बोर्ड के पिछले वर्षों के प्रश्न (Board PYQs)

बोर्ड PYQs को कैसे हल करें

यह खंड द्विघात समीकरण के उन प्रकार के प्रश्नों को एकत्र करता है जो CBSE और राज्य बोर्ड परीक्षाओं में बार-बार आते हैं, पूर्ण चरणबद्ध हल सहित। इन 26 प्रश्नों को हल करना आपकी परीक्षा का अनुमान लगाने का सबसे अच्छा तरीका है।

परीक्षक इस अध्याय में क्या पसंद करते हैं:

1. गुणनखंडन / सूत्र से हल और शब्द समस्याएँ (3 अंक)।
2. विविक्तकर से मूलों की प्रकृति; समान/वास्तविक/कोई-मूल-नहीं हेतु $k$ ज्ञात करना (2–3 अंक)।
3. चाल–समय, क्षेत्रफल, आयु, संख्या शब्द समस्याएँ (3–4 अंक)।
4. व्युत्क्रम और समानीत समीकरण (3 अंक)।

टैग नोट: प्रश्न परीक्षा द्वारा टैग किए गए हैं (जैसे [CBSE Board]); जहाँ सटीक वर्ष अपुष्ट है, केवल परीक्षा का नाम दिया गया है।

परीक्षा सुझाव: विधि बताएँ, प्रत्येक चरण दिखाएँ, अस्वीकार्य मूल त्यागें, और शब्द-समस्या उत्तर इकाइयों सहित शब्दों में लिखें।

हल किए गए पिछले वर्षों के प्रश्न

PYQ 1: गुणनखंडन से हल करें (3 अंक)

गुणनखंडन से $2x^2 - 5x + 3 = 0$ हल करें। [CBSE Board]

हल:

1. $a \times c = 6$; $-5$ को $-2, -3$ में विभाजित करें।
2. $2x^2 - 2x - 3x + 3 = (x - 1)(2x - 3) = 0$।
3. $x = 1, \dfrac{3}{2}$।

अंतिम उत्तर: $x = 1, \dfrac{3}{2}$।

सार: मानक मध्य-पद विभाजन।

PYQ 2: मूलों की प्रकृति (2 अंक)

$2x^2 - 3x + 5 = 0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $D = 9 - 40 = -31 < 0$।

अंतिम उत्तर: कोई वास्तविक मूल नहीं।

सार: $D < 0$ ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं।

PYQ 3: समान मूल — $k$ ज्ञात करना (2 अंक)

$k$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $2x^2 + kx + 3 = 0$ के दो समान मूल हों। [CBSE Board]

हल:

1. $D = k^2 - 4(2)(3) = k^2 - 24 = 0$।
2. $k = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt6$।

अंतिम उत्तर: $k = \pm 2\sqrt6$।

सार: समान मूल ⇒ $D = 0$; करणी सरल करें।

PYQ 4: द्विघात सूत्र (3 अंक)

द्विघात सूत्र से $2x^2 + x - 4 = 0$ हल करें। [CBSE Board]

हल:

1. $D = 1 + 32 = 33$।
2. $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$।

सार: करणी मूलों को सटीक रूप में छोड़ें।

PYQ 5: चाल–समय शब्द समस्या (4 अंक)

एक रेलगाड़ी 360 किमी एकसमान चाल से चलती है। यदि चाल 5 किमी/घं अधिक होती, तो 1 घंटा कम लगता। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $\dfrac{360}{x} - \dfrac{360}{x + 5} = 1 \Rightarrow x^2 + 5x - 1800 = 0$।
2. $(x + 45)(x - 40) = 0 \Rightarrow x = 40$।

अंतिम उत्तर: चाल $= 40$ किमी/घं।

सार: ऋणात्मक चाल त्यागें।

PYQ 6: क्षेत्रफल शब्द समस्या (3 अंक)

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 600 सेमी² है। यदि आधार ऊँचाई के दुगुने से 10 सेमी अधिक है, तो विमाएँ ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना ऊँचाई $= x$; आधार $= 2x + 10$। $\dfrac{1}{2}x(2x + 10) = 600 \Rightarrow x^2 + 5x - 600 = 0$।
2. $(x + 30)(x - 20) = 0 \Rightarrow x = 20$।
3. ऊँचाई 20 सेमी, आधार 50 सेमी।

अंतिम उत्तर: ऊँचाई 20 सेमी, आधार 50 सेमी।

सार: त्रिभुज क्षेत्रफल $\dfrac{1}{2}$ उपयोग करता है; गुणनखंडन से पहले सरल करें।

PYQ 7: व्युत्क्रम/संख्या समस्या (3 अंक)

एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $\dfrac{26}{5}$ है। संख्या ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{26}{5} \Rightarrow 5x^2 - 26x + 5 = 0$।
2. $(5x - 1)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 5$ या $\dfrac{1}{5}$।

अंतिम उत्तर: संख्या 5 (या $\dfrac{1}{5}$) है।

सार: हर हटाएँ, फिर गुणनखंडन करें।

PYQ 8: क्रमागत पूर्णांक (3 अंक)

दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग 290 है। उन्हें ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना वे $x$ और $x + 2$ हैं: $x^2 + (x+2)^2 = 290 \Rightarrow 2x^2 + 4x - 286 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 143 = 0$।
2. $(x + 13)(x - 11) = 0 \Rightarrow x = 11$।
3. पूर्णांक 11 और 13 हैं।

अंतिम उत्तर: 11 और 13।

सार: क्रमागत विषम पूर्णांकों में 2 का अंतर होता है।

PYQ 9: वास्तविक मूल हेतु $k$ ज्ञात करना (2 अंक)

$k$ के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए $kx^2 - 4x + 1 = 0$ के वास्तविक मूल हों। [CBSE Board]

हल:

1. वास्तविक मूल ⇒ $D \geq 0$: $16 - 4k \geq 0$।
2. $k \leq 4$ (और द्विघात होने हेतु $k \neq 0$)।

अंतिम उत्तर: $k \leq 4$, $k \neq 0$।

सार: 'वास्तविक मूल' $D \geq 0$ की अनुमति देता है (समान या भिन्न)।

PYQ 10: पूर्ण वर्ग बनाना (3 अंक)

पूर्ण वर्ग बनाकर $4x^2 + 4\sqrt3 x + 3 = 0$ हल करें। [CBSE Board]

हल:

1. 4 से भाग दें: $x^2 + \sqrt3 x + \dfrac{3}{4} = 0 \Rightarrow x^2 + \sqrt3 x = -\dfrac{3}{4}$।
2. $\sqrt3$ का आधा $\dfrac{\sqrt3}{2}$, वर्ग $\dfrac{3}{4}$: $\left(x + \dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 = 0$।
3. $x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ (समान मूल)।

अंतिम उत्तर: $x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ (दोहराया)।

सार: शून्य दायाँ पक्ष समान मूल का अर्थ है।

PYQ 11: नाव और धारा (4 अंक)

एक मोटरबोट जिसकी शांत जल में चाल 18 किमी/घं है, 24 किमी धारा के प्रतिकूल जाने में उसी स्थान पर अनुकूल लौटने की तुलना में 1 घंटा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $\dfrac{24}{18 - x} - \dfrac{24}{18 + x} = 1 \Rightarrow x^2 + 48x - 324 = 0$।
2. $(x + 54)(x - 6) = 0 \Rightarrow x = 6$।

अंतिम उत्तर: धारा की चाल $= 6$ किमी/घं।

सार: प्रतिकूल/अनुकूल चाल $18 \mp x$ हैं।

PYQ 12: आयु शब्द समस्या (3 अंक)

दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पहले, उनकी आयुओं का गुणनफल 48 था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना आयुएँ $x$ और $20 - x$ हैं। चार वर्ष पहले: $(x - 4)(16 - x) = 48$।
2. $16x - x^2 - 64 + 4x = 48 \Rightarrow -x^2 + 20x - 112 = 0 \Rightarrow x^2 - 20x + 112 = 0$।
3. $D = 400 - 448 = -48 < 0$, अतः कोई वास्तविक हल नहीं — ऐसी स्थिति असंभव है।

अंतिम उत्तर: कोई वास्तविक हल नहीं (स्थिति घटित नहीं हो सकती)।

सार: ऋणात्मक विविक्तकर दिखाता है कि परिदृश्य असंभव है।

PYQ 13: गुणनखंडन से हल (करणी) (3 अंक)

$\sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3} = 0$ हल करें। [CBSE Board]

हल:

1. $a \times c = 21$; 10 को $3 + 7$ में विभाजित करें।
2. $(x + \sqrt3)(\sqrt3 x + 7) = 0$।
3. $x = -\sqrt3, -\dfrac{7\sqrt3}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = -\sqrt3, -\dfrac{7\sqrt3}{3}$।

सार: करणी गुणनखंडन; अंतिम मूलों का परिमेयकरण करें।

PYQ 14: दो नल (4 अंक)

दो पानी के नल मिलकर एक टंकी को $9\dfrac{3}{8}$ घंटे में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल टंकी को अलग से भरने में छोटे से 10 घंटे कम लेता है। प्रत्येक द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना छोटा $x$ घंटे लेता है, बड़ा $x - 10$। संयुक्त: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 10} = \dfrac{8}{75}$।
2. $75(2x - 10) = 8x(x - 10) \Rightarrow 8x^2 - 230x + 750 = 0 \Rightarrow 4x^2 - 115x + 375 = 0$।
3. $x = \dfrac{115 \pm \sqrt{13225 - 6000}}{8} = \dfrac{115 \pm 85}{8} = 25$ या $3.75$। 3.75 अस्वीकार ($x - 10 < 0$)।

अंतिम उत्तर: छोटा 25 घंटे, बड़ा 15 घंटे।

सार: $9\tfrac{3}{8} = \tfrac{75}{8}$, अतः संयुक्त दर $= \tfrac{8}{75}$।

PYQ 15: समान मूल हेतु $k$ ($a$ में प्राचल) (2 अंक)

$k$ ऐसा ज्ञात कीजिए कि $(k + 1)x^2 - 2(k - 1)x + 1 = 0$ के समान मूल हों। [CBSE Board]

हल:

1. $D = [2(k-1)]^2 - 4(k+1)(1) = 0$।
2. $4(k^2 - 2k + 1) - 4(k + 1) = 0 \Rightarrow k^2 - 3k = 0 \Rightarrow k(k - 3) = 0$।
3. $k = 0$ या $k = 3$।

अंतिम उत्तर: $k = 0$ या $k = 3$।

सार: $D = 0$ प्रसारित करें; दोनों मान मान्य हैं (प्रत्येक $a \neq 0$ रखता है)।

PYQ 16: संख्या समस्या (3 अंक)

दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का 8 गुना है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना बड़ी $= x$, छोटी $= y$: $x^2 - y^2 = 180$ और $y^2 = 8x$।
2. प्रतिस्थापित करें: $x^2 - 8x - 180 = 0 = (x - 18)(x + 10)$; $x = 18$।
3. $y^2 = 8(18) = 144 \Rightarrow y = 12$।

अंतिम उत्तर: संख्याएँ 18 और 12 हैं।

सार: एक चर में द्विघात पाने हेतु दूसरी शर्त प्रतिस्थापित करें।

PYQ 17: भिन्न समीकरण हल करें (3 अंक)

$\dfrac{1}{x - 3} - \dfrac{1}{x + 5} = \dfrac{1}{6}$ हल करें, $x \neq 3, -5$। [CBSE Board]

हल:

1. $\dfrac{(x+5) - (x-3)}{(x-3)(x+5)} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{8}{x^2 + 2x - 15} = \dfrac{1}{6}$।
2. $48 = x^2 + 2x - 15 \Rightarrow x^2 + 2x - 63 = 0 = (x + 9)(x - 7)$।
3. $x = 7$ या $x = -9$।

अंतिम उत्तर: $x = 7, -9$।

सार: भिन्नों को संयोजित करें, तिर्यक-गुणन करें, और गुणनखंडन करें।

PYQ 18: समान मूल शर्त दिखाएँ (3 अंक)

यदि $(a^2 + b^2)x^2 - 2(ac + bd)x + (c^2 + d^2) = 0$ के मूल समान हैं, तो दिखाइए कि $ad = bc$। [CBSE Board]

हल:

1. $D = 0$: $4(ac + bd)^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$।
2. प्रसार: $(ac + bd)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$।
3. यह $(ad - bc)^2 = 0 \Rightarrow ad = bc$ में सरल हो जाता है।

अंतिम उत्तर: $ad = bc$।

सार: $D = 0$ रखकर प्रसार करने से एक पूर्ण-वर्ग शर्त मिलती है।

PYQ 19: शब्द समस्या — अंक (3 अंक)

एक कक्षा परीक्षा में, P द्वारा गणित और विज्ञान में प्राप्त अंकों का योग 28 है। यदि उसे गणित में 3 अधिक और विज्ञान में 4 कम मिलते, तो अंकों का गुणनफल 180 होता। प्रत्येक में उसके मूल अंक ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना गणित $= x$, विज्ञान $= 28 - x$। शर्त: $(x + 3)(28 - x - 4) = 180 \Rightarrow (x + 3)(24 - x) = 180$।
2. $24x - x^2 + 72 - 3x = 180 \Rightarrow -x^2 + 21x - 108 = 0 \Rightarrow x^2 - 21x + 108 = 0$।
3. $(x - 9)(x - 12) = 0 \Rightarrow x = 9$ या $12$। अतः (गणित, विज्ञान) = (9, 19) या (12, 16)।

अंतिम उत्तर: गणित 9, विज्ञान 19 (या गणित 12, विज्ञान 16)।

सार: दोनों मान्य हल बताए जा सकते हैं।

PYQ 20: विविक्तकर संभाव्यता तय करता है (2 अंक)

क्या 80 मी परिमाप और 400 मी² क्षेत्रफल का एक आयताकार पार्क डिज़ाइन करना संभव है? यदि हाँ, तो विमाएँ ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. अर्ध-परिमाप $= 40$; भुजाएँ $t^2 - 40t + 400 = 0$ के मूल हैं।
2. $D = 1600 - 1600 = 0$, अतः समान मूल: $t = 20$।
3. हाँ — यह 20 मी भुजा का एक वर्ग है।

अंतिम उत्तर: हाँ; 20 मी × 20 मी वर्ग।

सार: $D = 0$ ⇒ एक अद्वितीय (यहाँ वर्ग) हल।

PYQ 21: $a^2x^2 - 3abx + 2b^2 = 0$ हल करें (3 अंक)

$x$ के लिए हल करें: $a^2x^2 - 3abx + 2b^2 = 0$। [CBSE Board]

हल:

1. $-3ab$ को $-ab - 2ab$ में विभाजित करें: $a^2x^2 - abx - 2abx + 2b^2 = ax(ax - b) - 2b(ax - b) = (ax - b)(ax - 2b) = 0$।
2. $x = \dfrac{b}{a}$ या $x = \dfrac{2b}{a}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{b}{a}, \dfrac{2b}{a}$।

सार: $a$, $b$ को अचर मानकर सामान्य रूप से गुणनखंडन करें।

PYQ 22: रेलगाड़ी शब्द समस्या (दूरी स्थिर) (4 अंक)

एक व्यक्ति द्वारा 150 किमी तय करने में लिया गया समय लौटने की यात्रा में लिए गए समय से 2.5 घंटे अधिक था। यदि वह आगे की चाल से 10 किमी/घं अधिक चाल से लौटा, तो आगे की चाल ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. आगे की चाल $= x$, लौटने की $= x + 10$। $\dfrac{150}{x} - \dfrac{150}{x + 10} = 2.5$।
2. $150(10) = 2.5x(x + 10) \Rightarrow 1500 = 2.5x^2 + 25x \Rightarrow x^2 + 10x - 600 = 0$।
3. $(x + 30)(x - 20) = 0 \Rightarrow x = 20$।

अंतिम उत्तर: आगे की चाल $= 20$ किमी/घं।

सार: समय-अंतर की व्यवस्था करें; ऋणात्मक चाल त्यागें।

PYQ 23: प्राचल सहित प्रकृति (2 अंक)

$k$ के किस मान के लिए $x^2 + 5kx + 16 = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है? [CBSE Board]

हल:

1. कोई वास्तविक मूल नहीं ⇒ $D < 0$: $(5k)^2 - 64 < 0$।
2. $25k^2 < 64 \Rightarrow -\dfrac{8}{5} < k < \dfrac{8}{5}$।

अंतिम उत्तर: $-\dfrac{8}{5} < k < \dfrac{8}{5}$।

सार: $D < 0$ $k$ के लिए एक अंतराल देता है।

PYQ 24: सूत्र से हल (दशमलव) (3 अंक)

$0.2x^2 + 0.3x - 1 = 0$ हल करें (या समतुल्य $2x^2 + 3x - 10 = 0$)। [State Board]

हल:

1. सीधे $2x^2 + 3x - 10 = 0$ उपयोग करें: $D = 9 + 80 = 89$।
2. $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{89}}{4}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{89}}{4}$।

सार: पहले दशमलव हटाएँ, फिर सूत्र लगाएँ।

PYQ 25: आयताकार मैदान (3 अंक)

एक आयताकार मैदान का विकर्ण छोटी भुजा से 60 मी अधिक है। लंबी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना छोटी भुजा $= x$। लंबी $= x + 30$, विकर्ण $= x + 60$।
2. पाइथागोरस: $x^2 + (x + 30)^2 = (x + 60)^2$।
3. $x^2 + x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600 \Rightarrow x^2 - 60x - 2700 = 0 = (x - 90)(x + 30)$; $x = 90$।
4. भुजाएँ: 90 मी और 120 मी (विकर्ण 150 मी)।

अंतिम उत्तर: छोटी 90 मी, लंबी 120 मी।

सार: सभी भुजाओं को $x$ के पदों में रखकर पाइथागोरस लगाएँ।

PYQ 26: हल करें और दोनों मूल उपयोग करें (3 अंक)

$x^2 - (\sqrt3 + 1)x + \sqrt3 = 0$ हल करें। [CBSE Board]

हल:

1. विभाजित करें: $x^2 - \sqrt3 x - x + \sqrt3 = x(x - \sqrt3) - 1(x - \sqrt3) = (x - \sqrt3)(x - 1) = 0$।
2. $x = \sqrt3$ या $x = 1$।

अंतिम उत्तर: $x = \sqrt3, 1$।

सार: मध्य पद विभाजित करते समय करणी पदों को समूहित करें।