मिश्रित और वास्तविक-जीवन अनुप्रयोग

उन्नयन और अवनमन संयोजित करना

सबसे समृद्ध समस्याएँ दोनों कोण मिलाती हैं। एक क्लासिक: एक बिंदु से आप एक भवन का शीर्ष उन्नयन पर और उसका तल (या खिड़की) अवनमन पर देखते हैं — या आप एक भवन पर खड़े होकर दूसरे का शीर्ष और तल मापते हैं।

प्रत्येक कोण एक समकोण त्रिभुज देता है; वे आमतौर पर क्षैतिज दूरी साझा करते हैं। कुल ऊँचाई पाने हेतु दोनों ऊर्ध्वाधर भागों को जोड़ें या घटाएँ।

मुख्य बिंदु: एक ही स्थान से उन्नयन + अवनमन क्षैतिज दूरी साझा करते हैं। कुल ऊँचाई = (आँख से ऊपर भाग) + (आँख से नीचे भाग)।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] क्षैतिज दूरी उभयनिष्ठ कड़ी है। पहले आसान त्रिभुज से इसे ज्ञात करें, फिर दूसरे में उपयोग करें।

दो भवन / चट्टान और वस्तु

यदि आप ऊँचाई $a$ के भवन के शीर्ष पर खड़े होकर दूरी $d$ पार एक अन्य भवन को देखते हैं:

• इसके तल का अवनमन $\alpha$: ऊर्ध्वाधर गिरावट $a$ है, अतः $\tan\alpha = \dfrac{a}{d}$।
• इसके शीर्ष का उन्नयन $\beta$: आपकी आँख से ऊपर वृद्धि कुछ $b$ है, अतः $\tan\beta = \dfrac{b}{d}$।
• दूसरे भवन की कुल ऊँचाई $a + b$ है।

मुख्य बिंदु: आपके अपने भवन की ऊँचाई अवनमन की ऊर्ध्वाधर भुजा के रूप में आती है; अतिरिक्त वृद्धि उन्नयन से आती है।

[JEE/NEET युक्ति] पहले अवनमन समीकरण हल करें (इसमें आमतौर पर ज्ञात ऊँचाई होती है), $d$ ज्ञात करें, फिर उन्नयन समीकरण में डालें।

नदियाँ, गुब्बारे और वायुयान

वास्तविक-जीवन व्यवस्थाएँ उन्हीं त्रिभुजों के सजाए संस्करण हैं:

• नदी की चौड़ाई: दूर किनारे पर पेड़/मीनार का उन्नयन आर-पार क्षैतिज दूरी देता है।
• गुब्बारा / वायुयान: ऊँचाई स्थिर रहती है जबकि क्षैतिज दूरी बदलती है — एक दो-त्रिभुज समस्या।
• नदी के दोनों किनारे: प्रेक्षक बीच में या एक ओर, जिससे दोनों ओर उन्नयन मिलते हैं।

मुख्य बिंदु: कहानी हटाएँ और सही समकोण त्रिभुज ढूँढें; भौतिकी सदैव ऊँचाई बनाम क्षैतिज दूरी है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] सदैव शब्दों को नामांकित आकृति में बदलें; अंकन-योजना सही आरेख और सही अनुपात को अंक देती है।

सही अनुपात शीघ्र चुनना

त्रिभुज खींचने के बाद एक तेज़ जाँच-सूची:

• ऊर्ध्वाधर व क्षैतिज ज्ञात, कोण चाहिए ⇒ $\tan$।
• कोण व क्षैतिज ज्ञात, ऊर्ध्वाधर चाहिए ⇒ ऊर्ध्वाधर $=$ क्षैतिज $\times \tan$।
• कोण व तिर्यक ज्ञात, ऊर्ध्वाधर चाहिए ⇒ ऊर्ध्वाधर $=$ तिर्यक $\times \sin$।
• कोण व ऊर्ध्वाधर ज्ञात, क्षैतिज चाहिए ⇒ क्षैतिज $=$ ऊर्ध्वाधर $/\tan$।

मुख्य बिंदु: दो भुजाओं (एक ज्ञात, एक वांछित) को उस अनुपात से मिलाएँ जो ठीक उन्हीं दोनों का उपयोग करता है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] कर्ण तभी लाएँ जब समस्या तिर्यक लंबाई दे या माँगे — अधिकांश ऊँचाई/दूरी समस्याएँ $\tan$ पर रहती हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: उन्नयन और अवनमन एक साथ

एक 7 मी भवन के शीर्ष से, एक केबल मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° और इसके तल का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. तल का अवनमन 45°: $\tan 45° = \dfrac{7}{d} \Rightarrow d = 7$ मी।
2. शीर्ष का उन्नयन 60°: आँख से ऊपर वृद्धि $b$, $\tan 60° = \dfrac{b}{7} \Rightarrow b = 7\sqrt3$।
3. मीनार ऊँचाई $= 7 + 7\sqrt3 = 7(1 + \sqrt3)$।

अंतिम उत्तर: $7(1 + \sqrt3) \approx 19.12$ मी।

सार: अवनमन $d$ देता है; उन्नयन वृद्धि देता है; भवन की ऊँचाई जोड़ें।

उदाहरण 2: दो भवन

एक 20 मी भवन के शीर्ष से, एक अन्य भवन के तल का अवनमन 30° और इसके शीर्ष का उन्नयन 45° है। दूसरे भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 30° = \dfrac{20}{d} \Rightarrow d = 20\sqrt3$।
2. $\tan 45° = \dfrac{b}{d} = 1 \Rightarrow b = d = 20\sqrt3$।
3. ऊँचाई $= 20 + 20\sqrt3 = 20(1 + \sqrt3)$।

अंतिम उत्तर: $20(1 + \sqrt3) \approx 54.64$ मी।

सार: कुल ऊँचाई = अपनी ऊँचाई + आँख-स्तर से ऊपर अतिरिक्त वृद्धि।

उदाहरण 3: नदी की चौड़ाई

एक नदी के दूर किनारे पर 15 मी ऊँचा पेड़ खड़ा है। पास किनारे से इसके शीर्ष का उन्नयन 30° है। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 30° = \dfrac{15}{d} \Rightarrow d = 15\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $15\sqrt3 \approx 25.98$ मी।

सार: चौड़ाई उन्नयन त्रिभुज से क्षैतिज दूरी है।

उदाहरण 4: प्रेक्षणों के बीच गुब्बारा

स्थिर ऊँचाई पर एक गुब्बारा एक बिंदु से 60° उन्नयन पर दिखता है; प्रेक्षक को 30 मी दूर ले जाने के बाद (सीधे), उन्नयन 30° है। गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास: $\tan 60° = \dfrac{h}{x} \Rightarrow x = \dfrac{h}{\sqrt3}$।
2. दूर: $\tan 30° = \dfrac{h}{x + 30} \Rightarrow x + 30 = h\sqrt3$।
3. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 30 = h\sqrt3 \Rightarrow 30 = \dfrac{2h}{\sqrt3} \Rightarrow h = 15\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $15\sqrt3 \approx 25.98$ मी।

सार: स्थिर-ऊँचाई गुब्बारा ⇒ दो-त्रिभुज समस्या।

उदाहरण 5: भवन पर मीनार

एक ऊर्ध्वाधर मीनार 50 मी भवन पर खड़ी है। भूमि पर एक बिंदु से, मीनार के तल (भवन शीर्ष) का उन्नयन 45° और मीनार के शीर्ष का उन्नयन 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 45° = \dfrac{50}{d} \Rightarrow d = 50$।
2. $\tan 60° = \dfrac{50 + t}{d} = \dfrac{50 + t}{50} = \sqrt3 \Rightarrow 50 + t = 50\sqrt3$।
3. $t = 50\sqrt3 - 50 = 50(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $50(\sqrt3 - 1) \approx 36.6$ मी।

सार: $d$ तय करने हेतु निचला कोण उपयोग करें, फिर कुल ऊँचाई हेतु ऊपरी कोण।

उदाहरण 6: वायुयान की ऊँचाई

भूमि पर एक बिंदु से एक वायुयान का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकंड की क्षैतिज उड़ान के बाद, उन्नयन 30° गिर जाता है। यदि विमान $1500\sqrt3$ मी की स्थिर ऊँचाई पर उड़ता है, इसकी चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास: $x_1 = \dfrac{1500\sqrt3}{\tan 60°} = \dfrac{1500\sqrt3}{\sqrt3} = 1500$।
2. दूर: $x_2 = \dfrac{1500\sqrt3}{\tan 30°} = 1500\sqrt3\cdot\sqrt3 = 4500$।
3. दूरी $= 4500 - 1500 = 3000$ मी 15 से में।
4. चाल $= \dfrac{3000}{15} = 200$ मी/से।

अंतिम उत्तर: 200 मी/से।

सार: स्थिर-ऊँचाई उड़ान दो-त्रिभुज समस्या है; चाल = दूरी ÷ समय।

उदाहरण 7: नदी के दोनों किनारे

विपरीत किनारों पर दो खंभों के बीच एक बिंदु से, उनके शीर्षों के उन्नयन 60° और 30° हैं। खंभे ऊँचाई $h$ में बराबर हैं और किनारे 40 मी अलग हैं। $h$ और बिंदु की स्थिति ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें बिंदु पहले खंभे से $x$, दूसरे से $40 - x$ पर है। $\tan 60° = \dfrac{h}{x}$, $\tan 30° = \dfrac{h}{40 - x}$।
2. $h = x\sqrt3$ और $h = \dfrac{40 - x}{\sqrt3}$। अतः $x\sqrt3 = \dfrac{40 - x}{\sqrt3} \Rightarrow 3x = 40 - x \Rightarrow x = 10$।
3. $h = 10\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $h = 10\sqrt3 \approx 17.32$ मी; बिंदु पहले खंभे से 10 मी पर है।

सार: बिंदु ज्ञात करने हेतु $h$ के दोनों व्यंजक बराबर रखें।

उदाहरण 8: छाया लंबी होती है

एक मीनार की छाया सूर्य उन्नयन 30° पर 60° की तुलना में $40$ मी लंबी है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. 30° पर: छाया $= \dfrac{h}{\tan 30°} = h\sqrt3$। 60° पर: छाया $= \dfrac{h}{\tan 60°} = \dfrac{h}{\sqrt3}$।
2. $h\sqrt3 - \dfrac{h}{\sqrt3} = 40 \Rightarrow \dfrac{2h}{\sqrt3} = 40 \Rightarrow h = 20\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $20\sqrt3 \approx 34.64$ मी।

सार: नीचा सूर्य ⇒ लंबी छाया; अंतर ऊँचाई देता है।

उदाहरण 9: दो नाव, अवनमन

$40\sqrt3$ मी मीनार के शीर्ष से, पूर्व दिशा में दो नावों के अवनमन 30° और 60° हैं। उनके बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास (60°): $x_1 = \dfrac{40\sqrt3}{\sqrt3} = 40$। दूर (30°): $x_2 = \dfrac{40\sqrt3}{1/\sqrt3} = 40\sqrt3\cdot\sqrt3 = 120$।
2. दूरी $= 120 - 40 = 80$ मी।

अंतिम उत्तर: 80 मी।

सार: ऊँचाई $40\sqrt3$ इसलिए चुनी गई ताकि उत्तर पूर्ण संख्याएँ हों।

उदाहरण 10: भवन पर खंभा, अवनमन

एक मीनार के पाद से, एक भवन के शीर्ष का उन्नयन 30° है; भवन के पाद से, मीनार के शीर्ष का उन्नयन 60° है। यदि भवन 10 मी ऊँचा है, मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें $d$ पादों के बीच दूरी, मीनार ऊँचाई $H$।
2. मीनार पाद से: $\tan 30° = \dfrac{10}{d} \Rightarrow d = 10\sqrt3$।
3. भवन पाद से: $\tan 60° = \dfrac{H}{d} \Rightarrow H = d\sqrt3 = 10\sqrt3\cdot\sqrt3 = 30$।

अंतिम उत्तर: मीनार ऊँचाई $= 30$ मी।

सार: दो परस्पर उन्नयन समान क्षैतिज दूरी $d$ साझा करते हैं।