अवनमन कोण की समस्याएँ

अवनमन समस्याएँ बनाना

जब प्रेक्षक ऊँचाई पर (मीनार, चट्टान, या भवन पर) होता है और किसी वस्तु को नीचे देखता है, तो क्षैतिज के नीचे का कोण अवनमन कोण है।

मुख्य चाल: प्रेक्षक की आँख पर क्षैतिज भूमि के समांतर है, अतः अवनमन कोण वस्तु पर एकांतर कोण के बराबर होता है — जो वापस ऊपर देखने का उन्नयन कोण है। कोण को वस्तु के पाद तक लाएँ, और आपके पास एक स्वच्छ समकोण त्रिभुज है।

मुख्य बिंदु: अवनमन कोण (शीर्ष पर) = उन्नयन कोण (तल पर)। इसे सदैव तल पर स्थानांतरित करें ताकि यह त्रिभुज के अंदर बैठे।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] एक बार-बार होने वाली गलती अवनमन कोण को शीर्ष शीर्ष पर त्रिभुज के अंदर मानकर उपयोग करना है। इसे तल पर एकांतर स्थिति में ले जाएँ।

मूल अवनमन समीकरण

ऊँचाई $h$ पर एक प्रेक्षक के लिए जो क्षैतिज दूरी $d$ पर भूमि पर एक वस्तु को नीचे देखता है, अवनमन $\alpha$ के साथ: $$\tan\alpha = \frac{h}{d}.$$ यह उन्नयन समीकरण के समान है, क्योंकि अवनमन वस्तु पर उन्नयन के बराबर है।

मुख्य बिंदु: $\tan(\text{अवनमन}) = \dfrac{\text{प्रेक्षक की ऊँचाई}}{\text{क्षैतिज दूरी}}$ — उन्नयन के समान।

[JEE/NEET युक्ति] जब भी आप 'अवनमन कोण' देखें, मानसिक रूप से इसे 'वस्तु से उन्नयन कोण' से बदलें और आगे बढ़ें।

वस्तुएँ पास या दूर जाती हुई

कई अवनमन समस्याओं में एक वस्तु (कार, नाव) चलती है। दो समयों पर दो अवनमन कोण दो त्रिभुज देते हैं; क्षैतिज दूरियों का अंतर वह दूरी है जो वस्तु ने तय की।

यदि समय दिया हो, चाल $= \dfrac{\text{तय दूरी}}{\text{समय}}$।

मुख्य बिंदु: दो अवनमन ⇒ दो क्षैतिज दूरियाँ; उनका अंतर तय की गई दूरी है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] जैसे-जैसे वस्तु आधार के पास आती है, अवनमन कोण बढ़ता है (दृष्टि रेखा तीव्र होती है)।

प्रेक्षक की ऊँचाई मायने रखती है

यदि समस्या बताती है कि प्रेक्षक खिड़की पर या भूमि से ऊपर आँख-स्तर पर है, तो सावधान रहें कि $\tan\alpha = h/d$ में ऊँचाई पूरी संरचना की ऊँचाई है या केवल वस्तु के स्तर से ऊपर का भाग।

मीनार-शीर्ष प्रेक्षक और भूमि वस्तु के लिए, $h$ पूरी मीनार की ऊँचाई है। एक ही स्तर पर दो वस्तुओं के लिए, ऊँचाई अनुपातों में कट जाती है।

मुख्य बिंदु: प्रतिस्थापन से पहले ठीक पहचानें कि अवनमन त्रिभुज कौन-सी ऊर्ध्वाधर दूरी उपयोग करता है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] हर बार प्रेक्षक की आँख पर क्षैतिज रेखा खींचें — यह दिखाती है कौन-सा कोण किसका एकांतर है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: अवनमन से दूरी

60 मी मीनार के शीर्ष से, एक कार का अवनमन कोण 30° है। कार पाद से कितनी दूर है?

हल:

1. $\tan 30° = \dfrac{60}{d} \Rightarrow d = \dfrac{60}{\tan 30°} = 60\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $60\sqrt3 \approx 103.9$ मी।

सार: अवनमन ठीक उन्नयन की तरह व्यवहार करता है।

उदाहरण 2: ऊँचाई ज्ञात करें

एक चट्टान से, पाद से 40 मी दूर एक नाव का अवनमन 45° है। चट्टान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 45° = \dfrac{h}{40} = 1 \Rightarrow h = 40$ मी।

अंतिम उत्तर: 40 मी।

सार: 45° अवनमन पर, ऊँचाई दूरी के बराबर।

उदाहरण 3: दो जहाज

100 मी प्रकाशस्तंभ के शीर्ष से, रेखा में दो जहाजों के अवनमन 30° और 45° हैं। उनके बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास: $\tan 45° = \dfrac{100}{x_1} \Rightarrow x_1 = 100$।
2. दूर: $\tan 30° = \dfrac{100}{x_2} \Rightarrow x_2 = 100\sqrt3$।
3. दूरी $= 100\sqrt3 - 100 = 100(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $100(\sqrt3 - 1) \approx 73.2$ मी।

सार: बड़ा अवनमन ⇒ पास वस्तु।

उदाहरण 4: पास आती कार और चाल

150 मी मीनार से, एक कार का अवनमन 3 सेकंड में 30° से 60° बदलता है। चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूर: $x_2 = \dfrac{150}{\tan 30°} = 150\sqrt3$। पास: $x_1 = \dfrac{150}{\tan 60°} = \dfrac{150}{\sqrt3} = 50\sqrt3$।
2. दूरी $= 150\sqrt3 - 50\sqrt3 = 100\sqrt3$ मी।
3. चाल $= \dfrac{100\sqrt3}{3} \approx 57.7$ मी/से।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{100\sqrt3}{3} \approx 57.7$ मी/से।

सार: तय दूरी ÷ समय = चाल।

उदाहरण 5: शीर्ष और तल के अवनमन

एक भवन के शीर्ष से, एक लैंप पोस्ट के शीर्ष और तल के अवनमन 30° और 45° हैं। यदि भवन 20 मी ऊँचा है, समीकरण बनाएँ।

हल:

1. लैंप पोस्ट तल (भूमि पर) के लिए: $\tan 45° = \dfrac{20}{d} \Rightarrow d = 20$।
2. लैंप पोस्ट शीर्ष (ऊँचाई $p$) के लिए: इस तक ऊर्ध्वाधर गिरावट $20 - p$ है, अतः $\tan 30° = \dfrac{20 - p}{20}$।
3. $20 - p = 20\cdot\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{20}{\sqrt3} \Rightarrow p = 20 - \dfrac{20}{\sqrt3} = 20\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt3}\right)$।

अंतिम उत्तर: $d = 20$ मी, लैंप पोस्ट ऊँचाई $p = 20\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt3}\right) \approx 8.45$ मी।

सार: शीर्ष और तल के भिन्न अवनमन कोण वस्तु की ऊँचाई देते हैं।

उदाहरण 6: चट्टान और दूर जाती नाव

50 मी चट्टान से, एक नाव का अवनमन दूर जाते हुए 45° से 30° घटता है। यह कितनी दूर गई?

हल:

1. पास (45°): $x_1 = \dfrac{50}{\tan 45°} = 50$। दूर (30°): $x_2 = \dfrac{50}{\tan 30°} = 50\sqrt3$।
2. दूरी $= 50\sqrt3 - 50 = 50(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $50(\sqrt3 - 1) \approx 36.6$ मी।

सार: दूर जाना ⇒ अवनमन घटता है।

उदाहरण 7: अवनमन हेतु आवश्यक ऊँचाई

एक पहरेदार चाहता है कि 30 मी दूर एक गेट का अवनमन 60° हो। पहरा-मीनार कितनी ऊँची होनी चाहिए?

हल:

1. $\tan 60° = \dfrac{h}{30} \Rightarrow h = 30\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $30\sqrt3 \approx 51.96$ मी।

सार: ऊँचाई $= d\tan(\text{अवनमन})$।

उदाहरण 8: वायुयान अवनमन

1500 मी ऊँचाई पर एक वायुयान रेखा में दो नावों को 45° और 30° अवनमन पर देखता है। नावों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास: $x_1 = \dfrac{1500}{\tan 45°} = 1500$। दूर: $x_2 = \dfrac{1500}{\tan 30°} = 1500\sqrt3$।
2. दूरी $= 1500\sqrt3 - 1500 = 1500(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $1500(\sqrt3 - 1) \approx 1098$ मी।

सार: वही टेम्पलेट, बड़ी संख्याएँ।

उदाहरण 9: खिड़की का अवनमन

भूमि से 10 मी ऊपर एक खिड़की से, एक पेड़ के पाद का अवनमन 30° है। पेड़ कितनी दूर है?

हल:

1. $\tan 30° = \dfrac{10}{d} \Rightarrow d = 10\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $10\sqrt3 \approx 17.32$ मी।

सार: खिड़की की ऊँचाई अवनमन त्रिभुज की ऊर्ध्वाधर भुजा है।

उदाहरण 10: बराबर-दूरी जाँच

45 मी मीनार के शीर्ष से, एक बिंदु का अवनमन 45° है। सत्यापित कीजिए कि बिंदु पाद से 45 मी है।

हल:

1. $\tan 45° = \dfrac{45}{d} = 1 \Rightarrow d = 45$ मी।

अंतिम उत्तर: 45 मी — सत्यापित।

सार: 45° कोण सदैव दोनों भुजाओं को बराबर बनाता है।