चक्रवृद्धि बनाम साधारण ब्याज, राशि का बँटवारा और किस्तें

दोनों ब्याजों का बढ़ता अंतर

अब एक ही राशि पर चक्रवृद्धि ब्याज (compound interest, CI) और साधारण ब्याज (simple interest, SI) को आमने-सामने रखकर देखते हैं। इसमें वही सूत्र और गुणक (multiplier) लगेंगे जो "चक्रवृद्धि ब्याज" वाले खंड में आ चुके हैं।

मान लीजिए ₹20,000 पर 10% की दर से 3 वर्ष का ब्याज दोनों तरह से निकालना है। हर वर्ष का ब्याज अलग-अलग लिखते हैं।

अब देखिए कि चक्रवृद्धि ब्याज में यह अतिरिक्त ब्याज आता कहाँ से है।

• पहला वर्ष: दोनों में ब्याज ₹20,000 का 10% ही है, इसलिए कोई अंतर नहीं। यानी ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित हो, तो 1 वर्ष के लिए दोनों ब्याज बराबर होते हैं।
• दूसरा वर्ष: चक्रवृद्धि ब्याज में पहले वर्ष के ₹2,000 ब्याज पर भी 10% ब्याज लगता है। यही ₹200 अतिरिक्त है।
• तीसरा वर्ष: अब तक पहले दो वर्षों का कुल ब्याज ₹4,200 जुड़ चुका है। चक्रवृद्धि ब्याज में इस ₹4,200 पर भी 10% लगता है, जो ₹420 है। इस ₹420 में 2 × 200 तो दो वर्षों के सादे ब्याज पर लगा ब्याज है, और बाकी ₹20 पहले वाले अतिरिक्त ₹200 पर लगा ब्याज है।

तो दोनों ब्याजों का अंतर असल में "ब्याज पर ब्याज" ही है। $r = \frac{R}{100}$ मान लें, तो अंतर के सूत्र ये हैं।

$$\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या. (2 वर्ष)} = P r^2 = P\left(\frac{R}{100}\right)^2$$

$$\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या. (3 वर्ष)} = P r^2 (3 + r) = \frac{P R^2 (300 + R)}{100^3}$$

तालिका से मिलाकर देखिए। 2 वर्ष का अंतर 20,000 × 0.01 = 200 है, और 3 वर्ष का 200 × 3.1 = 620।

1 वर्ष, अर्धवार्षिक संयोजन। ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित (compounded half-yearly) हो, तो 1 वर्ष में भी अंतर आ जाता है। पहली छमाही का ब्याज 6 महीने बाद ही जुड़ जाता है, इसलिए दूसरी छमाही में उस ब्याज पर भी ब्याज लगता है। यहाँ हर छमाही की दर $\frac{R}{2}$ लीजिए।

$$\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या. (1 वर्ष, अर्धवार्षिक)} = P\left(\frac{R}{200}\right)^2$$

जैसे ₹40,000 पर 10% वार्षिक दर है और ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है। तो हर छमाही में 5% लगेगा, और अंतर = 40,000 × $\left(\frac{5}{100}\right)^2$ = ₹100। जाँच कर लेते हैं। 40,000 × 1.05 × 1.05 = 44,100, तो चक्रवृद्धि ब्याज ₹4,100 हुआ, जबकि साधारण ब्याज ₹4,000 है।

[SSC टिप] कभी प्रश्न आता है, "1 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ज्ञात कीजिए", और ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है। तब उत्तर 0 है। SSC कभी-कभी यही 0 विकल्पों में रख देता है, और 2 वर्ष वाला सूत्र लगाने वाले छात्र फँस जाते हैं। ब्याज अर्धवार्षिक या त्रैमासिक रूप से संयोजित हो, तो अंतर 0 नहीं होता। इसलिए सूत्र चुनने से पहले पढ़ लीजिए कि ब्याज किस तरह संयोजित हो रहा है।

2 वर्ष का अंतर: D, P या R निकालना

2 वर्ष के अंतर को D मान लेते हैं। D, राशि P और दर R, तीनों एक ही सूत्र से निकलते हैं। जो पूछा गया हो, सूत्र को उसी के लिए पलटकर लिख लीजिए।

$$D = P\left(\frac{R}{100}\right)^2 \qquad P = D\left(\frac{100}{R}\right)^2 \qquad R = 100\sqrt{\frac{D}{P}}$$

D निकालना। ₹42,500 पर 8% की दर से 2 वर्ष का अंतर चाहिए। D = 42,500 × $\frac{64}{10000}$ = ₹272। जाँच के लिए 42,500 पर दोनों ब्याज निकाल लेते हैं। साधारण ब्याज ₹6,800 है। 42,500 × 1.08 × 1.08 = 49,572, तो चक्रवृद्धि ब्याज = 49,572 − 42,500 = ₹7,072। दोनों का अंतर ₹272 ही है।

P निकालना। मान लीजिए प्रश्न है, "किसी राशि पर 12% की दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹252 है।" तो P = 252 × $\frac{10000}{144}$ = ₹17,500।

R निकालना। प्रश्न है, "₹1,12,500 पर 2 वर्ष का अंतर ₹180 है।" यहाँ $\frac{D}{P} = \frac{180}{112500} = \frac{1}{625}$। इसका वर्गमूल लेने पर $\frac{R}{100} = \frac{1}{25}$ आता है, यानी R = 4%।

भिन्न वाली दरें। दर किसी आसान भिन्न के बराबर हो, तो D सबसे जल्दी निकलता है। तब बस P को एक पूर्ण वर्ग से भाग दे दीजिए।

जैसे $12\frac{1}{2}\%$ पर ₹9,600 की राशि के लिए D = 9,600 ÷ 64 = ₹150। और 5% पर अंतर ₹75 हो, तो P = 75 × 400 = ₹30,000।

दोनों वर्षों में अलग दरें। मान लीजिए पहले वर्ष दर $R_1$% है और दूसरे वर्ष $R_2$%। दूसरे वर्ष में पहले वर्ष के ब्याज पर $R_2$% ब्याज लगता है। तो अंतर यह होगा।

$$D = P \times \frac{R_1}{100} \times \frac{R_2}{100}$$

जैसे ₹25,000 पर पहले वर्ष 8% और फिर 10% की दर है। च.ब्या. = 25,000 × 1.08 × 1.1 − 25,000 = ₹4,700 और सा.ब्या. = 25,000 का 18% = ₹4,500। सूत्र से सीधे D = 25,000 × 0.08 × 0.1 = ₹200। ध्यान रखिए, यहाँ साधारण ब्याज भी इन्हीं दोनों दरों पर निकाला गया है, पहले वर्ष 8% और दूसरे वर्ष 10%।

[SSC टिप] यहाँ दो चूकें आम हैं। पहली, R के वर्ग की जगह केवल R लगा देना। ₹42,500 और 8% पर इससे ₹3,400 आता है, जो बस एक वर्ष का ब्याज है। दूसरी, सही उत्तर को दोगुना कर देना। याद रखिए, 2 वर्ष का अंतर ब्याज के मुकाबले हमेशा छोटा होता है, क्योंकि यह केवल एक वर्ष के ब्याज पर लगा ब्याज है।

3 वर्ष का अंतर

3 वर्ष में अंतर और तेज़ी से बढ़ता है। वजह यह है कि ब्याज पर जो ब्याज मिला था, अब उस पर भी ब्याज लगने लगता है।

$$D_3 = P\left(\frac{R}{100}\right)^2\left(3 + \frac{R}{100}\right) = \frac{P R^2 (300 + R)}{100^3}$$

$D_3$ निकालना। ₹12,000 पर 10% की दर से 3 वर्ष का अंतर चाहिए। 2 वर्ष के लिए अंतर 12,000 × 0.01 = ₹120 होता। तो $D_3$ = 120 × 3.1 = ₹372। जाँच कीजिए। च.ब्या. = 12,000 × 1.331 − 12,000 = ₹3,972 है और सा.ब्या. ₹3,600।

एक बात याद रखिए। $D_3$, $D_2$ के 3 गुने से थोड़ा अधिक होता है। 5% पर यह 3.05 गुना होता है, 10% पर 3.1 गुना और 20% पर 3.2 गुना।

वर्ष-दर-वर्ष अंतर। चाहें तो हर वर्ष का अतिरिक्त ब्याज जोड़-जोड़कर भी अंतर निकाल सकते हैं। चक्रवृद्धि ब्याज में हर वर्ष इतना अतिरिक्त मिलता है।

• पहले वर्ष में 0।
• दूसरे वर्ष में $P r^2$, यानी पहले वर्ष के ब्याज पर ब्याज।
• तीसरे वर्ष में $P r^2 (2 + r)$, यानी पहले दो वर्षों के ब्याज पर ब्याज, जिसमें पहले वाला अतिरिक्त भी शामिल है।

₹12,000 और 10% पर ये तीनों 0, ₹120 और ₹252 हैं, और इनका जोड़ ₹372 है।

राशि P निकालना। प्रश्न है, "किसी राशि पर 5% की दर से 3 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹183 है।" 5% पर $D_3 = P \times \frac{1}{400} \times \frac{61}{20}$ होता है। तो P = 183 × $\frac{400 \times 20}{61}$ = ₹24,000। जाँच के लिए च.ब्या. = 24,000 × 1.157625 − 24,000 = ₹3,783 निकालिए। सा.ब्या. ₹3,600 है, तो अंतर ₹183 ही आता है।

[Tier 2] दोनों अंतरों से R। कभी एक ही राशि पर 2 वर्ष और 3 वर्ष, दोनों के अंतर दिए होते हैं। हम जानते हैं कि $D_3 = D_2 \times \left(3 + \frac{R}{100}\right)$। तो दोनों अंतरों का अनुपात यह होगा।

$$\frac{D_3}{D_2} = \frac{300 + R}{100}$$

जैसे प्रश्न है, "किसी राशि पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर 2 वर्ष के लिए ₹400 और 3 वर्ष के लिए ₹1,232 है।" यहाँ $\frac{1232}{400}$ = 3.08, तो R = 8%। फिर P = 400 × $\left(\frac{100}{8}\right)^2$ = 400 × 156.25 = ₹62,500।

[SSC टिप] सबसे आम गलत विकल्प 2 वर्ष वाले अंतर का तीन गुना होता है। ₹12,000 और 10% पर यह ₹360 आता है। कोष्ठक में जो अतिरिक्त $\frac{R}{100}$ है, वह ब्याज पर मिले ब्याज पर लगने वाला ब्याज है। यहाँ 10% पर इसी से ₹12 और जुड़ते हैं।

एक ही राशि पर दोनों ब्याज: R और P

SSC में यह प्रश्न बहुत बार आता है। एक ही राशि पर, एक ही दर से, 2 वर्ष का साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज दोनों दिए होते हैं, और दर या राशि पूछी जाती है।

इसे ऐसे समझिए। 2 वर्ष के सा.ब्या. में हर वर्ष केवल मूलधन पर ब्याज लगता है। च.ब्या. में यही ब्याज होता है, और साथ में पहले वर्ष के ब्याज पर ब्याज भी। तो अतिरिक्त ब्याज (च.ब्या. − सा.ब्या.) एक वर्ष के सा.ब्या. का R% है, यानी 2 वर्ष के सा.ब्या. के आधे का R%।

$$\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या.} = \frac{\text{सा.ब्या.}}{2} \times \frac{R}{100} \Rightarrow R = \frac{2(\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या.})}{\text{सा.ब्या.}} \times 100$$

प्रश्न है, "किसी राशि पर 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹4,200 है और उसी दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹4,347 है। दर और राशि ज्ञात कीजिए।"

• एक वर्ष का सा.ब्या. = 4,200 ÷ 2 = ₹2,100।
• च.ब्या. में ₹147 अतिरिक्त हैं, और यह ₹2,100 पर ब्याज है। तो R = $\frac{147}{2100} \times 100$ = 7%।
• राशि P = 2,100 × $\frac{100}{7}$ = ₹30,000।
• जाँच कीजिए, 30,000 × 1.07 × 1.07 = 34,347 आता है, तो च.ब्या. ₹4,347 ही है।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। कई छात्र ₹147 को पूरे ₹4,200 से भाग देकर 3.5% लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि अतिरिक्त ब्याज एक वर्ष के ब्याज पर ही मिलता है, दो वर्षों के ब्याज पर नहीं।

1 वर्ष का साधारण ब्याज और 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज। प्रश्न है, "किसी राशि पर 1 वर्ष का साधारण ब्याज ₹1,750 है और उसी दर से उस पर 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹3,745 है।" दो वर्षों का सादा ब्याज ₹3,500 हुआ, तो अतिरिक्त ₹245 है। यह ₹1,750 का 14% है, इसलिए R = 14%। अब P = 1,750 × $\frac{100}{14}$ = ₹12,500।

3 वर्ष का साधारण ब्याज और 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज। प्रश्न है, "किसी राशि पर 3 वर्ष का साधारण ब्याज ₹4,500 है और उसी राशि पर उसी दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹3,090 है।" यहाँ एक वर्ष का सा.ब्या. ₹1,500 है। 2 वर्ष का च.ब्या. = 3,000 + अतिरिक्त, तो अतिरिक्त ₹90 है। यह 1,500 का 6% है, इसलिए R = 6% और P = 1,500 × $\frac{100}{6}$ = ₹25,000। जाँच कीजिए, 25,000 × 1.1236 − 25,000 = 3,090 आता है।

3 वर्ष हों तो। तब यह संबंध इतना सीधा नहीं रहता। ऐसे में विकल्पों से जाँचना सबसे जल्दी होता है। हर विकल्प की दर लेकर साधारण ब्याज से मूलधन (principal) निकालिए। जिस दर पर उस मूलधन का चक्रवृद्धि ब्याज सही आए, वही उत्तर है।

कुल मिलाकर, जो भी दिया हो, सबसे पहले एक वर्ष का सा.ब्या. निकालिए। अतिरिक्त ब्याज इसका जितने प्रतिशत है, वही दर है। और मूलधन = एक वर्ष का सा.ब्या. × $\frac{100}{R}$।

एक ब्याज से दूसरा ब्याज निकालना

साधारण ब्याज दिया हो, चक्रवृद्धि ब्याज चाहिए। समय 2 वर्ष हो और दर वही रहे, तो च.ब्या. = सा.ब्या. + एक वर्ष के सा.ब्या. पर ब्याज। इसे एक गुणक से लिख सकते हैं।

$$\text{च.ब्या.}_2 = \text{सा.ब्या.}_2 \times \left(1 + \frac{R}{200}\right)$$

प्रश्न है, "किसी राशि पर 6% की दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹2,880 है। उसी राशि पर उसी दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।" तो च.ब्या. = 2,880 × 1.03 = ₹2,966.40। जाँच कर लेते हैं। P = 2,880 ÷ 0.12 = ₹24,000, और 24,000 × 1.06 × 1.06 = 26,966.40।

चक्रवृद्धि ब्याज दिया हो, साधारण ब्याज चाहिए। तब उसी गुणक से भाग दीजिए।

$$\text{सा.ब्या.}_2 = \text{च.ब्या.}_2 \times \frac{200}{200 + R}$$

जैसे प्रश्न है, "किसी राशि पर 10% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹5,250 है।" तो सा.ब्या. = 5,250 × $\frac{200}{210}$ = ₹5,000, और राशि ₹25,000 है।

दर या समय अलग हो। साधारण ब्याज एक दर या समय का दिया हो और चक्रवृद्धि ब्याज किसी दूसरी दर या समय का पूछा हो, तो पहले मूलधन निकालिए। प्रश्न है, "किसी राशि पर 8% की दर से 3 वर्ष का साधारण ब्याज ₹4,320 है। उसी राशि पर 10% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।"

• पहले मूलधन निकालिए, P = 4,320 × $\frac{100}{24}$ = ₹18,000।
• 10% पर 2 वर्ष का च.ब्या. 21% होता है, तो च.ब्या. = 18,000 का 21% = ₹3,780।

3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज। यह सीधे एक वर्ष के सा.ब्या. से निकल आता है। $\text{च.ब्या.}_3 = \text{सा.ब्या.}_1 \times (3 + 3r + r^2)$, जहाँ $r = \frac{R}{100}$। प्रश्न है, "10% की दर से 1 वर्ष का साधारण ब्याज ₹1,500 है। 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।" तो च.ब्या. = 1,500 × 3.31 = ₹4,965। जाँच के लिए P = ₹15,000 लीजिए। 15,000 × 1.331 − 15,000 = 4,965 आता है।

च.ब्या. एक वर्ष के सा.ब्या. का कितना गुना होता है

जैसे 20% पर एक वर्ष का सा.ब्या. ₹1,350 है, तो 3 वर्ष का च.ब्या. = 1,350 × 3.64 = ₹4,914।

कई छात्र "च.ब्या. = सा.ब्या. × $\left(1 + \frac{R}{100}\right)$" वाला सूत्र लगा देते हैं। यह गलत है। इससे दोनों वर्षों के साधारण ब्याज पर पूरे एक वर्ष का ब्याज लग जाता है, जबकि असल में अतिरिक्त ब्याज केवल पहले वर्ष के ब्याज पर लगता है, क्योंकि दूसरे वर्ष का ब्याज तो वर्ष के अंत में जाकर जुड़ता है। इसलिए 2 वर्ष का सही गुणक $1 + \frac{R}{200}$ है।

साधारण बनाम चक्रवृद्धि ब्याज योजना

एक ही दर पर। दर एक ही हो, तो पहले वर्ष दोनों ब्याज बराबर रहते हैं, उसके बाद चक्रवृद्धि ब्याज आगे निकल जाता है। इसलिए जो व्यक्ति साधारण ब्याज पर उधार लेकर चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार दे, और दर व राशि वही रखे, उसका लाभ ठीक दोनों ब्याजों के अंतर (च.ब्या. − सा.ब्या.) जितना होता है।

प्रश्न है, "राजू 5% साधारण ब्याज पर ₹80,000 उधार लेता है और यही राशि 5% चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार दे देता है, जिसमें ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है।"

• 2 वर्ष में उसका लाभ = 80,000 × 0.0025 = ₹200।
• 3 वर्ष में लाभ = 200 × 3.05 = ₹610।

सौदा उलटा हो, यानी कोई चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार लेकर साधारण ब्याज पर उधार दे, तो उसे ठीक इतनी ही हानि होती है।

अलग-अलग दरों पर। दरें अलग हों, तो पूरे समय में हर योजना से मिलने वाला कुल प्रतिशत निकालकर दोनों की तुलना कीजिए। R% पर 2 वर्ष का च.ब्या. $\left(2R + \frac{R^2}{100}\right)\%$ होता है ("चक्रवृद्धि ब्याज" वाला खंड देखिए)। 3 वर्ष के लिए 3 वर्ष के गुणक में से 1 घटा दीजिए।

जैसे प्रश्न है, "₹40,000 का निवेश करना है। योजना A 11% साधारण ब्याज देती है और योजना B 10% चक्रवृद्धि ब्याज देती है, जिसमें ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है।"

देखिए, समय बदलने से बेहतर योजना भी बदल सकती है। इसलिए हिसाब ठीक उसी समय का कीजिए जो प्रश्न में दिया है।

बराबरी की दर। 10% च.ब्या. पर 2 वर्ष में 21% मिलता है, जो 10.5% सा.ब्या. पर 2 वर्ष के बराबर है। 3 वर्ष में 33.1% मिलता है, जो लगभग 11.03% वार्षिक सा.ब्या. के बराबर है। साधारण ब्याज की दर इनसे ज़्यादा हो, तो साधारण ब्याज वाली योजना बेहतर है, और कम हो तो चक्रवृद्धि वाली।

कई छात्र मान लेते हैं कि चक्रवृद्धि ब्याज हमेशा बेहतर है। यह केवल तब सच है जब दोनों की दर एक ही हो। साधारण ब्याज की दर ऊँची हो, तो दोनों का कुल ब्याज निकालकर देखिए।

एक बात और। 2 वर्ष में R% च.ब्या. और $\left(R + \frac{R^2}{200}\right)\%$ सा.ब्या. से ठीक बराबर ब्याज मिलता है। प्रश्न इसी तरह बनाया गया हो, तो उत्तर "दोनों बराबर" होगा।

बराबर मिश्रधन के लिए बँटवारा

इन प्रश्नों में एक राशि को भागों में बाँटकर एक ही चक्रवृद्धि दर पर, अलग-अलग समय के लिए उधार दिया जाता है। शर्त यह होती है कि अंत में सब भागों का मिश्रधन (amount) बराबर हो।

सीधी-सी बात है, जो भाग ज़्यादा समय तक बढ़ेगा, वह शुरू में छोटा होगा।

मान लीजिए भाग 1, $t_1$ वर्ष के लिए और भाग 2, $t_2$ वर्ष के लिए दिया गया, जहाँ $t_2 > t_1$। दोनों के मिश्रधन बराबर रखने पर यह मिलता है।

$$P_1\left(1 + \frac{R}{100}\right)^{t_1} = P_2\left(1 + \frac{R}{100}\right)^{t_2} \Rightarrow P_1 : P_2 = \left(1 + \frac{R}{100}\right)^{t_2 - t_1} : 1$$

ध्यान दीजिए, यहाँ हिसाब केवल समय के अंतर से होता है, अलग-अलग समय से नहीं।

प्रश्न है, "एक पिता ₹44,200 को 13 वर्ष के रोहन और 15 वर्ष की सोनिया में इस प्रकार बाँटते हैं कि 18 वर्ष की आयु पर दोनों को बराबर मिश्रधन मिले। धन पर 10% चक्रवृद्धि ब्याज मिलता है, जो वार्षिक रूप से संयोजित होता है।" रोहन का धन 5 वर्ष तक बढ़ेगा और सोनिया का 3 वर्ष तक। अंतर 2 वर्ष का है, इसलिए सोनिया : रोहन = 1.21 : 1 = 121 : 100।

• अनुपात का एक भाग = 44,200 ÷ 221 = ₹200।
• सोनिया का हिस्सा ₹24,200 है और रोहन का ₹20,000।
• जाँच कीजिए, 20,000 × $1.1^5$ = 32,210.20 और 24,200 × $1.1^3$ = 32,210.20।

तीन भाग। प्रश्न है, "₹49,650 को तीन भागों में बाँटकर 10% चक्रवृद्धि ब्याज पर 1, 2 और 3 वर्ष के लिए इस प्रकार उधार दिया जाता है कि तीनों मिश्रधन बराबर हों।" 1 वर्ष वाला भाग, 3 वर्ष वाले भाग का $1.1^2$ गुना होगा, और 2 वर्ष वाला उसका 1.1 गुना। तो अनुपात 121 : 110 : 100 है, जिसका जोड़ 331 है। अनुपात का एक भाग ₹150 आता है, इसलिए भाग ₹18,150, ₹16,500 और ₹15,000 हैं। हर भाग बढ़कर ₹19,965 हो जाता है।

भिन्न वाली दरें। दर आसान भिन्न हो, तो अनुपात पूर्ण संख्याओं में आता है। 20% पर गुणक $\frac{6}{5}$ है, तो 2 वर्ष के अंतर पर अनुपात 36 : 25 होता है। 5% पर गुणक $\frac{21}{20}$ है, तो 2 वर्ष के अंतर पर 441 : 400। और 25% पर 1 वर्ष के अंतर से 5 : 4 मिलता है।

साधारण ब्याज वाला रूप। यही प्रश्न साधारण ब्याज पर भी आता है ("साधारण ब्याज" वाला खंड देखिए)। वहाँ हर भाग के लिए 100 + RT लिखा जाता है, और वहाँ पूरा समय लिया जाता है, केवल अंतर नहीं। छात्र अक्सर दोनों तरीकों को आपस में मिला देते हैं।

उत्तर जाँचने का एक आसान तरीका है। छोटे बच्चे को ज़्यादा समय तक इंतज़ार करना है, इसलिए उसे अभी छोटा हिस्सा मिलना चाहिए। अगर आपके अनुपात से छोटे बच्चे को ज़्यादा मिल रहा है, तो अनुपात उलट दीजिए।

ऊपर वाला तीन भागों का बँटवारा ठीक समान किस्तों जैसा है। अब किस्तों पर आते हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज में समान वार्षिक किस्तें

चक्रवृद्धि ब्याज वाला ऋण जब समान वार्षिक किस्तों (equal annual instalments) में चुकाया जाता है, तो हर किस्त ऋण का अपना-अपना हिस्सा चुकाती है।

k वर्ष बाद दी गई x की किस्त आज केवल $\frac{x}{(1 + r)^k}$ के बराबर है। यही उस किस्त का वर्तमान मूल्य (present value) है। ऋण इन सब वर्तमान मूल्यों का जोड़ होता है।

$$P = \frac{x}{1 + r} + \frac{x}{(1 + r)^2} + \cdots + \frac{x}{(1 + r)^n}, \qquad r = \frac{R}{100}$$

10% पर दो किस्तें। प्रश्न है, "₹39,900 का ऋण 10% चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाता है।" यहाँ $P = x\left(\frac{10}{11} + \frac{100}{121}\right) = x \times \frac{210}{121}$। तो x = 39,900 × $\frac{121}{210}$ = ₹22,990।

वर्ष-दर-वर्ष जाँच। हर वर्ष उस वर्ष का ब्याज जोड़िए और किस्त घटाइए।

• पहले वर्ष के अंत में 39,900 × 1.1 = 43,890 हुए। 22,990 चुकाए, तो ₹20,900 अब भी बकाया है।
• दूसरे वर्ष के अंत में 20,900 × 1.1 = 22,990 हुए। 22,990 चुकाए, और कुछ भी बकाया नहीं रहा।

अनुपात विधि। गुणक को भिन्न में लिखिए, $1 + r = \frac{b}{a}$, और किस्त को $b^n$ इकाई मान लीजिए। तब हर वर्तमान मूल्य पूरी-पूरी इकाइयों में आता है।

प्रश्न है, "₹27,300 का ऋण 20% चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाता है।" ऋण 455 इकाई है, तो एक इकाई = 27,300 ÷ 455 = ₹60। किस्त = 216 × 60 = ₹12,960।

वर्ष-दर-वर्ष हिसाब लगाकर भी देख लीजिए। 27,300 × 1.2 = 32,760, इसमें से 12,960 घटाने पर 19,800 बचे। फिर 19,800 × 1.2 = 23,760, और 12,960 घटाने पर 10,800। फिर 10,800 × 1.2 = 12,960, जो आख़िरी किस्त से चुकता हो जाता है।

कुल कितना ब्याज चुकाया गया, यह भी निकल आता है। सारी किस्तें − ऋण = 3 × 12,960 − 27,300 = ₹11,580।

[SSC टिप] ऐसे ज़्यादातर प्रश्नों में दो गलत विकल्प ज़रूर होते हैं। पहला च.ब्या. वाले मिश्रधन को n से भाग देने पर आता है, जैसे 27,300 × 1.728 ÷ 3 = ₹15,724.80। दूसरा ऋण को n से भाग देकर उस पर एक वर्ष का ब्याज जोड़ने पर आता है, जो यहाँ ₹10,920 है। भरोसे का तरीका वर्तमान मूल्य वाला ही है। शक हो, तो वर्ष-दर-वर्ष हिसाब लगाकर जाँच लीजिए।

आंशिक अदायगी, बकाया और पुनः निवेश

असमान अदायगी। अदायगियाँ बराबर न हों, तो ऋण का हिसाब एक-एक वर्ष करके लगाइए। हर वर्ष उस वर्ष का ब्याज जोड़िए, अदायगी घटाइए और फिर अगले वर्ष पर जाइए।

प्रश्न है, "किरण 10% चक्रवृद्धि ब्याज पर ₹50,000 उधार लेती है। वह पहले वर्ष के अंत में ₹20,000 और दूसरे वर्ष के अंत में ₹20,000 चुकाती है। ऋण चुकता करने के लिए उसे तीसरे वर्ष के अंत में कितना चुकाना होगा?"

• पहले वर्ष में 50,000 × 1.1 = 55,000 हुए। 20,000 चुकाए, तो ₹35,000 बकाया रहे।
• दूसरे वर्ष में 35,000 × 1.1 = 38,500 हुए। 20,000 चुकाए, तो ₹18,500 बकाया रहे।
• तीसरे वर्ष में 18,500 × 1.1 = ₹20,350 हुए, और यही उसे चुकाने होंगे।

कुछ लोग दोनों अदायगियाँ सीधे 3 वर्ष के मिश्रधन से घटा देते हैं और 50,000 × 1.331 − 40,000 = ₹26,550 लिखते हैं। यह गलत है, क्योंकि हर अदायगी उतने धन पर आगे ब्याज लगना रोक देती है।

यह तरीका तभी सही होगा, जब अदायगियों पर भी अंत तक ब्याज लगाया जाए। 50,000 का 3 वर्ष का मिश्रधन 66,550 है। इसमें से 20,000 × 1.21 = 24,200 और 20,000 × 1.1 = 22,000 घटाइए। 66,550 − 24,200 − 22,000 = 20,350, जो ऊपर वाले उत्तर से मेल खाता है।

बकाया राशि। कुछ किस्तें चुकाने के बाद कितना बकाया है, यह वर्ष-दर-वर्ष हिसाब में ही दिख जाता है। ऊपर वाला ₹27,300 का ऋण लीजिए, जो 20% पर 3 किस्तों में चुकाना था। पहली किस्त के ठीक बाद ₹19,800 बकाया था, और दूसरी के बाद ₹10,800।

इसे दूसरी तरह से भी देख सकते हैं। बकाया राशि उन किस्तों का वर्तमान मूल्य है जो अभी बाकी हैं। पहली किस्त के बाद दो किस्तें बची हैं, तो बकाया = $12960 \times \frac{5}{6} + 12960 \times \frac{25}{36}$ = 10,800 + 9,000 = 19,800।

पुनः निवेश वाला लाभ। कोई व्यवसाय हर वर्ष अपना लाभ वापस पूँजी में जोड़ दे, तो पूँजी ठीक चक्रवृद्धि ब्याज की तरह बढ़ती है। प्रश्न है, "एक दुकान ₹1,60,000 से शुरू होती है और अपनी पूँजी पर प्रति वर्ष 25% लाभ कमाती है, जो पूरा का पूरा दुकान में वापस लगा दिया जाता है।" 3 वर्ष बाद पूँजी = 1,60,000 × $\left(\frac{5}{4}\right)^3$ = ₹3,12,500।

अब मान लीजिए मालिक हर वर्ष लाभ निकाल लेता है। तब पूँजी ₹1,60,000 पर ही रुकी रहती है। उसने 3 × 40,000 = ₹1,20,000 निकाले, तो कुल ₹2,80,000 हुए। यह साधारण ब्याज वाला हिसाब है।

लाभ का केवल कुछ प्रतिशत वापस लगाया जाए, तो पूँजी भी उसी हिसाब से कम दर पर बढ़ती है। जैसे लाभ 25% हो और उसका 60% पुनः निवेश किया जाए, तो पूँजी हर वर्ष 15% बढ़ेगी।

[Tier 2] अर्धवार्षिक किस्तें। किस्तें अर्धवार्षिक हों, तो छमाही की दर लीजिए और छमाहियाँ गिनिए। जैसे ₹10,500 का ऋण 20% वार्षिक दर पर है, ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, और 2 समान अर्धवार्षिक किस्तें देनी हैं। यह ठीक 10% पर दो किस्तों वाला प्रश्न बन जाता है। तो x = 10,500 × $\frac{121}{210}$ = ₹6,050।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

₹32,000 पर 7.5% वार्षिक दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर कितना है, जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है? (a) ₹360 (b) ₹4,980 (c) ₹180 (d) ₹4,800

उत्तर: 2 वर्ष का अंतर चाहिए, तो D = P × $\left(\frac{R}{100}\right)^2$ लगाते हैं। 32,000 × $\frac{7.5 \times 7.5}{10000}$ = 32,000 × 0.005625 = (c) ₹180। जाँच के लिए 32,000 पर दोनों ब्याज निकाल लेते हैं। सा.ब्या. ₹4,800 है, और 32,000 × 1.075 × 1.075 = 36,980, तो च.ब्या. = 36,980 − 32,000 = ₹4,980। अंतर ₹180 ही है।

प्रश्न 2

किसी राशि पर 15% वार्षिक दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹450 है। वह राशि कितनी है? (a) ₹20,000 (b) ₹3,000 (c) ₹10,000 (d) ₹30,000

उत्तर: यहाँ अंतर दिया है और राशि पूछी है, तो P = D × $\left(\frac{100}{R}\right)^2$ लगेगा। 450 × $\frac{10000}{225}$ = (a) ₹20,000। जाँच भी आसान है। सा.ब्या. ₹6,000 है और च.ब्या. = 20,000 × 1.3225 − 20,000 = ₹6,450, तो अंतर ₹450 ही आता है। जल्दी में कुछ लोग 15% से केवल एक बार भाग देते हैं, 450 ÷ 0.15, और ₹3,000 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 3

₹48,000 पर 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज, 2 वर्ष के साधारण ब्याज से ₹120 अधिक है। ब्याज की वार्षिक दर कितनी है? (a) 0.25% (b) 5% (c) 2.5% (d) 10%

उत्तर: अंतर ₹120 है, तो $\left(\frac{R}{100}\right)^2 = \frac{120}{48000} = \frac{1}{400}$। इसका वर्गमूल लेने पर $\frac{R}{100} = \frac{1}{20}$ आता है, यानी R = (b) 5%। 48,000 ÷ 400 = 120 से उत्तर पक्का हो जाता है।

प्रश्न 4

₹16,000 पर 5% वार्षिक दर से 3 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर कितना है? (a) ₹40 (b) ₹120 (c) ₹2,522 (d) ₹122

उत्तर: 3 वर्ष का अंतर है, तो $D_3 = P\left(\frac{R}{100}\right)^2\left(3 + \frac{R}{100}\right)$ लगेगा। 16,000 × $\frac{1}{400}$ × 3.05 = 40 × 3.05 = (d) ₹122। पूरे ब्याज निकालें, तो च.ब्या. = 16,000 × 1.157625 − 16,000 = ₹2,522 आता है और सा.ब्या. ₹2,400। ₹120 वाला विकल्प 3 × 40 है, उसमें अतिरिक्त ब्याज पर मिलने वाला ब्याज छूट गया है।

प्रश्न 5

[Tier 2] ब्याज की समान दर पर, किसी राशि के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर 2 वर्ष के लिए ₹200 और 3 वर्ष के लिए ₹608 है। वह राशि कितनी है? (a) ₹1,25,000 (b) ₹31,250 (c) ₹50,000 (d) ₹2,00,000

उत्तर: दोनों अंतर दिए हैं, और $\frac{D_3}{D_2} = 3 + \frac{R}{100}$ होता है। यहाँ $\frac{608}{200}$ = 3.04, तो R = 4%। अब P = 200 × $\left(\frac{100}{4}\right)^2$ = 200 × 625 = (a) ₹1,25,000। उलटा मिलाकर देखिए, 1,25,000 × 0.0016 = 200, और 200 × 3.04 = 608।

प्रश्न 6

₹64,000 पर 12.5% वार्षिक दर से 1 वर्ष के, अर्धवार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर कितना है? (a) ₹1,000 (b) ₹0 (c) ₹250 (d) ₹8,250

उत्तर: ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित है, तो हर छमाही में 6.25% लगेगा, जो $\frac{1}{16}$ है, और कुल 2 छमाहियाँ होंगी। D = 64,000 × $\left(\frac{1}{16}\right)^2$ = 64,000 ÷ 256 = (c) ₹250। सीधे निकालें, तो 64,000 × $\frac{17}{16} \times \frac{17}{16}$ = 72,250 होता है। च.ब्या. ₹8,250 हुआ, जबकि सा.ब्या. ₹8,000 है।

प्रश्न 7

किसी राशि पर 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹5,600 है, और उसी राशि पर उसी दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹5,824 है। दर और राशि क्रमशः कितनी हैं? (a) 4%, ₹70,000 (b) 8%, ₹35,000 (c) 16%, ₹17,500 (d) 8%, ₹70,000

उत्तर: 2 वर्ष का सा.ब्या. ₹5,600 है, तो एक वर्ष का ₹2,800। च.ब्या. में ₹224 अतिरिक्त हैं, जो ₹2,800 पर ब्याज है। तो R = $\frac{224}{2800} \times 100$ = 8%, और P = 2,800 × $\frac{100}{8}$ = ₹35,000। उत्तर (b) 8%, ₹35,000 है। 35,000 × 1.08 × 1.08 = 40,824 होता है, तो च.ब्या. ₹5,824 ही है। ₹224 को 2 वर्ष के पूरे सा.ब्या. ₹5,600 से भाग देने पर 4% आता है, जो गलत है।

प्रश्न 8

किसी राशि पर 12% वार्षिक दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹4,320 है। उसी राशि पर उसी दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा? (a) ₹4,838.40 (b) ₹4,665.60 (c) ₹4,492.80 (d) ₹4,579.20

उत्तर: 2 वर्ष का च.ब्या. = सा.ब्या. × $\left(1 + \frac{R}{200}\right)$, और 12% पर यह गुणक 1.06 है। तो 4,320 × 1.06 = (d) ₹4,579.20। यहाँ अतिरिक्त ₹259.20 है, जो एक वर्ष के सा.ब्या. ₹2,160 का 12% है। राशि निकालकर भी देख लेते हैं। P = 4,320 ÷ 0.24 = ₹18,000, और 18,000 × 1.2544 − 18,000 = ₹4,579.20।

प्रश्न 9

किसी राशि पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹1,230 है। उसी राशि पर उसी दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज कितना होगा? (a) ₹1,200 (b) ₹1,171.43 (c) ₹1,168.50 (d) ₹1,215

उत्तर: यहाँ च.ब्या. से सा.ब्या. पर जाना है, तो उसी गुणक से भाग देते हैं। सा.ब्या. = च.ब्या. × $\frac{200}{200 + R}$ = 1,230 × $\frac{200}{205}$ = (a) ₹1,200। मिलान के लिए राशि = 1,200 ÷ 0.1 = ₹12,000 लीजिए। 12,000 × 1.1025 − 12,000 = ₹1,230 आता है।

प्रश्न 10

किसी राशि पर 9% वार्षिक दर से 3 वर्ष का साधारण ब्याज ₹6,480 है। उसी राशि पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा? (a) ₹4,800 (b) ₹4,514.40 (c) ₹5,040 (d) ₹7,128

उत्तर: यहाँ दर और समय दोनों बदल गए हैं, तो पहले राशि निकालते हैं। P = 6,480 × $\frac{100}{27}$ = ₹24,000। 10% पर 2 वर्ष का च.ब्या. 21% होता है, तो 24,000 का 21% = (c) ₹5,040।

प्रश्न 11

संजय ने 8% वार्षिक साधारण ब्याज पर ₹75,000 उधार लिए और पूरी राशि 8% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार दे दी, जिसमें ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है। 3 वर्ष बाद उसका लाभ कितना है? (a) ₹1,440 (b) ₹1,478.40 (c) ₹480 (d) ₹960

उत्तर: दर एक ही है, तो संजय का लाभ उतना ही है जितना ₹75,000 पर 8% की दर से 3 वर्ष के च.ब्या. और सा.ब्या. का अंतर। 2 वर्ष का अंतर = 75,000 × 0.0064 = ₹480। तो $D_3$ = 480 × 3.08 = (b) ₹1,478.40। दोनों ब्याज अलग-अलग निकालें, तो च.ब्या. = 75,000 × 1.259712 − 75,000 = ₹19,478.40 आता है और सा.ब्या. ₹18,000।

प्रश्न 12

प्रिया के पास 3 वर्ष के लिए निवेश करने को ₹60,000 हैं। योजना X, 10.5% वार्षिक साधारण ब्याज देती है, और योजना Y, 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज देती है, जिसमें ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है। किस योजना से अधिक ब्याज मिलेगा, और कितना अधिक? (a) योजना X, ₹960 अधिक (b) दोनों से बराबर ब्याज (c) योजना Y, ₹300 अधिक (d) योजना Y, ₹960 अधिक

उत्तर: योजना X में 10.5 × 3 = 31.5% ब्याज मिलेगा, जो ₹18,900 है। योजना Y में $1.1^3$ = 1.331, तो 33.1% मिलेगा, जो ₹19,860 है। उत्तर (d) योजना Y, ₹960 अधिक है। 2 वर्ष में दोनों से बराबर ब्याज मिलता, हर एक से 21%। कई लोग यही सोचकर "दोनों से बराबर ब्याज" चुन लेते हैं, पर 3 वर्ष में च.ब्या. आगे निकल जाता है।

प्रश्न 13

₹50,460 को दो भागों में बाँटा गया है। एक भाग 2 वर्ष के लिए और दूसरा 4 वर्ष के लिए, दोनों 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर उधार दिए जाते हैं, और दोनों मिश्रधन बराबर निकलते हैं। छोटा भाग कितना है? (a) ₹24,000 (b) ₹26,460 (c) ₹25,230 (d) ₹23,600

उत्तर: दोनों भागों के समय में 2 वर्ष का अंतर है। तो 2 वर्ष वाला भाग : 4 वर्ष वाला भाग = $1.05^2$ : 1 = 441 : 400। अनुपात का एक भाग = 50,460 ÷ 841 = ₹60, तो दोनों भाग ₹26,460 और (a) ₹24,000 हैं। छोटा भाग वही है जो 4 वर्ष के लिए उधार दिया गया। दोनों मिश्रधन बराबर आते हैं, 26,460 × 1.1025 = 29,172.15 और 24,000 × $1.05^4$ = 29,172.15।

प्रश्न 14

एक व्यक्ति ₹24,400 को 15 वर्ष और 17 वर्ष की आयु वाले अपने पुत्रों में इस प्रकार बाँटता है कि 21 वर्ष की आयु होने पर दोनों को बराबर मिश्रधन मिले। धन पर 20% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज मिलता है, जो वार्षिक रूप से संयोजित होता है। बड़े पुत्र का हिस्सा कितना है? (a) ₹10,000 (b) ₹12,200 (c) ₹14,400 (d) ₹13,000

उत्तर: छोटे पुत्र का धन 6 वर्ष तक बढ़ेगा और बड़े का 4 वर्ष तक, तो अंतर 2 वर्ष है। बड़ा : छोटा = $\left(\frac{6}{5}\right)^2$ : 1 = 36 : 25। अनुपात का एक भाग = 24,400 ÷ 61 = ₹400। तो बड़े पुत्र का हिस्सा 36 × 400 = (c) ₹14,400 और छोटे का ₹10,000 है। 21 वर्ष की आयु पर दोनों को बराबर मिलता है, 14,400 × $1.2^4$ = 29,859.84 और 10,000 × $1.2^6$ = 29,859.84।

प्रश्न 15

₹33,600 का ऋण 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। प्रत्येक किस्त कितनी है? (a) ₹20,328 (b) ₹19,360 (c) ₹20,160 (d) ₹18,480

उत्तर: 10% पर दो किस्तों में किस्त 121 इकाई होती है, तो ऋण 210 इकाई। एक इकाई = 33,600 ÷ 210 = ₹160, इसलिए किस्त = 121 × 160 = (b) ₹19,360। वर्ष-दर-वर्ष देखें, तो पहले वर्ष के अंत में 33,600 × 1.1 = 36,960 होते हैं। 19,360 चुकाने पर 17,600 बचते हैं, और 17,600 × 1.1 = 19,360, जो दूसरी किस्त से चुकता हो जाता है। च.ब्या. वाले मिश्रधन का आधा, 33,600 × 1.21 ÷ 2, लेने पर ₹20,328 आता है, जो बहुत अधिक है।

प्रश्न 16

5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर लिया गया एक ऋण ₹55,566 प्रत्येक की तीन समान वार्षिक किस्तों से चुकता हो जाता है। ऋण कितना था? (a) ₹1,66,698 (b) ₹1,44,000 (c) ₹1,58,760 (d) ₹1,51,320

उत्तर: हर किस्त का वर्तमान मूल्य निकालते हैं। 55,566 × $\frac{20}{21}$ = 52,920, 55,566 × $\left(\frac{20}{21}\right)^2$ = 50,400 और 55,566 × $\left(\frac{20}{21}\right)^3$ = 48,000। ऋण इनका जोड़ है, 52,920 + 50,400 + 48,000 = (d) ₹1,51,320।

प्रश्न 17

20% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर उधार ली गई एक राशि ₹14,400 प्रत्येक की 2 समान वार्षिक किस्तों में चुकाई जाती है। कुल कितना ब्याज दिया गया? (a) ₹6,800 (b) ₹9,680 (c) ₹8,800 (d) ₹4,400

उत्तर: 20% पर दो किस्तों में किस्त 36 इकाई होती है और ऋण 55 इकाई। एक इकाई = 14,400 ÷ 36 = ₹400, तो ऋण = 55 × 400 = ₹22,000। कुल चुकाया 2 × 14,400 = ₹28,800, इसलिए ब्याज = 28,800 − 22,000 = (a) ₹6,800। हर वर्ष का हिसाब लगाकर जाँच भी लेते हैं। 22,000 × 1.2 = 26,400, इसमें से 14,400 घटाने पर 12,000, और 12,000 × 1.2 = 14,400।

प्रश्न 18

10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर लिया गया ₹66,200 का ऋण 3 समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। दूसरी किस्त चुकाने के ठीक बाद कितनी राशि बकाया रहती है? (a) ₹26,620 (b) ₹46,200 (c) ₹24,200 (d) ₹22,000

उत्तर: 10% पर तीन किस्तों में किस्त 1,331 इकाई और ऋण 3,310 इकाई होता है। एक इकाई = 66,200 ÷ 3,310 = ₹20, तो किस्त = 1,331 × 20 = ₹26,620। अब हर वर्ष का हिसाब लगाते हैं। 66,200 × 1.1 = 72,820, इसमें से 26,620 घटाने पर 46,200। फिर 46,200 × 1.1 = 50,820, और 26,620 घटाने पर (c) ₹24,200। यही बकाया तीसरे वर्ष में बढ़कर ₹26,620 हो जाता है और आख़िरी किस्त से चुकता हो जाता है। ₹46,200 तो पहली किस्त के बाद का बकाया है, दूसरी के बाद का नहीं।

प्रश्न 19

लीला ने 15% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर ₹40,000 उधार लिए। उसने पहले वर्ष के अंत में ₹16,000 और दूसरे वर्ष के अंत में ₹18,000 चुकाए। ऋण चुकता करने के लिए उसे तीसरे वर्ष के अंत में कितनी राशि देनी होगी? (a) ₹18,975 (b) ₹26,835 (c) ₹16,500 (d) ₹6,900

उत्तर: यहाँ अदायगियाँ बराबर नहीं हैं, तो हर वर्ष का हिसाब अलग लगाते हैं। पहले वर्ष 40,000 × 1.15 = 46,000, और 16,000 चुकाने पर ₹30,000 बचे। दूसरे वर्ष 30,000 × 1.15 = 34,500, और 18,000 चुकाने पर ₹16,500 बचे। तीसरे वर्ष 16,500 × 1.15 = (a) ₹18,975। कुछ लोग दोनों अदायगियाँ पूरे 3 वर्ष के मिश्रधन से घटाकर, 60,835 − 34,000, ₹26,835 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि इसमें लौटाए जा चुके धन पर भी ब्याज लगता रहता है।

प्रश्न 20

अंकित ₹2,00,000 से एक व्यवसाय शुरू करता है। व्यवसाय हर वर्ष अपनी पूँजी पर 15% लाभ कमाता है, और वह पूरा लाभ फिर से व्यवसाय में लगा देता है। 3 वर्ष बाद पूँजी कितनी होगी? (a) ₹2,90,000 (b) ₹3,04,175 (c) ₹2,64,500 (d) ₹3,00,000

उत्तर: हर वर्ष पूरा लाभ वापस लगाने का मतलब चक्रवृद्धि है। तो 2,00,000 × $1.15^3$ = 2,00,000 × 1.520875 = (b) ₹3,04,175। वर्ष-दर-वर्ष देखें तो पूँजी ₹2,30,000, फिर ₹2,64,500 और फिर ₹3,04,175 होती है।

प्रश्न 21

[Tier 2] किसी राशि पर, पहले वर्ष 8% और दूसरे वर्ष 12% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज, उन्हीं दरों पर मिलने वाले साधारण ब्याज से ₹288 अधिक है। वह राशि कितनी है? (a) ₹45,000 (b) ₹20,000 (c) ₹30,000 (d) ₹28,800

उत्तर: दूसरे वर्ष में पहले वर्ष के ब्याज पर 12% और ब्याज मिलता है। तो D = P × $\frac{8}{100} \times \frac{12}{100}$ = $\frac{96P}{10000}$। अब P = 288 × $\frac{10000}{96}$ = (c) ₹30,000। जाँच कर लेते हैं। च.ब्या. = 30,000 × 1.08 × 1.12 − 30,000 = ₹6,288 और सा.ब्या. = 30,000 का 20% = ₹6,000।