शॉर्टकट और तेज़ तरीके

साधारण ब्याज: हर वर्ष P का R%

साधारण ब्याज (simple interest, SI) हो या चक्रवृद्धि ब्याज (compound interest, CI), ब्याज के प्रश्न असल में प्रतिशत के ही प्रश्न होते हैं। बस इनमें समय भी जुड़ जाता है। टियर 1 में हर प्रश्न के लिए लगभग 36 सेकंड ही मिलते हैं।

आगे हर तरीके के साथ हम देखेंगे कि वह कब लगता है, फिर एक छोटा उदाहरण करेंगे, और अंत में यह कि वह कहाँ गलत उत्तर दे देता है। इनमें से कई गलतियाँ एक ही तरह की होती हैं। छात्र चक्रवृद्धि ब्याज वाले प्रश्न पर साधारण ब्याज वाला तेज़ तरीका लगा देते हैं, या इसका उलटा कर देते हैं। इसलिए सबसे पहले यह तय कीजिए कि प्रश्न किस ब्याज का है।

पहले एक वर्ष का ब्याज

साधारण ब्याज के किसी भी प्रश्न में हम आमतौर पर $\text{सा.ब्या.} = \frac{P \times R \times T}{100}$ लिखकर शुरू करते हैं। पर इससे भी जल्दी हल हो सकता है। साधारण ब्याज में हर वर्ष का ब्याज एक जैसा रहता है, और वह P का R% होता है। तो पहले एक वर्ष का ब्याज निकालिए, फिर उसे वर्षों की संख्या से गुणा कर दीजिए।

जैसे ₹7,400 पर 9% की दर से 5 वर्ष का साधारण ब्याज चाहिए। एक वर्ष का ब्याज 7,400 का 9% है, यानी ₹666। तो पाँच वर्ष का ब्याज 666 × 5 = ₹3,330 हुआ।

पूरे समय का प्रतिशत एक साथ

T वर्षों का साधारण ब्याज सीधे P का (R × T)% होता है। मान लीजिए दर 6% है और समय 7 वर्ष, तो ब्याज राशि का 42% होगा।

अब यही ब्याज ₹2,268 दिया हो और राशि पूछी जाए। P का 42% = 2,268, तो P = 2,268 × $\frac{100}{42}$ = ₹5,400। बस एक पंक्ति लिखनी पड़ी, कोई सूत्र नहीं।

जिन प्रश्नों में ब्याज को राशि का कोई भिन्न बताया जाता है, वे भी इसी तरह हल होते हैं। जैसे 8 वर्ष में साधारण ब्याज राशि का $\frac{2}{5}$, यानी 40% है। तो R × 8 = 40, और R = 5%। सामान्य रूप में, साधारण ब्याज P का $\frac{1}{n}$ हो, तो $R \times T = \frac{100}{n}$ होता है।

महीने और दिन

समय महीनों या दिनों में हो, तब भी यही तरीका चलता है।

• दर प्रति माह दी हो, तो उसका 12 गुना वार्षिक दर है। 1.5% प्रति माह का मतलब 18% वार्षिक। मान लीजिए ₹6,200 पर 1.5% प्रति माह की दर से 10 महीने का ब्याज चाहिए। 10 महीनों में कुल 15% हुआ, तो ब्याज = 6,200 का 15% = ₹930।
• समय दिनों में हो, तो वर्ष 365 दिन का लीजिए और कोई साफ़ भिन्न ढूँढिए। 73 दिन वर्ष का $\frac{1}{5}$ है, 146 दिन $\frac{2}{5}$ और 219 दिन $\frac{3}{5}$। जैसे ₹12,500 पर 9% की दर से 219 दिन का ब्याज चाहिए। एक वर्ष का ब्याज ₹1,125 है, तो उत्तर 1,125 × $\frac{3}{5}$ = ₹675 है।

इन तरीकों में कुछ गलतियाँ बार-बार होती हैं।

• चक्रवृद्धि ब्याज में हर वर्ष का ब्याज बढ़ता जाता है। इसलिए "एक वर्ष का ब्याज × T" केवल साधारण ब्याज में चलता है।
• 1.5% प्रति माह को कई छात्र 1.5% वार्षिक पढ़ लेते हैं। सबसे पहले देख लीजिए कि दर प्रति माह दी है या प्रति वर्ष।
• कभी प्रश्न में लिखा होता है कि ब्याज, मिश्रधन (amount) का $\frac{2}{5}$ है। यह अलग प्रश्न है। मिश्रधन में राशि और ब्याज दोनों शामिल होते हैं, तो यहाँ सा.ब्या. : P = 2 : 3 होगा और R × T = $66\frac{2}{3}$ आएगा, 40 नहीं।
• दो तिथियों के बीच दिन गिनते समय, जिस दिन धन उधार दिया गया और जिस दिन लौटाया गया, इनमें से एक ही दिन गिनिए, दोनों नहीं।

[SSC टिप] R × T अक्सर प्रतिशत-तालिका की किसी भिन्न के बराबर निकलता है, जैसे 12.5% = $\frac{1}{8}$, 20% = $\frac{1}{5}$ या 25% = $\frac{1}{4}$। तब सीधे भिन्न लगाइए। 5% पर 4 वर्ष का ब्याज P का $\frac{1}{5}$ होता है, तो ₹13,750 पर ब्याज ₹2,750 है। यह एक नज़र में दिख जाता है।

दो अलग समयों के बाद मिश्रधन

अंतर ÷ बीच के वर्ष

कभी प्रश्न में एक ही राशि के दो मिश्रधन दिए होते हैं। साधारण ब्याज पर कोई राशि $t_1$ वर्ष में एक रकम हो जाती है और $t_2$ वर्ष में दूसरी। पूछा जाता है कि राशि कितनी थी, या दर कितनी है।

ऐसे में दोनों मिश्रधनों का अंतर देखिए। यह अंतर बीच वाले वर्षों का ब्याज ही है, उसमें और कुछ नहीं। तो एक वर्ष का ब्याज ऐसे निकलेगा।

$$\text{एक वर्ष का सा.ब्या.} = \frac{A_2 - A_1}{t_2 - t_1}$$

अब $A_1$ में से $t_1$ वर्षों का यही ब्याज घटा दीजिए, राशि P मिल जाएगी। दर के लिए एक वर्ष के ब्याज को P से भाग देकर 100 से गुणा कर दीजिए।

मान लीजिए कोई राशि 3 वर्ष में ₹8,432 और 5 वर्ष में ₹9,520 हो जाती है। बीच के 2 वर्षों में ₹1,088 बढ़े, तो एक वर्ष का सा.ब्या. = 1,088 ÷ 2 = ₹544। राशि = 8,432 − 3 × 544 = 8,432 − 1,632 = ₹6,800। और दर R = $\frac{544}{6800} \times 100$ = 8%।

केवल राशि पूछी हो, तो यह एक ही पंक्ति में हो जाता है।

$$P = \frac{t_2 A_1 - t_1 A_2}{t_2 - t_1}$$

इसी उदाहरण में (5 × 8,432 − 3 × 9,520) ÷ 2 = 13,600 ÷ 2 = 6,800 आता है।

दर बढ़ जाए

एक प्रश्न ऐसे आता है, "यदि दर 3% अधिक होती, तो राशि पर 4 वर्ष में ₹486 अधिक ब्याज मिलता।" यहाँ अतिरिक्त 3% की दर 4 वर्ष चली, तो अतिरिक्त ब्याज P का 12% हुआ। P = 486 × $\frac{100}{12}$ = ₹4,050। मूल दर जानने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती।

बीच में दर बदले

अगर दर बीच में बदलती है, तो हर दर जितने वर्ष चली, उतने वर्षों का प्रतिशत निकालकर सब जोड़ दीजिए। जैसे पहले 2 वर्ष 6%, अगले 3 वर्ष 8% और उसके बाद 10% की दर है, और कुल समय 7 वर्ष है। तो ब्याज P का 12 + 24 + 20 = 56% हुआ। ब्याज ₹4,592 हो, तो P = 4,592 × $\frac{100}{56}$ = ₹8,200।

यहाँ तीन गलतियों से बचिए।

• अंतर को $t_2 - t_1$ से भाग देना था, पर कोई $t_2$ से भाग दे देता है। ऊपर वाले उदाहरण में तब 1,088 ÷ 5 = ₹217.60 आएगा, जो वार्षिक ब्याज है ही नहीं।
• चक्रवृद्धि ब्याज में हर वर्ष की बढ़त पिछले वर्ष से अधिक होती है, तो वहाँ अंतर को एक जैसा वार्षिक ब्याज नहीं माना जा सकता। चक्रवृद्धि ब्याज वाले दो मिश्रधन हों, तो अनुपात विधि लगती है, जिसे इसी खंड में आगे देखेंगे।
• कभी प्रश्न में दो मिश्रधन नहीं, दो ब्याज दिए होते हैं। तब हर ब्याज को उसके वर्षों से भाग दीजिए, वार्षिक सा.ब्या. सीधे मिल जाएगा। यहाँ कुछ घटाना नहीं है।

[SSC टिप] साधारण ब्याज में 1, 2, 3 और आगे के वर्षों के मिश्रधन बराबर-बराबर बढ़ते हैं। इसलिए 2 और 6 वर्ष के मिश्रधन पता हों, तो 4 वर्ष का मिश्रधन इन दोनों का औसत होगा।

राशि का n गुना होना

कई प्रश्नों में दिया होता है कि साधारण ब्याज पर कोई राशि T वर्षों में स्वयं की दोगुनी, तिगुनी या $\frac{8}{5}$ हो जाती है। फिर दर पूछी जाती है, या समय, या यह कि राशि किसी दूसरे गुने तक कितने समय में पहुँचेगी।

यहाँ एक ही बात समझनी है। राशि n गुनी हुई, तो ब्याज राशि का (n − 1) गुना हुआ, क्योंकि उस n में एक गुना तो राशि ख़ुद है। इसी से ये सूत्र आते हैं।

$$R \times T = 100(n - 1) \qquad R = \frac{100(n - 1)}{T}$$

जैसे कोई राशि 16 वर्ष में तिगुनी हो जाती है। तो ब्याज 2P हुआ, और R = $\frac{200}{16}$ = 12.5%।

भिन्न हो, तब भी यही तरीका है। मान लीजिए राशि 7.5 वर्ष में स्वयं की $\frac{8}{5}$ हो जाती है। तो राशि ने ब्याज के रूप में स्वयं का $\frac{3}{5}$, यानी 60% कमाया। R × 7.5 = 60, तो R = 8%।

कुछ पेपरों में "3 गुनी हो जाती है" की जगह "200% बढ़ जाती है" लिखा होता है। मतलब एक ही है, ब्याज 2P है।

दूसरे गुने तक

दर वही रहे, तो समय n − 1 के अनुपात में बढ़ता है, n के अनुपात में नहीं।

$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{n_2 - 1}{n_1 - 1}$$

मान लीजिए कोई राशि 16 वर्ष में तिगुनी होती है, और देखना है कि वह 5 गुनी कितने वर्षों में होगी। तिगुनी होने में ब्याज 2P था, 5 गुनी होने के लिए 4P चाहिए। तो समय = 16 × $\frac{4}{2}$ = 32 वर्ष।

इसी तरह जो राशि 9 वर्ष में दोगुनी होती है, उसमें 9 वर्ष का ब्याज P है। 7 गुनी होने के लिए ब्याज 6P चाहिए, तो समय 9 × 6 = 54 वर्ष होगा।

इस तरीके में गलती ऐसे होती है।

• n − 1 की जगह n ले लेना। "16 वर्ष में तिगुनी" वाले प्रश्न में कोई 300 ÷ 16 कर दे, तो 18.75% आता है। यह गलत उत्तर विकल्पों में अक्सर होता है।
• समय को n के अनुपात में बढ़ा देना। 16 वर्ष में तिगुनी होने वाली राशि को 6 गुनी होने के लिए 5P ब्याज चाहिए। तो समय 16 × $\frac{5}{2}$ = 40 वर्ष होगा। n के अनुपात में बढ़ाने पर 32 वर्ष आता है, जो गलत है।
• चक्रवृद्धि ब्याज में राशि घातों में बढ़ती है, n − 1 के हिसाब से नहीं। जो राशि 5 वर्ष में दोगुनी होती है, वह साधारण ब्याज पर 15 वर्ष में 4 गुनी होगी, पर चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्ष में।

याद रखिए, दोगुना होने का मतलब R × T = 100 है। तो जो राशि 8 वर्ष में दोगुनी हो, उसकी दर 12.5% है। 6.25% पर राशि 16 वर्ष में दोगुनी होती है, और 8% पर 12.5 वर्ष में।

साधारण ब्याज में राशि का बँटवारा

दो दरें, कुल ब्याज

कभी कोई राशि दो भागों में बाँटकर दो अलग दरों पर उधार दी जाती है। कुल ब्याज दिया होता है, और पूछा जाता है कि किसी एक भाग में कितनी राशि थी।

ऐसे में पहले कुल ब्याज से एक औसत वार्षिक दर निकाल लीजिए। फिर दोनों दरों पर एलीगेशन (alligation) क्रॉस लगाइए, जैसे अध्याय 6 ("मिश्रण और एलीगेशन") में लगाया था।

कम दर वाला भाग : अधिक दर वाला भाग = (अधिक दर − औसत) : (औसत − कम दर)

जैसे ₹32,000 का कुछ भाग 5% पर और बाकी 9% पर उधार दिया गया, और 4 वर्ष में कुल ब्याज ₹8,320 मिला। एक वर्ष का ब्याज ₹2,080 हुआ, तो औसत दर = $\frac{2080}{32000} \times 100$ = 6.5%। भागों का अनुपात (9 − 6.5) : (6.5 − 5) = 2.5 : 1.5 = 5 : 3 है। यानी ₹20,000, 5% पर और ₹12,000, 9% पर उधार दिए गए। जाँच कर लेते हैं, एक वर्ष में 1,000 + 1,080 = 2,080।

बराबर ब्याज कमाने वाले भाग

दोनों भाग बराबर ब्याज कमाएँ, तो $P_1 R_1 T_1 = P_2 R_2 T_2$ होगा। यानी हर भाग $\frac{1}{R \times T}$ के अनुपात में होगा।

मान लीजिए ₹11,700 को ऐसे बाँटना है कि एक भाग 5% पर 4 वर्ष में उतना ही कमाए, जितना दूसरा 6% पर 5 वर्ष में। पहले भाग के लिए R × T = 20 है और दूसरे के लिए 30। तो $P_1 : P_2 = \frac{1}{20} : \frac{1}{30}$ = 3 : 2, और भाग ₹7,020 और ₹4,680 हुए। दोनों भाग ₹1,404 कमाते हैं।

बराबर मिश्रधन तक पहुँचने वाले भाग

कभी शर्त ब्याज की नहीं, मिश्रधन की होती है। अब हर भाग बढ़कर $\frac{P(100 + RT)}{100}$ होता है, इसलिए भाग $\frac{1}{100 + RT}$ के अनुपात में लिए जाते हैं।

एक उदाहरण लेते हैं। ₹18,600 को 10 वर्ष के A और 14 वर्ष के B में ऐसे बाँटना है कि 18 वर्ष की आयु पर दोनों को बराबर मिश्रधन मिले, और दर 4% साधारण ब्याज है। A का धन 8 वर्ष चलेगा, तो 100 + 32 = 132। B का धन 4 वर्ष चलेगा, तो 100 + 16 = 116। अब A : B = $\frac{1}{132} : \frac{1}{116}$ = 116 : 132 = 29 : 33। तो A को ₹8,700 और B को ₹9,900 मिलेंगे, और दोनों बढ़कर ₹11,484 हो जाएँगे।

इन प्रश्नों में ये गलतियाँ आम हैं।

• एलीगेशन को उलट देना। कम दर वाले भाग के सामने (अधिक दर − औसत) आता है। उलट देंगे, तो ऊपर वाले उदाहरण में 3 : 5 आएगा।
• मिश्रधन बराबर हों (ब्याज नहीं), तब भी $\frac{1}{RT}$ ले लेना। A और B वाले उदाहरण में इससे $\frac{1}{32} : \frac{1}{16}$ = 1 : 2 आता है, जो गलत है।
• औसत दर को वार्षिक न बनाना। ₹8,320, ₹32,000 का 26% है, पर यह 4 वर्षों का ब्याज है।

उत्तर परखने के दो आसान तरीके हैं। औसत दर हमेशा दोनों दरों के बीच आती है, और उस दर के ज़्यादा पास होती है जिस पर बड़ा भाग उधार दिया गया हो। और बराबर मिश्रधन वाले बँटवारे में छोटे बच्चे को छोटा हिस्सा मिलता है, क्योंकि उसका धन ज़्यादा समय तक बढ़ता है।

चक्रवृद्धि ब्याज: क्रमिक प्रतिशत वृद्धि

एक ही दर पर 2 या 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज निकालना हो, या अलग-अलग वर्षों में अलग दरें हों, तो इसे एक के बाद एक होने वाली प्रतिशत वृद्धि की तरह देखिए। चक्रवृद्धि ब्याज असल में क्रमिक प्रतिशत वृद्धि (successive percentage increase) ही है। R% की दो वृद्धियाँ मिलकर कुल इतनी वृद्धि देती हैं।

$$2R + \frac{R^2}{100} \text{ प्रतिशत}$$

R% पर 3 वर्ष के लिए यह $3R + \frac{3R^2}{100} + \frac{R^3}{100^2}$ प्रतिशत हो जाता है। दरें अलग हों, पहले $R_1\%$ और फिर $R_2\%$, तो कुल वृद्धि $R_1 + R_2 + \frac{R_1 R_2}{100}$ प्रतिशत होती है।

जैसे ₹7,500 पर 8% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज चाहिए। 8% पर दो वर्ष की कुल वृद्धि 16 + 0.64 = 16.64% है, तो ब्याज = 7,500 का 16.64% = ₹1,248।

ये मान याद रखने लायक हैं।

अब ₹12,000 पर 5% की दर से 3 वर्ष का ब्याज तालिका से तुरंत निकल आता है। 12,000 का 15.7625% = ₹1,891.50।

अलग दरों का एक उदाहरण देखिए। पहले वर्ष 10% और दूसरे वर्ष 20% की दर हो, तो कुल वृद्धि 10 + 20 + 2 = 32% है। ₹8,000 पर इससे चक्रवृद्धि ब्याज ₹2,560 आता है। दरों का क्रम बदल दें, पहले 20% और फिर 10%, तब भी उत्तर यही रहेगा।

इसमें तीन बातों का ध्यान रखिए।

• 2R पर रुक जाना गलत है, क्योंकि 2R तो साधारण ब्याज है। जो $\frac{R^2}{100}$ जुड़ता है, वह पहले वर्ष के ब्याज पर मिला ब्याज है, और इसी के कारण चक्रवृद्धि ब्याज, साधारण ब्याज से अधिक होता है।
• 3 वर्ष के लिए कई छात्र $3R + \frac{R^2}{100}$ लिख देते हैं। 3 वर्ष वाला सूत्र याद न हो, तो दो कदमों में मिला लीजिए। 10% पर 2 वर्ष का 21% होता है, फिर उसमें एक और 10% मिलाइए, 21 + 10 + 2.1 = 33.1%।
• मिला हुआ प्रतिशत हमेशा शुरुआती राशि पर लगता है, किसी और रकम पर नहीं।

कुल मिलाकर, 2 वर्ष के लिए च.ब्या. = सा.ब्या. + P का $\frac{R^2}{100}$%। यानी साधारण ब्याज पता हो, तो चक्रवृद्धि ब्याज के लिए बस थोड़ा-सा जोड़ना पड़ता है। विकल्पों में साधारण ब्याज या मिश्रधन के बराबर कोई संख्या दिखे, तो समझ लीजिए वह जाल है।

भिन्न गुणक, 10% और 20% की तालिकाएँ

2 से 4 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज या मिश्रधन निकालना हो, और दर किसी साफ़ भिन्न के बराबर हो, तो गुणक (multiplier) भिन्न में लिखिए। प्रत्येक वर्ष मिश्रधन $1 + \frac{R}{100}$ से गुणा होता है। इसी को भिन्न के रूप में लिख लीजिए। प्रश्न में P अक्सर ऐसा दिया होता है कि भिन्न का हर उससे पूरा कट जाता है।

जैसे ₹7,680 पर 12.5% की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज चाहिए। मिश्रधन = 7,680 × $\frac{729}{512}$ = 15 × 729 = ₹10,935, तो चक्रवृद्धि ब्याज ₹3,255 है। हिसाब इतना साफ़ इसलिए कटा, क्योंकि 7,680 = 15 × 512 है।

₹1,000 पर 10% और 20% की तालिकाएँ

ब्याज वाले स्तंभ देखिए। 10% पर हर वर्ष का ब्याज पिछले वर्ष के ब्याज का 1.1 गुना है, और 20% पर 1.2 गुना।

₹3,750 पर 20% की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज इससे सीधे मिल जाता है। 3 वर्ष में ₹1,000 बढ़कर ₹1,728 होता है, यानी 72.8% की बढ़त। तो च.ब्या. = 3,750 का 72.8% = ₹2,730।

अकेले तीसरे वर्ष का ब्याज चाहिए, तो भी तालिका काम आती है। ₹5,000 पर 20% की दर से तीसरे वर्ष का ब्याज 5,000 का 28.8% = ₹1,440 है।

इन तालिकाओं के साथ ये गलतियाँ होती हैं।

• भिन्न तभी काम की है, जब P उसके साथ कट जाए। ₹10,000 पर 12.5% की दर से 3 वर्ष का मिश्रधन लगभग ₹14,238.28 आता है। ऐसे में दशमलव से ही हिसाब कीजिए।
• "तीसरे वर्ष का ब्याज" और "3 वर्ष का च.ब्या." को एक समझ लेना। 20% पर पहला P का 28.8% है और दूसरा 72.8%, और विकल्पों में दोनों दिए होते हैं।
• तालिका ₹1,000 के लिए है, तो उसे अनुपात में बढ़ाना पड़ेगा। ₹6,000 पर 10% की दर से दूसरे वर्ष का ब्याज = 6 × 110 = ₹660।

याद रखिए, चक्रवृद्धि ब्याज में हर वर्ष का ब्याज पिछले वर्ष के ब्याज का $1 + \frac{R}{100}$ गुना होता है, जैसे 20% पर 200, 240, 288। इसलिए लगातार दो वर्षों के ब्याज दिए हों, तो उनके अनुपात से दर तुरंत निकल आती है।

अर्धवार्षिक और त्रैमासिक संयोजन

ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित (compounded half-yearly) हो या त्रैमासिक रूप से संयोजित (compounded quarterly), तरीका एक ही है। दर घटा दीजिए और अवधियाँ बढ़ा दीजिए।

• अर्धवार्षिक में दर को 2 से भाग दीजिए, और अवधियाँ = वर्ष × 2 लीजिए।
• त्रैमासिक में दर को 4 से भाग दीजिए, और अवधियाँ = वर्ष × 4 लीजिए।

इसके बाद वही गुणक और वही तालिकाएँ लगती हैं, जो पहले देखीं।

मान लीजिए ₹28,000 पर 10% वार्षिक दर से 1.5 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज चाहिए, और ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है। तो हर छमाही 5% लगेगा, और 3 छमाहियाँ होंगी। मिश्रधन = 28,000 × $\left(\frac{21}{20}\right)^3$ = 28,000 × $\frac{9261}{8000}$ = ₹32,413.50। चक्रवृद्धि ब्याज = ₹4,413.50।

अब त्रैमासिक का उदाहरण लेते हैं। ₹40,000 पर 8% वार्षिक दर से 6 महीने का ब्याज चाहिए, और ब्याज त्रैमासिक रूप से संयोजित होता है। हर तिमाही 2% लगेगा, और 2 तिमाहियाँ होंगी। कुल वृद्धि 2 + 2 + 0.04 = 4.04%, तो ब्याज = 40,000 का 4.04% = ₹1,616।

प्रभावी वार्षिक दर

10% की दर अर्धवार्षिक रूप से संयोजित हो, तो इसका मतलब है 5% की वृद्धि दो बार। पूरे वर्ष के लिए यह 10.25% के बराबर है। इसी को प्रभावी वार्षिक दर (effective annual rate) कहते हैं। इसी तरह 8% पर त्रैमासिक संयोजन में 2% चार बार लगता है, और वर्ष भर की दर लगभग 8.24% होती है।

सामान्य रूप में, 2r% वार्षिक दर अर्धवार्षिक रूप से संयोजित हो, तो प्रभावी दर $2r + \frac{r^2}{100}$ प्रतिशत होती है।

1.5 वर्ष, पर वार्षिक संयोजन

समय 1.5 वर्ष हो पर ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता हो, तो हिसाब अलग है। पूरा एक वर्ष संयोजित होगा, और बचे आधे वर्ष के लिए नए मिश्रधन पर साधारण ब्याज लगेगा।

ऊपर वाले ₹28,000 और 10% को ही लीजिए। एक वर्ष बाद 28,000 × 1.1 = 30,800 हुआ। आधे वर्ष का 5% और लगेगा, तो 30,800 × 1.05 = ₹32,340। चक्रवृद्धि ब्याज ₹4,340 हुआ, जो अर्धवार्षिक संयोजन वाले उत्तर से ₹73.50 कम है।

यहाँ इन गलतियों से बचिए।

• दर आधी कर दी, पर अवधियाँ दोगुनी नहीं कीं, या इसका उलटा कर दिया। ₹28,000 पर 10% की दर से 3 अवधियाँ ले लें, तो ₹37,268 आता है, और यही जाल वाला विकल्प होता है।
• प्रश्न में पहले से "4% प्रति छमाही" लिखा हो, तो उसे दोबारा आधा नहीं करना है।
• एक वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज बराबर तभी होते हैं, जब संयोजन वार्षिक हो। अर्धवार्षिक संयोजन में पहले वर्ष में भी चक्रवृद्धि ब्याज, साधारण ब्याज से अधिक होता है।

[SSC टिप] दर वही हो और संयोजन ज़्यादा बार हो, तो ब्याज अधिक मिलता है, पर बस थोड़ा-सा अधिक। त्रैमासिक वाला आपका उत्तर वार्षिक वाले से बहुत ऊपर निकले, तो समझिए कि जाल में फँस गए हैं।

दो मिश्रधनों से दर, वृद्धि गुणक की घातें

लगातार वर्षों के मिश्रधन

कभी चक्रवृद्धि ब्याज पर किसी राशि के दो मिश्रधन दिए होते हैं, एक n वर्ष बाद का और दूसरा n + 1 वर्ष बाद का। इन दोनों का अंतर पहले वाले मिश्रधन पर एक वर्ष का ब्याज होता है। तो दर ऐसे निकलती है।

$$R = \frac{A_{n+1} - A_n}{A_n} \times 100$$

राशि P के लिए पहले वाले मिश्रधन को गुणक से n बार भाग दीजिए।

जैसे कोई राशि 2 वर्ष बाद ₹19,600 और 3 वर्ष बाद ₹21,952 हो जाती है। अंतर ₹2,352 है, और $\frac{2352}{19600}$ = 0.12, तो R = 12%। 12% का गुणक $\frac{28}{25}$ है, और इससे दो बार भाग देना है। तो P = 19,600 × $\frac{625}{784}$ = ₹15,625।

लगातार दो वर्षों के ब्याज दिए हों, तब भी यही तरीका है। मान लीजिए दूसरे वर्ष का ब्याज ₹1,650 है और तीसरे वर्ष का ₹1,782। अंतर ₹132 है, तो R = $\frac{132}{1650} \times 100$ = 8%।

दो वर्ष का अंतर हो, तो दोनों मिश्रधनों का अनुपात निकालिए। जैसे 2 वर्ष बाद ₹6,050 और 4 वर्ष बाद ₹7,320.50 है। अनुपात 1.21 आया, जो $1.1^2$ है। तो R = 10%, और P = 6,050 ÷ 1.21 = ₹5,000।

दोगुना, तिगुना और घातें

चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि T वर्षों में n गुनी हो जाती है, तो 2T वर्षों में $n^2$ गुनी और 3T वर्षों में $n^3$ गुनी होगी। आगे भी ऐसे ही चलता है, क्योंकि हर T वर्ष में राशि उसी वृद्धि गुणक (growth factor) n से गुणा होती है।

जैसे कोई राशि 6 वर्ष में दोगुनी होती है। 8 = $2^3$, तो वह 8 गुनी 18 वर्ष में होगी, और 16 गुनी 24 वर्ष में।

कोई राशि 10 वर्ष में 9 गुनी हो, तो वह 5 वर्ष में तिगुनी होती है, और 15 वर्ष में 27 गुनी। इसी तरह 15 वर्ष में 8 गुनी होने वाली राशि 5 वर्ष में दोगुनी और 10 वर्ष में 4 गुनी होती है।

ध्यान रखिए, यहाँ तीन गलतियाँ आम हैं।

• अंतर को बाद वाले मिश्रधन से भाग दे देना। $\frac{2352}{21952}$ लगभग 10.7% आता है, और यह गलत विकल्प सही उत्तर के बहुत पास होता है।
• दो वर्ष के अंतर पर अनुपात $\left(1 + \frac{R}{100}\right)^2$ होता है, $1 + \frac{2R}{100}$ नहीं।
• साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज को मिला देना। साधारण ब्याज पर जो राशि 6 वर्ष में दोगुनी होती है, वह 8 गुनी 42 वर्ष में होगी, 18 में नहीं, क्योंकि वहाँ 6 वर्ष वाला ब्याज 7 बार चाहिए।

इसलिए पहले घात पहचानिए। 4, 8, 16, 32 और 64 सब 2 की घातें हैं, और 9, 27 और 81 सब 3 की। नया गुना दिए गए गुने की कोई घात हो, तो समय को उसी घात से गुणा कर दीजिए।

चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अंतर

एक ही राशि पर, एक ही दर से और उतने ही समय का चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज निकालें, तो दोनों में कुछ अंतर आता है। प्रश्न में यही अंतर पूछा जाता है, या अंतर देकर राशि या दर पूछी जाती है।

2 वर्ष वाला प्रश्न सबसे आम है। पहले वर्ष में दोनों ब्याज बराबर होते हैं। दूसरे वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज में पहले वर्ष के ब्याज पर भी ब्याज लगता है, और बस इतना ही अंतर है।

$$\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या.} = P\left(\frac{R}{100}\right)^2 = \frac{P R^2}{100^2}$$

जैसे ₹22,500 पर 8% की दर से 2 वर्ष का अंतर = 22,500 × $\frac{64}{10000}$ = ₹144।

राशि निकालनी हो, तो सूत्र को उलट दीजिए। P = अंतर × $\left(\frac{100}{R}\right)^2$। 5% पर अंतर ₹45 हो, तो P = 45 × 400 = ₹18,000। ये गुणक याद रखिए। 4% पर 625 से गुणा कीजिए, 5% पर 400 से, 10% पर 100 से और 20% पर 25 से।

दर निकालनी हो, तो पहले R का वर्ग निकालिए। ₹17,500 पर अंतर ₹63 है, तो $R^2 = \frac{63 \times 10000}{17500}$ = 36, और R = 6%।

तीन वर्ष

3 वर्ष के अंतर का सूत्र यह है।

$$\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या.} = \frac{P R^2 (300 + R)}{100^3}$$

कुछ मान तुरंत याद आने चाहिए। 3 वर्ष का अंतर 5% पर P का 0.7625% होता है, 10% पर 3.1% और 20% पर 12.8%। तो ₹36,000 पर 5% की दर से 3 वर्ष का अंतर सीधे ₹274.50 है।

दो अंतरों से दर भी निकल आती है। 3 वर्ष के अंतर को 2 वर्ष के अंतर से भाग दें, तो $3 + \frac{R}{100}$ आता है। मान लीजिए दोनों अंतर ₹72 और ₹223.20 हैं। अनुपात 3.1 है, तो R = 10%, और P = 72 × 100 = ₹7,200।

यहाँ ये गलतियाँ अक्सर होती हैं।

• 3 वर्ष के लिए 2 वर्ष वाले अंतर का तिगुना कर देना। 10% पर 3 वर्ष का अंतर 2 वर्ष वाले का 3.1 गुना होता है, 3 गुना नहीं।
• $R^2$ की जगह R लेकर $\frac{P R}{100^2}$ लिख देना। दर का वर्ग लेना ज़रूरी है।
• अर्धवार्षिक संयोजन में भी पूरी वार्षिक दर और वर्ष ले लेना। वहाँ छमाही की दर लीजिए और छमाहियाँ गिनिए। 10% दर, 1 वर्ष और अर्धवार्षिक संयोजन हो, तो अंतर = P × $\left(\frac{5}{100}\right)^2$ होगा।

[SSC टिप] 2 वर्ष का अंतर P के मुकाबले बहुत छोटा होता है। 5% पर यह P का 0.25% है और 10% पर 1%। अंतर के लिए दिया कोई विकल्प पूरे एक वर्ष के ब्याज जितना दिखे, तो वही जाल है।

एक ही राशि पर दोनों ब्याज

कभी किसी राशि पर एक ही दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज, दोनों दिए होते हैं। या एक दिया होता है और दूसरा पूछा जाता है।

यहाँ दो बातें काम आती हैं। एक वर्ष का साधारण ब्याज, 2 वर्ष के साधारण ब्याज का आधा होता है। और अंतर (च.ब्या. − सा.ब्या.) इसी एक वर्ष के ब्याज का R% होता है। इनसे ये सूत्र मिलते हैं।

$$R = \frac{2(\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या.})}{\text{सा.ब्या.}} \times 100 \qquad P = \frac{\text{सा.ब्या.}^2}{4(\text{च.ब्या.} - \text{सा.ब्या.})}$$

मान लीजिए 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹6,600 है और चक्रवृद्धि ब्याज ₹6,996। एक वर्ष का साधारण ब्याज ₹3,300 हुआ। अंतर ₹396 है, जो 3,300 का 12% है। तो R = 12%, और P = 3,300 ÷ 0.12 = ₹27,500। सूत्र से जाँचें, तो $\frac{6600^2}{4 \times 396}$ = 27,500 ही आता है।

साधारण से चक्रवृद्धि ब्याज

8% पर 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹1,440 है, तो एक वर्ष का ₹720 हुआ। चक्रवृद्धि ब्याज में 1,440 के ऊपर 720 का 8% और जुड़ता है। तो च.ब्या. = 1,440 + 57.60 = ₹1,497.60।

चक्रवृद्धि से साधारण ब्याज

10% पर 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹1,680 है, यानी P का 21%। साधारण ब्याज P का 20% होगा। तो सा.ब्या. = 1,680 × $\frac{20}{21}$ = ₹1,600।

अलग-अलग समय

कभी दोनों ब्याज अलग-अलग समय के दिए होते हैं। मान लीजिए एक ही दर पर 3 वर्ष का साधारण ब्याज ₹2,520 है और 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹1,722। पहले एक वर्ष का साधारण ब्याज निकालिए, जो ₹840 है। तो 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹1,680 हुआ। चक्रवृद्धि ब्याज में ₹42 अतिरिक्त मिले, जो 840 का R% है। तो R = 5%, और P = 840 ÷ 0.05 = ₹16,800।

इन प्रश्नों में ये गलतियाँ दिखती हैं।

• अंतर को पूरे साधारण ब्याज से भाग दे देना। $\frac{396}{6600}$ = 6% आता है, जो सही दर का ठीक आधा है। यह संख्या लगभग हर बार विकल्पों में होती है।
• एक वर्ष का साधारण ब्याज निकाले बिना 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज की तुलना किसी दूसरे समय के साधारण ब्याज से कर देना।
• 3 वर्ष पर अंतर, एक वर्ष के साधारण ब्याज का R% नहीं होता। वहाँ 3 वर्ष के अंतर वाला सूत्र लगाइए।

[SSC टिप] 2 वर्ष के लिए च.ब्या. ÷ सा.ब्या. = $1 + \frac{R}{200}$ होता है। अनुपात 1.06 हो, तो R = 12%, और कुछ हिसाब नहीं करना पड़ता।

बराबर मिश्रधन और किस्तें

चक्रवृद्धि ब्याज में बराबर मिश्रधन

कभी किसी राशि के भाग चक्रवृद्धि ब्याज पर, एक ही दर से, पर अलग-अलग समय के लिए उधार दिए जाते हैं, और सारे भाग बढ़कर बराबर मिश्रधन हो जाते हैं। तब कम वर्षों वाले भाग को उतने गुना बड़ा रखना पड़ता है, जितना अतिरिक्त वर्षों का वृद्धि गुणक है। समय में k वर्ष का अंतर हो, तो कम समय वाला भाग : अधिक समय वाला भाग = $\left(1 + \frac{R}{100}\right)^k$ : 1 होता है।

जैसे ₹41,000 को 17 और 15 वर्ष की दो बहनों में ऐसे बाँटना है कि 18 वर्ष की आयु पर दोनों को बराबर मिश्रधन मिले, और दर 25% चक्रवृद्धि ब्याज है। बड़ी बहन का धन 1 वर्ष बढ़ेगा और छोटी का 3 वर्ष, यानी 2 वर्ष का अंतर है। तो बड़ी : छोटी = $\left(\frac{5}{4}\right)^2$ : 1 = 25 : 16। कुल 41 भाग हुए, और एक भाग ₹1,000 का। बड़ी बहन को ₹25,000 और छोटी को ₹16,000 मिलेंगे, और दोनों बढ़कर ₹31,250 हो जाएँगे।

चक्रवृद्धि ब्याज में समान किस्तें: अनुपात विधि

किस्त (instalment) वाले प्रश्नों में पहले एक बात समझ लीजिए। किस्त जितनी बाद में दी जाती है, वह आज के ऋण में से उतना ही कम चुकाती है।

मान लीजिए दर 10% है और एक किस्त 121 इकाई की है। 1 वर्ष बाद दी गई किस्त ऋण की 110 इकाई चुकाती है, क्योंकि 110 इकाई एक वर्ष में बढ़कर 121 हो जाती हैं। 2 वर्ष बाद दी गई किस्त 100 इकाई चुकाती है। तो दो किस्तों वाला ऋण 210 इकाई का हुआ, और किस्त : ऋण = 121 : 210।

तीन किस्तें हों, तो किस्त 1,331 इकाई लीजिए। तब तीनों किस्तें मिलकर 1,210 + 1,100 + 1,000 = 3,310 इकाई ऋण चुकाती हैं।

अब एक उदाहरण लेते हैं। ₹8,400 का ऋण 10% चक्रवृद्धि ब्याज पर दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाना है। 210 इकाई = 8,400, तो 1 इकाई = 40, और किस्त = 121 × 40 = ₹4,840।

इसे आगे चलाकर जाँच लेते हैं। 8,400 एक वर्ष में बढ़कर 9,240 हुआ। 4,840 घटाने पर 4,400 बचा, और यह अगले वर्ष बढ़कर ठीक 4,840 हो जाता है।

20% पर भी यही तरीका है। किस्त 36 इकाई और ऋण 30 + 25 = 55 इकाई। तीन किस्तें हों, तो किस्त 216 इकाई और ऋण 180 + 150 + 125 = 455 इकाई।

साधारण ब्याज में समान किस्तें

मान लीजिए n वर्ष बाद देय ₹A का ऋण R% साधारण ब्याज पर n समान वार्षिक किस्तों में चुकाना है, और एक किस्त x है। तब यह सूत्र लगता है।

$$x = \frac{100A}{100n + \frac{R n(n - 1)}{2}}$$

जैसे 4 वर्ष में देय ₹9,460 का ऋण 5% पर चुकाना है। भिन्न का हर 400 + 5 × 6 = 430 आता है। तो x = $\frac{946000}{430}$ = ₹2,200।

प्रश्न में आज उधार ली गई राशि दी हो, तो पहले उसमें उसका n वर्ष का साधारण ब्याज जोड़कर A निकाल लीजिए।

किस्तों वाले प्रश्नों में ये गलतियाँ होती हैं।

• अंतिम मिश्रधन को बराबर बाँट देना। 8,400 × 1.21 ÷ 2 = ₹5,082 आता है, और यह जाना-पहचाना गलत विकल्प है।
• साधारण ब्याज में किसी किस्त पर ब्याज केवल उतने वर्षों का लगता है, जितने वर्ष उसके चुकाने के बाद बचे हों। पूरी अवधि का ब्याज नहीं लगता।
• बराबर मिश्रधन वाले बँटवारे में बड़ा हिस्सा उस भाग को दे देना, जो ज़्यादा समय तक बढ़ता है।

चक्रवृद्धि ब्याज की किस्त का उत्तर निकलने के बाद उसे एक बार आगे चलाकर ज़रूर परख लीजिए। यह जाँच लगभग 10 सेकंड की है।

विकल्प हटाना

पूरा हल करने से पहले, या जब समय कम बचा हो, चारों विकल्पों पर कुछ तेज़ जाँच कर लीजिए। कई विकल्प इसी में हट जाते हैं।

• पहले वर्ष के बाद च.ब्या. आगे निकलता है। 1 वर्ष के लिए, वार्षिक संयोजन में, दोनों ब्याज बराबर होते हैं। 2 वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज, साधारण ब्याज से केवल P का $\frac{R^2}{100}$% अधिक होता है।
• मिश्रधन, मूलधन (principal) से अधिक होता है, और ब्याज मिश्रधन से कम। जो विकल्प इन दोनों को आपस में उलट दे, वह बाहर।
• दरों के गुणक साफ़ होते हैं। 2 वर्ष में मिश्रधन ÷ P किसी सरल भिन्न का वर्ग होता है। जैसे ₹3,600 बढ़कर ₹4,356 हुआ, तो $\frac{4356}{3600} = \frac{121}{100} = \left(\frac{11}{10}\right)^2$, यानी R = 10%।
• सा.ब्या. सीधी रेखा में बढ़ता है। साधारण ब्याज में समय दोगुना हो, तो ब्याज भी दोगुना होता है। चक्रवृद्धि ब्याज में यह दोगुने से अधिक होता है।

एक प्रश्न लेते हैं। ₹19,000 पर 10% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करना है, और विकल्प हैं (a) ₹3,800 (b) ₹3,990 (c) ₹22,990 (d) ₹3,819।

(c) तो मिश्रधन है, वह बाहर। (a) साधारण ब्याज है, और चक्रवृद्धि ब्याज इससे अधिक ही होगा। अतिरिक्त ब्याज एक वर्ष के ₹1,900 का 10% है, यानी ₹190। तो उत्तर (b) ₹3,990 है। (d) में किसी ने ₹19,000 का 1% जोड़ने की जगह ₹1,900 का 1% जोड़ दिया है।

एक और प्रश्न देखिए। किसी राशि पर 5% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹1,435 है, और उसी समय और दर पर साधारण ब्याज ज्ञात करना है। विकल्प हैं (a) ₹1,470 (b) ₹1,435 (c) ₹1,400 (d) ₹1,330।

साधारण ब्याज, चक्रवृद्धि ब्याज से कम होना ही चाहिए, तो (a) और (b) बाहर हो गए। अंतर एक वर्ष के साधारण ब्याज का 5% होगा। एक वर्ष का ब्याज लगभग 700 है, और उसका 5% = ₹35। तो उत्तर (c) ₹1,400 है। जाँच भी कर लीजिए। च.ब्या. P का 10.25% है और सा.ब्या. P का 10%, तो सा.ब्या. = 1,435 × $\frac{10}{10.25}$ = 1,400।

यह तरीका हर बार काम नहीं आता।

• अर्धवार्षिक संयोजन हो, तो पहले वर्ष में भी चक्रवृद्धि ब्याज, साधारण ब्याज से बड़ा होता है। वहाँ "1 वर्ष में दोनों बराबर" वाली जाँच नहीं चलती।
• दो विकल्प सारी जाँच में पास हो जाएँ, तो पूरा हल करना ही पड़ेगा।

[SSC टिप] जाल वाले विकल्प ज़्यादातर कुछ गिनी-चुनी गलतियों से निकलते हैं। चक्रवृद्धि ब्याज की जगह साधारण ब्याज, ब्याज की जगह मिश्रधन, $\frac{R^2}{100}$ के बिना 2R, दर आधी पर अवधियाँ दोगुनी नहीं, और (च.ब्या. − सा.ब्या.) को पूरे सा.ब्या. से भाग। आपका उत्तर इनमें से किसी के बराबर आ जाए, तो वही एक कदम दोबारा देख लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करते हैं। हर प्रश्न सबसे तेज़ रास्ते से करेंगे, और साथ में देखेंगे कि मोटे तौर पर कितना समय लगता है।

प्रश्न 1

₹8,400 पर 7.5% वार्षिक दर से 3 वर्ष 4 महीने का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक वर्ष का ब्याज 8,400 का 7.5% है, यानी ₹630। 4 महीने वर्ष का तिहाई है, तो 3 वर्ष 4 महीने = $3\frac{1}{3}$ वर्ष। साधारण ब्याज = 630 × $\frac{10}{3}$ = ₹2,100। जल्दबाज़ी में कुछ लोग 3 वर्ष 4 महीने को 3.4 वर्ष पढ़ लेते हैं और ₹2,142 लिख देते हैं, जो गलत है। पूरा प्रश्न करीब 12 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 2

साधारण ब्याज पर कोई राशि 2 वर्ष में ₹10,384 और 5 वर्ष में ₹12,760 हो जाती है। ब्याज की दर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों मिश्रधनों का अंतर ₹2,376 है, और यह बीच के 3 वर्षों का ब्याज है। तो एक वर्ष का ब्याज ₹792 हुआ। राशि = 10,384 − 2 × 792 = ₹8,800। अब दर = $\frac{792}{8800} \times 100$ = 9%। इसमें लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 3

साधारण ब्याज पर कोई राशि 12 वर्ष में स्वयं की 2.5 गुनी हो जाती है। वह कितने वर्षों में स्वयं की 4 गुनी हो जाएगी?

उत्तर: राशि 2.5 गुनी हुई, तो 12 वर्ष में ब्याज राशि का 1.5 गुना हुआ। 4 गुनी होने के लिए ब्याज राशि का 3 गुना चाहिए, जो पहले वाले का दोगुना है। तो समय भी दोगुना लगेगा, यानी 24 वर्ष। कुछ छात्र 12 को 4 ÷ 2.5 के अनुपात में बढ़ाकर 19.2 वर्ष लिख देते हैं, जो गलत है। दर 12.5% निकलती है, पर उसकी ज़रूरत ही नहीं पड़ी। यह बस 8 सेकंड का काम है।

प्रश्न 4

₹36,000 को दो भागों में उधार दिया गया, एक भाग 8% और दूसरा 12.5% साधारण ब्याज की दर पर। 2 वर्ष बाद कुल ब्याज ₹6,840 है। 8% पर कितनी राशि उधार दी गई?

उत्तर: 2 वर्ष का ब्याज ₹6,840 है, तो एक वर्ष का ₹3,420। औसत दर = $\frac{3420}{36000} \times 100$ = 9.5%। अब एलीगेशन लगाते हैं, 8% वाला भाग : 12.5% वाला भाग = (12.5 − 9.5) : (9.5 − 8) = 3 : 1.5 = 2 : 1। यानी राशि का दो-तिहाई 8% पर गया, जो ₹24,000 है। जाँच भी कर लेते हैं, 1,920 + 1,500 = 3,420। जाँच समेत करीब 25 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 5

₹19,500 को 14 और 16 वर्ष की आयु की दो बहनों में इस प्रकार बाँटा गया कि 6% साधारण ब्याज की दर से, 20 वर्ष की होने पर प्रत्येक को बराबर मिश्रधन मिले। छोटी बहन का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छोटी बहन का धन 6 वर्ष बढ़ेगा, तो 100 + 36 = 136। बड़ी का धन 4 वर्ष बढ़ेगा, तो 100 + 24 = 124। बराबर मिश्रधन के लिए हिस्से $\frac{1}{136} : \frac{1}{124}$ के अनुपात में होंगे, यानी 124 : 136 = 31 : 34। कुल 65 भाग हुए, और एक भाग ₹300 का, तो छोटी बहन को ₹9,300 मिलेंगे। जाँच के लिए, 9,300 × 1.36 = 12,648, और 10,200 × 1.24 भी 12,648 है। इस बार भी 25 सेकंड के आसपास का समय लगता है।

प्रश्न 6

₹6,250 पर 16% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है।

उत्तर: 16% पर 2 वर्ष की कुल वृद्धि 32 + 2.56 = 34.56% होती है। तो चक्रवृद्धि ब्याज = 6,250 का 34.56% = ₹2,160। इसके लिए 12 सेकंड काफ़ी हैं।

प्रश्न 7

₹20,480 पर 6.25% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 6.25% मतलब $\frac{1}{16}$, तो गुणक $\frac{17}{16}$ है, और दो वर्ष में यह दो बार लगेगा। मिश्रधन = 20,480 × $\frac{289}{256}$ = 80 × 289 = ₹23,120। तो चक्रवृद्धि ब्याज ₹2,640 है। भिन्न पहचान में आ जाए, तो यह भी लगभग 12 सेकंड में निपट जाता है।

प्रश्न 8

₹31,250 पर 16% वार्षिक दर से 9 महीने का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज त्रैमासिक रूप से संयोजित होता है।

उत्तर: संयोजन त्रैमासिक है, तो हर तिमाही 4% लगेगा, और 9 महीने में 3 तिमाहियाँ हैं। 4% का गुणक $\frac{26}{25}$ है, तो मिश्रधन = 31,250 × $\frac{17576}{15625}$ = 2 × 17,576 = ₹35,152। चक्रवृद्धि ब्याज ₹3,902 हुआ। ध्यान रखिए, हर तिमाही 4% लगता है, 16% नहीं। पूरा हल करीब 20 सेकंड का है।

प्रश्न 9

चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 2 वर्ष में ₹10,580 और 3 वर्ष में ₹12,167 हो जाती है। ब्याज की दर और राशि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों मिश्रधनों का अंतर ₹1,587 है, जो 2 वर्ष वाले मिश्रधन पर एक वर्ष का ब्याज है। $\frac{1587}{10580}$ = 0.15, तो R = 15%। 15% का गुणक $\frac{23}{20}$ है, और 2 वर्ष पीछे जाना है, तो P = 10,580 × $\frac{400}{529}$ = ₹8,000। दर और राशि दोनों निकालने में लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 10

चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 4 वर्ष में स्वयं की 3 गुनी हो जाती है। वह कितने वर्षों में स्वयं की 81 गुनी हो जाएगी?

उत्तर: 81 = $3^4$, यानी राशि को चार बार तिगुना होना है। हर बार 4 वर्ष लगते हैं, तो समय = 4 × 4 = 16 वर्ष। यह सिर्फ़ 6 सेकंड का प्रश्न है।

प्रश्न 11

किसी राशि पर 6% की दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹72 है। वह राशि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ सीधे सूत्र लगा देते हैं। P = 72 × $\left(\frac{100}{6}\right)^2$ = 72 × $\frac{10000}{36}$ = ₹20,000। जाँच भी आसान है, 20,000 का 0.36% = 72। कुल मिलाकर करीब 10 सेकंड का हिसाब है।

प्रश्न 12

किसी राशि पर 10% की दर से 3 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹186 है। वह राशि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 10% पर 3 वर्ष का अंतर P का 3.1% होता है। तो P = 186 ÷ 0.031 = ₹6,000। भूल से कोई 2 वर्ष वाला सूत्र लगा दे, यानी अंतर को P का 1% मान ले, तो ₹18,600 आ जाएगा। यह भी 10 सेकंड के आसपास हो जाता है।

प्रश्न 13

किसी राशि पर 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹1,960 है और उसी दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹2,038.40 है। ब्याज की दर और राशि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक वर्ष का साधारण ब्याज ₹980 है। अंतर ₹78.40 है, और यह 980 का R% है। तो R = $\frac{78.40}{980} \times 100$ = 8%, और P = 980 ÷ 0.08 = ₹12,250। कोई 78.40 को पूरे 1,960 से भाग दे दे, तो 4% आता है, जो सही दर का आधा है। 20 सेकंड में यह आराम से हो जाता है।

प्रश्न 14

5% चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर लिया गया एक ऋण ₹7,056 प्रत्येक की दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाता है। ऋण की राशि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 5% का गुणक $\frac{21}{20}$ है, तो किस्त 441 इकाई मान लेते हैं। 1 वर्ष बाद दी गई किस्त ऋण की 420 इकाई चुकाती है, और 2 वर्ष बाद वाली 400 इकाई, तो ऋण = 820 इकाई। अब 441 इकाई = ₹7,056, यानी 1 इकाई = ₹16, और ऋण = ₹13,120। आगे चलाकर देखें, तो 13,120 बढ़कर 13,776 होता है, 7,056 घटाने पर 6,720 बचता है, और यह बढ़कर ठीक 7,056 हो जाता है। जाँच के साथ यह 20 सेकंड के आसपास का प्रश्न है।

प्रश्न 15

10% साधारण ब्याज की दर से 4 वर्ष में देय ₹13,800 का ऋण कितनी समान वार्षिक किस्त से चुकता होगा?

उत्तर: सूत्र में मान रख देते हैं। x = $\frac{100 \times 13800}{400 + \frac{10 \times 4 \times 3}{2}}$ = $\frac{1380000}{460}$ = ₹3,000। जाँच ऐसे कर सकते हैं। चारों किस्तों में पहली अंत तक 30% ब्याज कमाती है, दूसरी 20%, तीसरी 10% और आखिरी 0%, तो कुल 3,000 × 4.6 = 13,800 होता है। सूत्र याद हो, तो लगभग 20 सेकंड में उत्तर आ जाता है।