बोर्ड परीक्षा के पिछले वर्ष के प्रश्न

बोर्ड परीक्षा के पिछले वर्ष के प्रश्न (PYQs)

ये CBSE और राज्य बोर्ड के हाल के प्रश्नपत्रों के आधार पर परीक्षा-शैली के ऊँचाई-और-दूरी प्रश्न हैं। प्रत्येक को स्पष्ट आरेख-आधारित विधि से पूर्णतः हल किया गया है।

अंक-युक्ति: नामांकित त्रिभुज खींचें, $\tan$ समीकरण लिखें, और करणियाँ यथार्थ रखें। किसी भी अवनमन के लिए कोण-स्थानांतरण दिखाएँ।

सभी 26 प्रश्नों का अभ्यास करें। ये 2-अंक, 3-अंक और 5-अंक के प्रारूपों को समेटते हैं।

PYQ 1 (2 अंक): 20 मी दूर एक बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन 60° है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $h = 20\tan 60° = 20\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $20\sqrt3 \approx 34.64$ मी।

PYQ 2 (2 अंक): एक पतंग 75 मी की ऊँचाई पर है, डोर भूमि से 60° पर। डोर की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\sin 60° = \dfrac{75}{\ell} \Rightarrow \ell = \dfrac{75}{\sqrt3/2} = \dfrac{150}{\sqrt3} = 50\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $50\sqrt3 \approx 86.6$ मी।

PYQ 3 (2 अंक): एक 6 मी ऊँचा खंभा $2\sqrt3$ मी लंबी छाया डालता है। सूर्य का उन्नयन ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan\theta = \dfrac{6}{2\sqrt3} = \dfrac{3}{\sqrt3} = \sqrt3 \Rightarrow \theta = 60°$।

अंतिम उत्तर: 60°।

PYQ 4 (2 अंक): 100 मी चट्टान से, एक नाव का अवनमन 45° है। नाव की पाद से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 45° = \dfrac{100}{d} = 1 \Rightarrow d = 100$ मी।

अंतिम उत्तर: 100 मी।

PYQ 5 (3 अंक): रेखा में 30 मी अलग दो बिंदुओं से मीनार के शीर्ष के उन्नयन 30° और 60° हैं। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$; दूर $x + 30 = h\sqrt3$।
2. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 30 = h\sqrt3 \Rightarrow 30 = \dfrac{2h}{\sqrt3} \Rightarrow h = 15\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $15\sqrt3 \approx 25.98$ मी।

PYQ 6 (3 अंक): एक 1.5 मी लंबा प्रेक्षक एक मीनार से 28.5 मी दूर है; शीर्ष का उन्नयन 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. त्रिभुज ऊँचाई $= 28.5\tan 45° = 28.5$।
2. कुल $= 28.5 + 1.5 = 30$ मी।

अंतिम उत्तर: 30 मी।

PYQ 7 (3 अंक): एक 7 मी भवन के शीर्ष से, एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन 60° और इसके तल का अवनमन 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. अवनमन 45°: $d = 7$।
2. उन्नयन 60°: वृद्धि $= 7\tan 60° = 7\sqrt3$।
3. ऊँचाई $= 7 + 7\sqrt3 = 7(1 + \sqrt3)$।

अंतिम उत्तर: $7(1 + \sqrt3) \approx 19.12$ मी।

PYQ 8 (3 अंक): 75 मी प्रकाशस्तंभ से, रेखा में दो जहाजों के अवनमन 30° और 45° हैं। उनके बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x_1 = 75$; दूर $x_2 = 75\sqrt3$।
2. दूरी $= 75\sqrt3 - 75 = 75(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $75(\sqrt3 - 1) \approx 54.9$ मी।

PYQ 9 (3 अंक): एक बिंदु से एक मीनार का उन्नयन 30° है; इसकी ओर 60 मी चलने पर उन्नयन 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x = \dfrac{h}{\sqrt3}$; दूर $x + 60 = h\sqrt3$।
2. $\dfrac{h}{\sqrt3} + 60 = h\sqrt3 \Rightarrow 60 = \dfrac{2h}{\sqrt3} \Rightarrow h = 30\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $30\sqrt3 \approx 51.96$ मी।

PYQ 10 (3 अंक): एक 15 मी लंबी सीढ़ी जमीन से 9 मी ऊपर एक खिड़की तक पहुँचती है। पाद की दीवार से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पाद दूरी $= \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ मी।

अंतिम उत्तर: 12 मी।

PYQ 11 (3 अंक): एक मीनार की छाया सूर्य उन्नयन 30° पर 60° की तुलना में 30 मी लंबी है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $h\sqrt3 - \dfrac{h}{\sqrt3} = 30 \Rightarrow \dfrac{2h}{\sqrt3} = 30 \Rightarrow h = 15\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $15\sqrt3 \approx 25.98$ मी।

PYQ 12 (3 अंक): 1200 मी ऊँचाई पर एक वायुयान रेखा में दो जहाजों को 60° और 30° अवनमन पर देखता है। जहाजों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x_1 = \dfrac{1200}{\tan 60°} = \dfrac{1200}{\sqrt3} = 400\sqrt3$।
2. दूर $x_2 = \dfrac{1200}{\tan 30°} = 1200\sqrt3$।
3. दूरी $= 1200\sqrt3 - 400\sqrt3 = 800\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $800\sqrt3 \approx 1385.6$ मी।

PYQ 13 (3 अंक): बराबर ऊँचाई के दो खंभे 80 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर खड़े हैं। उनके बीच एक बिंदु से उनके शीर्षों के उन्नयन 60° और 30° हैं। ऊँचाई और बिंदु की स्थिति ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 60° = \dfrac{h}{x}$, $\tan 30° = \dfrac{h}{80 - x}$।
2. $h = x\sqrt3 = \dfrac{80 - x}{\sqrt3} \Rightarrow 3x = 80 - x \Rightarrow x = 20$।
3. $h = 20\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: ऊँचाई $20\sqrt3 \approx 34.64$ मी; बिंदु 60° खंभे से 20 मी पर।

PYQ 14 (3 अंक): एक पेड़ टूटकर भूमि को छूता है, पाद से $8\sqrt3$ मी दूरी पर भूमि से 30° बनाता है। पेड़ की मूल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. टूटा (तिर्यक) भाग: $\cos 30° = \dfrac{8\sqrt3}{\ell} \Rightarrow \ell = \dfrac{8\sqrt3}{\sqrt3/2} = 16$।
2. खड़ा भाग: $\tan 30° = \dfrac{p}{8\sqrt3} \Rightarrow p = 8\sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3} = 8$।
3. मूल ऊँचाई $= p + \ell = 8 + 16 = 24$ मी।

अंतिम उत्तर: 24 मी।

PYQ 15 (5 अंक): एक 50 मी भवन के शीर्ष से, एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन 60° और इसके तल का अवनमन 30° है। मीनार की ऊँचाई और भवन व मीनार के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. अवनमन 30°: $\tan 30° = \dfrac{50}{d} \Rightarrow d = 50\sqrt3$।
2. उन्नयन 60°: वृद्धि $b = d\tan 60° = 50\sqrt3\cdot\sqrt3 = 150$।
3. मीनार ऊँचाई $= 50 + 150 = 200$ मी।

अंतिम उत्तर: मीनार ऊँचाई 200 मी; दूरी $50\sqrt3 \approx 86.6$ मी।

PYQ 16 (5 अंक): एक झील से 60 मी ऊपर एक बिंदु से एक बादल का उन्नयन 30° है और झील में इसके प्रतिबिंब का अवनमन 60° है। झील से ऊपर बादल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें झील से ऊपर बादल की ऊँचाई $= H$, क्षैतिज दूरी $= d$। प्रेक्षण बिंदु झील से 60 मी ऊपर है।
2. उन्नयन: $\tan 30° = \dfrac{H - 60}{d} \Rightarrow d = (H - 60)\sqrt3$।
3. प्रतिबिंब झील से $H$ नीचे है, अतः अवनमन: $\tan 60° = \dfrac{H + 60}{d} \Rightarrow d = \dfrac{H + 60}{\sqrt3}$।
4. $(H - 60)\sqrt3 = \dfrac{H + 60}{\sqrt3} \Rightarrow 3(H - 60) = H + 60 \Rightarrow 2H = 240 \Rightarrow H = 120$।

अंतिम उत्तर: झील से 120 मी ऊपर।

PYQ 17 (5 अंक): एक 100 मी चट्टान पर एक व्यक्ति एक नाव का अवनमन 2 मिनट में 30° से 60° बदलता देखता है। नाव की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूर $x_2 = \dfrac{100}{\tan 30°} = 100\sqrt3$। पास $x_1 = \dfrac{100}{\tan 60°} = \dfrac{100}{\sqrt3} = \dfrac{100\sqrt3}{3}$।
2. दूरी $= 100\sqrt3 - \dfrac{100\sqrt3}{3} = \dfrac{200\sqrt3}{3}$ मी।
3. चाल $= \dfrac{200\sqrt3/3}{2} = \dfrac{100\sqrt3}{3} \approx 57.7$ मी/मिनट।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{100\sqrt3}{3} \approx 57.7$ मी/मिनट।

PYQ 18 (5 अंक): आधार से $a$ और $b$ दूरियों पर (रेखा में, एक ही ओर) दो बिंदुओं से मीनार के शीर्ष के उन्नयन पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि ऊँचाई $\sqrt{ab}$ है।

हल:

1. मान लें कोण $\theta$ (दूरी $a$ पर) और $90° - \theta$ (दूरी $b$ पर) हैं।
2. $\tan\theta = \dfrac{h}{a}$ और $\tan(90° - \theta) = \cot\theta = \dfrac{h}{b}$।
3. गुणा करें: $\tan\theta\cot\theta = \dfrac{h^2}{ab} \Rightarrow 1 = \dfrac{h^2}{ab} \Rightarrow h = \sqrt{ab}$।

अंतिम उत्तर: $h = \sqrt{ab}$। सिद्ध हुआ।

PYQ 19 (5 अंक): एक मीनार 20 मी भवन पर खड़ी है। भूमि पर एक बिंदु से, मीनार के तल का उन्नयन 45° और शीर्ष का 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 45° = \dfrac{20}{d} \Rightarrow d = 20$।
2. $\tan 60° = \dfrac{20 + t}{20} = \sqrt3 \Rightarrow 20 + t = 20\sqrt3$।
3. $t = 20(\sqrt3 - 1)$।

अंतिम उत्तर: $20(\sqrt3 - 1) \approx 14.64$ मी।

PYQ 20 (5 अंक): एक बहुमंजिला भवन के शीर्ष से एक 8 मी भवन के शीर्ष और तल के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। बहुमंजिला भवन की ऊँचाई और दोनों भवनों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें ऊँचा भवन ऊँचाई $= H$, दूरी $= d$।
2. तल (45°): $\tan 45° = \dfrac{H}{d} \Rightarrow d = H$।
3. शीर्ष (30°): 8 मी भवन के शीर्ष तक गिरावट $H - 8$ है, अतः $\tan 30° = \dfrac{H - 8}{d} = \dfrac{H - 8}{H}$।
4. $\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{H - 8}{H} \Rightarrow H = \sqrt3(H - 8) \Rightarrow H(\sqrt3 - 1) = 8\sqrt3 \Rightarrow H = \dfrac{8\sqrt3}{\sqrt3 - 1} = 4\sqrt3(\sqrt3 + 1) = 12 + 4\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $H = 12 + 4\sqrt3 \approx 18.93$ मी; दूरी $= H = 12 + 4\sqrt3$ मी।

PYQ 21 (3 अंक): एक मीनार के पाद से एक पहाड़ी के शीर्ष का उन्नयन 60° है, और पहाड़ी के पाद से मीनार (ऊँचाई 50 मी) के शीर्ष का उन्नयन 30° है। पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पहाड़ी पाद से, मीनार शीर्ष: $\tan 30° = \dfrac{50}{d} \Rightarrow d = 50\sqrt3$।
2. मीनार पाद से, पहाड़ी शीर्ष: $\tan 60° = \dfrac{H}{d} \Rightarrow H = 50\sqrt3\cdot\sqrt3 = 150$।

अंतिम उत्तर: पहाड़ी ऊँचाई $= 150$ मी।

PYQ 22 (3 अंक): एक 120 मी मीनार के शीर्ष से, एक ही ओर दो कारों के अवनमन 60° और 45° हैं। कारों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x_1 = \dfrac{120}{\tan 60°} = \dfrac{120}{\sqrt3} = 40\sqrt3$।
2. दूर $x_2 = \dfrac{120}{\tan 45°} = 120$।
3. दूरी $= 120 - 40\sqrt3 = 40(3 - \sqrt3)$।

अंतिम उत्तर: $40(3 - \sqrt3) \approx 50.7$ मी।

PYQ 23 (3 अंक): एक 1.6 मी ऊँची मूर्ति एक चबूतरे पर खड़ी है। भूमि पर एक बिंदु से, मूर्ति के शीर्ष का उन्नयन 60° और चबूतरे के शीर्ष का 45° है। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लें चबूतरा ऊँचाई $p$, दूरी $d$। $\tan 45° = \dfrac{p}{d} \Rightarrow d = p$।
2. $\tan 60° = \dfrac{p + 1.6}{d} = \dfrac{p + 1.6}{p} = \sqrt3$।
3. $p + 1.6 = p\sqrt3 \Rightarrow 1.6 = p(\sqrt3 - 1) \Rightarrow p = \dfrac{1.6}{\sqrt3 - 1} = 0.8(\sqrt3 + 1)$।

अंतिम उत्तर: $p = 0.8(\sqrt3 + 1) \approx 2.18$ मी।

PYQ 24 (5 अंक): भूमि पर एक बिंदु से एक वायुयान का उन्नयन 60° है। $3000\sqrt3$ मी स्थिर ऊँचाई पर 30 सेकंड की उड़ान के बाद, उन्नयन 30° हो जाता है। वायुयान की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पास $x_1 = \dfrac{3000\sqrt3}{\tan 60°} = \dfrac{3000\sqrt3}{\sqrt3} = 3000$।
2. दूर $x_2 = \dfrac{3000\sqrt3}{\tan 30°} = 3000\sqrt3\cdot\sqrt3 = 9000$।
3. दूरी $= 9000 - 3000 = 6000$ मी 30 से में।
4. चाल $= \dfrac{6000}{30} = 200$ मी/से।

अंतिम उत्तर: 200 मी/से (= 720 किमी/घंटा)।

PYQ 25 (3 अंक): भूमि पर एक बिंदु से एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष का उन्नयन 45° है। पहले से 10 मी ऊर्ध्वाधर ऊपर एक बिंदु से, उन्नयन 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. भूमि से: $\tan 45° = \dfrac{h}{d} \Rightarrow d = h$।
2. 10 मी ऊपर से: $\tan 30° = \dfrac{h - 10}{d} = \dfrac{h - 10}{h}$।
3. $\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{h - 10}{h} \Rightarrow h = \sqrt3(h - 10) \Rightarrow h(\sqrt3 - 1) = 10\sqrt3 \Rightarrow h = \dfrac{10\sqrt3}{\sqrt3 - 1} = 5\sqrt3(\sqrt3 + 1) = 15 + 5\sqrt3$।

अंतिम उत्तर: $15 + 5\sqrt3 \approx 23.66$ मी।

PYQ 26 (5 अंक): दो जहाज एक 100 मी प्रकाशस्तंभ के विपरीत ओर हैं। शीर्ष से अवनमन कोण 30° और 45° हैं। दोनों जहाजों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. एक ओर (30°): $x_1 = \dfrac{100}{\tan 30°} = 100\sqrt3$।
2. दूसरी ओर (45°): $x_2 = \dfrac{100}{\tan 45°} = 100$।
3. दूरी $= x_1 + x_2 = 100\sqrt3 + 100 = 100(\sqrt3 + 1)$।

अंतिम उत्तर: $100(\sqrt3 + 1) \approx 273.2$ मी।