भूमिका और द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण क्या है?

पिछले अध्याय में, घात 2 के बहुपदों को द्विघात कहा गया था। जब हम किसी द्विघात बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं, तो हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है।

चर $x$ में एक द्विघात समीकरण वह कोई भी समीकरण है जिसे मानक रूप में लिखा जा सके:

$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$$

जहाँ $a$, $b$, $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और — महत्वपूर्ण रूप से — $a \neq 0$। (यदि $a = 0$, तो $x^2$ पद लुप्त हो जाता है और यह द्विघात नहीं रहता।)

मुख्य बिंदु: परिभाषक विशेषता है अशून्य गुणांक वाला $x^2$ पद। $x$ की सबसे बड़ी घात ठीक 2 होनी चाहिए।

उदाहरण: $x^2 - 5x + 6 = 0$, $2x^2 = 8$, $3x^2 + x = 0$ सभी द्विघात समीकरण हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $a$, $b$, $c$ पहचानने या कोई विधि लगाने से पहले सदैव समीकरण को मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में पुनर्व्यवस्थित करें।

जाँचना कि समीकरण द्विघात है या नहीं

कुछ समीकरण जटिल दिखते हैं परंतु सरल करने पर द्विघात (या नहीं) निकलते हैं। परीक्षण: सब कुछ एक ओर लाएँ, सरल करें, और जाँचें कि $x$ की सबसे बड़ी घात ठीक 2 है या नहीं।

हल किया गया उदाहरण

• $(x + 1)^2 = 2(x - 3)$: प्रसार → $x^2 + 2x + 1 = 2x - 6$ → $x^2 + 7 = 0$। सबसे बड़ी घात 2 → द्विघात।
• $x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x - 2)$: → $x^2 + x + 8 = x^2 - 4$ → $x + 12 = 0$। $x^2$ लुप्त → द्विघात नहीं (रैखिक है)।

मुख्य बिंदु: पूर्ण सरलीकरण के बाद, समीकरण तभी द्विघात है जब $x^2$ पद अशून्य गुणांक के साथ बचे। बिना सरल किए रूप से निर्णय न लें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक पसंदीदा जाल: दोनों ओर $x^2$ वाला समीकरण रैखिक समीकरण में सरल हो सकता है। सदैव पहले सरल करें।

द्विघात समीकरण के मूल

$ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल (या हल) $x$ का वह मान है जो समीकरण को सत्य बनाता है, अर्थात् $x = \alpha$ के लिए $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$।

• एक द्विघात समीकरण के अधिक-से-अधिक दो मूल होते हैं (क्योंकि इसकी घात 2 है)।
• ये मूल ठीक बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक होते हैं — अध्याय 2 का वही विचार, अब हल करने में लागू।

मूल की जाँच

क्या $x = 2$, $x^2 - 3x + 2 = 0$ का मूल है? प्रतिस्थापित करें: $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$। हाँ, 2 एक मूल है।

मुख्य बिंदु: 'द्विघात समीकरण हल करें' का अर्थ है 'इसके मूल ज्ञात करें' — इसे संतुष्ट करने वाले $x$ के मान।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] किसी दिए मान के मूल होने की पुष्टि हेतु, उसे प्रतिस्थापित करें और जाँचें कि समीकरण 0 तक घट जाता है। यह एक सामान्य 1-अंक का कार्य है।

परिस्थितियों से द्विघात समीकरण बनाना

अनेक समस्याएँ एक वास्तविक-जीवन परिस्थिति वर्णित करती हैं जो एक द्विघात समीकरण में अनुवादित होती है। कौशल यह है कि एक चर निर्धारित करें और शर्त को व्यक्त करें।

हल किया गया उदाहरण

'दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 156 है।'

1. माना छोटा पूर्णांक $x$ है; अगला $x + 1$ है।
2. इनका गुणनफल: $x(x + 1) = 156$।
3. प्रसार: $x^2 + x - 156 = 0$ — एक द्विघात समीकरण।

क्षेत्रफल उदाहरण

'एक आयताकार भूखंड की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 मी अधिक है, और इसका क्षेत्रफल 70 मी² है।'

• माना चौड़ाई $= x$। लंबाई $= x + 3$। क्षेत्रफल: $x(x + 3) = 70 \Rightarrow x^2 + 3x - 70 = 0$।

मुख्य बिंदु: चर परिभाषित करें, शर्त को गुणनफल या व्यंजक के रूप में लिखें, फिर मानक रूप में लाएँ।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'माना … $x$ है' इकाइयों सहित स्पष्ट रूप से बताएँ। सही समीकरण बनाना हल करने से पहले ही प्रायः एक-दो अंक का होता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: क्या यह द्विघात समीकरण है?

क्या $(x - 2)^2 + 1 = 2x - 3$ एक द्विघात समीकरण है?

हल:

1. प्रसार: $x^2 - 4x + 4 + 1 = 2x - 3$।
2. एक ओर लाएँ: $x^2 - 4x + 5 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 8 = 0$।
3. सबसे बड़ी घात 2 है।

अंतिम उत्तर: हाँ, यह द्विघात है।

सार: पूर्ण सरल करें, फिर जाँचें कि $x^2$ पद बचता है।

उदाहरण 2: द्विघात नहीं

क्या $x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x - 2)$ एक द्विघात समीकरण है?

हल:

1. प्रसार: $x^2 + x + 8 = x^2 - 4$।
2. $x^2$ पद लुप्त: $x + 8 = -4 \Rightarrow x + 12 = 0$।
3. सबसे बड़ी घात 1 है।

अंतिम उत्तर: नहीं, यह रैखिक है, द्विघात नहीं।

सार: दोनों ओर समान $x^2$ लुप्त हो सकता है — सदैव सरल करें।

उदाहरण 3: $a$, $b$, $c$ पहचानना

$3x^2 = 5x - 2$ को मानक रूप में लिखकर $a$, $b$, $c$ बताइए।

हल:

1. सभी पद एक ओर ले जाएँ: $3x^2 - 5x + 2 = 0$।
2. अतः $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$।

अंतिम उत्तर: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$।

सार: गुणांक पढ़ने से पहले $ax^2 + bx + c = 0$ में पुनर्व्यवस्थित करें।

उदाहरण 4: मूल की जाँच

क्या $x = -3$, $x^2 + x - 6 = 0$ का मूल है?

हल:

1. प्रतिस्थापित करें: $(-3)^2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$।
2. चूँकि यह 0 के बराबर है, $-3$ एक मूल है।

अंतिम उत्तर: हाँ, $x = -3$ एक मूल है।

सार: प्रतिस्थापित करें और जाँचें कि समीकरण 0 बन जाता है।

उदाहरण 5: समीकरण बनाना (क्रमागत पूर्णांक)

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 156 है। द्विघात समीकरण बनाइए।

हल:

1. माना पूर्णांक $x$ और $x + 1$ हैं।
2. $x(x + 1) = 156 \Rightarrow x^2 + x - 156 = 0$।

अंतिम उत्तर: $x^2 + x - 156 = 0$।

सार: क्रमागत पूर्णांक $x$ और $x + 1$ होते हैं।

उदाहरण 6: समीकरण बनाना (क्षेत्रफल)

एक आयताकार हॉल की लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 3 मी अधिक है। इसका क्षेत्रफल 90 मी² है। समीकरण बनाइए।

हल:

1. माना चौड़ाई $= x$। लंबाई $= 2x + 3$।
2. क्षेत्रफल: $x(2x + 3) = 90 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 90 = 0$।

अंतिम उत्तर: $2x^2 + 3x - 90 = 0$।

सार: 'दुगुने से अधिक' को $2x + 3$ लिखें, फिर क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई।

उदाहरण 7: मूल दिए होने पर $k$ ज्ञात करना

यदि $x = 2$, $x^2 - kx + 2 = 0$ का मूल है, तो $k$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = 2$ प्रतिस्थापित करें: $(2)^2 - k(2) + 2 = 0 \Rightarrow 4 - 2k + 2 = 0$।
2. $6 = 2k \Rightarrow k = 3$।

अंतिम उत्तर: $k = 3$।

सार: ज्ञात मूल प्रतिस्थापित करने पर अज्ञात गुणांक के लिए समीकरण मिलता है।

उदाहरण 8: समीकरण बनाना (आयु)

एक लड़के की दो वर्ष पहले की आयु को उसकी तीन वर्ष बाद की आयु से गुणा करने पर 90 मिलता है। समीकरण बनाइए (माना वर्तमान आयु $= x$)।

हल:

1. दो वर्ष पहले: $x - 2$। तीन वर्ष बाद: $x + 3$।
2. गुणनफल: $(x - 2)(x + 3) = 90 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 90 \Rightarrow x^2 + x - 96 = 0$।

अंतिम उत्तर: $x^2 + x - 96 = 0$।

सार: प्रत्येक आयु को वर्तमान के सापेक्ष व्यक्त करें, फिर गुणा करें।

उदाहरण 9: भिन्नों सहित मानक रूप

$\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x}{3} = 1$ को मानक रूप में लिखिए।

हल:

1. पूरे में 6 से गुणा करें: $3x^2 - 2x = 6$।
2. एक ओर लाएँ: $3x^2 - 2x - 6 = 0$।

अंतिम उत्तर: $3x^2 - 2x - 6 = 0$।

सार: पहले हरों के ल.स. से गुणा कर भिन्न हटाएँ।

उदाहरण 10: प्राचल सहित द्विघात का निर्णय

$a$ के किस मान के लिए $(a - 1)x^2 + 3x + 2 = 0$ द्विघात समीकरण नहीं है?

हल:

1. यह तब द्विघात नहीं रहता जब $x^2$ का गुणांक 0 हो।
2. $a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$।

अंतिम उत्तर: $a = 1$।

सार: द्विघात के लिए $x^2$ गुणांक $\neq 0$ आवश्यक; बहिष्कृत मान हेतु इसे 0 रखें।