पूर्ण वर्ग बनाकर हल

पूर्ण वर्ग क्यों बनाएँ?

गुणनखंडन तेज़ है, परंतु अनेक द्विघात परिमेय संख्याओं पर गुणनखंडित नहीं होते। पूर्ण वर्ग बनाना एक ऐसी विधि है जो प्रत्येक द्विघात समीकरण के लिए काम करती है। यह समीकरण को $(x + p)^2 = q$ रूप में बदल देती है, जिसे वर्गमूल लेकर हल किया जा सकता है।

विचार: $ax^2 + bx + c = 0$ को इस प्रकार पुनः लिखें कि $x$-पद एक पूर्ण वर्ग $(x + p)^2$ बन जाएँ, फिर उसे अलग कर दोनों पक्षों का वर्गमूल लें।

ऐसे समझिए: हम सही अचर जोड़कर और घटाकर बाएँ पक्ष को एक पूर्ण वर्ग में 'बाध्य' कर देते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यह विधि द्विघात सूत्र का आधार है। जहाँ यह आपके सटीक पाठ्यक्रम में न भी हो, इसे समझने से सूत्र बहुत कम रहस्यमय हो जाता है।

मुख्य बीजगणितीय सर्वसमिका

पूर्ण वर्ग बनाना इस पर निर्भर है:

$$x^2 + 2px + p^2 = (x + p)^2$$

अतः $x^2 + bx$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु, हमें अचर $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$ चाहिए:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

त्वरित प्रदर्शन

$x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$ (क्योंकि 6 का आधा 3 है, और $3^2 = 9$)।

मुख्य बिंदु: $x$ के गुणांक का आधा लें, उसका वर्ग करें, और जोड़ें-घटाएँ। तब पहले तीन पद एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] जादुई संख्या सदैव $\left(\dfrac{x \text{ का गुणांक}}{2}\right)^2$ होती है। इसे याद रखें — यही विधि का केंद्र है।

चरण (जब $a = 1$)

आइए $x^2 + 4x - 5 = 0$ हल करें।

1. अचर को दाईं ओर ले जाएँ: $x^2 + 4x = 5$।
2. पूर्ण वर्ग बनाएँ: 4 का आधा 2 है, $2^2 = 4$। दोनों पक्षों में 4 जोड़ें: $x^2 + 4x + 4 = 5 + 4 = 9$।
3. वर्ग के रूप में लिखें: $(x + 2)^2 = 9$।
4. वर्गमूल लें: $x + 2 = \pm 3$।
5. हल करें: $x = 3 - 2 = 1$ या $x = -3 - 2 = -5$।

अतः मूल $x = 1$ और $x = -5$ हैं।

मुख्य बिंदु: वर्गमूल लेते समय $\pm$ न भूलें — यह दोनों मूल देता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] समीकरण को संतुलित रखने हेतु पूर्ण-वर्ग अचर को दोनों पक्षों में सदैव जोड़ें।

जब $a \neq 1$

यदि $x^2$ का गुणांक 1 न हो, तो पहले पूरे समीकरण को $a$ से भाग दें, फिर पूर्ण वर्ग बनाएँ।

हल किया गया उदाहरण: $2x^2 - 8x + 6 = 0$

1. 2 से भाग दें: $x^2 - 4x + 3 = 0$।
2. अचर हटाएँ: $x^2 - 4x = -3$।
3. $-4$ का आधा $-2$ है, वर्ग 4। 4 जोड़ें: $x^2 - 4x + 4 = 1 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1$।
4. $x - 2 = \pm 1 \Rightarrow x = 3$ या $x = 1$।

मुख्य बिंदु: पूर्ण वर्ग बनाने से पहले $a$ से भाग दें, ताकि $x^2$ का गुणांक 1 बन जाए।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] पहले $a$ से भाग देना भूलना यहाँ सबसे सामान्य भूल है। आरंभ में सदैव $x^2$ गुणांक को 1 कर लें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मूल पूर्ण वर्ग बनाना

$x^2 + 6x + 5 = 0$ हल करें।

हल:

1. $x^2 + 6x = -5$।
2. 6 का आधा 3, $3^2 = 9$: $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9 = 4$।
3. $(x + 3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2$।
4. $x = -1$ या $x = -5$।

अंतिम उत्तर: $x = -1, -5$।

सार: दोनों पक्षों में $(b/2)^2$ जोड़ें, फिर वर्गमूल लें।

उदाहरण 2: करणी सहित मूल

$x^2 - 4x - 1 = 0$ हल करें।

हल:

1. $x^2 - 4x = 1$।
2. $-4$ का आधा $-2$, वर्ग 4: $x^2 - 4x + 4 = 5 \Rightarrow (x - 2)^2 = 5$।
3. $x - 2 = \pm\sqrt5 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt5$।

अंतिम उत्तर: $x = 2 + \sqrt5, 2 - \sqrt5$।

सार: पूर्ण वर्ग बनाना उन करणी मूलों को संभालता है जिन्हें गुणनखंडन नहीं कर सकता।

उदाहरण 3: $a \neq 1$ के साथ

$2x^2 - 8x + 6 = 0$ हल करें।

हल:

1. 2 से भाग दें: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = -3$।
2. 4 जोड़ें: $(x - 2)^2 = 1$।
3. $x - 2 = \pm 1 \Rightarrow x = 3, 1$।

अंतिम उत्तर: $x = 1, 3$।

सार: पहले $a$ से भाग दें ताकि $x^2$ गुणांक 1 हो।

उदाहरण 4: ऋणात्मक मध्य पद

$x^2 - 6x + 7 = 0$ हल करें।

हल:

1. $x^2 - 6x = -7$।
2. $-6$ का आधा $-3$, वर्ग 9: $(x - 3)^2 = -7 + 9 = 2$।
3. $x - 3 = \pm\sqrt2 \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt2$।

अंतिम उत्तर: $x = 3 + \sqrt2, 3 - \sqrt2$।

सार: ऋणात्मक गुणांक का आधा ऋणात्मक होता है, परंतु उसका वर्ग धनात्मक।

उदाहरण 5: भिन्नात्मक आधा

$x^2 + 3x + 1 = 0$ हल करें।

हल:

1. $x^2 + 3x = -1$।
2. 3 का आधा $\dfrac{3}{2}$, वर्ग $\dfrac{9}{4}$: $\left(x + \dfrac{3}{2}\right)^2 = -1 + \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{4}$।
3. $x + \dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt5}{2} \Rightarrow x = \dfrac{-3 \pm \sqrt5}{2}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt5}{2}$।

सार: विषम मध्य गुणांक भिन्नात्मक आधा देते हैं — उन्हें भिन्न रहने दें।

उदाहरण 6: कोई वास्तविक मूल नहीं प्रकट होना

पूर्ण वर्ग बनाकर $x^2 + 2x + 5 = 0$ हल करें।

हल:

1. $x^2 + 2x = -5$।
2. 1 जोड़ें: $(x + 1)^2 = -4$।
3. दायाँ पक्ष ऋणात्मक है; कोई वास्तविक संख्या ऋणात्मक का वर्ग नहीं देती।

अंतिम उत्तर: कोई वास्तविक मूल नहीं।

सार: पूर्ण वर्ग बनाने के बाद ऋणात्मक मान का अर्थ है कोई वास्तविक मूल नहीं।

उदाहरण 7: $a \neq 1$ और करणी सहित

$3x^2 - 6x - 2 = 0$ हल करें।

हल:

1. 3 से भाग दें: $x^2 - 2x - \dfrac{2}{3} = 0 \Rightarrow x^2 - 2x = \dfrac{2}{3}$।
2. 1 जोड़ें: $(x - 1)^2 = \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}$।
3. $x - 1 = \pm\sqrt{\dfrac{5}{3}} \Rightarrow x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{15}}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{15}}{3}$।

सार: अंतिम उत्तर हेतु $\sqrt{5/3}$ को $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$ में परिमेयकृत करें।

उदाहरण 8: समान मूल स्थिति

पूर्ण वर्ग बनाकर $x^2 - 8x + 16 = 0$ हल करें।

हल:

1. $x^2 - 8x = -16$।
2. 16 जोड़ें: $(x - 4)^2 = 0$।
3. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ (दोहराया)।

अंतिम उत्तर: $x = 4$ (समान मूल)।

सार: $(x - p)^2 = 0$ एक एकल दोहराया मूल देता है।

उदाहरण 9: विधि का गुणनखंडन से मिलान सत्यापित करें

पूर्ण वर्ग बनाकर $x^2 - 5x + 6 = 0$ हल करें और गुणनखंडन से पुष्टि करें।

हल:

1. $x^2 - 5x = -6$। $-5$ का आधा $-\dfrac{5}{2}$, वर्ग $\dfrac{25}{4}$: $\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 = -6 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{1}{4}$।
2. $x - \dfrac{5}{2} = \pm\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 3$ या $x = 2$।
3. गुणनखंडन: $(x-2)(x-3) = 0$ वही देता है। ✓

अंतिम उत्तर: $x = 2, 3$।

सार: दोनों विधियाँ समान मूल देती हैं — एक अच्छी स्व-जाँच।

उदाहरण 10: पूर्ण वर्ग द्वारा शब्द समस्या

एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $\dfrac{10}{3}$ है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना संख्या $x$: $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{10}{3} \Rightarrow 3x^2 - 10x + 3 = 0$।
2. 3 से भाग दें: $x^2 - \dfrac{10}{3}x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 - \dfrac{10}{3}x = -1$।
3. $-\dfrac{10}{3}$ का आधा $-\dfrac{5}{3}$, वर्ग $\dfrac{25}{9}$: $\left(x - \dfrac{5}{3}\right)^2 = -1 + \dfrac{25}{9} = \dfrac{16}{9}$।
4. $x - \dfrac{5}{3} = \pm\dfrac{4}{3} \Rightarrow x = 3$ या $x = \dfrac{1}{3}$।

अंतिम उत्तर: संख्या 3 (या $\dfrac{1}{3}$) है।

सार: व्युत्क्रम समस्याएँ एक द्विघात की ओर ले जाती हैं; पूर्ण वर्ग इसे स्वच्छ रूप से हल करता है।