हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह ऊँचाई और दूरी के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — एकल त्रिभुज, दो त्रिभुज, उन्नयन और अवनमन, और वास्तविक-जीवन व्यवस्थाएँ — मोटे तौर पर सरल से कठिन।

कैसे पढ़ें: त्रिभुज खींचें, ज्ञात भुजा और कोण चिह्नित करें, $\tan$ (या $\sin$/$\cos$) समीकरण लिखें, फिर हल करें। हल ढककर पहले प्रत्येक को स्वयं हल करें।

ये साथ रखें:

• $\tan 30° = \tfrac{1}{\sqrt3}$, $\tan 45° = 1$, $\tan 60° = \sqrt3$।
• शीर्ष पर अवनमन = तल पर उन्नयन (एकांतर कोण)।
• दो कोण ⇒ उभयनिष्ठ ऊँचाई या दूरी साझा करते दो समीकरण।
• भूमि से ऊँचाई माँगे जाने पर सदैव प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई जोड़ें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 30° पर ऊँचाई

45 मी दूर एक बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन 30° है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $h = 45\tan 30° = \dfrac{45}{\sqrt3} = 15\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $15\sqrt3 \approx 25.98$ मी।

सार: $h = d\tan\theta$।

उदाहरण 2: 60° पर दूरी

एक 60 मी मीनार 60° उन्नयन पर देखी जाती है। पाद से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 60° = \dfrac{60}{d} \Rightarrow d = \dfrac{60}{\sqrt3} = 20\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $20\sqrt3 \approx 34.64$ मी।

सार: $d = h/\tan\theta$।

उदाहरण 3: कोण ज्ञात करें

एक मीनार $50\sqrt3$ मी ऊँची है और एक बिंदु इसके पाद से 50 मी दूर है। शीर्ष का उन्नयन ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan\theta = \dfrac{50\sqrt3}{50} = \sqrt3 \Rightarrow \theta = 60°$।

अंतिम उत्तर: 60°।

सार: $\tan\theta = \sqrt3 \Rightarrow 60°$।

उदाहरण 4: सीढ़ी की ऊँचाई

एक 12 मी सीढ़ी भूमि से 30° बनाती है। यह दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?

हल:

1. ऊँचाई $= 12\sin 30° = 12\cdot\tfrac12 = 6$ मी।

अंतिम उत्तर: 6 मी।

सार: तिर्यक से ऊँचाई $\sin$ उपयोग करती है।

उदाहरण 5: अवनमन दूरी

90 मी चट्टान से, एक नाव का अवनमन 60° है। पाद से इसकी दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 60° = \dfrac{90}{d} \Rightarrow d = \dfrac{90}{\sqrt3} = 30\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $30\sqrt3 \approx 51.96$ मी।

सार: अवनमन = नाव पर उन्नयन।

उदाहरण 6: 45° पर छाया

सूर्य का उन्नयन 45° होने पर एक 25 मी मीनार की छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 45° = \dfrac{25}{s} = 1 \Rightarrow s = 25$ मी।

अंतिम उत्तर: 25 मी।

सार: 45° पर, छाया ऊँचाई के बराबर।

उदाहरण 7: दो-बिंदु 30°–60°

रेखा में 20 मी अलग दो बिंदुओं से मीनार के शीर्ष के उन्नयन 30° और 60° हैं। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$; दूर $x + 20 = h\sqrt3$।
2. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 20 = h\sqrt3 \Rightarrow 20 = \dfrac{2h}{\sqrt3} \Rightarrow h = 10\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $10\sqrt3 \approx 17.32$ मी।

सार: दो कोण ⇒ दो समीकरण।

उदाहरण 8: पतंग डोर की लंबाई

एक पतंग 45 मी की ऊँचाई पर है; इसकी डोर भूमि से 45° बनाती है। डोर की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\sin 45° = \dfrac{45}{\ell} \Rightarrow \ell = 45\sqrt2$।

अंतिम उत्तर: $45\sqrt2 \approx 63.64$ मी।

सार: डोर कर्ण है ⇒ $\sin$।

उदाहरण 9: लड़के की ऊँचाई जोड़ें

एक 1.7 मी लंबा लड़का 30 मी दूर (क्षैतिज) से मीनार के शीर्ष को 45° पर देखता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. त्रिभुज ऊँचाई $= 30\tan 45° = 30$ मी।
2. आँख की ऊँचाई जोड़ें: $30 + 1.7 = 31.7$ मी।

अंतिम उत्तर: 31.7 मी।

सार: भूमि से कुल हेतु प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई जोड़ें।

उदाहरण 10: दो जहाज अवनमन

$60\sqrt3$ मी प्रकाशस्तंभ से, रेखा में दो जहाजों के अवनमन 30° और 60° हैं। उनके बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x_1 = \dfrac{60\sqrt3}{\sqrt3} = 60$। दूर $x_2 = 60\sqrt3\cdot\sqrt3 = 180$।
2. दूरी $= 180 - 60 = 120$ मी।

अंतिम उत्तर: 120 मी।

सार: बड़ा अवनमन ⇒ पास जहाज।

उदाहरण 11: उन्नयन/अवनमन से भवन

एक 15 मी भवन के शीर्ष से, एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन 30° और इसके तल का अवनमन 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. अवनमन 60°: $\tan 60° = \dfrac{15}{d} \Rightarrow d = \dfrac{15}{\sqrt3} = 5\sqrt3$।
2. उन्नयन 30°: वृद्धि $b = d\tan 30° = 5\sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3} = 5$।
3. मीनार ऊँचाई $= 15 + 5 = 20$ मी।

अंतिम उत्तर: 20 मी।

सार: अवनमन $d$ देता है; उन्नयन आँख-स्तर से ऊपर वृद्धि देता है।

उदाहरण 12: मीनार की ओर चलना

एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन 30° है; इसकी ओर 40 मी चलने पर यह 60° है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$; दूर $x + 40 = h\sqrt3$।
2. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 40 = h\sqrt3 \Rightarrow 40 = \dfrac{2h}{\sqrt3} \Rightarrow h = 20\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $20\sqrt3 \approx 34.64$ मी।

सार: 30°–60° युग्म देता है $d = 2h/\sqrt3$।

उदाहरण 13: 60° के साथ नदी चौड़ाई

दूर किनारे पर 30 मी ऊँची मीनार खड़ी है। पास किनारे से, इसके शीर्ष का उन्नयन 60° है। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 60° = \dfrac{30}{d} \Rightarrow d = \dfrac{30}{\sqrt3} = 10\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $10\sqrt3 \approx 17.32$ मी।

सार: ऊँचाई से चौड़ाई $d = h/\tan\theta$ उपयोग करती है।

उदाहरण 14: पहाड़ी पर मीनार

भूमि पर एक बिंदु से, एक मीनार के तल (40 मी पहाड़ी के शीर्ष) का उन्नयन 30° और मीनार के शीर्ष का उन्नयन 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 30° = \dfrac{40}{d} \Rightarrow d = 40\sqrt3$।
2. $\tan 45° = \dfrac{40 + t}{d} = 1 \Rightarrow 40 + t = 40\sqrt3$।
3. $t = 40\sqrt3 - 40 = 40(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $40(\sqrt3 - 1) \approx 29.28$ मी।

सार: निचला कोण $d$ तय करता है; ऊपरी कोण कुल ऊँचाई देता है।

उदाहरण 15: नाव की चाल

100 मी चट्टान से, एक नाव का अवनमन 1 मिनट में 30° से 45° बदलता है। नाव की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूर $x_2 = \dfrac{100}{\tan 30°} = 100\sqrt3$। पास $x_1 = \dfrac{100}{\tan 45°} = 100$।
2. दूरी $= 100\sqrt3 - 100 = 100(\sqrt3 - 1) \approx 73.2$ मी।
3. चाल $= \dfrac{100(\sqrt3 - 1)}{1} \approx 73.2$ मी/मिनट।

अंतिम उत्तर: $100(\sqrt3 - 1) \approx 73.2$ मी/मिनट।

सार: दूरी ÷ समय = चाल।

उदाहरण 16: खंभा और इसकी छाया

सूर्य का उन्नयन 60° होने पर एक खंभा 6 मी छाया डालता है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 60° = \dfrac{h}{6} \Rightarrow h = 6\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $6\sqrt3 \approx 10.39$ मी।

सार: ऊँचाई $=$ छाया $\times \tan(\text{उन्नयन})$।

उदाहरण 17: दो बिंदुओं के बीच भवन

विपरीत ओर 60 मी अलग दो बिंदुओं से एक भवन के शीर्ष के उन्नयन 30° और 60° हैं। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$ (60° ओर); $60 - x = h\sqrt3$ (30° ओर)।
2. जोड़ें: $60 = \dfrac{h}{\sqrt3} + h\sqrt3 = \dfrac{4h}{\sqrt3} \Rightarrow h = \dfrac{60\sqrt3}{4} = 15\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $15\sqrt3 \approx 25.98$ मी।

सार: विपरीत ओर ⇒ दूरियाँ पृथक्करण तक जुड़ती हैं।

उदाहरण 18: झील के ऊपर बादल (पूर्वावलोकन)

एक झील से 20 मी ऊपर एक बिंदु से, एक बादल का उन्नयन 30° है। $\tan 30° = \dfrac{H - 20}{d}$ बनाएँ जहाँ $H$ झील से ऊपर बादल की ऊँचाई और $d$ क्षैतिज दूरी है। यदि $d = 60\sqrt3$, $H$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 30° = \dfrac{H - 20}{60\sqrt3} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{H - 20}{60\sqrt3}$।
2. $H - 20 = 60 \Rightarrow H = 80$ मी।

अंतिम उत्तर: $H = 80$ मी झील से ऊपर।

सार: बादल की ऊँचाई प्रेक्षण स्तर के सापेक्ष मापें, फिर समायोजित करें।

उदाहरण 19: 45°-फिर-60°

एक बिंदु से एक मीनार का उन्नयन 45° है; 10 मी पास जाने पर यह 60° हो जाता है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$; दूर $x + 10 = h$ (क्योंकि $\tan 45° = 1$)।
2. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 10 = h \Rightarrow 10 = h\cdot\dfrac{\sqrt3 - 1}{\sqrt3} \Rightarrow h = \dfrac{10\sqrt3}{\sqrt3 - 1} = 5\sqrt3(\sqrt3 + 1) = 15 + 5\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $15 + 5\sqrt3 \approx 23.66$ मी।

सार: $\sqrt3 - 1$ का इसके संयुग्मी से परिमेयकरण करें।

उदाहरण 20: वायुयान की चाल

$3000$ मी पर उड़ता एक वायुयान एक बिंदु से 60° उन्नयन पर है; 10 से बाद यह 30° है। इसकी चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x_1 = \dfrac{3000}{\tan 60°} = \dfrac{3000}{\sqrt3} = 1000\sqrt3$। दूर $x_2 = \dfrac{3000}{\tan 30°} = 3000\sqrt3$।
2. दूरी $= 3000\sqrt3 - 1000\sqrt3 = 2000\sqrt3$ मी 10 से में।
3. चाल $= 200\sqrt3 \approx 346.4$ मी/से।

अंतिम उत्तर: $200\sqrt3 \approx 346.4$ मी/से।

सार: स्थिर-ऊँचाई उड़ान ⇒ दो त्रिभुज।

उदाहरण 21: गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात करें

एक बिंदु से एक गुब्बारे का उन्नयन 30° है। इसके नीचे के बिंदु की ओर 50 मी चलने पर, उन्नयन 60° है। गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूर $x + 50 = h\sqrt3$; पास $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$।
2. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 50 = h\sqrt3 \Rightarrow 50 = \dfrac{2h}{\sqrt3} \Rightarrow h = 25\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $25\sqrt3 \approx 43.3$ मी।

सार: मानक 30°–60° दो-त्रिभुज टेम्पलेट।

उदाहरण 22: सूर्य का उन्नयन कोण

एक ऊर्ध्वाधर खंभे की ऊँचाई का इसकी छाया से अनुपात $1 : \sqrt3$ है। सूर्य का उन्नयन ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan\theta = \dfrac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया}} = \dfrac{1}{\sqrt3}$।
2. $\theta = 30°$।

अंतिम उत्तर: 30°।

सार: $\tan\theta = \tfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow 30°$।

उदाहरण 23: दो मीनार

बराबर ऊँचाई की दो मीनारें 80 मी अलग खड़ी हैं। उनके बीच के मध्य-बिंदु से, प्रत्येक शीर्ष का उन्नयन 45° है। उनकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मध्य-बिंदु प्रत्येक से 40 मी है। $\tan 45° = \dfrac{h}{40} = 1 \Rightarrow h = 40$ मी।

अंतिम उत्तर: 40 मी।

सार: सममिति: मध्य-बिंदु समदूरस्थ है, अतः एक समीकरण पर्याप्त।

उदाहरण 24: कारों के बीच दूरी ज्ञात करें

$50\sqrt3$ मी मीनार के शीर्ष से, एक सीधी सड़क पर दो कारों के अवनमन 30° और 60° हैं। उनके बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास (60°): $x_1 = \dfrac{50\sqrt3}{\sqrt3} = 50$। दूर (30°): $x_2 = 50\sqrt3\cdot\sqrt3 = 150$।
2. दूरी $= 150 - 50 = 100$ मी।

अंतिम उत्तर: 100 मी।

सार: दोनों कारें एक ही ओर ⇒ दूरियाँ घटाएँ।

उदाहरण 25: आँख-स्तर 1.5 मी के साथ ऊँचाई

एक 1.5 मी लंबा प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 मी दूर है। शीर्ष का उन्नयन 45° है। चिमनी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. त्रिभुज ऊँचाई $= 28.5\tan 45° = 28.5$ मी।
2. कुल $= 28.5 + 1.5 = 30$ मी।

अंतिम उत्तर: 30 मी।

सार: भूमि से कुल हेतु सदैव आँख की ऊँचाई जोड़ें।

उदाहरण 26: सड़क की चौड़ाई

एक 10 मी भवन के शीर्ष से, सड़क के एक ही ओर दो बिंदुओं के अवनमन कोण 45° और 30° हैं। बिंदुओं के बीच सड़क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास (45°): $x_1 = 10$। दूर (30°): $x_2 = 10\sqrt3$।
2. चौड़ाई $= 10\sqrt3 - 10 = 10(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $10(\sqrt3 - 1) \approx 7.32$ मी।

सार: दोनों बिंदु एक ही ओर हैं; दूरियाँ घटाएँ।

उदाहरण 27: दो कोणों से चिमनी की ऊँचाई

रेखा में 50 मी अलग दो बिंदुओं से एक चिमनी के शीर्ष के उन्नयन 45° और 30° हैं। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x = h$ (45°); दूर $x + 50 = h\sqrt3$ (30°)।
2. $h + 50 = h\sqrt3 \Rightarrow 50 = h(\sqrt3 - 1) \Rightarrow h = \dfrac{50}{\sqrt3 - 1} = 25(\sqrt3 + 1)$।

अंतिम उत्तर: $25(\sqrt3 + 1) \approx 68.3$ मी।

सार: 45°–30° युग्म संयुग्मी-परिमेयकृत उत्तर देता है।

उदाहरण 28: पहाड़ी पथ का तिर्यक

पहाड़ी पर एक सीधा पथ क्षैतिज से 30° झुकाव पर 50 मी ऊँचाई तक चढ़ता है। पथ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\sin 30° = \dfrac{50}{\ell} = \tfrac12 \Rightarrow \ell = 100$ मी।

अंतिम उत्तर: 100 मी।

सार: पथ कर्ण है ⇒ $\sin$ इसे ऊँचाई से जोड़ता है।

उदाहरण 29: मीनार पर ध्वजदंड

एक ध्वजदंड एक 20 मी मीनार पर खड़ा है। भूमि पर एक बिंदु से, ध्वजदंड के तल का उन्नयन 45° और इसके शीर्ष का उन्नयन 60° है। ध्वजदंड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 45° = \dfrac{20}{d} \Rightarrow d = 20$।
2. $\tan 60° = \dfrac{20 + f}{20} = \sqrt3 \Rightarrow 20 + f = 20\sqrt3$।
3. $f = 20\sqrt3 - 20 = 20(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $20(\sqrt3 - 1) \approx 14.64$ मी।

सार: निचला कोण $d$ तय करता है; दोनों ऊर्ध्वाधर का अंतर ध्वजदंड देता है।

उदाहरण 30: चली गई दूरी

एक बिंदु पर एक 100 मी मीनार के शीर्ष का उन्नयन 30° है। उन्नयन 45° बनाने हेतु इसकी ओर कितना चलना होगा?

हल:

1. दूर $x_2 = \dfrac{100}{\tan 30°} = 100\sqrt3$। पास $x_1 = \dfrac{100}{\tan 45°} = 100$।
2. चली दूरी $= 100\sqrt3 - 100 = 100(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $100(\sqrt3 - 1) \approx 73.2$ मी।

सार: चली दूरी = दो क्षैतिज दूरियों का अंतर।

उदाहरण 31: विपरीत ओर दो नाव

एक $30$ मी प्रकाशस्तंभ के शीर्ष से, विपरीत ओर दो नावों के अवनमन 45° और 30° हैं। नावों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. एक ओर (45°): $x_1 = \dfrac{30}{\tan 45°} = 30$।
2. दूसरी ओर (30°): $x_2 = \dfrac{30}{\tan 30°} = 30\sqrt3$।
3. दूरी $= x_1 + x_2 = 30 + 30\sqrt3 = 30(1 + \sqrt3)$।

अंतिम उत्तर: $30(1 + \sqrt3) \approx 81.96$ मी।

सार: विपरीत ओर ⇒ दोनों क्षैतिज दूरियाँ जोड़ें।