साधारण ब्याज: P, R और T

  • साधारण ब्याज (simple interest, SI) का सूत्र सा.ब्या.=P×R×T100\text{सा.ब्या.} = \frac{P \times R \times T}{100} है, और मिश्रधन (amount) = P + सा.ब्या. होता है। P, R और T में से कोई एक पूछा जाए, तो सूत्र को उलटकर उसे निकाल लीजिए, जैसे R=100×सा.ब्या.P×TR = \frac{100 \times \text{सा.ब्या.}}{P \times T}। P और T भी इसी तरह निकलते हैं।
  • उदाहरण के लिए, ₹4,800 पर 6.25% वार्षिक दर से हर वर्ष ₹300 ब्याज लगता है, तो 3 वर्ष का साधारण ब्याज ₹900 होगा।
  • समय महीनों में हो तो 12 से भाग दीजिए, और दिनों में हो तो 365 से। दिन गिनते समय आख़िरी दिन गिनिए, पहला दिन नहीं।
  • प्रति माह दर को 12 से गुणा कीजिए, वार्षिक दर आ जाएगी।
  • ब्याज राशि का 1n\frac{1}{n} हो, तो R×T=100nR \times T = \frac{100}{n} होता है।

दो समयों के मिश्रधन और n गुनी राशि

  • दो अलग समयों के मिश्रधन दिए हों, तो उनके अंतर को दोनों समयों के बीच के वर्षों से भाग दीजिए, एक वर्ष का ब्याज मिल जाएगा। फिर पहले वाले मिश्रधन में से उतने वर्षों का ब्याज घटा दीजिए, राशि आ जाएगी।
  • मान लीजिए कोई राशि 3 वर्ष बाद ₹6,840 और 5 वर्ष बाद ₹7,560 हो जाती है। तो ब्याज ₹360 प्रति वर्ष, राशि ₹5,760 और दर 6.25% है।
  • कोई राशि T वर्ष में स्वयं की n गुनी हो जाए, तो ब्याज राशि का (n − 1) गुना होता है। इसलिए दर R=100(n−1)TR = \frac{100(n - 1)}{T} होगी।
  • वही राशि T×m−1n−1T \times \frac{m - 1}{n - 1} वर्ष में m गुनी होगी। जैसे 8 वर्ष में दोगुनी होने वाली राशि 24 वर्ष में 4 गुनी होगी।
  • ध्यान रखिए, अनुपात ब्याज पर लगाइए, मिश्रधन पर नहीं।

बदलती दरें और राशि का बँटवारा

  • दर बीच में बदलती हो, तो हर हिस्से के लिए दर × वर्ष निकालिए और सबको जोड़ दीजिए। पहले 2 वर्ष 5% और फिर 3 वर्ष 8% दर हो, तो पूरे समय का ब्याज राशि का 10 + 24 = 34% होगा।
  • राशि को दो भागों में बाँटकर दो दरों पर उधार दिया गया हो और कुल ब्याज पता हो, तो पहले मान लीजिए कि पूरी राशि कम दर पर है। असल ब्याज इससे जितना ज़्यादा है, उसे दोनों दरों के अंतर से भाग दीजिए। यही अधिक दर वाला भाग है।
  • दोनों भागों पर ब्याज बराबर हो, तो भाग 1R1T1:1R2T2\frac{1}{R_1 T_1} : \frac{1}{R_2 T_2} के अनुपात में होते हैं।
  • दोनों मिश्रधन बराबर हों, तो भागों का अनुपात 1100+R1T1:1100+R2T2\frac{1}{100 + R_1 T_1} : \frac{1}{100 + R_2 T_2} होता है।
  • कोई कम दर पर उधार लेकर वही रकम अधिक दर पर उधार दे दे, तो हर वर्ष उसका लाभ राशि × दोनों दरों का अंतर होता है।

अदायगी और साधारण ब्याज की किस्तें

  • बीच में आंशिक अदायगी हो, तो उस समय तक के मिश्रधन में से चुकाई गई रकम घटा दीजिए। यही नया मूलधन है, और आगे का ब्याज इसी पर लगेगा।
  • n वर्ष में देय ऋण A को हर वर्ष x की समान किस्त (instalment) देकर चुकाना है। हर किस्त देय तिथि तक साधारण ब्याज कमाती है, इसलिए x=100A100n+Rn(n−1)2x = \frac{100A}{100n + \frac{R n (n - 1)}{2}}।
  • 3 वर्ष में देय ₹6,615 का ऋण 5% पर हो, तो किस्त x=661500315x = \frac{661500}{315} = ₹2,100 होगी।
  • प्रश्न में देय रकम की जगह अभी लिया गया ऋण P दिया हो, तो पहले A=P(1+nR100)A = P\left(1 + \frac{nR}{100}\right) निकाल लीजिए।
  • ऋण को सीधे n से भाग देने की गलती न कीजिए। जल्दी दी गई किस्तें देय तिथि तक ब्याज भी कमाती हैं, और यह बात इसमें छूट जाती है।

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र और गुणक

  • चक्रवृद्धि ब्याज (compound interest, CI) में A=P(1+R100)nA = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n और च.ब्या. = A − P होता है। हर वर्ष का ब्याज उस वर्ष की शुरुआत वाले मिश्रधन पर लगता है।
  • हर दर का गुणक (multiplier) भिन्न में लिखिए। 5% का गुणक 2120\frac{21}{20} है, 6.25% का 1716\frac{17}{16}, 8% का 2725\frac{27}{25}, 10% का 1110\frac{11}{10}, 16% का 2925\frac{29}{25} और 20% का 65\frac{6}{5}।
  • जैसे ₹5,120 पर 6.25% की दर से 2 वर्ष का मिश्रधन 5120×2892565120 \times \frac{289}{256} = ₹5,780 है, तो चक्रवृद्धि ब्याज ₹660 हुआ।
  • राशि खुद माननी पड़े, तो ऐसी संख्या लीजिए जो गुणक के हर से पूरी-पूरी बँट जाए। तब सारा हिसाब पूरे रुपयों में चलता है।
  • एक वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज बराबर होते हैं।

दो और तीन वर्ष के लिए एक ही प्रतिशत

  • R% पर 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज राशि का 2R+R21002R + \frac{R^2}{100} प्रतिशत होता है। 10% पर यह 21%, 6% पर 12.36% और 30% पर 69% आता है।
  • R% पर 3 वर्ष के लिए यह 3R+3R2100+R3100003R + \frac{3R^2}{100} + \frac{R^3}{10000} प्रतिशत होता है। 10% पर 33.1% आता है, और 30% पर 90 + 27 + 2.7 = 119.7%।
  • मान लीजिए ₹9,000 पर 6% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज चाहिए। यह 9,000 का 12.36% = ₹1,112.40 होगा।
  • पहले वर्ष की दर a% और दूसरे वर्ष की b% हो, तो दो वर्ष का कुल ब्याज a+b+ab100a + b + \frac{ab}{100} प्रतिशत होता है।
  • अगर ब्याज दिया हो और राशि पूछी जाए, तो चक्रवृद्धि ब्याज को इसी कुल प्रतिशत से भाग दीजिए।

अर्धवार्षिक और त्रैमासिक संयोजन

  • ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित (compounded half-yearly) हो, तो दर आधी कर दीजिए और अवधियाँ दोगुनी। त्रैमासिक रूप से संयोजित (compounded quarterly) हो, तो दर एक-चौथाई और अवधियाँ चार गुनी।
  • जैसे ₹10,000 पर 12% दर से 1 वर्ष के लिए ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित हो, तो मिश्रधन 10000×1.06210000 \times 1.06^2 = ₹11,236 और चक्रवृद्धि ब्याज ₹1,236 होगा। वार्षिक रूप से संयोजित होने पर यही ₹1,200 होता।
  • 12% दर पर अर्धवार्षिक संयोजन हो, तो प्रभावी वार्षिक दर (effective rate) 12.36% होती है। 8% पर त्रैमासिक संयोजन में यह लगभग 8.24% होती है।
  • 9 महीने के लिए त्रैमासिक संयोजन में 3 अवधियाँ होती हैं। 1121\frac{1}{2} वर्ष के लिए अर्धवार्षिक संयोजन में भी 3 अवधियाँ ही होती हैं।
  • हर छमाही पर पूरी वार्षिक दर लगा देना गलत है।

हर वर्ष अलग दर और भिन्नात्मक वर्ष

  • हर वर्ष की दर अलग हो, तो गुणकों का गुणा कीजिए। जैसे पहले 8% और फिर 12.5% हो, तो 1.08 × 1.125 = 1.215, यानी 2 वर्ष में 21.5% ब्याज हुआ।
  • समय भिन्नात्मक वर्षों में हो, तो पूरे वर्षों तक चक्रवृद्धि ब्याज लगाइए। फिर बचे हुए समय के लिए आख़िरी मिश्रधन पर साधारण ब्याज निकालकर जोड़ दीजिए।
  • मान लीजिए ₹12,500 पर 8% की दर से 2 वर्ष 3 महीने का मिश्रधन चाहिए। पूरे वर्षों में 12,500 → 13,500 → 14,580 होता है। फिर 3 महीने के लिए 14,580 का 2% = ₹291.60 जुड़ता है, और मिश्रधन ₹14,871.60 हो जाता है।
  • भिन्न वाले हिस्से का ब्याज शुरू की राशि पर निकाल लेना आम गलती है।
  • वृद्धि और मूल्यह्रास (depreciation) के प्रश्नों में भी यही तरीका चलता है। मूल्यह्रास में बस दर ऋणात्मक ले लीजिए।

दो मिश्रधनों से दर

  • लगातार दो वर्षों के मिश्रधन दिए हों, तो दर = बाद वाला−पहले वालापहले वाला×100\frac{\text{बाद वाला} - \text{पहले वाला}}{\text{पहले वाला}} \times 100। जैसे ₹9,000 और ₹9,720 से दर 8% आती है।
  • n वर्ष बाद और m वर्ष बाद के मिश्रधन दिए हों, तो (1+R100)m−n=AmAn\left(1 + \frac{R}{100}\right)^{m - n} = \frac{A_m}{A_n} लिखिए।
  • फिर राशि निकालने के लिए पहले वाले मिश्रधन को गुणक से उतनी बार भाग दीजिए, जितने वर्ष पीछे जाना है।
  • चक्रवृद्धि ब्याज से दर निकालनी हो, तो (राशि + च.ब्या.) ÷ राशि देखिए, जो 2 वर्ष के लिए पूर्ण वर्ग और 3 वर्ष के लिए पूर्ण घन होता है। जैसे 1.1236 = 1.0621.06^2 है, तो दर 6% हुई।
  • कई लोग बाद वाले मिश्रधन से भाग दे देते हैं, इससे दर गलत आती है।

दोगुनी राशि और घातें

  • चक्रवृद्धि ब्याज में धन गुणा होकर बढ़ता है। राशि t वर्ष में k गुनी हो, तो 2t वर्ष में k2k^2 गुनी और 3t वर्ष में k3k^3 गुनी होगी।
  • जो राशि 9 वर्ष में तिगुनी होती है, वह 18 वर्ष में 9 गुनी और 27 वर्ष में 27 गुनी होगी।
  • 40 वर्ष में 16 गुनी होने वाली राशि 10 वर्ष में 2 गुनी होती है, तो 8 गुनी होने में उसे 30 वर्ष लगेंगे।
  • साधारण ब्याज में हर वर्ष बराबर ब्याज जुड़ता है, इसलिए वहाँ समय सीधे हिसाब से बढ़ता है। 9 वर्ष में दोगुनी होने वाली राशि 27 वर्ष में 4 गुनी होगी।
  • चक्रवृद्धि ब्याज वाले प्रश्न में साधारण ब्याज वाला नियम न लगाइए।

चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अंतर

  • 2 वर्ष के लिए च.ब्या. − सा.ब्या. = PR21002\frac{P R^2}{100^2} होता है। यह पहले वर्ष के ब्याज पर एक वर्ष का ब्याज ही है।
  • 3 वर्ष के लिए च.ब्या. − सा.ब्या. = PR2(300+R)1003\frac{P R^2 (300 + R)}{100^3} होता है।
  • ₹4,000 पर 15% की दर से 2 वर्ष का अंतर ₹90 आता है, और 3 वर्ष का 4000×225×3151000000\frac{4000 \times 225 \times 315}{1000000} = ₹283.50।
  • 2 वर्ष का अंतर दिया हो, तो राशि P=अंतर×(100R)2P = \text{अंतर} \times \left(\frac{100}{R}\right)^2 से निकलती है।
  • 3 वर्ष के अंतर और 2 वर्ष के अंतर का अनुपात 300+R100\frac{300 + R}{100} होता है।

एक ही राशि पर दोनों ब्याज

  • एक ही राशि पर 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज दिया हो, तो दर R=2(च.ब्या.−सा.ब्या.)सा.ब्या.×100R = \frac{2(\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या.})}{\text{सा.ब्या.}} \times 100 से निकालिए। फिर एक वर्ष के साधारण ब्याज को R% से भाग देने पर राशि निकल आती है।
  • मान लीजिए चक्रवृद्धि ब्याज ₹2,163.20 और साधारण ब्याज ₹2,080 है। तो एक वर्ष का साधारण ब्याज ₹1,040 हुआ। अंतर के ₹83.20 इसका 8% हैं, इसलिए R = 8% और राशि ₹13,000 है।
  • साधारण ब्याज से चक्रवृद्धि ब्याज निकालना हो, तो साधारण ब्याज में एक वर्ष के साधारण ब्याज का R% जोड़ दीजिए। जैसे 8% पर 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹960 है, तो च.ब्या. = 960 + 38.40 = ₹998.40।
  • ध्यान रखिए, R% एक वर्ष के साधारण ब्याज का लेना है, पूरे 2 वर्ष के साधारण ब्याज का नहीं।

चक्रवृद्धि ब्याज में बराबर मिश्रधन

  • राशि के दो भाग R% पर t1t_1 और t2t_2 वर्ष के लिए उधार दिए गए हों और दोनों के मिश्रधन बराबर हों, तो कम वर्षों वाला भाग : अधिक वर्षों वाला भाग = (1+R100)t2−t1\left(1 + \frac{R}{100}\right)^{t_2 - t_1} : 1।
  • मान लीजिए ₹3,300 के दो भाग 20% पर 2 और 3 वर्ष के लिए देने हैं। अनुपात 6 : 5 आता है, यानी 2 वर्ष वाला भाग ₹1,800 और 3 वर्ष वाला ₹1,500।
  • आयु वाले प्रश्नों में छोटे बच्चे का धन ज़्यादा समय तक बढ़ता है, इसलिए उसका हिस्सा छोटा होता है।
  • तीन भाग हों, तो हर भाग अपने पिछले भाग को वार्षिक गुणक से भाग देने पर मिलता है।

चक्रवृद्धि ब्याज की किस्तें

  • हर किस्त का आज का मूल्य निकालिए और सबको जोड़ दीजिए, P=x1+r+x(1+r)2+⋯P = \frac{x}{1 + r} + \frac{x}{(1 + r)^2} + \cdots। यहाँ r = R ÷ 100 है।
  • 20% पर 2 किस्तें हों, तो P=x(56+2536)=55x36P = x\left(\frac{5}{6} + \frac{25}{36}\right) = \frac{55x}{36}। यानी ₹3,600 की दो किस्तों से ₹5,500 का ऋण चुकता हो जाता है।
  • जाँच के लिए ऋण का हिसाब वर्ष-दर-वर्ष आगे चलाइए। एक वर्ष का ब्याज जोड़िए, किस्त घटाइए और यही दोहराते जाइए। अंत में ठीक शून्य बचना चाहिए।
  • अंतिम मिश्रधन को किस्तों की संख्या से भाग देने पर किस्त गलत आती है।