एकल-त्रिभुज विधि

कई समस्याओं में केवल एक समकोण त्रिभुज शामिल होता है। तरीका:

  1. त्रिभुज खींचें और समकोण चिह्नित करें (आमतौर पर जहाँ ऊर्ध्वाधर भूमि से मिलती है)।
  2. ज्ञात कोण और ज्ञात भुजा नामांकित करें।
  3. वह अनुपात चुनें जो ज्ञात भुजा को अज्ञात भुजा से जोड़ता है।
  4. मानक कोण के मान का उपयोग कर हल करें।

मुख्य बिंदु: कौन-सा अनुपात उपयोग करना है यह तय करें इससे कि आप क्या जानते हैं और क्या चाहते हैं: सम्मुख व संलग्न ⇒ tan⁡\tan; सम्मुख व कर्ण ⇒ sin⁡\sin; संलग्न व कर्ण ⇒ cos⁡\cos।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] अधिकांश ऊँचाई-दूरी समस्याएँ tan⁡\tan उपयोग करती हैं, क्योंकि ऊर्ध्वाधर (ऊँचाई) और क्षैतिज (दूरी) सम्मुख और संलग्न भुजाएँ हैं।

उपयोगी मानक-कोण तथ्य

चूँकि कोण लगभग सदैव 30°, 45° या 60° होते हैं, इन्हें साथ रखें:

  • tan⁡30°=13\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt3}, tan⁡45°=1\tan 45° = 1, tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt3।
  • sin⁡30°=12\sin 30° = \tfrac12, sin⁡45°=12\sin 45° = \tfrac{1}{\sqrt2}, sin⁡60°=32\sin 60° = \tfrac{\sqrt3}{2}।
  • cos⁡30°=32\cos 30° = \tfrac{\sqrt3}{2}, cos⁡45°=12\cos 45° = \tfrac{1}{\sqrt2}, cos⁡60°=12\cos 60° = \tfrac12।

मुख्य बिंदु: 45° पर ऊँचाई आधार दूरी के बराबर; 60° पर ऊँचाई आधार की 3\sqrt3 गुना; 30° पर आधार ऊँचाई की 3\sqrt3 गुना।

[JEE/NEET युक्ति] उत्तर करणी रूप में रखना (जैसे 10310\sqrt3) यथार्थ है; दशमलव माँगे जाने पर ही 3≈1.732\sqrt3 \approx 1.732 उपयोग करें।

ऊँचाई ज्ञात करना

यदि आप क्षैतिज दूरी dd और उन्नयन कोण θ\theta जानते हैं, तो ऊँचाई है h=dtan⁡θ.h = d\tan\theta. इसके बजाय यदि आप तिर्यक (दृष्टि रेखा) ℓ\ell जानते हैं, तो h=ℓsin⁡θh = \ell\sin\theta।

मुख्य बिंदु: ऊँचाई =dtan⁡θ= d\tan\theta (क्षैतिज दूरी से) या ℓsin⁡θ\ell\sin\theta (तिर्यक से)।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] सावधानी से पढ़ें कि दी गई लंबाई क्षैतिज दूरी है या तिर्यक दृष्टि रेखा — वे भिन्न अनुपात माँगती हैं।

दूरी या कोण ज्ञात करना

जब ऊँचाई hh और उन्नयन θ\theta ज्ञात हों तो क्षैतिज दूरी ज्ञात करने हेतु: d=htan⁡θ.d = \frac{h}{\tan\theta}. जब ऊँचाई और दूरी दोनों ज्ञात हों तो कोण ज्ञात करने हेतु, tan⁡θ=hd\tan\theta = \dfrac{h}{d} पहचानें और मानक कोण पहचानें।

मुख्य बिंदु: जो भी राशि अज्ञात हो उसके लिए tan⁡θ=h/d\tan\theta = h/d पुनर्व्यवस्थित करें।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] यदि tan⁡θ\tan\theta, 11, 3\sqrt3, या 13\tfrac{1}{\sqrt3} आता है, तो कोण क्रमशः 45°45°, 60°60°, या 30°30° है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: दूरी से ऊँचाई

30 मी दूर एक बिंदु से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. h=30tan⁡30°=30⋅13=303=103h = 30\tan 30° = 30\cdot\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{30}{\sqrt3} = 10\sqrt3।

अंतिम उत्तर: 103≈17.3210\sqrt3 \approx 17.32 मी।

सार: h=dtan⁡θh = d\tan\theta।

उदाहरण 2: ऊँचाई से दूरी

एक मीनार 5050 मी ऊँची है। भूमि पर एक बिंदु से इसके शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। बिंदु पाद से कितना दूर है?

हल:

  1. tan⁡45°=50d⇒1=50d⇒d=50\tan 45° = \dfrac{50}{d} \Rightarrow 1 = \dfrac{50}{d} \Rightarrow d = 50 मी।

अंतिम उत्तर: 50 मी।

सार: 45° पर, दूरी ऊँचाई के बराबर।

उदाहरण 3: कोण ज्ञात करें

एक 10 मी खंभा 10310\sqrt3 मी छाया डालता है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡θ=10103=13\tan\theta = \dfrac{10}{10\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3}।
  2. θ=30°\theta = 30°।

अंतिम उत्तर: 30°।

सार: tan⁡θ=13⇒θ=30°\tan\theta = \tfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow \theta = 30°।

उदाहरण 4: दीवार से टिकी सीढ़ी

एक 10 मी लंबी सीढ़ी एक खिड़की तक पहुँचती है। यह भूमि से 60° बनाती है। खिड़की कितनी ऊँची है?

हल:

  1. ऊँचाई =10sin⁡60°=10⋅32=53= 10\sin 60° = 10\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3।

अंतिम उत्तर: 53≈8.665\sqrt3 \approx 8.66 मी।

सार: तिर्यक से ऊँचाई sin⁡\sin उपयोग करती है।

उदाहरण 5: सीढ़ी का पाद

उसी 10 मी सीढ़ी के लिए 60° पर, पाद दीवार से कितना दूर है?

हल:

  1. दूरी =10cos⁡60°=10⋅12=5= 10\cos 60° = 10\cdot\dfrac12 = 5 मी।

अंतिम उत्तर: 5 मी।

सार: तिर्यक से संलग्न cos⁡\cos उपयोग करती है।

उदाहरण 6: नदी की चौड़ाई

एक किनारे पर एक बिंदु से, विपरीत किनारे पर एक पेड़ (ऊँचाई 20 मी) के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡45°=20d⇒d=20\tan 45° = \dfrac{20}{d} \Rightarrow d = 20 मी।

अंतिम उत्तर: 20 मी।

सार: ऊँचाई से क्षैतिज दूरी d=h/tan⁡θd = h/\tan\theta उपयोग करती है।

उदाहरण 7: पतंग की डोर

एक पतंग 60 मी की ऊँचाई पर उड़ रही है। डोर भूमि से 60° बनाती है। डोर की लंबाई ज्ञात कीजिए (इसे सीधी मानें)।

हल:

  1. sin⁡60°=60ℓ⇒ℓ=603/2=1203=403\sin 60° = \dfrac{60}{\ell} \Rightarrow \ell = \dfrac{60}{\sqrt3/2} = \dfrac{120}{\sqrt3} = 40\sqrt3।

अंतिम उत्तर: 403≈69.2840\sqrt3 \approx 69.28 मी।

सार: डोर कर्ण है, अतः sin⁡\sin उपयोग करें।

उदाहरण 8: 60° के साथ मीनार ऊँचाई

15 मी दूर एक बिंदु से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. h=15tan⁡60°=153h = 15\tan 60° = 15\sqrt3।

अंतिम उत्तर: 153≈25.9815\sqrt3 \approx 25.98 मी।

सार: 60° पर, ऊँचाई आधार दूरी की 3\sqrt3 गुना है।

उदाहरण 9: प्रेक्षक की ऊँचाई जोड़ें

एक 1.5 मी लंबा लड़का एक मीनार से 28.5 मी दूर खड़ा है। उसकी आँखों से शीर्ष का उन्नयन 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. आँखों से ऊपर त्रिभुज ऊँचाई =28.5tan⁡45°=28.5= 28.5\tan 45° = 28.5 मी।
  2. आँख की ऊँचाई जोड़ें: 28.5+1.5=3028.5 + 1.5 = 30 मी।

अंतिम उत्तर: 30 मी।

सार: भूमि से कुल ऊँचाई हेतु प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई जोड़ें।

उदाहरण 10: छाया की लंबाई

एक मीनार 3030 मी ऊँची है। सूर्य का उन्नयन 60° होने पर इसकी छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡60°=30छाया⇒छाया=303=103\tan 60° = \dfrac{30}{\text{छाया}} \Rightarrow \text{छाया} = \dfrac{30}{\sqrt3} = 10\sqrt3।

अंतिम उत्तर: 103≈17.3210\sqrt3 \approx 17.32 मी।

सार: छाया =ऊँचाईtan⁡(उन्नयन)= \dfrac{\text{ऊँचाई}}{\tan(\text{उन्नयन})}।