चक्रवृद्धि ब्याज

चक्रवृद्धि ब्याज: ब्याज पर ब्याज

साधारण ब्याज में हर वर्ष ब्याज उसी शुरुआती राशि पर लगता है। इसलिए हर वर्ष का ब्याज एक जैसा रहता है।

चक्रवृद्धि ब्याज (compound interest, CI) में ऐसा नहीं होता। इसमें एक वर्ष का ब्याज उस वर्ष के अंत में राशि में जुड़ जाता है, और अगले वर्ष का ब्याज इस बढ़ी हुई रकम पर लगता है। यानी अब ब्याज पर भी ब्याज मिलने लगता है। चक्रवृद्धि ब्याज को छोटे में च.ब्या. लिखते हैं।

एक उदाहरण से समझते हैं। ₹47,000 पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष का हिसाब देखिए।

3 वर्ष का च.ब्या. = 4,700 + 5,170 + 5,687 = ₹15,557। इतने ही समय का साधारण ब्याज केवल ₹14,100 होता।

पहले वर्ष में दोनों ब्याज बराबर रहते हैं। उसके बाद चक्रवृद्धि ब्याज आगे निकल जाता है। दूसरे वर्ष में जो ₹470 अधिक मिले, वे पहले वर्ष के ₹4,700 ब्याज का 10% हैं। तीसरे वर्ष में ₹987 अधिक मिले, जो पहले दो वर्षों में मिले ₹9,870 ब्याज का 10% है।

अब तालिका को दूसरी तरह देखिए। हर वर्ष मिश्रधन को एक ही संख्या से गुणा किया जा रहा है, और वह संख्या है 1 + R/100। 10% पर 3 वर्ष हों, तो तीन बार 1.1 से गुणा करना है। इसी से सूत्र मिलता है।

$$A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n, \qquad \text{च.ब्या.} = A - P$$

यहाँ P मूलधन है, R वार्षिक दर है और n वर्षों की संख्या है।

तालिका से मिलाकर देख लीजिए। 47,000 × 1.1 × 1.1 × 1.1 = 47,000 × 1.331 = ₹62,557, और च.ब्या. = 62,557 − 47,000 = ₹15,557। वही उत्तर आया।

शब्दों पर ध्यान: प्रश्न पढ़ते समय ये चार बातें याद रखिए।

• मिश्रधन = मूलधन + ब्याज, जबकि च.ब्या. केवल ब्याज है। विकल्पों में लगभग हमेशा दोनों दिए होते हैं। इसलिए उत्तर चुनने से पहले प्रश्न की आख़िरी पंक्ति एक बार फिर पढ़ लीजिए।
• वार्षिक रूप से संयोजित (compounded annually) का मतलब है कि ब्याज वर्ष में एक बार जुड़ता है। प्रश्न में केवल "चक्रवृद्धि ब्याज" लिखा हो और कोई अवधि न दी हो, तो वार्षिक ही मानिए।
• दर वार्षिक ही मानी जाती है, जब तक प्रश्न में कुछ और न लिखा हो। "4% प्रति छमाही" का मतलब 4% वार्षिक नहीं है।
• 1.331 का मतलब है कि मिश्रधन राशि का 133.1% है, तो चक्रवृद्धि ब्याज उसका 33.1% हुआ। चक्रवृद्धि ब्याज को मूलधन के प्रतिशत के रूप में देखने की आदत डालिए। कई प्रश्नों में इससे एक कदम बच जाता है।

चक्रवृद्धि ब्याज के ज़्यादातर प्रश्नों में यही तीन गलत विकल्प दिए होते हैं। पहला, साधारण ब्याज, जो यहाँ ₹14,100 है। दूसरा, ब्याज की जगह मिश्रधन, यानी ₹62,557। तीसरा, एक वर्ष कम का च.ब्या., यानी ₹9,870। इसलिए हल शुरू करने से पहले ही तय कर लीजिए कि प्रश्न में A माँगा गया है या चक्रवृद्धि ब्याज।

गुणक को भिन्न में लिखना

1.05 × 1.05 × 1.05 जैसा गुणा हाथ से करने बैठें, तो बहुत समय लगता है।

इससे अच्छा है कि दर को भिन्न में लिख लीजिए। तब गुणक (multiplier) भी एक साफ़ भिन्न बन जाता है। जैसे 10% = $\frac{1}{10}$ है, तो हर वर्ष राशि को $\frac{11}{10}$ से गुणा करना है। नीचे दी गई भिन्नें याद कर लीजिए।

पहले काटिए, फिर गुणा: SSC के प्रश्नों में मूलधन ऐसा दिया होता है कि वह हर से पूरा-पूरा कट जाए। इसलिए पहले हर से काटिए, और गुणा सबसे अंत में कीजिए।

• ₹12,800 पर 12.5% की दर से 2 वर्ष का मिश्रधन A = 12,800 × $\frac{81}{64}$ = 200 × 81 = ₹16,200 है। च.ब्या. ₹3,400 हुआ।
• ₹1,36,000 पर 5% की दर से 3 वर्ष का मिश्रधन A = 1,36,000 × $\frac{9261}{8000}$ = 17 × 9,261 = ₹1,57,437 है। च.ब्या. ₹21,437 हुआ।
• ₹21,600 पर $16\frac{2}{3}\%$ की दर से 2 वर्ष का मिश्रधन A = 21,600 × $\frac{49}{36}$ = 600 × 49 = ₹29,400 है। च.ब्या. ₹7,800 हुआ।

रुपयों की जगह भाग: 12.5% पर 3 वर्ष हों, तो P : A = 512 : 729 होता है। मतलब P : च.ब्या. = 512 : (729 − 512) = 512 : 217।

अब मान लीजिए चक्रवृद्धि ब्याज ₹7,595 दिया है। तो 217 भाग = ₹7,595, यानी एक भाग ₹35 का है। P = 512 × 35 = ₹17,920। 1.423828125 से भाग देने की कोई ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

संख्याओं से दर पहचानना: इन गुणकों के अंश असल में वर्ग और घन हैं। 441 = $21^2$, 9,261 = $21^3$, 1,331 = $11^3$ और 729 = $9^3$ = $27^2$। इसी तरह 17,576 = $26^3$ है।

मान लीजिए कोई राशि 3 वर्ष में स्वयं की $\frac{9261}{8000}$ गुनी हो जाती है। तब हर वर्ष का गुणक $\frac{21}{20}$ है, यानी दर 5% है। इन गुणकों के अंश ऐसे ही वर्ग और घन होते हैं, इसलिए 30 तक के वर्ग और 25 तक के घन ज़बानी याद कर लीजिए।

वर्षवार ब्याज, और दो या तीन वर्ष की एक दर

चक्रवृद्धि ब्याज में हर वर्ष का ब्याज पिछले वर्ष के ब्याज से R% अधिक होता है। वजह सीधी है। जिस राशि पर ब्याज लग रहा है, वह ख़ुद R% बढ़ चुकी है। इसलिए हर वर्ष का ब्याज भी वैसे ही बढ़ता है, जैसे चक्रवृद्धि ब्याज में राशि बढ़ती है।

$$\text{केवल } k \text{वें वर्ष का ब्याज} = P \times \frac{R}{100} \times \left(1 + \frac{R}{100}\right)^{k - 1}$$

SSC में सबसे ज़्यादा 10% और 20% की दरें आती हैं। हर ₹1,000 पर इनका हिसाब यह है।

25% की दर हो, तो ₹1,600 से शुरू करना आसान रहता है। तीनों वर्षों का ब्याज ₹400, ₹500 और ₹625 आता है। तो च.ब्या. 2 वर्ष में ₹900 और 3 वर्ष में ₹1,525 होता है।

पूरे समय की एक दर: $(1 + r)^2 = 1 + 2r + r^2$ होता है। इसका मतलब है कि 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज P का एक तय प्रतिशत होता है। 3 वर्ष के ब्याज का भी ऐसा ही एक तय प्रतिशत होता है।

$$\text{2 वर्ष: } \left(2R + \frac{R^2}{100}\right)\% \qquad \text{3 वर्ष: } \left(3R + \frac{3R^2}{100} + \frac{R^3}{100^2}\right)\%$$

जैसे ₹4,500 पर 20% की दर से 3 वर्ष का च.ब्या. = 4,500 का 72.8% = ₹3,276। वर्षवार जोड़ें, तो 900 + 1,080 + 1,296 से भी यही योग आता है।

केवल एक वर्ष का ब्याज: प्रश्न आता है, "₹4,500 पर 20% वार्षिक दर से तीसरे वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।" यहाँ केवल तीसरा वर्ष गिनना है। 4,500 × 0.2 × $1.2^2$ = ₹1,296। विकल्पों में ₹3,276 भी होगा, पर वह तीनों वर्षों का कुल ब्याज है।

एक वर्ष से अगले वर्ष तक की बढ़त: दूसरे वर्ष का ब्याज पहले वर्ष के ब्याज से ठीक उतना अधिक होता है, जितना पहले वर्ष के ब्याज का R% है। ऊपर वाले उदाहरण में 1,080 − 900 = 180, और 180 = 900 का 20%।

दो वर्षों के ब्याज दिए हों, तो इसी से दर निकल आती है। ऐसे प्रश्न आगे "दो मिश्रधन या दो ब्याज दिए हों" वाले भाग में करेंगे।

[SSC टिप] 2 वर्ष की दर कभी भी सीधे 2R नहीं होती। 15% पर यह 32.25% है, 30% नहीं। 12% पर 25.44% है, 24% नहीं। 2R वाला आँकड़ा तो साधारण ब्याज का है, और SSC उसे लगभग हमेशा विकल्पों में रखता है।

मूलधन ज्ञात करना

मूलधन निकालने से पहले देखिए कि प्रश्न में क्या दिया है। तरीका उसी से तय होता है।

1. मिश्रधन दिया हो: मिश्रधन को गुणक से भाग दीजिए। गुणक से भाग देना उसकी उलटी भिन्न से गुणा करने जैसा ही है। जैसे "कोई राशि 5% चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष में ₹37,485 हो जाती है।" तो P = 37,485 × $\frac{400}{441}$ = 85 × 400 = ₹34,000।

2. च.ब्या. दिया हो: चक्रवृद्धि ब्याज मूलधन का एक तय हिस्सा होता है। इसलिए P और ब्याज को भागों में लिख लीजिए। 20% पर 3 वर्ष के लिए P : A = 125 : 216 है, तो P : च.ब्या. = 125 : 91।

अब यह प्रश्न देखिए, "किसी राशि पर 20% की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹5,460 है।" यहाँ 91 भाग = ₹5,460, तो एक भाग ₹60 का है। P = 125 × 60 = ₹7,500। प्रतिशत से भी कर सकते हैं। 5,460 राशि का 72.8% है, तो 5,460 ÷ 0.728 से भी ₹7,500 ही आता है।

आम दरों के लिए ये अनुपात याद रखिए।

3. एक वर्ष का ब्याज दिया हो: जैसे "10% चक्रवृद्धि ब्याज पर केवल दूसरे वर्ष का ब्याज ₹4,070 है।" दूसरे वर्ष का ब्याज 1.1P पर लगता है, जो एक वर्ष बाद का मिश्रधन है। उसका 10% यानी 0.11P = 4,070, तो P = ₹37,000। केवल तीसरे वर्ष का ब्याज दिया हो, तो वह P का $0.1 \times 1.1^2 = 0.121$ गुना होता है।

वर्तमान मूल्य: प्रश्न ऐसे भी आता है, "n वर्ष बाद ₹x पाने के लिए अभी कितनी राशि निवेश करनी होगी?" इसे वर्तमान मूल्य (present value) निकालना कहते हैं। यह रास्ता 1 ही है, बस शब्द अलग हैं। x को n वर्ष के गुणक से भाग दे दीजिए।

समान वार्षिक किस्तें भी इसी विचार पर चलती हैं। उन्हें "चक्रवृद्धि बनाम साधारण ब्याज, राशि का बँटवारा और किस्तें" वाले खंड में पढ़ेंगे।

कौन-सा रास्ता लें: रुपये वाली संख्या के साथ लिखे शब्द देखिए। "हो जाती है" या "मिश्रधन" लिखा हो, तो रास्ता 1 लीजिए। "चक्रवृद्धि ब्याज … है" लिखा हो, तो रास्ता 2। "दूसरे वर्ष का ब्याज" या "तीसरे वर्ष में" लिखा हो, तो रास्ता 3।

[SSC टिप] सबसे आम चूक है चक्रवृद्धि ब्याज को साधारण ब्याज वाले प्रतिशत से भाग दे देना। ₹5,460, 20% और 3 वर्ष वाले प्रश्न में ऐसा करने पर 5,460 ÷ 0.6 = ₹9,100 आता है, और यह संख्या विकल्पों में ज़रूर होगी। दूसरा जाल है मिश्रधन को ब्याज मान लेना।

अर्धवार्षिक, त्रैमासिक और दूसरी अवधियाँ

ब्याज वर्ष में एक से अधिक बार जुड़े, तो दो चीज़ें निकालिए। पहली, एक अवधि की दर। दूसरी, अवधियों की संख्या। ध्यान रखिए, प्रश्न में दी गई दर तब भी वार्षिक ही होती है।

$$\text{अर्धवार्षिक: } A = P\left(1 + \frac{R}{200}\right)^{2n} \qquad \text{त्रैमासिक: } A = P\left(1 + \frac{R}{400}\right)^{4n}$$

अर्धवार्षिक: मान लीजिए ₹3,04,000 पर 10% वार्षिक दर से $1\frac{1}{2}$ वर्ष का ब्याज निकालना है, और ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित (compounded half-yearly) होता है। तो हर छमाही 5% लगेगा, और कुल 3 छमाहियाँ होंगी। A = 3,04,000 × $\frac{9261}{8000}$ = 38 × 9,261 = ₹3,51,918, तो च.ब्या. ₹47,918 है।

तुलना के लिए यही $1\frac{1}{2}$ वर्ष वार्षिक संयोजन पर देखिए। 3,04,000 × 1.1 × 1.05 = ₹3,51,120, और च.ब्या. ₹47,120। ब्याज बार-बार जुड़े, तो वह हमेशा थोड़ा अधिक ही मिलता है।

त्रैमासिक: अब ₹1,40,000 पर 12% वार्षिक दर लीजिए। ब्याज त्रैमासिक रूप से संयोजित (compounded quarterly) होता है और समय 6 महीने है। हर तिमाही 3% लगेगा और 2 तिमाहियाँ होंगी। A = 1,40,000 × $1.03^2$ = 1,40,000 × 1.0609 = ₹1,48,526, तो च.ब्या. ₹8,526 है।

महीनों से अवधियाँ गिनना: 9 महीने हों और संयोजन त्रैमासिक, तो 3 अवधियाँ होंगी। 18 महीने हों और संयोजन अर्धवार्षिक, तब भी 3 अवधियाँ। 2 वर्ष हों और संयोजन हर 4 महीने पर, तो R/3 की दर से 6 अवधियाँ।

संयोजन हर k महीने पर हो, तो एक अवधि की दर = R × $\frac{k}{12}$ होगी। जैसे 18% वार्षिक दर पर संयोजन हर 8 महीने पर हो, तो एक अवधि की दर 12% है, और 16 महीने में ऐसी 2 अवधियाँ होंगी।

दर पहले से एक अवधि की हो: प्रश्न में "4% प्रति छमाही" या "2% प्रति तिमाही" लिखा हो, तो यह पहले से एक अवधि की दर है। इसे दोबारा भाग नहीं देना है। भाग केवल वार्षिक दर को दिया जाता है।

दो आम चूकें: छात्र ये दो गलतियाँ बार-बार करते हैं।

• दर तो आधी कर दी, पर अवधियाँ वर्षों जितनी ही रखीं। 2 वर्ष, अर्धवार्षिक संयोजन और 10% वार्षिक दर हो, तो 5% दो बार लगा दिया, जबकि 5% चार बार लगना चाहिए था।
• अवधियाँ सही गिनीं, पर दर पूरी वार्षिक ही रखी। ऊपर वाले ₹3,04,000 पर 3 अवधियों तक 10% लगाने से ₹4,04,624 आता है, और च.ब्या. ₹1,00,624, जो बहुत अधिक है।

प्रभावी वार्षिक दर, और अर्धवार्षिक बनाम वार्षिक

ब्याज वर्ष में कई बार जुड़े, तो पूरे वर्ष का ब्याज एक सीधी वार्षिक दर में भी लिखा जा सकता है। इसे प्रभावी वार्षिक दर (effective annual rate) कहते हैं। यह वह वार्षिक दर है, जो एक वर्ष में उतना ही ब्याज दे, जितना बार-बार जुड़ने वाला ब्याज देता है।

$$\text{अर्धवार्षिक: } \left(1 + \frac{R}{200}\right)^2 - 1 = \left(R + \frac{R^2}{400}\right)\% \qquad \text{त्रैमासिक: } \left(1 + \frac{R}{400}\right)^4 - 1$$

जैसे 20% वार्षिक दर पर अर्धवार्षिक संयोजन से उतना ही ब्याज मिलता है, जितना 21% वार्षिक दर पर वार्षिक संयोजन से।

एक बात और देखिए। R पर अर्धवार्षिक संयोजन का आँकड़ा वही होता है, जो R/2 पर 2 वर्ष का आँकड़ा। यह दूसरा आँकड़ा आप "वर्षवार ब्याज" वाली तालिका में देख चुके हैं। जैसे 8% अर्धवार्षिक और 4% पर 2 वर्ष, दोनों में 8.16% आता है।

दो प्रस्तावों की तुलना: प्रश्न आता है, "कौन-सा बेहतर है: 10% वार्षिक, अर्धवार्षिक रूप से संयोजित, या 10.2% वार्षिक, वार्षिक रूप से संयोजित?" 10% अर्धवार्षिक की प्रभावी दर 10 + $\frac{100}{400}$ = 10.25% है, जो 10.2% से हर वर्ष 0.05% अधिक है। ₹100 लेकर झटपट जाँच भी कर लीजिए। छह महीने बाद 105 होते हैं, और वर्ष के अंत में 110.25।

एक वर्ष बाद का अंतर: अर्धवार्षिक संयोजन में पहली छमाही के ब्याज पर दूसरी छमाही में भी ब्याज लगता है। इसलिए एक वर्ष में अर्धवार्षिक संयोजन से वार्षिक संयोजन के मुकाबले ठीक इतना ही ब्याज अधिक मिलता है।

$$\text{1 वर्ष में अंतर} = P \times \left(\frac{R}{200}\right)^2$$

• ₹75,000 पर 12% वार्षिक दर हो, तो वार्षिक च.ब्या. ₹9,000 है, और अर्धवार्षिक च.ब्या. 75,000 × 0.1236 = ₹9,270। अंतर = 75,000 × $0.06^2$ = ₹270।
• उलटा प्रश्न भी आता है, "10% वार्षिक दर पर, 1 वर्ष में अर्धवार्षिक संयोजन से वार्षिक संयोजन की तुलना में ₹225 अधिक ब्याज मिलता है। राशि ज्ञात कीजिए।" यहाँ 225 = P × $0.05^2$, तो P = 225 × 400 = ₹90,000।

[Tier 2] 2 वर्ष का अंतर: 2 वर्ष के लिए ऐसा कोई छोटा, एक पंक्ति का सूत्र नहीं है, इसलिए दोनों मिश्रधन अलग-अलग निकालिए। जैसे ₹80,000 पर 20% वार्षिक दर हो। वार्षिक संयोजन पर 80,000 × 1.44 = ₹1,15,200। अर्धवार्षिक में 4 अवधियों तक 10% लगेगा, तो 80,000 × $1.1^4$ = 80,000 × 1.4641 = ₹1,17,128। अंतर ₹1,928 है।

अलग-अलग दरें, मूल्यह्रास और वर्ष का भाग

हर वर्ष अलग दर: हर वर्ष की दर अलग हो, तो हर वर्ष उसी वर्ष की दर वाले गुणक से गुणा कीजिए।

$$A = P\left(1 + \frac{R_1}{100}\right)\left(1 + \frac{R_2}{100}\right)\left(1 + \frac{R_3}{100}\right)$$

जैसे ₹87,500 पर पहले वर्ष 4%, दूसरे वर्ष 10% और तीसरे वर्ष 12% की दर है। तो A = 87,500 × $\frac{26}{25} \times \frac{11}{10} \times \frac{28}{25}$ = ₹1,12,112, और च.ब्या. ₹24,612। एक-एक वर्ष देखें, तो राशि ₹91,000, फिर ₹1,00,100 और फिर ₹1,12,112 होती है। दरें किसी भी क्रम में लगें, उत्तर नहीं बदलता।

दो वर्षों की दरों को मिलाकर एक तुल्य दर भी लिख सकते हैं, $R_1 + R_2 + \frac{R_1 R_2}{100}$। यह वही क्रमिक प्रतिशत वृद्धि (successive percentage increase) वाला नियम है, जो अध्याय 3 "प्रतिशत" में पढ़ा था। 4% के बाद 10% हो, तो 14.4% आता है।

कोई एक दर न दी हो, तो उसे भी इसी तरह निकाल सकते हैं। प्रश्न है, "₹38,000 पर पहले वर्ष 10% ब्याज मिलता है, और 2 वर्ष बाद मिश्रधन ₹48,488 हो जाता है। दूसरे वर्ष की दर ज्ञात कीजिए।" एक वर्ष बाद राशि ₹41,800 हुई। अब 48,488 ÷ 41,800 = 1.16, तो दूसरे वर्ष की दर 16% है।

मूल्यह्रास: किसी मशीन या कार का मूल्य हर वर्ष R% घटता रहे, तो इसे मूल्यह्रास (depreciation) कहते हैं। यह उलटी दिशा में चलने वाला चक्रवृद्धि ब्याज ही है।

$$\text{मूल्य, } n \text{ वर्ष बाद} = P\left(1 - \frac{R}{100}\right)^n$$

जैसे एक मशीन ₹5,00,000 में ली गई और उसका मूल्य हर वर्ष 20% घटता है। 2 वर्ष बाद उसका मूल्य 5,00,000 × $\frac{16}{25}$ = ₹3,20,000 होगा। केवल दूसरे वर्ष में मूल्य ₹4,00,000 का 20% = ₹80,000 घटा। साधारण मूल्यह्रास मानकर सीधे 40% घटा दें, तो ₹3,00,000 आता है, जो गलत है।

पीछे जाना हो, तो भाग दीजिए। 20% मूल्यह्रास पर 2 वर्ष बाद मूल्य ₹3,20,000 है, तो शुरुआती मूल्य = 3,20,000 ÷ 0.64 = ₹5,00,000। वृद्धि वाले प्रश्न भी ऐसे ही होते हैं, बस − की जगह + लगता है।

वर्ष का कोई भाग: ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित हो, तो वह केवल पूरे वर्ष के अंत में जुड़ता है। बचे हुए भाग के लिए तब तक के मिश्रधन पर साधारण ब्याज लगता है।

$$A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \times \left(1 + \frac{f \times R}{100}\right)$$

यहाँ f वर्ष की भिन्न है।

• ₹54,000 पर 10% की दर से $2\frac{1}{2}$ वर्ष। पहले 54,000 × 1.21 = ₹65,340। 10% वार्षिक दर पर आधा वर्ष यानी 5%, तो A = 65,340 × 1.05 = ₹68,607, और च.ब्या. ₹14,607।
• ₹1,80,000 पर 15% की दर से 2 वर्ष 4 महीने। पहले 1,80,000 × $\frac{529}{400}$ = ₹2,38,050। चार महीने यानी $\frac{1}{3}$ वर्ष, तो 5% और लगेगा। A = ₹2,49,952.50, और च.ब्या. ₹69,952.50।

यहाँ दो गलतियाँ होती हैं। कोई आधे वर्ष का साधारण ब्याज शुरू वाले ₹54,000 पर लगा देता है, तो च.ब्या. ₹14,040 आता है। कोई पूरा तीसरा वर्ष गिन लेता है, तो च.ब्या. ₹17,874 आता है।

अगर प्रश्न में अर्धवार्षिक संयोजन लिखा हो, तो $2\frac{1}{2}$ वर्ष में सीधे 5% की 5 अवधियाँ होंगी। तब मिश्रधन लगभग ₹68,919.20 आता है।

दर ज्ञात करना

मूलधन और मिश्रधन से: A को P से भाग दीजिए और पहचानिए कि यह किस भिन्न की घात है।

$$\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n = \frac{A}{P}$$

जैसे "चक्रवृद्धि ब्याज पर ₹4,800 की राशि 2 वर्ष में ₹6,348 हो जाती है।" यहाँ $\frac{6348}{4800} = \frac{529}{400} = \left(\frac{23}{20}\right)^2$। तो वार्षिक गुणक $\frac{23}{20}$ है, और R = 15%।

कभी अनुपात सीधे दिया होता है, जैसे "कोई राशि 3 वर्ष में स्वयं की $\frac{125}{64}$ गुनी हो जाती है।" यह $\left(\frac{5}{4}\right)^3$ है, तो दर 25% है।

2 वर्ष के च.ब्या. से: पहले ब्याज को P में जोड़कर मिश्रधन निकाल लीजिए। प्रश्न है, "₹58,000 पर 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹12,180 है।" तो A = ₹70,180, और $\frac{70180}{58000} = \frac{121}{100}$। मतलब R = 10%।

प्रतिशत से भी देख सकते हैं। 12,180 = 58,000 का 21% है, तो $2R + \frac{R^2}{100} = 21$, जिससे R = 10 आता है। यहाँ कुछ लोग 21% को आधा करके 10.5% लिख देते हैं। यह साधारण ब्याज वाली सोच है, यहाँ नहीं चलती।

3 वर्ष के च.ब्या. से: प्रश्न है, "₹15,625 पर 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹1,951 है।" A = ₹17,576 हुआ। अब 17,576 = $26^3$ और 15,625 = $25^3$, तो गुणक $\frac{26}{25}$ है और R = 4%।

अर्धवार्षिक या त्रैमासिक: पहले एक अवधि की दर निकालिए, फिर उसे वार्षिक दर में बदलिए। जैसे "अर्धवार्षिक संयोजन पर ₹72,000 की राशि 1 वर्ष में ₹79,380 हो जाती है।" यहाँ $\frac{79380}{72000} = \frac{441}{400} = \left(\frac{21}{20}\right)^2$। घात 2 है, यानी 2 छमाहियाँ, तो हर छमाही 5%। वार्षिक दर 10% हुई। उत्तर में 5% लिख देना यहाँ की आम गलती है।

जब संख्याएँ साफ़ न हों: तब विकल्पों की मदद लीजिए। हर विकल्प की दर का 2 या 3 वर्ष वाला प्रतिशत "वर्षवार ब्याज" वाली तालिका से लीजिए, और उसे च.ब्या. ÷ P से मिलाइए। जैसे 2 वर्ष का ब्याज P का 25.44% हो, तो दर 12% है, क्योंकि 2 × 12 + $\frac{144}{100}$ = 25.44। इसमें कुछ सेकंड ही लगते हैं, और वर्गमूल निकालने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती।

[SSC टिप] चक्रवृद्धि ब्याज वाले प्रश्न से जो दर निकलती है, वह साधारण ब्याज के ढंग से निकाले उत्तर (च.ब्या. ÷ P ÷ n) से हमेशा थोड़ी कम होती है। वजह यह है कि चक्रवृद्धि ब्याज का कुछ हिस्सा ब्याज पर ब्याज होता है। आपका उत्तर साधारण ब्याज वाले आँकड़े से बड़ा आए, तो कहीं गलती हुई है।

दो मिश्रधन या दो ब्याज दिए हों

लगातार दो वर्षों के मिश्रधन: n वर्ष बाद के मिश्रधन में उसी पर एक वर्ष का ब्याज जोड़ दें, तो n + 1 वर्ष बाद का मिश्रधन मिल जाता है। इसलिए दोनों मिश्रधनों का अंतर, पहले आने वाले मिश्रधन पर एक वर्ष का ब्याज होता है।

$$R = \frac{A_{n+1} - A_n}{A_n} \times 100$$

जैसे "चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 2 वर्ष में ₹41,454 और 3 वर्ष में ₹43,526.70 हो जाती है।" अंतर ₹2,072.70 है। 2,072.70 ÷ 41,454 = 0.05, तो R = 5%। अब P = 41,454 × $\frac{400}{441}$ = ₹37,600।

यहाँ दो जाल हैं। पहला, ₹2,072.70 को बाद वाले मिश्रधन से भाग दे देना, जिससे लगभग 4.76% आता है। दूसरा, साधारण ब्याज की तरह पीछे जाना और 41,454 − 2 × 2,072.70 = ₹37,308.60 लिख देना।

n और m वर्ष बाद के मिश्रधन: दोनों मिश्रधनों का अनुपात गुणक की घात होता है, और घात उतनी ही होती है जितने वर्षों का अंतर हो।

$$\frac{A_m}{A_n} = \left(1 + \frac{R}{100}\right)^{m - n}$$

जैसे "कोई राशि 2 वर्ष में ₹28,800 और 4 वर्ष में ₹41,472 हो जाती है।" यहाँ $\frac{41472}{28800}$ = 1.44 = $1.2^2$, तो R = 20%। अब P = 28,800 ÷ 1.44 = ₹20,000। वर्षों का अंतर 3 हो, तो घन ढूँढिए।

लगातार दो वर्षों के ब्याज: यहाँ वही नियम लगता है कि हर वर्ष का ब्याज पिछले वर्ष से R% अधिक होता है। प्रश्न है, "चक्रवृद्धि ब्याज पर दूसरे वर्ष का ब्याज ₹1,890 और तीसरे वर्ष का ₹2,268 है।" ब्याज ₹378 बढ़ा, और यह बढ़त ₹1,890 का 20% है। पहले वर्ष का ब्याज = 1,890 ÷ 1.2 = ₹1,575, जो P का 20% है। तो P = ₹7,875।

[Tier 2] 1 वर्ष और 2 वर्ष का च.ब्या.: प्रश्न आता है, "किसी राशि पर 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹750 और 2 वर्ष का ₹1,560 है।" केवल दूसरे वर्ष का ब्याज = 1,560 − 750 = ₹810, जो पहले वर्ष के ब्याज से ₹60 अधिक है। तो R = $\frac{60}{750} \times 100$ = 8%, और P = 750 ÷ 0.08 = ₹9,375।

इन सब प्रश्नों में एक बात याद रखिए। भाग हमेशा पहले आने वाले आँकड़े से दीजिए, चाहे वह मिश्रधन हो या किसी वर्ष का ब्याज। बाद वाले से भाग देंगे, तो दर थोड़ी कम आएगी।

समय ज्ञात करना: दोगुनी, तिगुनी राशि और घातें

P और A से समय: A ÷ P निकालिए और देखिए कि उसमें गुणक कितनी बार गुणा हुआ है। जैसे "12.5% चक्रवृद्धि ब्याज पर ₹33,280 की राशि कितने वर्षों में ₹47,385 हो जाएगी?" यहाँ $\frac{47385}{33280} = \frac{729}{512} = \left(\frac{9}{8}\right)^3$, तो उत्तर 3 वर्ष है।

संयोजन अर्धवार्षिक या त्रैमासिक हो, तो यह गिनती अवधियों में आती है। उसे वापस वर्षों में बदलना न भूलिए। 3 छमाहियाँ यानी $1\frac{1}{2}$ वर्ष, 3 वर्ष नहीं।

अनुपात किसी साफ़ घात में न आए, तो वर्ष-दर-वर्ष चलिए। प्रश्न है, "20% चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि कितने पूरे वर्षों में पहली बार दोगुनी से अधिक हो जाएगी?" गुणक 1.2, 1.44, 1.728, 2.0736 होते जाते हैं, तो उत्तर 4 वर्ष है।

घातों का नियम: कोई राशि t वर्ष में स्वयं की x गुनी हो जाए, तो kt वर्ष में स्वयं की $x^k$ गुनी होगी। वजह यह है कि हर t वर्ष में राशि फिर से x गुनी हो जाती है।

• 4 वर्ष में दोगुनी हो, तो 8 वर्ष में 4 गुनी, 12 वर्ष में 8 गुनी और 16 वर्ष में 16 गुनी होगी।
• 7 वर्ष में 3 गुनी हो, तो 14 वर्ष में 9 गुनी और 21 वर्ष में 27 गुनी होगी।
• उलटी दिशा में भी यही चलता है। 12 वर्ष में 64 गुनी हो, तो 64 = $4^3$ से 4 वर्ष में 4 गुनी, और 64 = $2^6$ से 2 वर्ष में दोगुनी।

एक गुणज से दूसरे तक: दोनों गुणजों को एक ही आधार की घात में लिखिए। जैसे "कोई राशि 8 वर्ष में स्वयं की 25 गुनी हो जाती है। वह कब 125 गुनी होगी?" 25 = $5^2$, यानी हर 4 वर्ष में राशि 5 गुनी होती है। 125 = $5^3$ है, तो 12 वर्ष लगेंगे।

साधारण ब्याज से तुलना: साधारण ब्याज में ब्याज सीधी रेखा में बढ़ता है। राशि 4 वर्ष में दोगुनी हो (100% ब्याज), तो 4 गुनी होने में 12 वर्ष लगेंगे (300% ब्याज)। चक्रवृद्धि ब्याज में गुणज घातों में बढ़ते हैं, इसलिए 4 गुनी होने में केवल 8 वर्ष लगते हैं। SSC दोनों उत्तर विकल्पों में रखता है, तो पहले पक्का कर लीजिए कि प्रश्न किस ब्याज का है।

दोगुनी होने की मोटी जाँच: चक्रवृद्धि ब्याज पर राशि लगभग 72 ÷ R वर्ष में दोगुनी होती है। 12% पर यह लगभग 6 वर्ष है, और सच में $1.12^6$ लगभग 1.97 है। यह जाँच केवल बहुत दूर वाले विकल्प हटाने के लिए है। पास-पास वाले विकल्पों में से चुनना हो, तो इस पर कभी भरोसा न कीजिए।

[SSC टिप] समय घात के अनुपात में होता है, गुणज के अनुपात में नहीं। 2 गुनी से 8 गुनी तक जाना $2^1$ से $2^3$ तक जाना है, तो समय तीन गुना लगेगा, चार गुना नहीं।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

₹43,000 पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा, यदि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है? (a) ₹12,900 (b) ₹14,233 (c) ₹57,233 (d) ₹9,030

उत्तर: हर वर्ष राशि को 1.1 से गुणा करते चलते हैं। पहले वर्ष के बाद ₹47,300, दूसरे वर्ष के बाद ₹52,030 और तीसरे वर्ष के बाद ₹57,233 होते हैं। यह मिश्रधन है, तो च.ब्या. = 57,233 − 43,000 = (b) ₹14,233। इससे भी तेज़ तरीका है। 10% पर 3 वर्ष का ब्याज राशि का 33.1% होता है, और 43,000 का 33.1% = 14,233।

प्रश्न 2

₹44,800 पर 12.5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का मिश्रधन ज्ञात कीजिए। (a) ₹56,000 (b) ₹11,900 (c) ₹56,197.12 (d) ₹56,700

उत्तर: 12.5% मतलब $\frac{1}{8}$, तो हर वर्ष रकम स्वयं की $\frac{9}{8}$ गुनी हो जाती है। 2 वर्ष के लिए 44,800 × $\frac{81}{64}$ करना है। 44,800 ÷ 64 = 700, और 700 × 81 = 56,700। तो मिश्रधन (d) ₹56,700 है।

प्रश्न 3

₹1,04,000 पर 5% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा, जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है? (a) ₹15,600 (b) ₹1,20,393 (c) ₹10,660 (d) ₹16,393

उत्तर: 5% का गुणक $\frac{21}{20}$ है, तो 3 वर्ष का गुणक $\frac{9261}{8000}$ होगा। 1,04,000 ÷ 8,000 = 13, और 13 × 9,261 = ₹1,20,393। पर यह मिश्रधन है। च.ब्या. = 1,20,393 − 1,04,000 = (d) ₹16,393।

प्रश्न 4

₹32,500 पर 20% वार्षिक दर से केवल तीसरे वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना है? (a) ₹6,500 (b) ₹7,800 (c) ₹9,360 (d) ₹23,660

उत्तर: हर वर्ष का ब्याज पिछले वर्ष से 20% अधिक होता है। पहले वर्ष का ब्याज 32,500 का 20% = ₹6,500 है। दूसरे वर्ष का 6,500 × 1.2 = ₹7,800, और तीसरे वर्ष का 7,800 × 1.2 = (c) ₹9,360। विकल्पों में ₹23,660 भी है, पर वह पूरे 3 वर्षों का कुल ब्याज है, केवल तीसरे वर्ष का नहीं।

प्रश्न 5

किसी राशि पर 8% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹3,952 है। वह राशि कितनी है? (a) ₹24,700 (b) ₹22,000 (c) ₹23,750 (d) ₹49,400

उत्तर: 8% पर 2 वर्ष का गुणक $\frac{729}{625}$ है, तो P : च.ब्या. = 625 : 104। अब 104 भाग = ₹3,952, यानी एक भाग ₹38 का है। P = 625 × 38 = (c) ₹23,750। जाँच भी कर लेते हैं। 8% पर 2 वर्ष का ब्याज 16.64% होता है, और 23,750 का 16.64% = 3,952 आता है। जल्दबाज़ी में कोई इसे साधारण ब्याज मानकर 3,952 ÷ 16% कर दे, तो ₹24,700 आएगा। विकल्प (a) में यही गलत उत्तर रखा गया है।

प्रश्न 6

कोई राशि 12.5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 3 वर्ष में ₹21,870 हो जाती है। वह राशि कितनी है? (a) ₹15,360 (b) ₹15,905.45 (c) ₹17,280 (d) ₹6,510

उत्तर: 12.5% पर 3 वर्ष में राशि × $\frac{729}{512}$ होती है। हमें पीछे जाना है, तो × $\frac{512}{729}$ करेंगे। 21,870 ÷ 729 = 30, और 30 × 512 = (a) ₹15,360।

प्रश्न 7

यदि ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो ₹70,000 पर 20% वार्षिक दर से $1\frac{1}{2}$ वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए। (a) ₹21,000 (b) ₹22,400 (c) ₹23,170 (d) ₹50,960

उत्तर: ब्याज अर्धवार्षिक रूप से जुड़ता है, तो दर आधी होगी और अवधियाँ दोगुनी। यानी हर छमाही 10%, और कुल 3 छमाहियाँ। 70,000 × $\left(\frac{11}{10}\right)^3$ = 70,000 × 1.331 = ₹93,170। तो च.ब्या. (c) ₹23,170 है। कई लोग दर आधी करना भूल जाते हैं और ₹50,960 चुन लेते हैं।

प्रश्न 8

यदि ब्याज त्रैमासिक रूप से संयोजित होता है, तो ₹93,750 पर 16% वार्षिक दर से 9 महीने का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा? (a) ₹11,250 (b) ₹11,706 (c) ₹1,05,456 (d) ₹24,348

उत्तर: त्रैमासिक संयोजन में दर का चौथाई लगता है, 16 ÷ 4 = 4% प्रति तिमाही। 9 महीने में 3 तिमाहियाँ हैं। A = 93,750 × $\left(\frac{26}{25}\right)^3$ = 93,750 × $\frac{17576}{15625}$ = 6 × 17,576 = ₹1,05,456। तो च.ब्या. (b) ₹11,706 है।

प्रश्न 9

बैंक A 16% वार्षिक दर से ब्याज देता है, जो अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, और बैंक B 16.5% वार्षिक दर से ब्याज देता है, जो वार्षिक रूप से संयोजित होता है। 1 वर्ष के लिए ₹50,000 की जमा राशि पर कौन-सा बैंक अधिक ब्याज देता है, और कितना अधिक? (a) बैंक A, ₹70 अधिक (b) बैंक B, ₹250 अधिक (c) बैंक B, ₹70 अधिक (d) दोनों बराबर ब्याज देते हैं

उत्तर: बैंक A में हर छमाही 8% लगता है। 50,000 × $1.08^2$ = 50,000 × 1.1664, तो ब्याज ₹8,320 है। बैंक B में ब्याज 50,000 का 16.5% = ₹8,250 है। तो उत्तर (a) बैंक A, ₹70 अधिक है। दरों से भी देख सकते हैं, 16% अर्धवार्षिक की प्रभावी दर 16.64% है, जो 16.5% से अधिक है। बैंक A की दर सीधे 16% मान लें, तो उसका ब्याज ₹8,000 आता है, और गलती से "बैंक B, ₹250 अधिक" चुन लिया जाता है।

प्रश्न 10

[Tier 2] ₹1,12,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज में, ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होने और वार्षिक रूप से संयोजित होने की स्थिति में, कितना अंतर है? (a) ₹280 (b) ₹560 (c) ₹616.70 (d) ₹24,136.70

उत्तर: वार्षिक संयोजन में 10% पर 2 वर्ष का ब्याज 21% होता है, तो च.ब्या. ₹23,520 है। अर्धवार्षिक में 4 छमाहियों तक 5% लगेगा। $1.05^4$ = 1.21550625, तो च.ब्या. = 1,12,000 × 0.21550625 = ₹24,136.70। अंतर (c) ₹616.70 है।

प्रश्न 11

₹18,000 की राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश की जाती है, जिस पर पहले वर्ष 5%, दूसरे वर्ष 10% और तीसरे वर्ष 20% की दर से ब्याज मिलता है। 3 वर्ष के अंत में चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा? (a) ₹6,300 (b) ₹6,948 (c) ₹24,948 (d) ₹2,790

उत्तर: हर वर्ष उसी वर्ष की दर वाले गुणक से गुणा करते हैं। 18,000 × 1.05 = 18,900, फिर 18,900 × 1.1 = 20,790, और 20,790 × 1.2 = 24,948। च.ब्या. = 24,948 − 18,000 = (b) ₹6,948।

प्रश्न 12

₹1,44,000 पर 15% वार्षिक दर से $2\frac{1}{2}$ वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा, जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है? (a) ₹54,000 (b) ₹57,240 (c) ₹60,723 (d) ₹75,006

उत्तर: पहले 2 पूरे वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज लगाते हैं। 1,44,000 × $\frac{529}{400}$ = ₹1,90,440। आख़िरी आधे वर्ष की दर 15 ÷ 2 = 7.5% है, और यह ₹1,90,440 पर लगेगी। 1,90,440 × 1.075 = ₹2,04,723, तो च.ब्या. (c) ₹60,723 है। कुछ लोग आधे वर्ष का 7.5% ₹1,90,440 पर न लगाकर शुरू वाले ₹1,44,000 पर लगा देते हैं। इससे ₹57,240 आता है, जो गलत है।

प्रश्न 13

एक मशीन ₹2,50,000 में खरीदी गई। उसका मूल्य हर वर्ष 20% घट जाता है। 3 वर्ष बाद उसका मूल्य कितना होगा? (a) ₹1,00,000 (b) ₹1,28,000 (c) ₹1,60,000 (d) ₹1,02,400

उत्तर: हर वर्ष मूल्य पिछले मूल्य का $\frac{4}{5}$ रह जाता है। 1 वर्ष बाद ₹2,00,000, 2 वर्ष बाद ₹1,60,000 और 3 वर्ष बाद ₹1,28,000। उत्तर (b) ₹1,28,000 है।

प्रश्न 14

एक कार का मूल्य हर वर्ष 15% घट जाता है। उसका वर्तमान मूल्य ₹4,33,500 है। 2 वर्ष पहले उसका मूल्य कितना था? (a) ₹5,73,303.75 (b) ₹6,19,285.71 (c) ₹5,10,000 (d) ₹6,00,000

उत्तर: दो वर्ष तक 15% मूल्यह्रास हुआ, तो आज का मूल्य पुराने मूल्य का $0.85^2$ = 0.7225 गुना है। पीछे जाने के लिए भाग देंगे। 4,33,500 ÷ 0.7225 = (d) ₹6,00,000। जाँच कर लेते हैं, 6,00,000 × 0.85 = 5,10,000, और 5,10,000 × 0.85 = 4,33,500। कुछ लोग आज के मूल्य में दो बार 15% जोड़कर ₹5,73,303.75 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि 15% पहले वाले बड़े मूल्यों पर लगा था।

प्रश्न 15

₹7,500 की राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में ₹10,800 हो जाती है, जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है। ब्याज की वार्षिक दर कितनी है? (a) 22% (b) 20% (c) 44% (d) 18%

उत्तर: A ÷ P = $\frac{10800}{7500} = \frac{36}{25} = \left(\frac{6}{5}\right)^2$। मतलब हर वर्ष रकम $\frac{6}{5}$ गुनी हुई, तो दर (b) 20% है।

प्रश्न 16

ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होने पर ₹27,000 पर 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹8,937 है। ब्याज की वार्षिक दर कितनी है? (a) 10% (b) 11% (c) 33.1% (d) 12%

उत्तर: पहले मिश्रधन निकाल लेते हैं, 27,000 + 8,937 = ₹35,937। अब A ÷ P = $\frac{35937}{27000}$। यहाँ 35,937 = $33^3$ और 27,000 = $30^3$ है। तो गुणक $\frac{33}{30} = \frac{11}{10}$ है, और दर (a) 10%।

प्रश्न 17

₹88,000 की राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर $1\frac{1}{2}$ वर्ष में ₹1,01,871 हो जाती है, जबकि ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है। ब्याज की वार्षिक दर कितनी है? (a) 5% (b) 15% (c) 7.5% (d) 10%

उत्तर: $\frac{101871}{88000} = \frac{9261}{8000} = \left(\frac{21}{20}\right)^3$, क्योंकि दोनों संख्याएँ 11 से कट जाती हैं। घात 3 है, और यही छमाहियों की संख्या है। तो हर छमाही 5% ब्याज लगा। वार्षिक दर इसकी दोगुनी है, यानी (d) 10%।

प्रश्न 18

चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 2 वर्ष में ₹10,285 और 3 वर्ष में ₹11,313.50 हो जाती है। वह राशि कितनी है? (a) ₹8,500 (b) ₹8,228 (c) ₹9,350 (d) ₹8,000

उत्तर: दोनों मिश्रधनों में एक वर्ष का फ़र्क है। तो जो ₹1,028.50 अधिक हैं, वे ₹10,285 पर एक वर्ष का ब्याज हैं। 1,028.50 ÷ 10,285 = 0.1, यानी दर 10%। अब 2 वर्ष पीछे जाना है, तो 10,285 ÷ 1.21 = (a) ₹8,500।

प्रश्न 19

चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 2 वर्ष में ₹12,000 और 4 वर्ष में ₹18,750 हो जाती है। वह राशि कितनी है? (a) ₹5,250 (b) ₹9,600 (c) ₹8,000 (d) ₹7,680

उत्तर: 2 वर्ष बाद से 4 वर्ष बाद तक बीच में 2 वर्ष हैं। $\frac{18750}{12000} = \frac{25}{16} = \left(\frac{5}{4}\right)^2$, तो वार्षिक गुणक $\frac{5}{4}$ है, यानी दर 25%। अब ₹12,000 से 2 वर्ष पीछे जाते हैं। 12,000 × $\frac{16}{25}$ = (d) ₹7,680।

प्रश्न 20

किसी राशि पर दूसरे वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹3,480 और तीसरे वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹4,176 है। वह राशि कितनी है? (a) ₹14,500 (b) ₹17,400 (c) ₹20,880 (d) ₹15,000

उत्तर: तीसरे वर्ष का ब्याज दूसरे वर्ष से ₹696 अधिक है, और 696 ठीक 3,480 का 20% है। तो दर 20% हुई। पहले वर्ष का ब्याज = 3,480 ÷ 1.2 = ₹2,900, और यह राशि का 20% है। तो राशि = 2,900 × 5 = (a) ₹14,500।

प्रश्न 21

[Tier 2] किसी राशि पर 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹2,700 है, और 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹5,724 है। वह राशि कितनी है? (a) ₹23,850 (b) ₹25,200 (c) ₹47,700 (d) ₹22,500

उत्तर: केवल दूसरे वर्ष का ब्याज = 5,724 − 2,700 = ₹3,024 है। यह पहले वर्ष से ₹324 अधिक है। यह अतिरिक्त रकम पहले वर्ष के ब्याज पर लगा ब्याज है। 324 ÷ 2,700 = 0.12, यानी दर 12% है। पहले वर्ष का ₹2,700 राशि का 12% है, तो राशि = 2,700 ÷ 0.12 = (d) ₹22,500।

प्रश्न 22

ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होने पर, 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से ₹1,52,000 की राशि कितने समय में ₹1,75,959 हो जाएगी? (a) 3 वर्ष (b) $1\frac{1}{2}$ वर्ष (c) 2 वर्ष (d) 1 वर्ष

उत्तर: 10% वार्षिक दर अर्धवार्षिक संयोजन पर 5% प्रति छमाही हो जाती है, और गुणक $\frac{21}{20}$। अब $\frac{175959}{152000} = \frac{9261}{8000} = \left(\frac{21}{20}\right)^3$, क्योंकि दोनों संख्याएँ 19 से कट जाती हैं। यानी 3 छमाहियाँ लगीं, तो उत्तर (b) $1\frac{1}{2}$ वर्ष है। "3 वर्ष" वाला विकल्प गलत है, क्योंकि 3 तो छमाहियों की गिनती है, वर्षों की नहीं।

प्रश्न 23

चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 9 वर्ष में स्वयं की 3 गुनी हो जाती है। वह कितने वर्षों में स्वयं की 81 गुनी हो जाएगी? (a) 36 वर्ष (b) 243 वर्ष (c) 360 वर्ष (d) 27 वर्ष

उत्तर: 81 = $3^4$, यानी राशि को 4 बार तिगुना होना है। हर बार तिगुना होने में 9 वर्ष लगते हैं, तो 4 × 9 = (a) 36 वर्ष। 360 वर्ष साधारण ब्याज वाले ढंग से आता है। वहाँ 9 वर्ष में राशि का 2 गुना ब्याज मिलता है, तो 80 गुना ब्याज में 360 वर्ष लगेंगे।

प्रश्न 24

चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 14 वर्ष में स्वयं की 4 गुनी हो जाती है। वह कितने वर्षों में स्वयं की 32 गुनी हो जाएगी? (a) 112 वर्ष (b) $144\frac{2}{3}$ वर्ष (c) 35 वर्ष (d) 70 वर्ष

उत्तर: 4 = $2^2$, यानी 14 वर्ष में राशि दो बार दोगुनी हुई। तो हर 7 वर्ष में एक बार दोगुनी होती है। 32 = $2^5$ है, यानी राशि को 5 बार दोगुना होना है। समय = 5 × 7 = (c) 35 वर्ष।