गुणनखंडन द्वारा हल

शून्य-गुणनफल नियम

गुणनखंडन द्विघात हल करने का सबसे तेज़ तरीका है जब वह अच्छे से गुणनखंडित हो जाए। यह एक सरल विचार पर टिका है:

शून्य-गुणनफल नियम: यदि दो गुणनखंडों का गुणनफल शून्य हो, तो कम-से-कम एक गुणनखंड शून्य होना चाहिए। अर्थात्, यदि $A \cdot B = 0$, तो $A = 0$ या $B = 0$।

अतः यदि हम $ax^2 + bx + c = 0$ को $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ (एक अचर तक) लिख सकें, तो मूल केवल $x = \alpha$ और $x = \beta$ हैं।

त्वरित उदाहरण

$x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2$ या $x = 3$।

मुख्य बिंदु: गुणनखंडन करें, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखें, और हल करें। दोनों मान मूल हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यह विधि तभी काम करती है जब द्विघात परिमेय संख्याओं पर गुणनखंडित हो। यदि नहीं, तो पूर्ण वर्ग या द्विघात सूत्र (बाद के खंड) उपयोग करें।

मध्य पद को विभाजित करना

$ax^2 + bx + c$ का गुणनखंडन करने हेतु, हम मध्य पद $bx$ को दो पदों में विभाजित करते हैं जिनके गुणांक:

• $a \times c$ का गुणनफल दें, और
• $b$ का योग दें।

हल किया गया उदाहरण: $2x^2 - 5x + 3 = 0$

1. यहाँ $a \times c = 2 \times 3 = 6$, और हमें 6 का गुणनफल और $-5$ का योग देने वाली दो संख्याएँ चाहिए: वे $-2$ और $-3$ हैं।
2. विभाजित करें: $2x^2 - 2x - 3x + 3 = 0$।
3. समूहन करें: $2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(2x - 3) = 0$।
4. मूल: $x = 1$ और $x = \dfrac{3}{2}$।

मुख्य बिंदु: गुणनफल $ac$ और योग $b$ वाली दो संख्याएँ खोजें। यही मध्य पद विभाजन का हृदय है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] जब $a \neq 1$, तो गुणनफल के लिए $a \times c$ (न कि केवल $c$) उपयोग करें। यह सबसे सामान्य गुणनखंडन त्रुटि है।

समान मूल और विशेष रूप

कभी-कभी एक द्विघात पूर्ण वर्ग के रूप में गुणनखंडित होता है, जिससे दो समान मूल मिलते हैं।

पूर्ण-वर्ग स्थिति

$x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$ (एक दोहराया मूल)।

वर्गों का अंतर

$x^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 4, -4$।

पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड

$2x^2 - 8x = 0 \Rightarrow 2x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, 4$। (किसी भी अन्य चीज़ से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें।)

मुख्य बिंदु: मध्य पद विभाजित करने से पहले सदैव उभयनिष्ठ गुणनखंड या पहचानने योग्य पैटर्न (पूर्ण वर्ग, वर्गों का अंतर) खोजें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $x = 0$ एक पूर्णतः मान्य मूल है। इसे न त्यागें — जब $c = 0$, तो एक मूल सदैव 0 होता है।

करणी और भिन्न सहित गुणनखंडन

कुछ बोर्ड समस्याओं में करणी गुणांक होते हैं। विधि वही है — गुणनफल और योग खोजें।

करणी उदाहरण

$\sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0$: यहाँ $a \times c = \sqrt2 \times 5\sqrt2 = 10$; 7 को $2 + 5$ में विभाजित करें। अतः $\sqrt2 x^2 + 2x + 5x + 5\sqrt2 = \sqrt2 x(x + \sqrt2) + 5(x + \sqrt2) = (x + \sqrt2)(\sqrt2 x + 5) = 0$, जिससे $x = -\sqrt2$ और $x = -\dfrac{5}{\sqrt2} = -\dfrac{5\sqrt2}{2}$।

मुख्य बिंदु: करणी के साथ भी, $ac$ का गुणनफल और $b$ का योग देने वाली दो संख्याएँ खोजें। आवश्यकता हो तो अंतिम उत्तरों का परिमेयकरण करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] करणी वाले मूल ज्ञात करने के बाद, पूरे अंक हेतु उन्हें परिमेयकृत, सरलीकृत रूप में प्रस्तुत करें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सरल गुणनखंडन

$x^2 - 7x + 12 = 0$ हल करें।

हल:

1. गुणनफल 12 और योग $-7$ वाली दो संख्याएँ: $-3$ और $-4$।
2. $(x - 3)(x - 4) = 0$।
3. मूल: $x = 3, 4$।

अंतिम उत्तर: $x = 3, 4$।

सार: गुणनफल $c$, योग $b$ (क्योंकि $a = 1$)।

उदाहरण 2: $a \neq 1$ के साथ

$2x^2 - 5x + 3 = 0$ हल करें।

हल:

1. $a \times c = 6$; 6 का गुणनफल, $-5$ का योग देने वाली संख्याएँ: $-2, -3$।
2. $2x^2 - 2x - 3x + 3 = 2x(x-1) - 3(x-1) = (x-1)(2x-3) = 0$।
3. मूल: $x = 1, \dfrac{3}{2}$।

अंतिम उत्तर: $x = 1, \dfrac{3}{2}$।

सार: $a \neq 1$ होने पर गुणनफल के लिए $a \times c$ उपयोग करें।

उदाहरण 3: $6x^2 - x - 2 = 0$ के मूल

गुणनखंडन से हल करें।

हल:

1. $a \times c = -12$; $-12$ का गुणनफल, $-1$ का योग देने वाली संख्याएँ: $-4$ और $3$।
2. $6x^2 - 4x + 3x - 2 = 2x(3x - 2) + 1(3x - 2) = (2x + 1)(3x - 2) = 0$।
3. मूल: $x = -\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = -\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}$।

सार: ऋणात्मक गुणनफल का अर्थ है दोनों संख्याओं के चिह्न विपरीत हैं।

उदाहरण 4: समान मूल (पूर्ण वर्ग)

$x^2 - 10x + 25 = 0$ हल करें।

हल:

1. $(x - 5)^2 = 0$।
2. $x = 5$ (दोहराया)।

अंतिम उत्तर: $x = 5, 5$ (समान मूल)।

सार: एक पूर्ण-वर्ग त्रिपद दो समान मूल देता है।

उदाहरण 5: वर्गों का अंतर

$9x^2 - 25 = 0$ हल करें।

हल:

1. $(3x - 5)(3x + 5) = 0$।
2. मूल: $x = \dfrac{5}{3}, -\dfrac{5}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = \pm\dfrac{5}{3}$।

सार: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$।

उदाहरण 6: पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड

$3x^2 - 12x = 0$ हल करें।

हल:

1. $3x$ बाहर निकालें: $3x(x - 4) = 0$।
2. मूल: $x = 0$ और $x = 4$।

अंतिम उत्तर: $x = 0, 4$।

सार: जब $c = 0$, तो $x$ बाहर निकालें; एक मूल 0 होता है।

उदाहरण 7: करणी गुणांक

$\sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3} = 0$ हल करें।

हल:

1. $a \times c = \sqrt3 \times 7\sqrt3 = 21$; 10 को $3 + 7$ में विभाजित करें।
2. $\sqrt3 x^2 + 3x + 7x + 7\sqrt3 = \sqrt3 x(x + \sqrt3) + 7(x + \sqrt3) = (x + \sqrt3)(\sqrt3 x + 7) = 0$।
3. मूल: $x = -\sqrt3$ और $x = -\dfrac{7}{\sqrt3} = -\dfrac{7\sqrt3}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = -\sqrt3, -\dfrac{7\sqrt3}{3}$।

सार: करणी विधि नहीं बदलती; अंतिम मूल का परिमेयकरण करें।

उदाहरण 8: पहले भिन्न हटाना

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = 3$ हल करें (माना $x \neq 0, 2$)।

हल:

1. संयोजित करें: $\dfrac{(x-2) + x}{x(x-2)} = 3 \Rightarrow 2x - 2 = 3x(x - 2)$।
2. $2x - 2 = 3x^2 - 6x \Rightarrow 3x^2 - 8x + 2 = 0$।
3. (अच्छे से गुणनखंडित नहीं होता — बाद में सूत्र उपयोग करें; यहाँ हमने सही व्यवस्था की।)

अंतिम उत्तर: $3x^2 - 8x + 2 = 0$ (फिर सूत्र से हल करें)।

सार: विधि तय करने से पहले हर हटाकर मानक रूप तक पहुँचें।

उदाहरण 9: गुणनखंडन द्वारा शब्द समस्या

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 132 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x(x + 1) = 132 \Rightarrow x^2 + x - 132 = 0$।
2. $-132$ का गुणनफल, 1 का योग वाली संख्याएँ: $12$ और $-11$। $(x + 12)(x - 11) = 0$।
3. $x = 11$ ($-12$ अस्वीकार, क्योंकि धनात्मक पूर्णांक चाहिए); पूर्णांक 11 और 12 हैं।

अंतिम उत्तर: 11 और 12।

सार: समस्या के संदर्भ के आधार पर अस्वीकार्य मूल को त्यागें।

उदाहरण 10: क्षेत्रफल शब्द समस्या

एक आयत का क्षेत्रफल 70 मी² है। इसकी लंबाई इसकी चौड़ाई से 3 मी अधिक है। विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना चौड़ाई $= x$ मी। लंबाई $= x + 3$ मी। क्षेत्रफल: $x(x + 3) = 70 \Rightarrow x^2 + 3x - 70 = 0$।
2. $-70$ का गुणनफल और $3$ का योग देने वाली दो संख्याएँ: $10$ और $-7$। अतः $(x + 10)(x - 7) = 0$।
3. $x = 7$ या $x = -10$। $-10$ अस्वीकार (चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती), अतः $x = 7$।
4. चौड़ाई $= 7$ मी, लंबाई $= 10$ मी।

अंतिम उत्तर: चौड़ाई 7 मी, लंबाई 10 मी।

सार: ऋणात्मक मूल त्यागें; लंबाई/चौड़ाई धनात्मक होनी चाहिए।