इस खंड का उपयोग कैसे करें
यह द्विघात समीकरणों के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — गुणनखंडन, पूर्ण वर्ग, द्विघात सूत्र, विविक्तकर, तथा शब्द समस्याएँ — मोटे तौर पर सरल से कठिन क्रम में।
कैसे पढ़ें: प्रत्येक प्रश्न को हल ढककर स्वयं हल करने का प्रयास करें, फिर चरण जाँचें। बोर्ड अंक चरण-दर-चरण मिलते हैं — पूर्ण कार्य दिखाएँ और शब्द-समस्या उत्तर शब्दों में बताएँ।
ये साथ रखें:
द्विघात सूत्र: x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c
विविक्तकर D = b 2 − 4 a c D = b^2 - 4ac D = b 2 − 4 a c > 0 >0 > 0 = 0 =0 = 0 < 0 <0 < 0
पूर्ण वर्ग: ( b / 2 ) 2 (b/2)^2 ( b /2 ) 2
शब्द समस्याओं में सदैव अस्वीकार्य मूल त्यागें।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: गुणनखंडन
x 2 − 9 x + 20 = 0 x^2 - 9x + 20 = 0 x 2 − 9 x + 20 = 0
हल:
गुणनफल 20, योग − 9 -9 − 9 − 4 , − 5 -4, -5 − 4 , − 5
( x − 4 ) ( x − 5 ) = 0 ⇒ x = 4 , 5 (x - 4)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 4, 5 ( x − 4 ) ( x − 5 ) = 0 ⇒ x = 4 , 5
अंतिम उत्तर: x = 4 , 5 x = 4, 5 x = 4 , 5
सार: मानक मध्य-पद-विभाजन गुणनखंडन।
उदाहरण 2: गुणनखंडन (a ≠ 1 a \neq 1 a = 1
3 x 2 + 10 x + 3 = 0 3x^2 + 10x + 3 = 0 3 x 2 + 10 x + 3 = 0
हल:
a × c = 9 a \times c = 9 a × c = 9 3 x 2 + 9 x + x + 3 = 3 x ( x + 3 ) + 1 ( x + 3 ) = ( 3 x + 1 ) ( x + 3 ) = 0 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x(x+3) + 1(x+3) = (3x+1)(x+3) = 0 3 x 2 + 9 x + x + 3 = 3 x ( x + 3 ) + 1 ( x + 3 ) = ( 3 x + 1 ) ( x + 3 ) = 0 x = − 1 3 , − 3 x = -\dfrac{1}{3}, -3 x = − 3 1 , − 3
अंतिम उत्तर: x = − 1 3 , − 3 x = -\dfrac{1}{3}, -3 x = − 3 1 , − 3
सार: गुणनफल के लिए a × c a \times c a × c
उदाहरण 3: द्विघात सूत्र
सूत्र से x 2 − 3 x − 10 = 0 x^2 - 3x - 10 = 0 x 2 − 3 x − 10 = 0
हल:
D = 9 + 40 = 49 D = 9 + 40 = 49 D = 9 + 40 = 49 x = 3 ± 7 2 = 5 x = \dfrac{3 \pm 7}{2} = 5 x = 2 3 ± 7 = 5 − 2 -2 − 2
अंतिम उत्तर: x = 5 , − 2 x = 5, -2 x = 5 , − 2
सार: सूत्र गुणनखंडन ( x − 5 ) ( x + 2 ) (x-5)(x+2) ( x − 5 ) ( x + 2 )
उदाहरण 4: पूर्ण वर्ग बनाना
x 2 + 8 x + 9 = 0 x^2 + 8x + 9 = 0 x 2 + 8 x + 9 = 0
हल:
x 2 + 8 x = − 9 x^2 + 8x = -9 x 2 + 8 x = − 9 16 16 16 ( x + 4 ) 2 = 7 (x+4)^2 = 7 ( x + 4 ) 2 = 7 x = − 4 ± 7 x = -4 \pm \sqrt7 x = − 4 ± 7
अंतिम उत्तर: x = − 4 ± 7 x = -4 \pm \sqrt7 x = − 4 ± 7
सार: दोनों पक्षों में ( 8 / 2 ) 2 = 16 (8/2)^2 = 16 ( 8/2 ) 2 = 16
उदाहरण 5: विविक्तकर / प्रकृति
3 x 2 − 2 x + 1 = 0 3x^2 - 2x + 1 = 0 3 x 2 − 2 x + 1 = 0
हल:
D = 4 − 12 = − 8 < 0 D = 4 - 12 = -8 < 0 D = 4 − 12 = − 8 < 0
अंतिम उत्तर: कोई वास्तविक मूल नहीं।
सार: D < 0 D < 0 D < 0
उदाहरण 6: समान मूल — k k k
k k k 4 x 2 + k x + 9 = 0 4x^2 + kx + 9 = 0 4 x 2 + k x + 9 = 0
हल:
D = k 2 − 4 ( 4 ) ( 9 ) = k 2 − 144 = 0 D = k^2 - 4(4)(9) = k^2 - 144 = 0 D = k 2 − 4 ( 4 ) ( 9 ) = k 2 − 144 = 0 k = ± 12 k = \pm 12 k = ± 12
अंतिम उत्तर: k = ± 12 k = \pm 12 k = ± 12
सार: समान मूल ⇒ D = 0 D = 0 D = 0
उदाहरण 7: सूत्र से करणी मूल
2 x 2 − 7 x + 4 = 0 2x^2 - 7x + 4 = 0 2 x 2 − 7 x + 4 = 0
हल:
D = 49 − 32 = 17 D = 49 - 32 = 17 D = 49 − 32 = 17 x = 7 ± 17 4 x = \dfrac{7 \pm \sqrt{17}}{4} x = 4 7 ± 17
अंतिम उत्तर: x = 7 ± 17 4 x = \dfrac{7 \pm \sqrt{17}}{4} x = 4 7 ± 17
सार: अपूर्ण-वर्ग D D D
उदाहरण 8: वर्गों का अंतर
25 x 2 − 9 = 0 25x^2 - 9 = 0 25 x 2 − 9 = 0
हल:
( 5 x − 3 ) ( 5 x + 3 ) = 0 (5x - 3)(5x + 3) = 0 ( 5 x − 3 ) ( 5 x + 3 ) = 0 x = ± 3 5 x = \pm\dfrac{3}{5} x = ± 5 3
अंतिम उत्तर: x = ± 3 5 x = \pm\dfrac{3}{5} x = ± 5 3
सार: a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b )
उदाहरण 9: भिन्न हटाना
x x + 1 + x + 1 x = 5 2 \dfrac{x}{x+1} + \dfrac{x+1}{x} = \dfrac{5}{2} x + 1 x + x x + 1 = 2 5 x ≠ 0 , − 1 x \neq 0, -1 x = 0 , − 1
हल:
संयोजित करें: x 2 + ( x + 1 ) 2 x ( x + 1 ) = 5 2 ⇒ 2 ( 2 x 2 + 2 x + 1 ) = 5 ( x 2 + x ) \dfrac{x^2 + (x+1)^2}{x(x+1)} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow 2(2x^2 + 2x + 1) = 5(x^2 + x) x ( x + 1 ) x 2 + ( x + 1 ) 2 = 2 5 ⇒ 2 ( 2 x 2 + 2 x + 1 ) = 5 ( x 2 + x )
4 x 2 + 4 x + 2 = 5 x 2 + 5 x ⇒ x 2 + x − 2 = 0 4x^2 + 4x + 2 = 5x^2 + 5x \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 4 x 2 + 4 x + 2 = 5 x 2 + 5 x ⇒ x 2 + x − 2 = 0 ( x + 2 ) ( x − 1 ) = 0 ⇒ x = − 2 , 1 (x + 2)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -2, 1 ( x + 2 ) ( x − 1 ) = 0 ⇒ x = − 2 , 1
अंतिम उत्तर: x = − 2 , 1 x = -2, 1 x = − 2 , 1
सार: मानक द्विघात तक पहुँचने हेतु हर हटाएँ।
उदाहरण 10: शब्द समस्या — संख्याएँ
दो संख्याओं का अंतर 3 है और उनके वर्गों का योग 117 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल:
माना वे x x x x − 3 x - 3 x − 3 x 2 + ( x − 3 ) 2 = 117 ⇒ 2 x 2 − 6 x − 108 = 0 ⇒ x 2 − 3 x − 54 = 0 x^2 + (x-3)^2 = 117 \Rightarrow 2x^2 - 6x - 108 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 54 = 0 x 2 + ( x − 3 ) 2 = 117 ⇒ 2 x 2 − 6 x − 108 = 0 ⇒ x 2 − 3 x − 54 = 0
( x − 9 ) ( x + 6 ) = 0 ⇒ x = 9 (x - 9)(x + 6) = 0 \Rightarrow x = 9 ( x − 9 ) ( x + 6 ) = 0 ⇒ x = 9 x = − 6 x = -6 x = − 6 संख्याएँ: 9 और 6 (या − 6 -6 − 6 − 9 -9 − 9
अंतिम उत्तर: 9 और 6 (या − 6 -6 − 6 − 9 -9 − 9
सार: यदि धनात्मकता आवश्यक न हो तो दोनों चिह्न-युग्म मान्य हो सकते हैं।
उदाहरण 11: a ≠ 1 a \neq 1 a = 1
पूर्ण वर्ग बनाकर 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 2x^2 + 5x - 3 = 0 2 x 2 + 5 x − 3 = 0
हल:
2 से भाग दें: x 2 + 5 2 x − 3 2 = 0 ⇒ x 2 + 5 2 x = 3 2 x^2 + \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} = 0 \Rightarrow x^2 + \dfrac{5}{2}x = \dfrac{3}{2} x 2 + 2 5 x − 2 3 = 0 ⇒ x 2 + 2 5 x = 2 3
5 2 \dfrac{5}{2} 2 5 5 4 \dfrac{5}{4} 4 5 25 16 \dfrac{25}{16} 16 25 ( x + 5 4 ) 2 = 3 2 + 25 16 = 49 16 \left(x + \dfrac{5}{4}\right)^2 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{25}{16} = \dfrac{49}{16} ( x + 4 5 ) 2 = 2 3 + 16 25 = 16 49 x + 5 4 = ± 7 4 ⇒ x = 1 2 x + \dfrac{5}{4} = \pm\dfrac{7}{4} \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} x + 4 5 = ± 4 7 ⇒ x = 2 1 − 3 -3 − 3
अंतिम उत्तर: x = 1 2 , − 3 x = \dfrac{1}{2}, -3 x = 2 1 , − 3
सार: पहले a a a
उदाहरण 12: मूल दिए, समीकरण ज्ञात करें
वह द्विघात समीकरण बनाइए जिसके मूल 3 3 3 − 1 2 -\dfrac{1}{2} − 2 1
हल:
योग = 3 − 1 2 = 5 2 = 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 3 − 2 1 = 2 5 = 3 × − 1 2 = − 3 2 = 3 \times -\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2} = 3 × − 2 1 = − 2 3
x 2 − ( योग ) x + ( गुणनफल ) = x 2 − 5 2 x − 3 2 = 0 x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल}) = x^2 - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} = 0 x 2 − ( योग ) x + ( गुणनफल ) = x 2 − 2 5 x − 2 3 = 0 2 से गुणा करें: 2 x 2 − 5 x − 3 = 0 2x^2 - 5x - 3 = 0 2 x 2 − 5 x − 3 = 0
अंतिम उत्तर: 2 x 2 − 5 x − 3 = 0 2x^2 - 5x - 3 = 0 2 x 2 − 5 x − 3 = 0
सार: x 2 − ( योग ) x + ( गुणनफल ) x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल}) x 2 − ( योग ) x + ( गुणनफल )
उदाहरण 13: रेलगाड़ी शब्द समस्या
एक रेलगाड़ी 480 किमी चलती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/घं कम होती, तो 3 घंटे अधिक लगते। चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
480 x − 8 − 480 x = 3 \dfrac{480}{x - 8} - \dfrac{480}{x} = 3 x − 8 480 − x 480 = 3 480 x − 480 ( x − 8 ) = 3 x ( x − 8 ) ⇒ 3840 = 3 x 2 − 24 x ⇒ x 2 − 8 x − 1280 = 0 480x - 480(x - 8) = 3x(x - 8) \Rightarrow 3840 = 3x^2 - 24x \Rightarrow x^2 - 8x - 1280 = 0 480 x − 480 ( x − 8 ) = 3 x ( x − 8 ) ⇒ 3840 = 3 x 2 − 24 x ⇒ x 2 − 8 x − 1280 = 0 ( x − 40 ) ( x + 32 ) = 0 ⇒ x = 40 (x - 40)(x + 32) = 0 \Rightarrow x = 40 ( x − 40 ) ( x + 32 ) = 0 ⇒ x = 40
अंतिम उत्तर: चाल = 40 = 40 = 40
सार: 'कम चाल, अधिक समय' समान समय-अंतर समीकरण देता है।
उदाहरण 14: भिन्न मूल की शर्त
p p p x 2 − p x + 16 = 0 x^2 - px + 16 = 0 x 2 − p x + 16 = 0
हल:
D > 0 D > 0 D > 0 p 2 − 64 > 0 p^2 - 64 > 0 p 2 − 64 > 0 p > 8 p > 8 p > 8 p < − 8 p < -8 p < − 8
अंतिम उत्तर: p > 8 p > 8 p > 8 p < − 8 p < -8 p < − 8
सार: भिन्न वास्तविक मूल ⇒ D > 0 D > 0 D > 0
उदाहरण 15: व्युत्क्रम समीकरण
x − 1 x = 3 2 x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2} x − x 1 = 2 3 x ≠ 0 x \neq 0 x = 0
हल:
x x x x 2 − 1 = 3 2 x ⇒ 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 x^2 - 1 = \dfrac{3}{2}x \Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 = 0 x 2 − 1 = 2 3 x ⇒ 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x − 2 ) = 0 ⇒ x = − 1 2 , 2 (2x + 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}, 2 ( 2 x + 1 ) ( x − 2 ) = 0 ⇒ x = − 2 1 , 2
अंतिम उत्तर: x = − 1 2 , 2 x = -\dfrac{1}{2}, 2 x = − 2 1 , 2
सार: हर हटाएँ, फिर गुणनखंडन करें।
उदाहरण 16: उद्यान पथ (क्षेत्रफल)
16 मी × 10 मी के एक आयताकार उद्यान के अंदर चारों ओर x x x x x x
हल:
भीतरी विमाएँ: ( 16 − 2 x ) (16 - 2x) ( 16 − 2 x ) ( 10 − 2 x ) (10 - 2x) ( 10 − 2 x ) ( 16 − 2 x ) ( 10 − 2 x ) = 120 (16 - 2x)(10 - 2x) = 120 ( 16 − 2 x ) ( 10 − 2 x ) = 120
160 − 52 x + 4 x 2 = 120 ⇒ 4 x 2 − 52 x + 40 = 0 ⇒ x 2 − 13 x + 10 = 0 160 - 52x + 4x^2 = 120 \Rightarrow 4x^2 - 52x + 40 = 0 \Rightarrow x^2 - 13x + 10 = 0 160 − 52 x + 4 x 2 = 120 ⇒ 4 x 2 − 52 x + 40 = 0 ⇒ x 2 − 13 x + 10 = 0 x = 13 ± 169 − 40 2 = 13 ± 129 2 x = \dfrac{13 \pm \sqrt{169 - 40}}{2} = \dfrac{13 \pm \sqrt{129}}{2} x = 2 13 ± 169 − 40 = 2 13 ± 129 x ≈ 0.82 x \approx 0.82 x ≈ 0.82
अंतिम उत्तर: x = 13 − 129 2 ≈ 0.82 x = \dfrac{13 - \sqrt{129}}{2} \approx 0.82 x = 2 13 − 129 ≈ 0.82
सार: भीतरी सीमा हेतु प्रत्येक विमा में से 2 x 2x 2 x
उदाहरण 17: मूलों का योग और गुणनफल
यदि x 2 − 6 x + k = 0 x^2 - 6x + k = 0 x 2 − 6 x + k = 0 k k k
हल:
माना मूल α , β \alpha, \beta α , β α + β = 6 \alpha + \beta = 6 α + β = 6 α − β = 4 \alpha - \beta = 4 α − β = 4 α = 5 , β = 1 \alpha = 5, \beta = 1 α = 5 , β = 1
k = α β = 5 × 1 = 5 k = \alpha\beta = 5 \times 1 = 5 k = α β = 5 × 1 = 5
अंतिम उत्तर: k = 5 k = 5 k = 5
सार: प्रत्येक मूल ज्ञात करने हेतु योग और अंतर उपयोग करें, फिर गुणनफल।
उदाहरण 18: करणी सहित गुणनखंडन
2 x 2 + 7 x + 5 2 = 0 \sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0 2 x 2 + 7 x + 5 2 = 0
हल:
a × c = 10 a \times c = 10 a × c = 10 2 + 5 2 + 5 2 + 5 2 x 2 + 2 x + 5 x + 5 2 = 2 x ( x + 2 ) + 5 ( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( 2 x + 5 ) = 0 \sqrt2 x^2 + 2x + 5x + 5\sqrt2 = \sqrt2 x(x + \sqrt2) + 5(x + \sqrt2) = (x + \sqrt2)(\sqrt2 x + 5) = 0 2 x 2 + 2 x + 5 x + 5 2 = 2 x ( x + 2 ) + 5 ( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( 2 x + 5 ) = 0 x = − 2 x = -\sqrt2 x = − 2 x = − 5 2 = − 5 2 2 x = -\dfrac{5}{\sqrt2} = -\dfrac{5\sqrt2}{2} x = − 2 5 = − 2 5 2
अंतिम उत्तर: x = − 2 , − 5 2 2 x = -\sqrt2, -\dfrac{5\sqrt2}{2} x = − 2 , − 2 5 2
सार: करणी के साथ वही गुणनखंडन विधि; उत्तर का परिमेयकरण करें।
उदाहरण 19: दो-अंकीय संख्या
एक दो-अंकीय संख्या ऐसी है कि उसके अंकों का गुणनफल 18 है। जब संख्या में से 63 घटाया जाता है, तो अंक परस्पर बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दहाई = x = x = x = y = y = y x y = 18 xy = 18 x y = 18 ( 10 x + y ) − 63 = 10 y + x ⇒ 9 x − 9 y = 63 ⇒ x − y = 7 (10x + y) - 63 = 10y + x \Rightarrow 9x - 9y = 63 \Rightarrow x - y = 7 ( 10 x + y ) − 63 = 10 y + x ⇒ 9 x − 9 y = 63 ⇒ x − y = 7
x = y + 7 x = y + 7 x = y + 7 x y = 18 xy = 18 x y = 18 ( y + 7 ) y = 18 ⇒ y 2 + 7 y − 18 = 0 = ( y + 9 ) ( y − 2 ) (y+7)y = 18 \Rightarrow y^2 + 7y - 18 = 0 = (y+9)(y-2) ( y + 7 ) y = 18 ⇒ y 2 + 7 y − 18 = 0 = ( y + 9 ) ( y − 2 ) y = 2 y = 2 y = 2 x = 9 x = 9 x = 9 संख्या = 92 = 92 = 92
अंतिम उत्तर: 92।
सार: अंक-गुणनफल और अंक-अंतर शर्त को एक द्विघात में संयोजित करें।
उदाहरण 20: समान मूल — k k k a a a
k k k k x 2 − 2 5 x + 4 = 0 kx^2 - 2\sqrt5 x + 4 = 0 k x 2 − 2 5 x + 4 = 0
हल:
D = ( 2 5 ) 2 − 4 ( k ) ( 4 ) = 20 − 16 k = 0 D = (2\sqrt5)^2 - 4(k)(4) = 20 - 16k = 0 D = ( 2 5 ) 2 − 4 ( k ) ( 4 ) = 20 − 16 k = 0 k = 20 16 = 5 4 k = \dfrac{20}{16} = \dfrac{5}{4} k = 16 20 = 4 5
अंतिम उत्तर: k = 5 4 k = \dfrac{5}{4} k = 4 5
सार: ( 2 5 ) 2 = 20 (2\sqrt5)^2 = 20 ( 2 5 ) 2 = 20 D = 0 D = 0 D = 0 k k k
उदाहरण 21: आयु समस्या
एक माता और पुत्री की आयु का योग 45 वर्ष है। पाँच वर्ष पहले, उनकी आयुओं का गुणनफल 124 था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पुत्री = x = x = x = 45 − x = 45 - x = 45 − x ( x − 5 ) ( 40 − x ) = 124 (x - 5)(40 - x) = 124 ( x − 5 ) ( 40 − x ) = 124
40 x − x 2 − 200 + 5 x = 124 ⇒ − x 2 + 45 x − 324 = 0 ⇒ x 2 − 45 x + 324 = 0 40x - x^2 - 200 + 5x = 124 \Rightarrow -x^2 + 45x - 324 = 0 \Rightarrow x^2 - 45x + 324 = 0 40 x − x 2 − 200 + 5 x = 124 ⇒ − x 2 + 45 x − 324 = 0 ⇒ x 2 − 45 x + 324 = 0 ( x − 9 ) ( x − 36 ) = 0 ⇒ x = 9 (x - 9)(x - 36) = 0 \Rightarrow x = 9 ( x − 9 ) ( x − 36 ) = 0 ⇒ x = 9 > > >
अंतिम उत्तर: पुत्री 9 वर्ष, माता 36 वर्ष।
सार: एक आयु को योग द्वारा व्यक्त करें; भूतकाल हेतु दोनों में से 5 घटाएँ।
उदाहरण 22: कोई वास्तविक मूल नहीं — दिखाएँ
दिखाइए कि x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0 x 2 + x + 1 = 0
हल:
D = 1 − 4 = − 3 < 0 D = 1 - 4 = -3 < 0 D = 1 − 4 = − 3 < 0 ऋणात्मक विविक्तकर ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं।
अंतिम उत्तर: कोई वास्तविक मूल नहीं (D = − 3 D = -3 D = − 3
सार: एक त्वरित D D D
उदाहरण 23: बड़ी संख्याओं सहित सूत्र
x 2 − 45 x + 324 = 0 x^2 - 45x + 324 = 0 x 2 − 45 x + 324 = 0
हल:
D = 2025 − 1296 = 729 = 27 2 D = 2025 - 1296 = 729 = 27^2 D = 2025 − 1296 = 729 = 2 7 2 x = 45 ± 27 2 = 36 x = \dfrac{45 \pm 27}{2} = 36 x = 2 45 ± 27 = 36 9 9 9
अंतिम उत्तर: x = 9 , 36 x = 9, 36 x = 9 , 36
सार: 729 = 27 2 729 = 27^2 729 = 2 7 2
उदाहरण 24: पाइथागोरस शब्द समस्या
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी है, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आधार = x = x = x = x − 7 = x - 7 = x − 7 x 2 + ( x − 7 ) 2 = 169 x^2 + (x - 7)^2 = 169 x 2 + ( x − 7 ) 2 = 169
2 x 2 − 14 x + 49 = 169 ⇒ x 2 − 7 x − 60 = 0 = ( x − 12 ) ( x + 5 ) 2x^2 - 14x + 49 = 169 \Rightarrow x^2 - 7x - 60 = 0 = (x - 12)(x + 5) 2 x 2 − 14 x + 49 = 169 ⇒ x 2 − 7 x − 60 = 0 = ( x − 12 ) ( x + 5 ) x = 12 x = 12 x = 12 आधार 12 सेमी, ऊँचाई 5 सेमी।
अंतिम उत्तर: आधार 12 सेमी, ऊँचाई 5 सेमी।
सार: भुजा संबंध के साथ a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 a 2 + b 2 = c 2
उदाहरण 25: मूलों का अनुपात शर्त
यदि x 2 − 6 x + k = 0 x^2 - 6x + k = 0 x 2 − 6 x + k = 0 k k k
हल:
माना मूल α \alpha α 2 α 2\alpha 2 α 3 α = 6 ⇒ α = 2 3\alpha = 6 \Rightarrow \alpha = 2 3 α = 6 ⇒ α = 2
गुणनफल: α ⋅ 2 α = 2 α 2 = k ⇒ k = 2 ( 4 ) = 8 \alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^2 = k \Rightarrow k = 2(4) = 8 α ⋅ 2 α = 2 α 2 = k ⇒ k = 2 ( 4 ) = 8
अंतिम उत्तर: k = 8 k = 8 k = 8
सार: अनुपात से मूलों को प्राचलित करें, फिर योग और गुणनफल।
उदाहरण 26: द्विघात में समानीत
x 4 − 13 x 2 + 36 = 0 x^4 - 13x^2 + 36 = 0 x 4 − 13 x 2 + 36 = 0
हल:
माना y = x 2 y = x^2 y = x 2 y 2 − 13 y + 36 = 0 = ( y − 4 ) ( y − 9 ) y^2 - 13y + 36 = 0 = (y - 4)(y - 9) y 2 − 13 y + 36 = 0 = ( y − 4 ) ( y − 9 )
y = 4 y = 4 y = 4 9 9 9 x 2 = 4 x^2 = 4 x 2 = 4 9 9 9 x = ± 2 , ± 3 x = \pm 2, \pm 3 x = ± 2 , ± 3
अंतिम उत्तर: x = ± 2 , ± 3 x = \pm 2, \pm 3 x = ± 2 , ± 3
सार: एक 'द्विवर्गी' y = x 2 y = x^2 y = x 2
उदाहरण 27: शब्द समस्या — मैदान
एक समकोण-त्रिभुजाकार भूखंड का क्षेत्रफल 600 मी² है। आधार ऊँचाई से 10 मी अधिक है। आधार और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
क्षेत्रफल = 1 2 × आधार × ऊँचाई = \dfrac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = 2 1 × आधार × ऊँचाई = x = x = x = x + 10 = x + 10 = x + 10 1 2 x ( x + 10 ) = 600 \dfrac{1}{2}x(x + 10) = 600 2 1 x ( x + 10 ) = 600
x 2 + 10 x − 1200 = 0 = ( x + 40 ) ( x − 30 ) x^2 + 10x - 1200 = 0 = (x + 40)(x - 30) x 2 + 10 x − 1200 = 0 = ( x + 40 ) ( x − 30 ) x = 30 x = 30 x = 30 ऊँचाई 30 मी, आधार 40 मी।
अंतिम उत्तर: ऊँचाई 30 मी, आधार 40 मी।
सार: त्रिभुज क्षेत्रफल 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1
उदाहरण 28: सूत्र, भिन्नात्मक मूल
6 x 2 − 5 x − 6 = 0 6x^2 - 5x - 6 = 0 6 x 2 − 5 x − 6 = 0
हल:
D = 25 + 144 = 169 = 13 2 D = 25 + 144 = 169 = 13^2 D = 25 + 144 = 169 = 1 3 2 x = 5 ± 13 12 = 18 12 = 3 2 x = \dfrac{5 \pm 13}{12} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} x = 12 5 ± 13 = 12 18 = 2 3 − 8 12 = − 2 3 \dfrac{-8}{12} = -\dfrac{2}{3} 12 − 8 = − 3 2
अंतिम उत्तर: x = 3 2 , − 2 3 x = \dfrac{3}{2}, -\dfrac{2}{3} x = 2 3 , − 3 2
सार: पूर्ण-वर्ग D D D a ≠ 1 a \neq 1 a = 1
उदाहरण 29: प्राचल हेतु वास्तविक और समान दिखाएँ
दिखाइए कि ( b − c ) x 2 + ( c − a ) x + ( a − b ) = 0 (b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0 ( b − c ) x 2 + ( c − a ) x + ( a − b ) = 0 2 b = a + c 2b = a + c 2 b = a + c
हल:
ध्यान दें x = 1 x = 1 x = 1 ( b − c ) + ( c − a ) + ( a − b ) = 0 (b-c) + (c-a) + (a-b) = 0 ( b − c ) + ( c − a ) + ( a − b ) = 0
मूलों का गुणनफल = a − b b − c = \dfrac{a - b}{b - c} = b − c a − b = 1 = 1 = 1 a − b = b − c ⇒ 2 b = a + c a - b = b - c \Rightarrow 2b = a + c a − b = b − c ⇒ 2 b = a + c
अंतिम उत्तर: समान मूल ⇔ 2 b = a + c 2b = a + c 2 b = a + c
सार: एक स्पष्ट मूल (यहाँ x = 1 x = 1 x = 1
उदाहरण 30: नाव और धारा
एक नाव 12 किमी प्रतिकूल और 12 किमी अनुकूल 5 घंटे में तय करती है। यदि धारा की चाल 1 किमी/घं है, तो नाव की शांत जल चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना शांत जल चाल = x = x = x 12 x − 1 + 12 x + 1 = 5 \dfrac{12}{x - 1} + \dfrac{12}{x + 1} = 5 x − 1 12 + x + 1 12 = 5
12 ( x + 1 ) + 12 ( x − 1 ) = 5 ( x 2 − 1 ) ⇒ 24 x = 5 x 2 − 5 ⇒ 5 x 2 − 24 x − 5 = 0 12(x+1) + 12(x-1) = 5(x^2 - 1) \Rightarrow 24x = 5x^2 - 5 \Rightarrow 5x^2 - 24x - 5 = 0 12 ( x + 1 ) + 12 ( x − 1 ) = 5 ( x 2 − 1 ) ⇒ 24 x = 5 x 2 − 5 ⇒ 5 x 2 − 24 x − 5 = 0 ( 5 x + 1 ) ( x − 5 ) = 0 ⇒ x = 5 (5x + 1)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 5 ( 5 x + 1 ) ( x − 5 ) = 0 ⇒ x = 5 − 1 5 -\tfrac{1}{5} − 5 1
अंतिम उत्तर: शांत जल चाल = 5 = 5 = 5
सार: कुल समय (दो यात्राओं का योग) यहाँ द्विघात देता है।
उदाहरण 31: मिश्रित — समान मूल हेतु m m m
m m m ( m + 1 ) x 2 + 2 ( m + 3 ) x + ( m + 8 ) = 0 (m + 1)x^2 + 2(m + 3)x + (m + 8) = 0 ( m + 1 ) x 2 + 2 ( m + 3 ) x + ( m + 8 ) = 0
हल:
D = [ 2 ( m + 3 ) ] 2 − 4 ( m + 1 ) ( m + 8 ) = 0 D = [2(m+3)]^2 - 4(m+1)(m+8) = 0 D = [ 2 ( m + 3 ) ] 2 − 4 ( m + 1 ) ( m + 8 ) = 0 4 ( m 2 + 6 m + 9 ) − 4 ( m 2 + 9 m + 8 ) = 0 ⇒ 4 ( 6 m + 9 − 9 m − 8 ) = 0 ⇒ − 3 m + 1 = 0 4(m^2 + 6m + 9) - 4(m^2 + 9m + 8) = 0 \Rightarrow 4(6m + 9 - 9m - 8) = 0 \Rightarrow -3m + 1 = 0 4 ( m 2 + 6 m + 9 ) − 4 ( m 2 + 9 m + 8 ) = 0 ⇒ 4 ( 6 m + 9 − 9 m − 8 ) = 0 ⇒ − 3 m + 1 = 0 m = 1 3 m = \dfrac{1}{3} m = 3 1
अंतिम उत्तर: m = 1 3 m = \dfrac{1}{3} m = 3 1
सार: D = 0 D = 0 D = 0 m 2 m^2 m 2
