ताह 1 में ₹50 बचाती है, प्रत्येक सप्ताह ₹10 बढ़ाते हुए। कितने सप्ताहों में उसकी कुल बचत ₹1100 तक पहुँचेगी?

हल:

1. $a = 50$, $d = 10$। $\dfrac{n}{2}[100 + (n-1)10] = 1100 \Rightarrow n(90 + 10n) = 2200$।
2. $10n^2 + 90n - 2200 = 0 \Rightarrow n^2 + 9n - 220 = 0 \Rightarrow (n + 20)(n - 11) = 0$।
3. $n = 11$ ($-20$ अस्वीकार)।

अंतिम उत्तर: 11 सप्ताह।

सार: $S_n$ को लक्ष्य के बराबर रखकर द्विघात हल करें।

उदाहरण 25: पदों का अनुपात

एक AP के 11वें पद का 18वें पद से अनुपात 2 : 3 है। 5वें का 21वें पद से अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{a + 10d}{a + 17d} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d \Rightarrow a = 4d$।
2. $\dfrac{a + 4d}{a + 20d} = \dfrac{4d + 4d}{4d + 20d} = \dfrac{8d}{24d} = \dfrac{1}{3}$।

अंतिम उत्तर: 1 : 3।

सार: दिए अनुपात से $a$ को $d$ के पदों में व्यक्त करें, फिर प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 26: सीमाओं के बीच गुणजों का योग

10 और 250 के बीच स्थित 4 के सभी गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. गुणज: $12, 16, \dots, 248$। $a = 12$, $d = 4$, $l = 248$। $248 = 12 + (n-1)4 \Rightarrow n = 60$।
2. $S = \dfrac{60}{2}(12 + 248) = 30(260) = 7800$।

अंतिम उत्तर: 7800।

सार: परास के भीतर पहले और अंतिम गुणज पहचानें।

उदाहरण 27: $S_n$ पैटर्न से nवाँ पद

एक AP के $n$ पदों का योग $S_n = n^2$ है। दिखाइए कि यह AP है और $d$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$।
2. $a_1 = 1$, $a_2 = 3$, अतः $d = 2$ (विषम संख्याएँ)।

अंतिम उत्तर: विषम संख्याओं की AP, $d = 2$।

सार: $S_n = n^2$, $1 + 3 + 5 + \dots$ से मेल खाता है।

उदाहरण 28: कौन-सा पद दूसरे का दुगुना है

$a = 2$, $d = 3$ वाली AP में, कौन-सा पद 5वें पद का दुगुना है?

हल:

1. $a_5 = 2 + 4(3) = 14$। हमें $a_n = 28$ चाहिए।
2. $2 + (n-1)3 = 28 \Rightarrow 3(n-1) = 26 \Rightarrow n - 1 = \dfrac{26}{3}$, पूर्णांक नहीं।
3. अतः कोई पद ठीक 5वें पद का दुगुना नहीं है।

अंतिम उत्तर: ऐसा कोई पद नहीं है।

सार: अपूर्णांक $n$ का अर्थ है अभीष्ट पद AP में नहीं है।

उदाहरण 29: पद संबंध सहित योग

एक AP का 14वाँ पद उसके 8वें पद का दुगुना है। यदि 6वाँ पद $-8$ है, तो प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a_{14} = 2a_8$: $a + 13d = 2(a + 7d) \Rightarrow -a - d = 0 \Rightarrow a = -d$।
2. $a_6 = a + 5d = -8$। $a = -d$ के साथ: $-d + 5d = -8 \Rightarrow 4d = -8 \Rightarrow d = -2$, $a = 2$।
3. $S_{20} = \dfrac{20}{2}[4 + 19(-2)] = 10[4 - 38] = 10(-34) = -340$।

अंतिम उत्तर: $-340$।

सार: पहले पद संबंधों को $a$ और $d$ के समीकरणों में अनुवादित करें।

उदाहरण 30: घटती AP का योग

AP $25, 22, 19, \dots, 1$ का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $a = 25$, $d = -3$, $l = 1$। $1 = 25 + (n-1)(-3) \Rightarrow 24 = 3(n-1) \Rightarrow n = 9$।
2. $S = \dfrac{9}{2}(25 + 1) = \dfrac{9}{2}(26) = 117$।

अंतिम उत्तर: 117।

सार: घटती AP भी वही सूत्र उपयोग करती हैं।

उदाहरण 31: मिश्रित बहु-चरण

एक AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 और प्रथम 17 पदों का योग 289 है। प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $S_7 = \dfrac{7}{2}(2a + 6d) = 7(a + 3d) = 49 \Rightarrow a + 3d = 7$।
2. $S_{17} = \dfrac{17}{2}(2a + 16d) = 17(a + 8d) = 289 \Rightarrow a + 8d = 17$।
3. घटाएँ: $5d = 10 \Rightarrow d = 2$; $a = 1$।
4. $S_n = \dfrac{n}{2}[2 + (n-1)2] = \dfrac{n}{2}(2n) = n^2$।

अंतिम उत्तर: $S_n = n^2$।

सार: दो योग-शर्तें $a$ और $d$ देती हैं, फिर व्यापक $S_n$।