दो त्रिभुजों वाली समस्याएँ

जब दो त्रिभुज आते हैं

कठिन समस्याएँ दो कोण देती हैं — उदाहरण के लिए, किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन दो भिन्न बिंदुओं से मापा गया, या कुछ दूरी चलने से पहले और बाद। प्रत्येक कोण एक समकोण त्रिभुज देता है, और दोनों त्रिभुज उभयनिष्ठ ऊँचाई (या कोई उभयनिष्ठ भुजा) साझा करते हैं।

विधि:

1. अज्ञात ऊँचाई $h$ और एक अज्ञात दूरी $x$ मान लें।
2. प्रत्येक त्रिभुज से एक $\tan$ समीकरण लिखें।
3. दोनों समीकरण एक साथ हल करें (आमतौर पर प्रतिस्थापन या घटाव द्वारा)।

मुख्य बिंदु: दो कोण ⇒ दो समीकरण। साझा भुजा (ऊँचाई) उन्हें जोड़ती है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] उभयनिष्ठ ऊँचाई को एक अक्षर से चिह्नित करें; यही दोनों समीकरणों को एक साथ हल करने योग्य बनाता है।

दो-बिंदु उन्नयन व्यवस्था

मान लें ऊँचाई $h$ की मीनार भूमि पर एक ही सीधी रेखा पर दो बिंदुओं से देखी जाती है। दूर बिंदु से उन्नयन छोटा कोण है; पास बिंदु से बड़ा कोण है।

यदि पास बिंदु पाद से दूरी $x$ पर है और बिंदु $d$ दूरी पर अलग हैं, तो: $$\tan(\text{बड़ा}) = \frac{h}{x}, \qquad \tan(\text{छोटा}) = \frac{h}{x + d}.$$

मुख्य बिंदु: दोनों समीकरणों में $h$ है। प्रत्येक से $h$ व्यक्त कर बराबर रखें, या $h$ हटाने हेतु घटाएँ।

[JEE/NEET युक्ति] पास बिंदु पर सदैव बड़ा उन्नयन कोण होता है — आपकी व्यवस्था की एक त्वरित जाँच।

युग्म हल करना

एक मानक युक्ति: $\tan(\text{बड़ा}) = \dfrac{h}{x}$ से $x = \dfrac{h}{\tan(\text{बड़ा})}$ निकालें, दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, और $h$ हल करें। दो बिंदुओं के बीच दूरी $d$ आमतौर पर दिया आँकड़ा है।

सामान्य 30°–60° युग्म के लिए यह स्वच्छ उत्तर देता है क्योंकि $\tan 60° = \sqrt3$ और $\tan 30° = \tfrac{1}{\sqrt3}$, जिनका अनुपात 3 है।

मुख्य बिंदु: $x$ हटाने हेतु एक समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करें, जिससे $h$ में एक समीकरण बचे।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] बीजगणित में करणियाँ यथार्थ रखें; अंत में हर का परिमेयकरण करें।

प्रेक्षणों के बीच चलती वस्तु

कुछ समस्याएँ एक चलती वस्तु (कार, नाव, गुब्बारा) का वर्णन करती हैं जो एक कोण पर देखी जाती है, फिर कुछ दूरी तय करने के बाद भिन्न कोण पर। यह वही दो-त्रिभुज विचार है: दो स्थितियाँ प्रेक्षक की ऊँचाई साझा करते दो त्रिभुज देती हैं।

मुख्य बिंदु: 'चलने से पहले और बाद' केवल उभयनिष्ठ ऊर्ध्वाधर भुजा वाले दो त्रिभुज हैं — पहले की तरह दो $\tan$ समीकरण बनाएँ।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] तय की गई दूरी दो क्षैतिज दूरियों के अंतर के बराबर है; वह अंतर अक्सर वही है जो प्रश्न माँगता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: क्लासिक 30°–60° मीनार

समतल भूमि पर 40 मी अलग दो बिंदुओं से एक मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण 30° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. ऊँचाई $h$, पास बिंदु दूरी $x$। $\tan 60° = \dfrac{h}{x} \Rightarrow x = \dfrac{h}{\sqrt3}$।
2. $\tan 30° = \dfrac{h}{x + 40} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{h}{x+40}$।
3. $x + 40 = h\sqrt3 \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt3} + 40 = h\sqrt3$।
4. $40 = h\sqrt3 - \dfrac{h}{\sqrt3} = \dfrac{3h - h}{\sqrt3} = \dfrac{2h}{\sqrt3} \Rightarrow h = \dfrac{40\sqrt3}{2} = 20\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $h = 20\sqrt3 \approx 34.64$ मी।

सार: बड़े कोण से $x$ व्यक्त करें, छोटे-कोण समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 2: ऊँचाई और दूरी दोनों ज्ञात करें

पिछले उदाहरण से, पाद से पास बिंदु की दूरी भी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = \dfrac{h}{\sqrt3} = \dfrac{20\sqrt3}{\sqrt3} = 20$ मी।

अंतिम उत्तर: 20 मी।

सार: $h$ ज्ञात होने पर, $x$ के लिए पुनः-प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 3: 45°–60° युग्म

एक बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन 45° है; 20 मी पास जाने पर यह 60° हो जाता है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास दूरी $x$: $\tan 60° = \dfrac{h}{x} \Rightarrow x = \dfrac{h}{\sqrt3}$।
2. $\tan 45° = \dfrac{h}{x+20} = 1 \Rightarrow x + 20 = h$।
3. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 20 = h \Rightarrow 20 = h - \dfrac{h}{\sqrt3} = h\cdot\dfrac{\sqrt3 - 1}{\sqrt3}$।
4. $h = \dfrac{20\sqrt3}{\sqrt3 - 1} = \dfrac{20\sqrt3(\sqrt3 + 1)}{2} = 10\sqrt3(\sqrt3+1) = 30 + 10\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $h = 30 + 10\sqrt3 \approx 47.32$ मी।

सार: हर $\sqrt3 - 1$ का इसके संयुग्मी से परिमेयकरण करें।

उदाहरण 4: मीनार और दी ऊँचाई

एक 100 मी मीनार के शीर्ष के, इसके पाद के साथ रेखा में दो बिंदुओं से उन्नयन कोण 45° और 30° हैं। दोनों बिंदुओं के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास बिंदु: $\tan 45° = \dfrac{100}{x_1} \Rightarrow x_1 = 100$।
2. दूर बिंदु: $\tan 30° = \dfrac{100}{x_2} \Rightarrow x_2 = 100\sqrt3$।
3. दूरी $= x_2 - x_1 = 100\sqrt3 - 100 = 100(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $100(\sqrt3 - 1) \approx 73.2$ मी।

सार: ऊँचाई ज्ञात होने पर, प्रत्येक दूरी सीधे निकालें, फिर घटाएँ।

उदाहरण 5: चलती नाव (अवनमन)

एक 75 मी प्रकाशस्तंभ के शीर्ष से, इसके पाद के साथ रेखा में दो जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। जहाजों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. अवनमन जहाजों से उन्नयन के बराबर। पास जहाज: $\tan 45° = \dfrac{75}{x_1} \Rightarrow x_1 = 75$।
2. दूर जहाज: $\tan 30° = \dfrac{75}{x_2} \Rightarrow x_2 = 75\sqrt3$।
3. दूरी $= 75\sqrt3 - 75 = 75(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $75(\sqrt3 - 1) \approx 54.9$ मी।

सार: अवनमन समस्याएँ उन्हीं उन्नयन समीकरणों में बदल जाती हैं।

उदाहरण 6: तय दूरी ज्ञात करें

एक व्यक्ति मीनार के शीर्ष का उन्नयन 30° देखता है। इसकी ओर 50 मी चलने पर उन्नयन 45° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास (चलने के बाद): $\tan 45° = \dfrac{h}{x} = 1 \Rightarrow x = h$।
2. दूर: $\tan 30° = \dfrac{h}{x + 50} \Rightarrow x + 50 = h\sqrt3$।
3. $h + 50 = h\sqrt3 \Rightarrow 50 = h(\sqrt3 - 1) \Rightarrow h = \dfrac{50}{\sqrt3 - 1} = 25(\sqrt3 + 1)$।

अंतिम उत्तर: $h = 25(\sqrt3 + 1) \approx 68.3$ मी।

सार: मीनार की ओर चलने से उन्नयन बढ़ता है; बड़ा कोण पास वाला है।

उदाहरण 7: दो बिंदु, एक ही रेखा

दो बिंदु 60 मी अलग हैं। उनसे मीनार के शीर्ष का उन्नयन 60° (पास) और 30° (दूर) है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$ (पास); $x + 60 = h\sqrt3$ (दूर)।
2. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 60 = h\sqrt3 \Rightarrow 60 = \dfrac{2h}{\sqrt3} \Rightarrow h = 30\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $30\sqrt3 \approx 51.96$ मी।

सार: 30°–60° युग्म देता है $d = \dfrac{2h}{\sqrt3}$।

उदाहरण 8: पहाड़ी की ऊँचाई

एक पहाड़ी के आधार के साथ रेखा में 100 मी अलग दो बिंदुओं से, शिखर के उन्नयन 45° और 30° हैं। पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास: $x = h$ (क्योंकि $\tan 45° = 1$)। दूर: $x + 100 = h\sqrt3$।
2. $h + 100 = h\sqrt3 \Rightarrow 100 = h(\sqrt3 - 1) \Rightarrow h = \dfrac{100}{\sqrt3 - 1} = 50(\sqrt3 + 1)$।

अंतिम उत्तर: $50(\sqrt3 + 1) \approx 136.6$ मी।

सार: चलते-प्रेक्षक समस्या के समान टेम्पलेट।

उदाहरण 9: दो बिंदुओं के बीच भवन

विपरीत ओर के दो बिंदुओं से, 80 मी अलग, एक भवन के शीर्ष के उन्नयन 30° और 60° हैं। ऊँचाई ज्ञात कीजिए (भवन बिंदुओं के बीच है)।

हल:

1. मान लें पाद 80 मी को $x$ और $80 - x$ में बाँटता है। $\tan 60° = \dfrac{h}{x}$, $\tan 30° = \dfrac{h}{80 - x}$।
2. $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$, $80 - x = h\sqrt3$। जोड़ें: $80 = \dfrac{h}{\sqrt3} + h\sqrt3 = \dfrac{h + 3h}{\sqrt3} = \dfrac{4h}{\sqrt3}$।
3. $h = \dfrac{80\sqrt3}{4} = 20\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $20\sqrt3 \approx 34.64$ मी।

सार: विपरीत ओर, दोनों आधार दूरियाँ कुल पृथक्करण में जुड़ती हैं।

उदाहरण 10: चाल ज्ञात करें

60 मी चट्टान से, एक नाव का अवनमन इसके पास आने पर 2 मिनट में 30° से 60° हो जाता है। तय की गई दूरी और इसकी चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूर: $x_2 = \dfrac{60}{\tan 30°} = 60\sqrt3$। पास: $x_1 = \dfrac{60}{\tan 60°} = \dfrac{60}{\sqrt3} = 20\sqrt3$।
2. दूरी $= 60\sqrt3 - 20\sqrt3 = 40\sqrt3 \approx 69.28$ मी।
3. चाल $= \dfrac{40\sqrt3}{2} = 20\sqrt3 \approx 34.64$ मी/मिनट।

अंतिम उत्तर: 2 मिनट में $40\sqrt3$ मी; चाल $20\sqrt3 \approx 34.64$ मी/मिनट।

सार: तय दूरी = क्षैतिज दूरियों का अंतर; चाल = दूरी ÷ समय।