अनुप्रयोग और शब्द समस्याएँ

शब्द समस्याओं की रणनीति

शब्द समस्याएँ वह स्थान हैं जहाँ द्विघात समीकरण अपनी उपयोगिता सिद्ध करते हैं। विश्वसनीय विधि:

1. ध्यान से पढ़ें और अज्ञात पहचानें। उसे $x$ मानें (इकाइयों सहित)।
2. प्रत्येक शर्त को बीजगणित में अनुवादित करें; एक चर $x$ में एक समीकरण में संयोजित करें।
3. मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में पुनर्व्यवस्थित करें।
4. हल करें (गुणनखंडन / सूत्र)।
5. अस्वीकार्य मूल त्यागें (ऋणात्मक लंबाई, अपूर्णांक व्यक्ति, इत्यादि) और उत्तर शब्दों में बताएँ।

मुख्य बिंदु: अंतिम, महत्वपूर्ण चरण यह जाँचना है कि कौन-सा मूल अर्थपूर्ण है। एक द्विघात दो मूल देता है, परंतु स्थिति प्रायः केवल एक की अनुमति देती है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'माना … $x$ है' लिखना और असंभव मूल त्यागना दोनों के अंक होते हैं। व्याख्या चरण कभी न छोड़ें।

संख्या और आयु समस्याएँ

ये सीधे द्विघात में अनुवादित होती हैं।

संख्या प्रकार

'दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग 313 है।' माना वे $x$ और $x+1$ हैं: $x^2 + (x+1)^2 = 313 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 312 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 156 = 0$।

आयु प्रकार

'एक लड़की की वर्तमान आयु का वर्ग, उसकी 5 वर्ष पहले की आयु के 5 गुना घटा, बराबर है …' — प्रत्येक आयु को वर्तमान ($x$, $x \pm n$) के सापेक्ष व्यक्त करें और समीकरण बनाएँ।

मुख्य बिंदु: 'क्रमागत' पूर्णांक $x, x+1$ हैं; 'क्रमागत सम/विषम' $x, x+2$ हैं। इनके वर्ग और गुणनफल द्विघात देते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] प्राकृत-संख्या उत्तरों के लिए, ऋणात्मक या अपूर्णांक मूल त्यागें — केवल अर्थपूर्ण मान ही अंतिम उत्तर है।

चाल, दूरी और समय समस्याएँ

ये बोर्ड परीक्षाओं में सबसे सामान्य द्विघात शब्द समस्याएँ हैं। मुख्य संबंध है:

$$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$$

अनेक समस्याएँ कहती हैं कि चाल बदली, या यात्रा में अलग समय लगा। समय का अंतर बनाने से द्विघात मिलता है।

हल किया गया उदाहरण

'एक रेलगाड़ी 360 किमी एकसमान चाल से चलती है। यदि चाल 5 किमी/घं अधिक होती, तो 1 घंटा कम लगता।'

• माना चाल $= x$ किमी/घं। चाल $x$ पर समय: $\dfrac{360}{x}$; चाल $x+5$ पर: $\dfrac{360}{x+5}$।
• शर्त: $\dfrac{360}{x} - \dfrac{360}{x+5} = 1$।
• यह $x^2 + 5x - 1800 = 0$ में सरल होता है, जिससे $x = 40$ ($-45$ अस्वीकार)।

मुख्य बिंदु: प्रत्येक समय को दूरी/चाल लिखें, दिए समय-अंतर की व्यवस्था करें, और हर हटाकर द्विघात तक पहुँचें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] हल करने के बाद ऋणात्मक चाल त्यागें। उत्तर इकाइयों (किमी/घं) सहित बताएँ।

क्षेत्रफल, ज्यामिति और कार्य समस्याएँ

क्षेत्रफल / ज्यामिति

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, या पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर समीकरण बनाएँ। 'एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 13 सेमी है और एक भुजा दूसरी से 7 सेमी अधिक है।' माना छोटी भुजा $= x$: $x^2 + (x+7)^2 = 13^2$।

समय-और-कार्य / नल

यदि एक नल किसी टंकी को $x$ घंटे में और दूसरा $x + a$ घंटे में भरता है, तो उनकी संयुक्त दर एक कुल समय दिए जाने पर द्विघात देती है।

मुख्य बिंदु: सही सूत्र (क्षेत्रफल, पाइथागोरस, या दर = 1/समय) पहचानें, अज्ञातों के बीच संबंध प्रतिस्थापित करें, और मानक रूप में सरल करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] पाइथागोरस-आधारित समस्याएँ बहुत सामान्य हैं: $a^2 + b^2 = c^2$, जिसमें एक भुजा दूसरी के पदों में व्यक्त होती है, सीधे द्विघात की ओर ले जाती है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: क्रमागत पूर्णांक

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना वे $x$ और $x+1$ हैं: $x(x+1) = 306 \Rightarrow x^2 + x - 306 = 0$।
2. $(x + 18)(x - 17) = 0 \Rightarrow x = 17$ ($-18$ अस्वीकार)।
3. पूर्णांक 17 और 18 हैं।

अंतिम उत्तर: 17 और 18।

सार: धनात्मक पूर्णांकों हेतु ऋणात्मक मूल त्यागें।

उदाहरण 2: वर्गों का योग

दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग 313 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x^2 + (x+1)^2 = 313 \Rightarrow 2x^2 + 2x + 1 = 313 \Rightarrow x^2 + x - 156 = 0$।
2. $(x + 13)(x - 12) = 0 \Rightarrow x = 12$।
3. संख्याएँ 12 और 13 हैं।

अंतिम उत्तर: 12 और 13।

सार: $(x+1)^2$ का प्रसार कर मानक रूप में सरल करें।

उदाहरण 3: आयत क्षेत्रफल

एक आयत की लंबाई इसकी चौड़ाई से 5 मी अधिक है, और इसका क्षेत्रफल 84 मी² है। विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना चौड़ाई $= x$: $x(x + 5) = 84 \Rightarrow x^2 + 5x - 84 = 0$।
2. $(x + 12)(x - 7) = 0 \Rightarrow x = 7$ ($-12$ अस्वीकार)।
3. चौड़ाई 7 मी, लंबाई 12 मी।

अंतिम उत्तर: चौड़ाई 7 मी, लंबाई 12 मी।

सार: क्षेत्रफल गुणनफल देता है; ऋणात्मक मूल त्यागें।

उदाहरण 4: रेलगाड़ी की चाल

एक रेलगाड़ी 360 किमी एकसमान चाल से चलती है। यदि चाल 5 किमी/घं अधिक होती, तो 1 घंटा कम लगता। चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना चाल $= x$। $\dfrac{360}{x} - \dfrac{360}{x + 5} = 1$।
2. $360(x + 5) - 360x = x(x+5) \Rightarrow 1800 = x^2 + 5x$।
3. $x^2 + 5x - 1800 = 0 \Rightarrow (x + 45)(x - 40) = 0 \Rightarrow x = 40$।

अंतिम उत्तर: चाल $= 40$ किमी/घं।

सार: समय-अंतर = 1 घंटा द्विघात देता है; ऋणात्मक चाल त्यागें।

उदाहरण 5: पाइथागोरस व्यवस्था

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 13 सेमी है। एक भुजा दूसरी से 7 सेमी अधिक लंबी है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना छोटी भुजा $= x$: $x^2 + (x + 7)^2 = 13^2$।
2. $x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \Rightarrow 2x^2 + 14x - 120 = 0 \Rightarrow x^2 + 7x - 60 = 0$।
3. $(x + 12)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 5$।
4. भुजाएँ 5 सेमी और 12 सेमी हैं।

अंतिम उत्तर: 5 सेमी और 12 सेमी।

सार: पाइथागोरस $a^2 + b^2 = c^2$ देता है; भुजाओं के बीच संबंध प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 6: आयु समस्या

एक लड़की की 5 वर्ष पहले की आयु और 8 वर्ष बाद की आयु का गुणनफल 30 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना वर्तमान आयु $= x$: $(x - 5)(x + 8) = 30$।
2. $x^2 + 3x - 40 = 30 \Rightarrow x^2 + 3x - 70 = 0$।
3. $(x + 10)(x - 7) = 0 \Rightarrow x = 7$ ($-10$ अस्वीकार)।

अंतिम उत्तर: वर्तमान आयु 7 वर्ष।

सार: दोनों आयुएँ वर्तमान के सापेक्ष व्यक्त करें, गुणा करें, और ऋणात्मक मूल त्यागें।

उदाहरण 7: दो नल / टोंटियाँ

दो नल मिलकर एक टंकी को 6 घंटे में भरते हैं। बड़ा नल छोटे से 5 घंटे कम लेता है। प्रत्येक अकेले कितना समय लेता है, ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना छोटा नल $x$ घंटे लेता है; बड़ा $x - 5$ लेता है। संयुक्त दर: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 5} = \dfrac{1}{6}$।
2. $6(x - 5) + 6x = x(x - 5) \Rightarrow 12x - 30 = x^2 - 5x \Rightarrow x^2 - 17x + 30 = 0$।
3. $(x - 15)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 15$ ($x = 2$ अस्वीकार, क्योंकि $x - 5$ ऋणात्मक होगा)।

अंतिम उत्तर: छोटा नल 15 घंटे, बड़ा नल 10 घंटे।

सार: जो मूल किसी समय को ऋणात्मक बनाएँ उन्हें त्यागें।

उदाहरण 8: अंक समस्या

एक विद्यार्थी के दो विषयों में अंकों के वर्गों का योग 169 है, और अंकों में 7 का अंतर है। अंक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना बड़ा अंक $x$ और छोटा $x - 7$: $x^2 + (x - 7)^2 = 169$।
2. $2x^2 - 14x + 49 = 169 \Rightarrow 2x^2 - 14x - 120 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x - 60 = 0$।
3. $(x - 12)(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 12$ ($-5$ अस्वीकार)।
4. अंक 12 और $12 - 7 = 5$ हैं।

अंतिम उत्तर: अंक 12 और 5 हैं।

सार: दोनों राशियाँ $x$ और $x - 7$ मानें; ऋणात्मक मूल त्यागें।

उदाहरण 9: व्युत्क्रम/संख्या समस्या

एक संख्या और उसके व्युत्क्रम के दुगुने का योग 3 है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना संख्या $x$: $x + \dfrac{2}{x} = 3$।
2. $x$ से गुणा करें: $x^2 + 2 = 3x \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$।
3. $(x - 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 1$ या $x = 2$।

अंतिम उत्तर: संख्या 1 या 2 है।

सार: हर हटाने ($x$ से गुणा) पर व्युत्क्रम शर्त द्विघात बन जाती है।

उदाहरण 10: धारा/नाव की चाल

एक मोटरबोट जिसकी शांत जल में चाल 18 किमी/घं है, 24 किमी धारा के प्रतिकूल जाने में लौटने (अनुकूल) की तुलना में 1 घंटा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना धारा की चाल $= x$। प्रतिकूल चाल $= 18 - x$, अनुकूल $= 18 + x$।
2. $\dfrac{24}{18 - x} - \dfrac{24}{18 + x} = 1$।
3. $24(18 + x) - 24(18 - x) = (18 - x)(18 + x) \Rightarrow 48x = 324 - x^2 \Rightarrow x^2 + 48x - 324 = 0$।
4. $(x + 54)(x - 6) = 0 \Rightarrow x = 6$ ($-54$ अस्वीकार)।

अंतिम उत्तर: धारा की चाल $= 6$ किमी/घं।

सार: प्रतिकूल/अनुकूल चाल $18 \mp x$ हैं; समय-अंतर द्विघात देता है।