द्विघात सूत्र और मूलों की प्रकृति

द्विघात सूत्र

सामान्य समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर पूर्ण-वर्ग विधि लगाने से एक मास्टर सूत्र मिलता है जो प्रत्येक द्विघात हल करता है:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

यहाँ $a$ , $b$ , $c$ मानक रूप से सीधे पढ़े जाते हैं। $\pm$ दोनों मूल देता है।

त्वरित उदाहरण

$x^2 - 5x + 6 = 0$ के लिए: $a = 1, b = -5, c = 6$ । $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ या } 2.$

मुख्य बिंदु: सदैव पहले समीकरण मानक रूप में लिखें, फिर $a$ , $b$ , $c$ को (चिह्नों सहित) सावधानी से सूत्र में रखें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] सूत्र तब भी काम करता है जब गुणनखंडन विफल हो। यह सबसे विश्वसनीय विधि है — परंतु चिह्नों का ध्यान रखें, विशेषकर $b$ के।

विविक्तकर

वर्गमूल के अंदर की राशि विविक्तकर (discriminant) कहलाती है, जिसे $D$ (या $\Delta$ ) से दर्शाते हैं:

$D = b^2 - 4ac$

विविक्तकर अकेले — बिना हल किए — आपको मूलों की प्रकृति बता देता है, क्योंकि $\sqrt{D}$ तय करता है कि मूल किस प्रकार की संख्याएँ हैं।

मुख्य बिंदु: पहले $D = b^2 - 4ac$ की गणना करें। इसका चिह्न तुरंत मूलों को वर्गीकृत कर देता है।

तीन स्थितियाँ

विविक्तकर	मूलों की प्रकृति
$D > 0$	दो भिन्न वास्तविक मूल
$D = 0$	दो समान वास्तविक मूल (एक दोहराया)
$D < 0$	कोई वास्तविक मूल नहीं

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'मूलों की प्रकृति ज्ञात करें' का अर्थ है: $D$ की गणना करें और बताएँ कि तीन में से कौन-सी स्थिति लागू है। आपको मूल स्वयं ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं।

$तीन परवलय जो दर्शाते हैं कि विविक्तकर D = b^2 - 4ac किस प्रकार ax^2 + bx + c = 0 के मूलों की प्रकृति तय करता है: D धनात्मक x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है (दो भिन्न वास्तविक मूल), D=0 एक बार स्पर्श करता है (एक पुनरावृत्त मूल), D ऋणात्मक उससे नहीं मिलता (कोई वास्तविक मूल नहीं)।$

शर्तें ज्ञात करने में विविक्तकर का उपयोग

एक बहुत सामान्य परीक्षा प्रकार: 'किस $k$ मान के लिए समीकरण के समान मूल हों, ज्ञात करें।' यह $D = 0$ का उपयोग करता है।

हल किया गया उदाहरण

$x^2 - kx + 9 = 0$ के समान मूल होने के लिए: $D = 0$ ।

$D = (-k)^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$ ।

इसी प्रकार:

वास्तविक मूलों के लिए, $D \geq 0$ आवश्यक।
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए, $D < 0$ आवश्यक।

मुख्य बिंदु: मूलों पर शर्त को $D$ पर शर्त में अनुवादित करें, फिर अज्ञात के लिए हल करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'समान मूल' ⇒ $D = 0$ ; 'वास्तविक एवं भिन्न' ⇒ $D > 0$ ; 'वास्तविक मूल' (समान सहित) ⇒ $D \geq 0$ । भाषा ध्यान से पढ़ें।

जब मूल समान हों

जब $D = 0$ , तो दोनों मूल संपाती होते हैं और दोनों इसके बराबर होते हैं:

$x = -\frac{b}{2a}$

(यह सूत्र है जिसमें $\sqrt{D} = 0$ पद हट गया है।)

उदाहरण

$4x^2 - 12x + 9 = 0$ : $D = 144 - 144 = 0$ , अतः मूल समान हैं: $x = -\dfrac{-12}{2 \times 4} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$ ।

मुख्य बिंदु: समान मूलों के लिए, पूरे सूत्र की आवश्यकता नहीं — केवल $x = -\dfrac{b}{2a}$ ।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $D = 0$ दिखाने के बाद समान मूल ज्ञात करने को कहा जाए, तो सीधे $x = -\dfrac{b}{2a}$ उपयोग करें। यह समय बचाता है और त्रुटियाँ टालता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: द्विघात सूत्र लगाना

सूत्र से $2x^2 + x - 6 = 0$ हल करें।

हल:

$a = 2, b = 1, c = -6$ । $D = 1 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49$ ।
$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} = \dfrac{-1 \pm 7}{4}$ ।
$x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ या $x = \dfrac{-8}{4} = -2$ ।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{3}{2}, -2$ ।

सार: $D$ की गणना करें, फिर $\pm$ सूत्र लगाएँ।

उदाहरण 2: विविक्तकर ज्ञात करना

$2x^2 - 4x + 3 = 0$ का विविक्तकर ज्ञात कर मूलों की प्रकृति बताइए।

हल:

$a = 2, b = -4, c = 3$ ।
$D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8$ ।
$D < 0$ ।

अंतिम उत्तर: $D = -8 < 0$ , अतः कोई वास्तविक मूल नहीं।

सार: ऋणात्मक विविक्तकर ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं।

उदाहरण 3: करणी सहित मूल

सूत्र से $x^2 - 4x + 1 = 0$ हल करें।

हल:

$a = 1, b = -4, c = 1$ । $D = 16 - 4 = 12$ ।
$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \dfrac{4 \pm 2\sqrt3}{2} = 2 \pm \sqrt3$ ।

अंतिम उत्तर: $x = 2 + \sqrt3, 2 - \sqrt3$ ।

सार: $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ सरल करें और भिन्न घटाएँ।

उदाहरण 4: समान मूल — $k$ ज्ञात करना

$k$ ज्ञात कीजिए ताकि $x^2 - kx + 9 = 0$ के समान मूल हों।

हल:

समान मूल ⇒ $D = 0$ : $(-k)^2 - 4(1)(9) = 0$ ।
$k^2 - 36 = 0 \Rightarrow k = \pm 6$ ।

अंतिम उत्तर: $k = 6$ या $k = -6$ ।

सार: समान मूल ⇒ $D = 0$ रखकर हल करें।

उदाहरण 5: भिन्न वास्तविक मूल की शर्त

$k$ के किन मानों के लिए $x^2 + kx + 4 = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं?

हल:

भिन्न वास्तविक मूल ⇒ $D > 0$ : $k^2 - 16 > 0$ ।
$k^2 > 16 \Rightarrow k > 4$ या $k < -4$ ।

अंतिम उत्तर: $k > 4$ या $k < -4$ ।

सार: $D > 0$ अज्ञात में एक असमिका देता है।

उदाहरण 6: समान मूल का मान

दिखाइए कि $4x^2 - 12x + 9 = 0$ के समान मूल हैं और मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

$D = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0$ । अतः मूल समान हैं।
समान मूल: $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-12}{8} = \dfrac{3}{2}$ ।

अंतिम उत्तर: समान मूल, $x = \dfrac{3}{2}$ ।

सार: $D = 0$ ⇒ दोहराए मूल हेतु $x = -b/(2a)$ उपयोग करें।

उदाहरण 7: $a \neq 1$ सहित सूत्र

सूत्र से $3x^2 - 5x + 2 = 0$ हल करें।

हल:

$a = 3, b = -5, c = 2$ । $D = 25 - 24 = 1$ ।
$x = \dfrac{5 \pm 1}{6}$ ।
$x = 1$ या $x = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ।

अंतिम उत्तर: $x = 1, \dfrac{2}{3}$ ।

सार: पूर्ण-वर्ग विविक्तकर परिमेय मूल देता है।

उदाहरण 8: कोई वास्तविक मूल नहीं — $k$ परास

$k$ के किन मानों के लिए $2x^2 + 3x + k = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है?

हल:

कोई वास्तविक मूल नहीं ⇒ $D < 0$ : $9 - 8k < 0$ ।
$9 < 8k \Rightarrow k > \dfrac{9}{8}$ ।

अंतिम उत्तर: $k > \dfrac{9}{8}$ ।

सार: $D < 0$ कोई-वास्तविक-मूल-नहीं परास देता है।

उदाहरण 9: विविक्तकर एक वास्तविक-जीवन संभाव्यता तय करता है

क्या किसी आयत का परिमाप 20 मी और क्षेत्रफल 30 मी² हो सकता है? (व्यवस्था कर विविक्तकर उपयोग करें।)

हल:

माना लंबाई और चौड़ाई का योग $10$ (अर्ध-परिमाप) और गुणनफल 30। अतः वे $t^2 - 10t + 30 = 0$ के मूल हैं।
$D = 100 - 120 = -20 < 0$ ।
कोई वास्तविक मूल नहीं, अतः ऐसा आयत असंभव है।

अंतिम उत्तर: नहीं — विविक्तकर ऋणात्मक है, अतः ऐसा कोई आयत नहीं है।

सार: ऋणात्मक विविक्तकर दिखाता है कि किसी स्थिति का कोई वास्तविक हल नहीं।

उदाहरण 10: हल कर सरल करें

सूत्र से $x^2 + x - 1 = 0$ हल करें।

हल:

$a = 1, b = 1, c = -1$ । $D = 1 + 4 = 5$ ।
$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt5}{2}$ ।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{-1 + \sqrt5}{2}, \dfrac{-1 - \sqrt5}{2}$ ।

सार: जब $D$ पूर्ण वर्ग न हो, तो मूलों को करणी रूप में छोड़ें।

द्विघातीय समीकरण