साधारण ब्याज

मूलधन, दर, समय, ब्याज, मिश्रधन

जब कोई पैसा उधार लेता है, तो उसे जितना लिया था उससे ज़्यादा लौटाना पड़ता है। यह जो रकम ज़्यादा लौटाई जाती है, उसे ब्याज कहते हैं। ब्याज के हर प्रश्न में ये पाँच शब्द आते हैं।

• मूलधन (P): जो रकम उधार दी या ली जाती है, उसे मूलधन (principal) कहते हैं। प्रश्नों में इसे राशि भी कहा जाता है।
• दर (R): हर ₹100 पर एक वर्ष में जितना ब्याज लगता है, वही ब्याज की दर (rate of interest) है। इसे R% वार्षिक (per annum, p.a.) लिखते हैं।
• समय (T): जितने समय के लिए रकम उधार रही, वही समय है। प्रश्न में कुछ और न कहा हो, तो समय वर्षों में लेते हैं।
• ब्याज (सा.ब्या.): मूलधन के ऊपर जो अतिरिक्त रकम कमाई या चुकाई जाती है, वही ब्याज है।
• मिश्रधन (A): मूलधन और ब्याज का जोड़ मिश्रधन (amount) कहलाता है। अंत में यही कुल रकम लौटाई जाती है।

साधारण ब्याज (simple interest) में ब्याज हमेशा शुरू के मूलधन पर ही लगता है, इसलिए हर वर्ष का ब्याज एक जैसा रहता है। जैसे ₹100 पर 8% की दर से पहले वर्ष ₹8 ब्याज मिलता है, दूसरे वर्ष भी ₹8, और 5 वर्ष में कुल ₹40।

$$\text{सा.ब्या.} = \frac{P \times R \times T}{100} \qquad A = P + \text{सा.ब्या.} = P \times \frac{100 + RT}{100}$$

ब्याज निकालना: ₹7,500 पर 9% वार्षिक दर से 4 वर्ष का ब्याज चाहिए, तो सा.ब्या. = $\frac{7500 \times 9 \times 4}{100}$ = ₹2,700। मिश्रधन ₹10,200 होगा।

P, R या T निकालना: ब्याज दिया हो और मूलधन, दर या समय में से कोई एक पूछा जाए, तो इसी सूत्र को उलट लीजिए।

$$P = \frac{100 \times \text{सा.ब्या.}}{R \times T} \qquad R = \frac{100 \times \text{सा.ब्या.}}{P \times T} \qquad T = \frac{100 \times \text{सा.ब्या.}}{P \times R}$$

• 3 वर्ष में 8% की दर से ₹1,872 ब्याज मिला, तो P = $\frac{100 \times 1872}{8 \times 3}$ = ₹7,800।
• ₹6,400 पर 5 वर्ष में ₹2,240 ब्याज मिला, तो R = $\frac{100 \times 2240}{6400 \times 5}$ = 7%।
• ₹9,600 पर 7.5% की दर से ₹2,520 ब्याज मिला, तो T = $\frac{100 \times 2520}{9600 \times 7.5}$ = 3.5 वर्ष।

R × T से सोचिए: दर R% हो और समय T वर्ष, तो ब्याज मूलधन का (R × T)% होता है। जैसे 9% पर 4 वर्ष का ब्याज P का 36% है। ₹7,500 का 36% = ₹2,700, ऊपर भी यही आया था। इस अध्याय के ज़्यादातर प्रश्नों में सबसे पहले R × T निकाल लीजिए, प्रश्न जल्दी हल हो जाएगा। R × T के ये मान बार-बार आते हैं।

मिश्रधन से मूलधन: प्रश्न ऐसे आता है, "कोई राशि 7.5% वार्षिक दर से 4 वर्ष में ₹11,310 हो जाती है।" यहाँ R × T = 30 है, तो मिश्रधन P का $\frac{13}{10}$ है। इसलिए P = 11,310 × $\frac{10}{13}$ = ₹8,700। जाँच कर लीजिए, 8,700 का 30% = 2,610 और 8,700 + 2,610 = 11,310।

[SSC टिप] कई छात्र ₹11,310 में से ही 30% घटाकर ₹7,917 लिख देते हैं, और यह गलत संख्या अक्सर विकल्पों में दी होती है। 30% मूलधन पर लगा था, मिश्रधन पर नहीं। इसलिए यहाँ घटाना नहीं है, 1.3 से भाग देना है। अध्याय 7, "लाभ, हानि और बट्टा" में विक्रय मूल्य से क्रय मूल्य निकालते समय भी हमने ठीक यही गलती देखी थी।

महीनों और दिनों में समय, और मासिक दर

दर वार्षिक हो, तो समय भी वर्षों में ही लेना होगा। समय महीनों या दिनों में दिया हो, तो पहले उसे वर्षों में बदल लीजिए।

महीने: महीनों को 12 से भाग दीजिए। जैसे ₹14,400 पर 7.5% वार्षिक दर से 8 महीने का ब्याज चाहिए, तो सा.ब्या. = $14400 \times \frac{7.5}{100} \times \frac{8}{12}$ = ₹720। एक बात ध्यान रखिए, "3 वर्ष 6 महीने" का मतलब 3.5 वर्ष है, 3.6 वर्ष नहीं।

दिन: दिनों को 365 से भाग दीजिए। लीप वर्ष में भी 365 से ही भाग देते हैं, जब तक प्रश्न में कुछ और न कहा हो। जैसे ₹36,500 पर 8% की दर से 73 दिन का सा.ब्या. = $36500 \times \frac{8}{100} \times \frac{73}{365}$ = ₹584।

कुछ दिन-संख्याएँ वर्ष की सीधी भिन्न होती हैं। इन्हें याद कर लीजिए।

दो तारीख़ों के बीच दिन गिनना: यहाँ दोनों तारीख़ों में से एक ही गिनी जाती है। जिस दिन पैसा जमा हुआ, वह दिन छोड़ दीजिए, और जिस दिन निकाला गया, वह दिन गिनिए। जैसे "₹18,250 की राशि 6% वार्षिक दर पर 12 मार्च को जमा की गई और उसी वर्ष 24 मई को निकाल ली गई।" यहाँ दिन ऐसे गिनेंगे।

• मार्च: 31 − 12 = 19 दिन
• अप्रैल: 30 दिन
• मई: 24 दिन
• कुल = 73 दिन = $\frac{1}{5}$ वर्ष, तो सा.ब्या. = 18,250 × 6% × $\frac{1}{5}$ = ₹219

इसके लिए हर महीने के दिन ज़बानी याद होने चाहिए। जनवरी, मार्च, मई, जुलाई, अगस्त, अक्टूबर और दिसंबर में 31 दिन होते हैं। अप्रैल, जून, सितंबर और नवंबर में 30 दिन होते हैं। फ़रवरी में 28 दिन होते हैं, और लीप वर्ष में 29।

महीने के हिसाब से दर: प्रति माह दर (rate per month) को 12 से गुणा कर दीजिए, वार्षिक दर आ जाएगी। जैसे 1.25% प्रति माह का मतलब 15% वार्षिक है। मान लीजिए किसी ने 1.25% प्रति माह की दर से 2.5 वर्ष के लिए ₹12,000 उधार लिए। तो सा.ब्या. = 12,000 × 15% × 2.5 = ₹4,500। चाहें तो महीनों में ही हिसाब कर लीजिए। 2.5 वर्ष यानी 30 महीने, और 1.25% × 30 = 37.5%। ₹12,000 का 37.5% भी ₹4,500 ही है।

पैसे प्रति रुपया: कभी दर ऐसे लिखी होती है, "2 पैसे प्रति रुपया प्रति माह"। इसका मतलब है हर महीने हर ₹100 पर ₹2, यानी 2% प्रति माह, जो 24% वार्षिक है। इसी तरह "₹1.50 प्रति ₹100 प्रति माह" का मतलब 18% वार्षिक है।

छमाही दर: साधारण ब्याज में 6% प्रति छमाही का मतलब सीधे 12% वार्षिक है, क्योंकि बीच में मूलधन में कुछ नहीं जुड़ता।

ऐसे प्रश्नों में दो गलतियाँ सबसे ज़्यादा होती हैं, और ज़्यादातर गलत विकल्प इन्हीं से निकलते हैं। पहली, मासिक दर के साथ समय वर्षों में ही ले लेना। दूसरी, "2 वर्ष 4 महीने" को 2.4 वर्ष पढ़ लेना।

दो अलग समय और दो अलग दरों पर मिश्रधन

एक राशि, दो समय: प्रश्न ऐसे आता है, "साधारण ब्याज पर कोई राशि 3 वर्ष में ₹10,148 और 5 वर्ष में ₹11,180 हो जाती है। राशि और दर ज्ञात कीजिए।" दोनों मिश्रधनों में मूलधन तो एक ही है। इसलिए दोनों का अंतर केवल बाद वाले 2 वर्षों का ब्याज है।

• 2 वर्ष का ब्याज = 11,180 − 10,148 = ₹1,032, तो एक वर्ष का ब्याज ₹516 है।
• 3 वर्ष का ब्याज = 3 × 516 = ₹1,548
• मूलधन = 10,148 − 1,548 = ₹8,600
• दर = $\frac{516}{8600} \times 100$ = 6%

यही काम एक पंक्ति में भी हो जाता है। $t_1$ वर्ष बाद मिश्रधन $A_1$ हो और $t_2$ वर्ष बाद $A_2$, तो मूलधन यह होगा।

$$P = \frac{A_1 t_2 - A_2 t_1}{t_2 - t_1}$$

ऊपर वाले प्रश्न में $\frac{10148 \times 5 - 11180 \times 3}{2} = \frac{50740 - 33540}{2} = 8600$ आता है।

दोनों समयों का अंतर पूरे वर्षों में होना ज़रूरी नहीं है। मिश्रधन 2 वर्ष और 3.5 वर्ष बाद के दिए हों, तो उनका अंतर 1.5 वर्ष का ब्याज होगा।

एक समय, दो दरें: प्रश्न है, "कोई राशि 7% वार्षिक दर से 4 वर्ष में ₹8,000 और 9% वार्षिक दर से 4 वर्ष में ₹8,500 हो जाती है।" दूसरी बार दर 2% अधिक है और वह 4 वर्ष तक लगी, तो मूलधन का 8% अधिक ब्याज मिला। यही ₹500 का अंतर है। तो P = 500 × $\frac{100}{8}$ = ₹6,250। जाँच के लिए 6,250 × 1.28 = 8,000 और 6,250 × 1.36 = 8,500।

दर बढ़े या घटे: मिश्रधन न दिया हो, तब भी यही तरीका चलता है। जैसे "यदि दर 2% अधिक होती, तो किसी राशि पर 3 वर्ष में ₹432 अधिक ब्याज मिलता।" अतिरिक्त ब्याज 2% × 3, यानी P का 6% है। तो P = 432 × $\frac{100}{6}$ = ₹7,200।

एक और प्रश्न देखिए, "दर 9% से घटकर 7.5% होने पर एक व्यक्ति की जमा राशि से वार्षिक आय ₹270 कम हो जाती है।" दर में 1.5% की कमी ₹270 के बराबर है। तो जमा राशि = 270 × $\frac{100}{1.5}$ = ₹18,000।

[SSC टिप] दो समयों वाले प्रश्न में दो गलतियाँ बहुत होती हैं। पहली, कुछ छात्र एक वर्ष के ब्याज ₹516 को किसी मिश्रधन से भाग दे देते हैं, ₹10,148 से या ₹11,180 से। इससे जो दर आती है, वह देखने में ठीक लगती है, पर होती गलत है। दूसरी, कुछ लोग ₹1,032 को आधा करना भूल जाते हैं और 12% लिख देते हैं। दर हमेशा मूलधन पर निकलती है, इसलिए पहले मूलधन निकालिए।

राशि स्वयं की n गुनी

कोई राशि स्वयं की n गुनी हो जाए, तो मिश्रधन nP हुआ और ब्याज (n − 1)P। मतलब ब्याज मूलधन का (n − 1) × 100% है। सूत्र में इसे ऐसे लिखते हैं।

$$R \times T = 100(n - 1)$$

• दोगुनी (n = 2): यहाँ R × T = 100 है। कोई राशि 12.5 वर्ष में दोगुनी होती है, तो दर = 100 ÷ 12.5 = 8%।
• तिगुनी (n = 3): यहाँ R × T = 200 है। $6\frac{1}{4}\%$ की दर पर राशि तिगुनी होने में 200 ÷ 6.25 = 32 वर्ष लगेंगे।
• स्वयं की $\frac{7}{4}$ गुनी: मान लीजिए ऐसा 15 वर्ष में होता है। ब्याज P का $\frac{3}{4}$ है, यानी 75%, तो R = 75 ÷ 15 = 5%।

कितने वर्ष में कितनी गुनी: दर वही रहे, तो समय उसी अनुपात में बढ़ता है जिसमें ब्याज (n − 1)P बढ़ता है। जैसे "कोई राशि 15 वर्ष में दोगुनी हो जाती है। कितने वर्षों में वह स्वयं की 4 गुनी हो जाएगी?" दोगुनी होने का मतलब है 15 वर्ष में ब्याज 1P। 4 गुनी के लिए ब्याज 3P चाहिए, तो समय 3 × 15 = 45 वर्ष।

इसी तरह, "कोई राशि 12 वर्ष में स्वयं की 3 गुनी हो जाती है। वह कब 7 गुनी होगी?" यहाँ ब्याज 2P से 6P करना है, तो समय भी 12 से बढ़कर 12 × $\frac{6}{2}$ = 36 वर्ष होगा। सूत्र के रूप में यह ऐसे लिखा जाता है।

$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{n_2 - 1}{n_1 - 1}$$

ब्याज, राशि की भिन्न या प्रतिशत में: "5 वर्ष में किसी राशि पर साधारण ब्याज उस राशि का $\frac{7}{20}$ है।" यहाँ $\frac{7}{20}$ = 35% = R × T, तो R = 35 ÷ 5 = 7%। और "8 वर्ष में 4.5% दर से ब्याज उस राशि का कितना प्रतिशत है?" इसमें सीधे R × T = 4.5 × 8 = 36% है।

जब दर और समय बराबर हों: "किसी राशि पर साधारण ब्याज उस राशि का $\frac{9}{16}$ है, और प्रतिशत दर का मान वर्षों की संख्या के बराबर है।" R और T बराबर हैं, तो R × R = $\frac{9}{16} \times 100$ = 56.25। इससे R = 7.5% आता है, और समय भी 7.5 वर्ष है।

एक गलती बहुत होती है। साधारण ब्याज में जो राशि 15 वर्ष में दोगुनी होती है, वह 30 वर्ष में 4 गुनी नहीं होती। ऐसा चक्रवृद्धि ब्याज में होता है। साधारण ब्याज में ब्याज गिनिए, पहले 1P, फिर 2P, फिर 3P, और हर बार समय उतना ही बढ़ता है।

बीच में बदलती दरें

कभी दर बीच में बदल जाती है। साधारण ब्याज में हर अवधि का ब्याज उसी मूलधन पर लगता है, इसलिए हर अवधि के प्रतिशत सीधे जोड़ दिए जाते हैं।

$$\text{सा.ब्या.} = \frac{P(r_1 t_1 + r_2 t_2 + r_3 t_3)}{100}$$

ब्याज निकालना: जैसे "₹19,000 की राशि पहले 2 वर्षों के लिए 6%, अगले 3 वर्षों के लिए 8% और 5 वर्ष के बाद 10% की दर से उधार दी गई। 9 वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।" अब हर अवधि का प्रतिशत निकालिए।

• पहले 2 वर्ष: 6 × 2 = 12%
• अगले 3 वर्ष: 8 × 3 = 24%
• छठे से नौवें वर्ष तक (4 वर्ष): 10 × 4 = 40%
• कुल = ₹19,000 का 76% = ₹14,440

"5 वर्ष के बाद" का मतलब है पाँचवें वर्ष के बाद वाले वर्ष, जो यहाँ 4 हैं, 9 नहीं। कई छात्र पूरे 9 वर्षों पर 10% लगा देते हैं, और यही सबसे आम चूक है।

औसत दर: यहाँ 9 वर्ष में 76% ब्याज मिला, यानी लगभग 8.44% प्रति वर्ष। सादा औसत (6 + 8 + 10) ÷ 3 = 8% लेना गलत है, क्योंकि औसत निकालते समय यह देखना पड़ता है कि कौन-सी दर कितने वर्ष चली। सादा औसत तभी चलेगा, जब हर दर बराबर वर्षों तक लगी हो।

मूलधन निकालना: प्रश्न है, "किसी राशि पर 6 वर्ष में ₹5,670 ब्याज मिलता है: पहले 2 वर्षों के लिए 5%, अगले 2 वर्षों के लिए 7% और शेष समय के लिए 9% की दर से।" कुल प्रतिशत = 10 + 14 + 18 = 42%, तो P = 5,670 × $\frac{100}{42}$ = ₹13,500।

छूटी हुई दर निकालना: "₹9,000 की राशि 3 वर्ष के लिए 4% पर और फिर अगले 2 वर्ष के लिए एक नई दर पर उधार दी गई। कुल ब्याज ₹2,340 है।" पहले 3 वर्ष में 9,000 का 12%, यानी ₹1,080 ब्याज मिला। बाकी ₹1,260 आख़िरी 2 वर्षों का ब्याज है, जो 9,000 का 14% है। तो नई दर = 14 ÷ 2 = 7%।

राशि के भाग अलग-अलग दरों पर

ऐसा प्रश्न अक्सर आता है, "₹24,000 की राशि दो भागों में उधार दी गई, एक भाग 6% और दूसरा 10% साधारण ब्याज पर। एक वर्ष का कुल ब्याज ₹2,016 है। दोनों भाग ज्ञात कीजिए।" इसे तीन तरीकों से कर सकते हैं।

पहला तरीका, पूरी राशि कम दर पर: मान लीजिए पूरे ₹24,000 कम दर, यानी 6% पर दिए गए। तब ब्याज ₹1,440 होता। असली ब्याज इससे ₹576 अधिक है। 10% पर दिए गए हर रुपये पर 4 पैसे अधिक मिले। तो 10% वाला भाग = 576 ÷ 0.04 = ₹14,400, और 6% वाला भाग ₹9,600 है।

दूसरा तरीका, समीकरण से: 6% वाला भाग x मान लीजिए। तब 0.06x + 0.10(24,000 − x) = 2,016 होगा। इसे सरल करने पर 2,400 − 0.04x = 2,016 आता है, और x = 9,600।

तीसरा तरीका, औसत दर से: यह एलीगेशन (alligation) वाला तरीका है। पूरी राशि पर औसत दर = $\frac{2016}{24000} \times 100$ = 8.4% है। 6% इससे कम है और 10% इससे ज़्यादा।

$$\frac{6\% \text{ वाला भाग}}{10\% \text{ वाला भाग}} = \frac{10 - 8.4}{8.4 - 6} = \frac{1.6}{2.4} = \frac{2}{3}$$

तो दोनों भाग ₹24,000 के $\frac{2}{5}$ और $\frac{3}{5}$ हैं, यानी ₹9,600 और ₹14,400। यह वही एलीगेशन है जो हम अध्याय 6, "मिश्रण और एलीगेशन" में पढ़ चुके हैं, बस यहाँ मूल्यों की जगह दरें हैं। जाँचने के लिए देखिए, 9,600 का 6% = 576 और 14,400 का 10% = 1,440। दोनों का जोड़ 576 + 1,440 = 2,016 है।

एक से अधिक वर्ष का ब्याज: अगर 3 वर्ष का कुल ब्याज दिया हो, तो पहले उसे 3 से भाग देकर एक वर्ष का ब्याज निकालिए। फिर ऊपर का कोई भी तरीका लगा दीजिए।

अलग-अलग राशियाँ, अलग-अलग समय: जैसे "रवि ने समान दर पर A को 3 वर्ष के लिए ₹4,500 और B को 2 वर्ष के लिए ₹6,000 उधार दिए, और उसे कुल ₹2,040 ब्याज मिला।" दर एक ही है, तो हर रुपये पर हर वर्ष उतना ही ब्याज मिलता है। इसलिए मूलधन × वर्ष जोड़ लीजिए। 4,500 × 3 = 13,500 और 6,000 × 2 = 12,000, कुल 25,500। अब R = $\frac{2040}{25500} \times 100$ = 8%।

दरों की अदला-बदली: ₹24,000 वाले प्रश्न में आगे पूछा जा सकता है, "यदि दोनों दरें आपस में बदल दी जाएँ, तो नया वार्षिक ब्याज कितना होगा?" दोनों स्थितियों को साथ रखकर देखिए। हर भाग पर हर दर एक-एक बार लगी। तो दोनों वार्षिक ब्याजों का योग = 24,000 का (6 + 10)% = ₹3,840। अदला-बदली के बाद ब्याज = 3,840 − 2,016 = ₹1,824। जाँच के लिए 9,600 का 10% + 14,400 का 6% = 960 + 864 = 1,824।

[SSC टिप] औसत दर निकालते समय देखना पड़ता है कि किस दर पर कितनी रकम लगी। इसलिए (6 + 10) ÷ 2 = 8% लेना गलत है, जब तक दोनों भाग बराबर न हों। और अगर आपकी निकाली औसत दर दोनों दरों के बीच न आए, तो समझ लीजिए कि वर्षों की संख्या से भाग देना छूट गया है।

बराबर ब्याज या बराबर मिश्रधन के लिए राशि बाँटना

बराबर ब्याज: राशि को भागों में बाँटा जाए और हर भाग पर ब्याज बराबर हो, तो $P_1 R_1 T_1 = P_2 R_2 T_2$ होता है। मतलब जिस भाग का R × T बड़ा है, उसकी रकम छोटी होगी।

$$P_1 : P_2 = \frac{1}{R_1 T_1} : \frac{1}{R_2 T_2}$$

जैसे "₹20,000 को दो भागों में इस प्रकार बाँटिए कि पहले भाग पर 5% दर से 6 वर्ष का साधारण ब्याज, दूसरे भाग पर 9% दर से 2 वर्ष के साधारण ब्याज के बराबर हो।" पहले भाग का R × T = 30 है और दूसरे का 18। तो $P_1 : P_2 = \frac{1}{30} : \frac{1}{18}$ = 18 : 30 = 3 : 5, और दोनों भाग ₹7,500 और ₹12,500 हैं। जाँच कर लीजिए, 7,500 का 30% = 2,250 और 12,500 का 18% = 2,250।

तीन भाग, हर वर्ष बराबर ब्याज: "₹26,000 को तीन भागों में बाँटकर 4%, 6% और 8% पर इस प्रकार उधार दिया गया कि हर भाग पर हर वर्ष बराबर ब्याज मिले।" यहाँ भाग दरों के उलटे अनुपात में होंगे। $\frac{1}{4} : \frac{1}{6} : \frac{1}{8}$ के हर पद को 24 से गुणा करें, तो 6 : 4 : 3 आता है। भाग ₹12,000, ₹8,000 और ₹6,000 हुए, और हर भाग पर हर वर्ष ₹480 ब्याज मिलता है।

बराबर मिश्रधन: अब ब्याज नहीं, मूलधन + ब्याज बराबर होना चाहिए। तो $P_1(100 + R_1 T_1) = P_2(100 + R_2 T_2)$ होगा।

$$P_1 : P_2 = \frac{1}{100 + R_1 T_1} : \frac{1}{100 + R_2 T_2}$$

यह प्रश्न देखिए, "एक व्यक्ति ₹9,800 की राशि अपनी 12 वर्ष और 15 वर्ष की दो बेटियों में इस प्रकार बाँटता है कि 18 वर्ष की होने पर दोनों को बराबर मिश्रधन मिले। इस राशि पर 5% साधारण ब्याज मिलता है।" छोटी बेटी को 18 की होने में 6 वर्ष लगेंगे, तो उसके लिए 100 + 30 = 130। बड़ी बेटी के लिए 3 वर्ष हैं, तो 100 + 15 = 115। अब छोटी : बड़ी = $\frac{1}{130} : \frac{1}{115}$ = 115 : 130 = 23 : 26।

• एक भाग = 9,800 ÷ 49 = ₹200
• छोटी बेटी को 23 × 200 = ₹4,600 और बड़ी को 26 × 200 = ₹5,200
• जाँच: 4,600 × 1.3 = 5,980 और 5,200 × 1.15 = 5,980

कौन-सा भाग बड़ा होगा: जो रकम ज़्यादा समय तक ब्याज पर लगी रहती है, या ऊँची दर पर लगती है, वह ज़्यादा बढ़ती है। इसलिए शुरू में वह रकम कम होनी चाहिए। अगर आपके उत्तर में छोटी बेटी का हिस्सा बड़ा आ गया, तो समझिए अनुपात उलटा लग गया है।

बराबर मिश्रधन वाले प्रश्नों में कुछ छात्र केवल समय (6 : 3) या केवल ब्याज (30 : 15) का अनुपात ले लेते हैं। यह गलत है। मिश्रधन में मूलधन भी शामिल होता है, इसलिए दोनों कोष्ठकों में 100 जोड़ना ज़रूरी है।

उधार, आंशिक अदायगी, ऋणों की तुलना

एक दर पर लेना, दूसरी पर देना: कोई व्यक्ति एक दर पर उधार लेकर वही राशि दूसरी दर पर उधार दे दे, तो उसी राशि पर दोनों दरों का अंतर उसका लाभ है।

$$\text{प्रति वर्ष लाभ} = \frac{P \times (r_2 - r_1)}{100}$$

जैसे "मीरा 6% पर ₹45,000 उधार लेती है और उसे 8.5% साधारण ब्याज पर उधार दे देती है। 3 वर्ष में उसे कितना लाभ होगा?" उसे हर वर्ष 2.5% का लाभ है, तो 3 वर्ष में 7.5%। 45,000 का 7.5% = ₹3,375।

उलटा भी पूछा जाता है, "एक व्यक्ति 7% पर उधार लेता है और 9.5% पर उधार देता है, और उसे हर वर्ष ₹600 का लाभ होता है।" यहाँ राशि का 2.5% = ₹600 है, तो राशि ₹24,000 है।

बीच में कुछ रकम चुकाना: ऋण की अवधि के बीच में ही कुछ रकम चुका दी जाए, तो इसे आंशिक अदायगी (part repayment) कहते हैं। तब अदायगी के दिन तक का बकाया निकालिए, यानी मूलधन + अब तक का ब्याज। उसमें से चुकाई गई रकम घटाइए। जो बचा, वही आगे के लिए नया मूलधन है। SSC के उत्तर इसी तरीके से निकाले जाते हैं।

जैसे "विक्रम 8% साधारण ब्याज पर ₹20,000 का ऋण लेता है। 2 वर्ष बाद वह ₹9,200 चुका देता है। ऋण चुकता करने के लिए उसे (शुरुआत से) 5 वर्ष के अंत में कितनी राशि देनी होगी?"

• 2 वर्ष बाद बकाया: 20,000 × 1.16 = ₹23,200
• ₹9,200 चुकाने के बाद: 23,200 − 9,200 = ₹14,000, और यही नया मूलधन है
• बचे 3 वर्ष 8% पर, यानी 24%: 14,000 × 1.24 = ₹17,360

विक्रम ने कुल 9,200 + 17,360 = ₹26,560 चुकाए, यानी ऋण पर ₹6,560 ब्याज दिया।

दो जमाओं की तुलना: राशि एक ही हो, तो बस R × T की तुलना कीजिए। जिसका R × T बड़ा है, वही जमा बेहतर है। जैसे "₹50,000 को बैंक A में 7.5% पर 4 वर्ष के लिए या बैंक B में 8% पर 3.5 वर्ष के लिए जमा किया जा सकता है।" A में R × T = 30% है और B में 28%। A में ₹15,000 ब्याज मिलेगा और B में ₹14,000, यानी A से ₹1,000 अधिक। यहाँ ऊँची दर वाली जमा पीछे रह गई, क्योंकि उसका समय कम है।

एक साथ दो ऋण: "अंकिता 9% पर 2 वर्ष के लिए ₹30,000 और 12% पर 1.5 वर्ष के लिए ₹20,000 उधार लेती है।" ब्याज = 30,000 का 18% + 20,000 का 18% = 5,400 + 3,600 = ₹9,000। ध्यान दीजिए, दोनों ऋणों पर ब्याज अपने-अपने मूलधन का 18% है। तो सीधे ₹50,000 का 18% निकाल लीजिए, वही ₹9,000 आता है।

ब्याजों का अनुपात: दो राशियों के ब्याजों का अनुपात $\text{सा.ब्या.}_1 : \text{सा.ब्या.}_2 = P_1 R_1 T_1 : P_2 R_2 T_2$ होता है। जैसे एक राशि ₹8,000 है जो 5% पर 3 वर्ष के लिए दी गई, और दूसरी ₹6,000 जो 8% पर 2 वर्ष के लिए। तो ब्याजों का अनुपात 120,000 : 96,000 = 5 : 4 है।

साधारण ब्याज पर समान वार्षिक किस्तें

ऋण अक्सर ऐसे चुकाया जाता है कि हर वर्ष के अंत में एक ही रकम दी जाए। इन्हें समान वार्षिक किस्तें (equal annual instalments) कहते हैं। साधारण ब्याज वाले ऐसे प्रश्नों में SSC के उत्तर इस नियम पर चलते हैं।

आख़िरी दिन ऋणदाता को उतना ही मिलना चाहिए जितना उसका बकाया है। और हर किस्त पर उसे चुकाने के दिन से आख़िरी दिन तक ब्याज लगता है।

कदम-दर-कदम: प्रश्न है, "₹6,600 का ऋण 10% साधारण ब्याज की दर से 3 समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। प्रत्येक किस्त ज्ञात कीजिए।"

• 3 वर्ष के अंत में बकाया: 6,600 × 1.3 = ₹8,580
• पहली किस्त x पहले वर्ष के अंत में दी गई। उस पर 2 वर्ष का ब्याज लगेगा, तो आख़िरी दिन उसका मूल्य 1.2x है।
• दूसरी किस्त पर 1 वर्ष का ब्याज लगेगा, यानी 1.1x। तीसरी किस्त आख़िरी दिन ही दी गई, तो वह x ही रहेगी।
• 1.2x + 1.1x + x = 3.3x = 8,580, तो x = ₹2,600

सूत्र: n किस्तें हों और दर R% हो, तो किस्तों पर n − 1, n − 2 … 0 वर्ष तक ब्याज लगता है। सब मिलाकर $\frac{n(n - 1)}{2}$ वर्ष का ब्याज हुआ। इसलिए सूत्र यह है।

$$\text{देय राशि} = x\left(n + \frac{R}{100} \times \frac{n(n - 1)}{2}\right) \qquad x = \frac{100 \times \text{देय राशि}}{100n + \frac{R n(n - 1)}{2}}$$

देय ऋण वाले प्रश्न: "n वर्ष में देय ऋण" लिखा हो, तो प्रश्न ध्यान से पढ़िए। जैसे "4% दर से 4 वर्ष में देय ₹8,480 का ऋण कितनी वार्षिक किस्त से चुकता होगा?" यहाँ ₹8,480 पहले से ही अंत की देय राशि है, इसलिए इसमें ब्याज नहीं जोड़ना है। सूत्र में हर = 400 + $\frac{4 \times 4 \times 3}{2}$ = 400 + 24 = 424, तो x = $\frac{848000}{424}$ = ₹2,000। जाँच कर लीजिए, 2,000 × (1.12 + 1.08 + 1.04 + 1) = 2,000 × 4.24 = 8,480।

अगर प्रश्न कहे कि "₹8,480 अभी उधार लिए गए", तो पहले देय राशि निकालिए, यानी 8,480 × 1.16, और उसके बाद भाग दीजिए।

[Tier 2] हर महीने की जमा: आवर्ती जमा (recurring deposit) में हर महीने एक तय रकम जमा की जाती है। हर जमा पर साधारण ब्याज लगता है, पर केवल उतने महीनों का जितने महीने वह जमा रही। जैसे कोई 12 महीने तक हर महीने ₹1,500 जमा करता है और दर 8% है। पहली जमा 12 महीने रहती है, दूसरी 11 महीने, और आख़िरी केवल 1 महीने। सब मिलाकर 78 महीने हुए। ब्याज = $1500 \times \frac{78}{12} \times \frac{8}{100}$ = ₹780, और परिपक्वता राशि = 18,000 + 780 = ₹18,780।

सामान्य रूप में, हर महीने x जमा हो और n महीने तक, तो ब्याज = $x \times \frac{n(n + 1)}{2} \times \frac{R}{1200}$।

[SSC टिप] कई छात्र देय राशि को किस्तों की संख्या से भाग दे देते हैं, 8,580 ÷ 3 = ₹2,860। वे भूल जाते हैं कि जल्दी दी गई किस्तों पर भी ब्याज लगता है। यही संख्या अक्सर विकल्पों में होती है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

₹12,800 पर 6.25% वार्षिक दर से 3 वर्ष 6 महीने का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए। (a) ₹2,880 (b) ₹2,800 (c) ₹15,600 (d) ₹2,400

उत्तर: 6 महीने आधा वर्ष है, तो समय 3.5 वर्ष हुआ। सा.ब्या. = $\frac{12800 \times 6.25 \times 3.5}{100}$ = (b) ₹2,800। जल्दबाज़ी में कुछ लोग समय 3.6 वर्ष पढ़ लेते हैं और ₹2,880 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 2

कोई राशि 6% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से 5 वर्ष में ₹13,260 हो जाती है। वह राशि कितनी है? (a) ₹9,282 (b) ₹3,060 (c) ₹10,500 (d) ₹10,200

उत्तर: यहाँ R × T = 6 × 5 = 30 है, तो मिश्रधन राशि का 130% है। राशि = 13,260 × $\frac{100}{130}$ = (d) ₹10,200। जाँच भी कर लेते हैं, 10,200 का 30% = 3,060 और 10,200 + 3,060 = 13,260।

प्रश्न 3

किस वार्षिक प्रतिशत दर से ₹14,000 पर 9 महीने में ₹1,260 साधारण ब्याज मिलेगा? (a) 12% (b) 9% (c) 1% (d) 10%

उत्तर: पहले महीनों को वर्ष में बदलते हैं, 9 महीने = $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ वर्ष। अब दर वाला सूत्र लगाते हैं। R = $\frac{100 \times 1260}{14000 \times \frac{3}{4}}$ = (a) 12%।

प्रश्न 4

रवि ने 19 जनवरी को एक बैंक में ₹21,900 जमा किए और उसी वर्ष (जो लीप वर्ष नहीं है) 2 अप्रैल को ब्याज सहित राशि निकाल ली। बैंक 10% वार्षिक साधारण ब्याज देता है। उसे कुल कितनी राशि वापस मिली? (a) ₹22,344 (b) ₹438 (c) ₹22,338 (d) ₹22,447.50

उत्तर: दिन गिनते समय 19 जनवरी को छोड़ देते हैं। जनवरी के 31 − 19 = 12 दिन, फ़रवरी के 28, मार्च के 31 और अप्रैल के 2 दिन। कुल 73 दिन हुए, जो $\frac{1}{5}$ वर्ष है। सा.ब्या. = 21,900 × 10% × $\frac{1}{5}$ = ₹438, तो रवि को 21,900 + 438 = (c) ₹22,338 वापस मिले। 19 जनवरी और 2 अप्रैल दोनों को गिन लें, तो 74 दिन आते हैं और उत्तर ₹22,344 निकलता है, जो गलत है।

प्रश्न 5

मीना ने 1.5 पैसे प्रति रुपया प्रति माह की दर से साधारण ब्याज पर ₹16,500 उधार लिए। 2 वर्ष 4 महीने बाद उसे कितना ब्याज देना होगा? (a) ₹6,930 (b) ₹577.50 (c) ₹7,128 (d) ₹5,940

उत्तर: 1.5 पैसे प्रति रुपया मतलब 1.5% प्रति माह, यानी 18% प्रति वर्ष। समय 2 वर्ष 4 महीने है, यानी 28 महीने। महीनों में ही हिसाब कर लेते हैं, 1.5 × 28 = 42, तो ब्याज 16,500 का 42% = (a) ₹6,930 है।

प्रश्न 6

साधारण ब्याज पर कोई राशि 3 वर्ष में ₹11,780 और 5 वर्ष में ₹13,300 हो जाती है। ब्याज की दर कितनी है? (a) 6.45% (b) 8% (c) 16% (d) 7.5%

उत्तर: दोनों मिश्रधनों का अंतर बीच के 2 वर्षों का ब्याज है, 13,300 − 11,780 = ₹1,520। तो एक वर्ष का ब्याज ₹760 हुआ। तीन वर्ष का ब्याज ₹2,280 है, इसलिए राशि = 11,780 − 2,280 = ₹9,500। दर = $\frac{760}{9500} \times 100$ = (b) 8%।

प्रश्न 7

कोई राशि 3 वर्ष के लिए साधारण ब्याज पर उधार दी गई। यदि यह 4% अधिक दर पर उधार दी जाती, तो ₹756 अधिक ब्याज मिलता। वह राशि कितनी है? (a) ₹18,900 (b) ₹25,200 (c) ₹6,300 (d) ₹7,560

उत्तर: दर 4% अधिक होती और समय 3 वर्ष है, तो अतिरिक्त ब्याज राशि का 12% होता। यही 12% ₹756 के बराबर है। राशि = 756 × $\frac{100}{12}$ = (c) ₹6,300। उलटकर देखें, तो 6,300 का 12% सचमुच 756 है।

प्रश्न 8

साधारण ब्याज पर कोई राशि 7 वर्ष में स्वयं की दोगुनी हो जाती है। कितने वर्षों में वह स्वयं की पाँच गुनी हो जाएगी? (a) 35 वर्ष (b) 14 वर्ष (c) 21 वर्ष (d) 28 वर्ष

उत्तर: राशि दोगुनी हुई, यानी 7 वर्ष में ब्याज 1P मिला। 5 गुनी होने के लिए ब्याज 4P चाहिए, तो समय 4 × 7 = (d) 28 वर्ष। कुछ लोग 7 को 5 से गुणा करके 35 वर्ष लिख देते हैं। पर 5 गुना तो मिश्रधन है, ब्याज केवल 4P है, इसलिए गुणा 4 से होगा।

प्रश्न 9

किसी राशि पर साधारण ब्याज उस राशि का $\frac{16}{25}$ है, और प्रतिशत दर का मान वर्षों की संख्या के बराबर है। ब्याज की दर कितनी है? (a) 8% (b) 6.4% (c) 64% (d) 16%

उत्तर: यहाँ R × T = $\frac{16}{25} \times 100$ = 64 है। दर और समय बराबर हैं, तो R × R = 64, यानी R = (a) 8%। समय भी 8 वर्ष है।

प्रश्न 10

₹27,000 की राशि साधारण ब्याज पर उधार दी गई: पहले 3 वर्षों के लिए 5% वार्षिक, अगले 4 वर्षों के लिए 7% वार्षिक और 7 वर्ष के बाद 10% वार्षिक की दर से। 10 वर्ष के अंत में कुल ब्याज कितना होगा? (a) ₹19,800 (b) ₹19,710 (c) ₹14,310 (d) ₹27,000

उत्तर: हर अवधि का प्रतिशत जोड़ लेते हैं। पहले 3 वर्ष 5 × 3 = 15%, अगले 4 वर्ष 7 × 4 = 28%, और आठवें से दसवें वर्ष तक 10 × 3 = 30%। कुल 73% हुआ, तो ब्याज = 27,000 का 73% = (b) ₹19,710। जो पूरे 10 वर्षों पर 10% लगा देते हैं, उन्हें ₹27,000 मिलता है। यह "7 वर्ष के बाद" का गलत अर्थ लेने से होता है।

प्रश्न 11

₹35,000 को दो भागों में बाँटा गया। एक भाग 8% और दूसरा भाग 12% वार्षिक साधारण ब्याज की दर पर उधार दिया गया। 2 वर्ष बाद कुल ब्याज ₹6,440 मिला। 8% पर कितनी राशि उधार दी गई? (a) ₹10,500 (b) ₹17,500 (c) ₹24,500 (d) ₹21,000

उत्तर: एक वर्ष का ब्याज = 6,440 ÷ 2 = ₹3,220, तो औसत दर = $\frac{3220}{35000} \times 100$ = 9.2%। अब 8% वाला भाग : 12% वाला भाग = (12 − 9.2) : (9.2 − 8) = 2.8 : 1.2 = 7 : 3। तो 8% वाला भाग = $\frac{7}{10}$ × 35,000 = (c) ₹24,500। जाँच कर लेते हैं, 24,500 पर 8% से 2 वर्ष का ब्याज 3,920 है और 10,500 पर 12% से 2 वर्ष का 2,520, कुल 6,440।

प्रश्न 12

₹21,000 को दो भागों में इस प्रकार बाँटिए कि पहले भाग पर 9% वार्षिक दर से 4 वर्ष का साधारण ब्याज, दूसरे भाग पर 8% वार्षिक दर से 6 वर्ष के साधारण ब्याज के बराबर हो। पहला भाग कितना है? (a) ₹12,000 (b) ₹9,000 (c) ₹12,600 (d) ₹10,500

उत्तर: पहले भाग का R × T = 36 है और दूसरे का 48। ब्याज बराबर है, तो $P_1 \times 36 = P_2 \times 48$, यानी $P_1 : P_2$ = 48 : 36 = 4 : 3। पहला भाग = $\frac{4}{7}$ × 21,000 = (a) ₹12,000। 12,000 का 36% = 4,320 और 9,000 का 48% भी 4,320, तो दोनों ब्याज बराबर निकले।

प्रश्न 13

एक व्यक्ति ₹29,000 की राशि अपने 11 वर्ष और 14 वर्ष के दो पुत्रों में इस प्रकार बाँटता है कि 20 वर्ष के होने पर प्रत्येक को बराबर मिश्रधन मिले। इस राशि पर 6% वार्षिक साधारण ब्याज मिलता है। छोटे पुत्र का हिस्सा कितना है? (a) ₹15,400 (b) ₹14,500 (c) ₹11,600 (d) ₹13,600

उत्तर: छोटे पुत्र की रकम 9 वर्ष तक बढ़ेगी, तो उसके लिए 100 + 54 = 154। बड़े की रकम 6 वर्ष बढ़ेगी, तो 100 + 36 = 136। मिश्रधन बराबर हैं, इसलिए छोटा : बड़ा = $\frac{1}{154} : \frac{1}{136}$ = 136 : 154 = 68 : 77। एक भाग = 29,000 ÷ 145 = ₹200, तो छोटे पुत्र को 68 × 200 = (d) ₹13,600 मिलेंगे। बड़े पुत्र को ₹15,400 मिलेंगे। मिलान भी कर लेते हैं, 13,600 × 1.54 = 20,944 और 15,400 × 1.36 = 20,944।

प्रश्न 14

अर्जुन ने 7% वार्षिक साधारण ब्याज पर ₹36,000 उधार लिए और पूरी राशि 9.5% वार्षिक साधारण ब्याज पर उधार दे दी। 2.5 वर्ष में उसे कितना लाभ होगा? (a) ₹900 (b) ₹2,250 (c) ₹8,550 (d) ₹6,300

उत्तर: ₹36,000 पर अर्जुन को हर वर्ष 9.5 − 7 = 2.5% का लाभ है, यानी ₹900 प्रति वर्ष। 2.5 वर्ष में यह 900 × 2.5 = (b) ₹2,250 हुआ। ₹900 पर रुक जाना गलत है, क्योंकि वह केवल एक वर्ष का लाभ है।

प्रश्न 15

नेहा ने 9% वार्षिक साधारण ब्याज पर ₹25,000 का ऋण लिया। 3 वर्ष बाद उसने ₹16,750 चुका दिए। ऋण चुकता करने के लिए उसे शुरुआत से 5 वर्ष के अंत में कितनी राशि देनी होगी? (a) ₹19,500 (b) ₹15,000 (c) ₹17,700 (d) ₹16,350

उत्तर: 3 वर्ष बाद बकाया = 25,000 × 1.27 = ₹31,750। ₹16,750 चुकाने पर ₹15,000 बचे, और यही नया मूलधन है। अगले 2 वर्ष 9% पर, यानी 18%, तो 15,000 × 1.18 = (c) ₹17,700। कुछ लोग 5 वर्ष के मिश्रधन में से अदायगी घटा देते हैं, 25,000 × 1.45 − 16,750 = ₹19,500। यह गलत है, क्योंकि ऐसे में कुछ हिस्सा चुक जाने के बाद भी पूरे ₹25,000 पर ब्याज लगता रहता है।

प्रश्न 16

₹10,600 का ऋण 12% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से 2 समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। प्रत्येक किस्त कितनी है? (a) ₹6,200 (b) ₹6,572 (c) ₹5,936 (d) ₹5,300

उत्तर: 2 वर्ष के अंत में बकाया = 10,600 × 1.24 = ₹13,144। पहली किस्त x एक वर्ष पहले दी गई, तो उस पर एक वर्ष का 12% ब्याज लगेगा और आख़िरी दिन उसका मूल्य 1.12x होगा। दूसरी किस्त x ही रहेगी। तो 2.12x = 13,144, और x = (a) ₹6,200। जाँच: 6,200 × 1.12 + 6,200, यानी 6,944 + 6,200 = 13,144।

प्रश्न 17

15% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से 3 वर्ष में देय ₹17,250 का ऋण कितनी समान वार्षिक किस्त से चुकता होगा? (a) ₹5,750 (b) ₹5,000 (c) ₹7,250 (d) ₹4,750

उत्तर: ₹17,250 अंत की देय राशि है, इसलिए इसमें ब्याज नहीं जोड़ना। किस्तों पर 2, 1 और 0 वर्ष का ब्याज लगेगा। तो x(1.30 + 1.15 + 1) = 3.45x = 17,250, और x = (b) ₹5,000।

प्रश्न 18

कविता के पास निवेश के लिए ₹60,000 हैं। योजना A में 5 वर्ष के लिए 8% वार्षिक साधारण ब्याज मिलता है, और योजना B में 4 वर्ष के लिए 9.5% वार्षिक साधारण ब्याज। कौन-सी योजना अधिक ब्याज देती है, और कितना अधिक? (a) योजना B, ₹1,200 अधिक (b) योजना A, ₹900 अधिक (c) योजना A, ₹1,200 अधिक (d) दोनों बराबर ब्याज देती हैं

उत्तर: राशि दोनों में एक ही है, तो बस R × T की तुलना करनी है। योजना A में 8 × 5 = 40%, यानी ₹24,000, और योजना B में 9.5 × 4 = 38%, यानी ₹22,800। तो उत्तर (c) योजना A, ₹1,200 अधिक है। यहाँ ऊँची दर वाली योजना पीछे रह गई, क्योंकि उसका समय एक वर्ष कम है।

प्रश्न 19

एक व्यक्ति ने ₹40,000 में से कुछ राशि 6% और शेष राशि 9% वार्षिक साधारण ब्याज की दर पर निवेश की, और उसे एक वर्ष में ₹2,940 ब्याज मिला। यदि वह दोनों दरों को आपस में बदल देता, तो उसका वार्षिक ब्याज कितना होता? (a) ₹2,940 (b) ₹3,000 (c) ₹3,180 (d) ₹3,060

उत्तर: दोनों स्थितियों को साथ रखें, तो हर भाग पर हर दर एक-एक बार लगती है। इसलिए दोनों वार्षिक ब्याजों का योग 40,000 का (6 + 9)%, यानी 15% = ₹6,000 है। अदला-बदली के बाद ब्याज = 6,000 − 2,940 = (d) ₹3,060। जाँच के लिए 0.06x + 0.09(40,000 − x) = 2,940 हल करें, तो x = 22,000 आता है। यानी 6% पर ₹22,000 थे और 9% पर ₹18,000। अदला-बदली के बाद 22,000 × 9% + 18,000 × 6% = 1,980 + 1,080 = 3,060।

प्रश्न 20

साधारण ब्याज की किसी निश्चित दर पर ₹7,500 की राशि 3 वर्ष में ₹9,300 हो जाती है। यदि दर 2% बढ़ा दी जाए, तो वही राशि 3 वर्ष में कितनी हो जाएगी? (a) ₹9,750 (b) ₹9,450 (c) ₹9,486 (d) ₹9,900

उत्तर: दर 2% बढ़ी और समय 3 वर्ष है, तो अतिरिक्त ब्याज ₹7,500 का 6% = ₹450। नया मिश्रधन = 9,300 + 450 = (a) ₹9,750। जाँच के लिए, पुराना ब्याज ₹1,800 था, यानी 8% प्रति वर्ष। 10% पर 7,500 × 1.3 = 9,750 ही आता है। जो अतिरिक्त 2% केवल एक वर्ष का जोड़ते हैं, उन्हें ₹9,450 मिलता है, जो गलत है।

प्रश्न 21

[Tier 2] ₹25,300 को तीन भागों में बाँटकर 10% वार्षिक साधारण ब्याज की दर पर क्रमशः 2, 3 और 4 वर्षों के लिए उधार दिया गया। तीनों मिश्रधन बराबर हैं। 4 वर्ष के लिए उधार दिया गया भाग कितना है? (a) ₹9,100 (b) ₹7,800 (c) ₹8,400 (d) ₹8,100

उत्तर: तीनों मिश्रधन बराबर हैं, तो $P_1 \times 120 = P_2 \times 130 = P_3 \times 140$। इससे $P_1 : P_2 : P_3 = \frac{1}{12} : \frac{1}{13} : \frac{1}{14}$ आता है। हर पद को 12 × 13 × 14 = 2,184 से गुणा करें, तो 182 : 168 : 156 मिलता है, जिसका योग 506 है। एक भाग = 25,300 ÷ 506 = ₹50, तो 4 वर्ष वाला भाग = 156 × 50 = (b) ₹7,800। जाँच: 9,100 × 1.2, 8,400 × 1.3 और 7,800 × 1.4, तीनों 10,920 आते हैं।