मानव-दिवस, एकांतर दिन, कार्य और मज़दूरी

मानव-दिवस: कार्य का माप

मान लीजिए कुछ श्रमिक मिलकर कोई कार्य करते हैं, और सब एक जैसे कुशल हैं। तब कार्य कितना बड़ा है, यह श्रमिकों की संख्या × दिनों की संख्या से पता चलता है। इस गुणनफल को कार्य के मानव-दिवस (man-days) कहते हैं। कुछ लोग इसे श्रमिक-दिवस भी कहते हैं। एक मानव-दिवस मतलब एक पुरुष का एक दिन का कार्य।

जैसे, प्रश्न में दिया है कि "14 पुरुष एक सड़क 15 दिनों में बना सकते हैं।" तो सड़क 14 × 15 = 210 मानव-दिवस का कार्य है। अब आगे जो भी पूछा जाए, उसका उत्तर इसी एक संख्या से निकल आता है।

• 21 पुरुष लगें, तो 210 ÷ 21 = 10 दिन लगेंगे।
• एक पुरुष अकेले करे, तो उसे 210 दिन लगेंगे।
• सड़क 6 दिनों में पूरी करनी हो, तो 210 ÷ 6 = 35 पुरुष चाहिए।

सूत्र के रूप में इसे ऐसे लिखते हैं।

$$M_1 D_1 = M_2 D_2$$

पुरुष बढ़ें, तो दिन घटते हैं। पुरुष जितने अधिक होंगे, दिन उसी अनुपात में कम लगेंगे। ऊपर पुरुष 14 से 21 हुए, यानी डेढ़ गुना हो गए। तो दिन 15 से घटकर 10 रह गए, जो पहले के दो-तिहाई हैं। इसे व्युत्क्रम समानुपात कहते हैं।

प्रतिदिन घंटे। अगर रोज़ के कार्य के घंटे भी बदलें, तो दिनों की जगह मानव-घंटे (man-hours) गिनिए। मान लीजिए, "प्रतिदिन 8 घंटे कार्य करके 14 पुरुष सड़क 15 दिनों में बनाते हैं।" तो सड़क 14 × 15 × 8 = 1,680 मानव-घंटे का कार्य है।

• 20 पुरुष प्रतिदिन 12 घंटे कार्य करें, तो 1,680 ÷ (20 × 12) = 7 दिन लगेंगे।
• 28 पुरुषों को सड़क 10 दिनों में पूरी करनी हो, तो उन्हें 1,680 ÷ (28 × 10) = प्रतिदिन 6 घंटे कार्य करना होगा।

$$M_1 D_1 H_1 = M_2 D_2 H_2$$

अलग लोग, अलग घंटे। कभी हर व्यक्ति के घंटे अलग होते हैं। जैसे, "प्रतिदिन 8 घंटे कार्य करके A एक कार्य 10 दिनों में पूरा करता है, और प्रतिदिन 10 घंटे कार्य करके B उसे 12 दिनों में। प्रतिदिन 6 घंटे कार्य करते हुए दोनों मिलकर कितने दिन लेंगे?" यहाँ पहले हर व्यक्ति के कुल घंटे गिन लीजिए। A को 80 घंटे लगते हैं और B को 120 घंटे। अब कुल कार्य 80 और 120 का ल.स., यानी 240 इकाई मान लीजिए। A हर घंटे 3 इकाई करता है और B 2 इकाई, तो दोनों मिलकर 5 इकाई प्रति घंटा करते हैं। इस हिसाब से कुल 48 घंटे लगेंगे। रोज़ 6 घंटे कार्य होगा, इसलिए 8 दिन लगेंगे।

मानव-दिवस भी ल.स. विधि ही है। ल.स. विधि में हम हर व्यक्ति को उसकी अपनी इकाई प्रतिदिन देते हैं। मानव-दिवस में हर श्रमिक 1 इकाई प्रतिदिन करता है, इसलिए कुल कार्य सीधे पुरुष × दिन (× घंटे) से निकल आता है। जब श्रमिक एक जैसे कुशल न हों, जैसे पुरुष और महिलाएँ साथ हों या कोई टोली तेज़ हो, तब हर प्रकार के श्रमिक की अपनी इकाई प्रतिदिन लेनी पड़ती है। यह आगे इसी खंड में देखेंगे।

दिन, पुरुष या घंटे, जो भी पूछा जाए। प्रश्न में दिन पूछे जा सकते हैं, पुरुष पूछे जा सकते हैं, या प्रतिदिन घंटे। हर बार पहले कुल कार्य लिखिए, जो बदलता नहीं, जैसे 1,680 मानव-घंटे। फिर जो दो चीज़ें दी हुई हैं, उनके गुणनफल से इस कुल को भाग दे दीजिए। बस यही एक आदत डाल लीजिए, तीनों तरह के प्रश्न हो जाएँगे।

कुछ कार्य हो चुका हो, तब। मान लीजिए वही 14 पुरुष 15 में से 5 दिन कार्य कर चुके हैं। तो शेष कार्य 14 × 10 = 140 मानव-दिवस है, आगे चाहे जो हो। कोई छोड़े या कोई जुड़े, बचा हुआ कार्य इतना ही रहेगा। इसी खंड में आगे छोड़ने और जुड़ने वाले जितने प्रश्न आएँगे, सब इसी तरह शेष कार्य को मानव-दिवस में निकालकर हल होंगे।

गुणा करने से पहले एक बार सोच लीजिए कि उत्तर बड़ा आना चाहिए या छोटा। 14 पुरुष सड़क 15 दिनों में बनाते हैं। अब कोई 21 पुरुषों के लिए 22.5 दिन लिख दे, तो साफ़ है कि उसने व्युत्क्रम की जगह प्रत्यक्ष समानुपात लगा दिया। पुरुष बढ़े हैं, तो दिन घटने चाहिए थे।

श्रृंखला नियम: पुरुष, दिन, घंटे, कार्य

कई प्रश्नों में पुरुष, दिन और घंटों के साथ कार्य की मात्रा भी बदल जाती है। ऐसे प्रश्न श्रृंखला नियम (chain rule) से हल होते हैं। इसमें कार्य की मात्रा भिन्न के नीचे, यानी हर में रखी जाती है।

$$\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}$$

बायाँ पक्ष बताता है कि कार्य की एक इकाई पर कितने मानव-घंटे लगते हैं। जब तक श्रमिक एक जैसे कुशल हैं, यह संख्या नहीं बदलती।

पुरुष निकालना। प्रश्न है, "प्रतिदिन 6 घंटे कार्य करके 21 पुरुष 56 मीटर लंबी खाई 8 दिनों में खोदते हैं। प्रतिदिन 8 घंटे कार्य करके 80 मीटर लंबी खाई 10 दिनों में खोदने के लिए कितने पुरुष चाहिए?" दोनों ओर की संख्याएँ सूत्र में रख दीजिए।

$$\frac{21 \times 8 \times 6}{56} = \frac{M_2 \times 10 \times 8}{80} \Rightarrow M_2 = \frac{21 \times 8 \times 6 \times 80}{56 \times 10 \times 8} = 18$$

तो 18 पुरुष चाहिए।

दिन निकालना। अब यह प्रश्न देखिए, "प्रतिदिन 8 घंटे कार्य करके 10 पुरुष 6 दिनों में 4,000 पन्ने छापते हैं। प्रतिदिन 10 घंटे कार्य करके 12 पुरुष 6,000 पन्ने कितने दिनों में छापेंगे?"

$$D_2 = \frac{10 \times 6 \times 8 \times 6000}{4000 \times 12 \times 10} = 6 \text{ दिन}$$

तर्क वाला तरीका। सूत्र के बिना भी यह हो जाता है। जो राशि पूछी गई है, उसी से शुरू कीजिए। फिर एक बार में एक ही चीज़ बदलिए, और हर बार अपने से पूछिए, "इससे पुरुष अधिक लगेंगे या कम?"

खाई वाले प्रश्न में इसे ऐसे लगाते हैं। 21 पुरुषों से शुरू कीजिए। खाई लंबी है, तो पुरुष अधिक चाहिए, इसलिए 80 ऊपर और 56 नीचे। दिन अधिक मिले हैं, तो पुरुष कम चाहिए, इसलिए 8 ऊपर और 10 नीचे। रोज़ के घंटे भी अधिक हैं, तो फिर पुरुष कम, इसलिए 6 ऊपर और 8 नीचे। अब 21 × $\frac{80}{56}$ × $\frac{8}{10}$ × $\frac{6}{8}$ = 18 पुरुष।

लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन वाला कार्य। दीवार, खेत या सड़क जैसे कार्य में कार्य की मात्रा लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन से मापी जाती है। जैसे, "8 पुरुष 30 मीटर लंबी और 2 मीटर ऊँची दीवार 10 दिनों में बनाते हैं। 45 मीटर लंबी और 4 मीटर ऊँची दीवार बनाने में 12 पुरुष कितने दिन लेंगे?" यहाँ दोनों दीवारों का क्षेत्रफल लीजिए, जो 60 और 180 वर्ग मीटर है।

$$D_2 = \frac{8 \times 10 \times 180}{60 \times 12} = 20 \text{ दिन}$$

श्रमिक अधिक या कम कुशल हों। श्रमिक एक जैसे कुशल न हों, तो सूत्र में कार्यक्षमता E भी जोड़ दीजिए। तब सूत्र $\frac{M_1 D_1 H_1 E_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2 E_2}{W_2}$ हो जाता है। मान लीजिए खाई वाले प्रश्न में दूसरी खाई खोदने वाला हर श्रमिक पहली टोली के श्रमिक से 1.5 गुना कुशल है। तो उनमें से हर एक 1.5 पुरुष के बराबर है, और केवल 18 ÷ 1.5 = 12 पुरुष चाहिए।

जल्दी पूरा करना, बीच में बदलाव

जल्दी पूरा करने के लिए अधिक पुरुष। जैसे यह प्रश्न, "28 पुरुष एक कार्य 30 दिनों में कर सकते हैं। उसे 21 दिनों में पूरा करने के लिए कितने अतिरिक्त पुरुष चाहिए?" कार्य 28 × 30 = 840 मानव-दिवस का है। 21 दिनों में करना है, तो 840 ÷ 21 = 40 पुरुष चाहिए। 28 पहले से लगे हैं, इसलिए 12 अतिरिक्त पुरुष लगेंगे। जल्दबाज़ी में कई छात्र 40 लिख देते हैं। पर 40 तो कुल पुरुष हैं, अतिरिक्त नहीं।

बीच में कुछ पुरुष छोड़ दें। "60 पुरुष एक कार्य शुरू करते हैं, जिसे वे 28 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 10 दिन बाद 12 पुरुष कार्य छोड़ देते हैं। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा होगा?"

• शेष कार्य उतना है, जितना 60 पुरुष बाकी 18 दिनों में करते, यानी 60 × 18 = 1,080 मानव-दिवस।
• अब केवल 48 पुरुष बचे हैं, तो इसमें 1,080 ÷ 48 = 22.5 दिन लगेंगे।
• कुल समय 10 + 22.5 = 32.5 दिन हुआ, यानी कार्य 4.5 दिन देर से पूरा होगा।

बीच में कुछ पुरुष जुड़ जाएँ। वही कार्य लीजिए, पर इस बार 10 दिन बाद 12 पुरुष और जुड़ते हैं। शेष कार्य फिर 1,080 मानव-दिवस ही है, और अब 72 पुरुष हैं। तो 1,080 ÷ 72 = 15 दिन और लगेंगे, यानी कुल 25 दिन। कार्य 3 दिन पहले पूरा हो जाएगा।

दोनों प्रश्नों में मुख्य कदम एक ही है। पहले शेष कार्य मानव-दिवस में निकालिए, वह भी मूल टोली और मूल योजना के हिसाब से। फिर उसे नई टोली के पुरुषों की संख्या से भाग दीजिए।

कार्य योजना से पीछे चल रहा हो। "एक ठेकेदार किसी कार्य को 50 दिनों में पूरा करने के लिए 90 पुरुष लगाता है। 20 दिन बाद कार्य का केवल $\frac{1}{3}$ भाग पूरा होता है। समय पर पूरा करने के लिए उसे कितने अतिरिक्त पुरुष लगाने होंगे?"

• 20 दिनों में 90 × 20 = 1,800 मानव-दिवस कार्य हुआ, और यह कार्य का $\frac{1}{3}$ भाग है। बाकी $\frac{2}{3}$ भाग इसका दोगुना है, यानी 3,600 मानव-दिवस।
• अब 30 दिन बचे हैं, तो 3,600 ÷ 30 = 120 पुरुष चाहिए। यानी 30 अतिरिक्त पुरुष।

यहाँ योजना वाले 90 × 50 = 4,500 मानव-दिवस से हिसाब नहीं होगा। कार्य योजना से बड़ा निकला है, पूरे 5,400 मानव-दिवस का। कार्य असल में कितना बड़ा है, यह पहले हो चुके कार्य से ही पता चलता है।

कार्य योजना से आगे चल रहा हो। कभी कार्य योजना से तेज़ चलता है। तब इन्हीं कदमों से पता चलता है कि कितने पुरुष हटाए जा सकते हैं। योजना के हिसाब से जितना होना था, उससे अधिक कार्य हो चुका हो, तो शेष मानव-दिवस कम बचते हैं, और कुछ पुरुषों को हटाया जा सकता है।

[Tier 2] हर दिन कुछ पुरुष हटते जाएँ। "पुरुषों के एक समूह ने एक कार्य 10 दिनों में पूरा करने की योजना बनाई। परंतु प्रत्येक दिन के अंत में 4 पुरुष कार्य छोड़ते गए, और कार्य 15वें दिन के अंत में पूरा हुआ। आरंभ में कितने पुरुष थे?" मान लीजिए आरंभ में N पुरुष थे। तो रोज़ कार्य करने वाले पुरुष N, N − 4, N − 8, … , N − 56 होते हैं। इन सबका योग $15N - 4(1 + 2 + \cdots + 14) = 15N - 420$ है। योजना में यही कार्य 10N मानव-दिवस का था, तो दोनों बराबर रखिए। 5N = 420 आता है, यानी N = 84।

[SSC टिप] प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि वह पुरुषों की कुल संख्या पूछ रहा है या अतिरिक्त पुरुष। इसी तरह देखिए कि कुल समय पूछा है या बदलाव के बाद लगा समय। SSC अक्सर दोनों मान विकल्पों में दे देता है।

पुरुष, महिलाएँ, बच्चे: एक इकाई में

जब कार्य में पुरुष, महिलाएँ, लड़के या बच्चे साथ हों, तो सबकी गति एक जैसी नहीं होती। ऐसे में दो रास्ते हैं। या तो सबको एक ही प्रकार के श्रमिक में बदल लीजिए, या हर प्रकार को उसकी अपनी इकाई प्रतिदिन दे दीजिए। उसके बाद हिसाब पहले जैसा ही मानव-दिवस वाला है।

"2 पुरुष या 5 महिलाएँ किसी कार्य को 15 दिनों में कर सकते हैं।" इसका मतलब है कि 2 पुरुष अकेले कार्य को 15 दिनों में करते हैं, और 5 महिलाएँ अकेले भी 15 दिनों में। तो 2 पुरुषों का कार्य 5 महिलाओं के कार्य के बराबर है, यानी 2M = 5W।

सबसे साफ़ तरीका इकाइयों वाला है। हर पुरुष को 5 इकाई प्रतिदिन दीजिए और हर महिला को 2। अब 2 पुरुष भी रोज़ 10 इकाई करते हैं और 5 महिलाएँ भी 10। तो कार्य 10 × 15 = 150 इकाई का है।

• "4 पुरुष और 5 महिलाएँ कितने दिन लेंगे?" ये रोज़ 4 × 5 + 5 × 2 = 30 इकाई करेंगे, तो 150 ÷ 30 = 5 दिन लगेंगे।
• "3 दिनों में पूरा करने के लिए 4 पुरुषों के साथ कितनी महिलाएँ जुड़ें?" 3 दिनों में पूरा करना है, तो रोज़ 50 इकाई चाहिए। 4 पुरुष 20 इकाई करते हैं, बाकी 30 इकाई महिलाओं से चाहिए। इसलिए 15 महिलाएँ जुड़नी चाहिए।

यही हिसाब महिला-दिवस में भी हो सकता है। महिला-दिवस यहाँ कार्य गिनने की इकाई है, मतलब एक महिला का एक दिन का कार्य। कार्य = 5 × 15 = 75 महिला-दिवस। 4 पुरुष 10 महिलाओं के बराबर हैं, तो 4 पुरुष और 5 महिलाएँ मिलकर 15 महिलाओं के बराबर हुए। 75 ÷ 15 = 5 दिन, उत्तर वही आया।

कई प्रकार के श्रमिक एक साथ। "16 पुरुष एक कार्य 9 दिनों में पूरा कर सकते हैं। यदि कार्य की दृष्टि से 2 पुरुष = 3 महिलाएँ = 6 बच्चे, तो 4 पुरुष, 6 महिलाएँ और 12 बच्चे उसे कितने दिनों में पूरा करेंगे?" सबको पुरुषों में बदल लीजिए। 6 महिलाएँ 4 पुरुषों के बराबर हैं, और 12 बच्चे भी 4 पुरुषों के बराबर। तो पूरा समूह 4 + 4 + 4 = 12 पुरुषों के बराबर है। कार्य 16 × 9 = 144 मानव-दिवस है, इसलिए 144 ÷ 12 = 12 दिन लगेंगे।

अलग-अलग समय दिए हों। कभी प्रश्न ऐसे आता है, "एक पुरुष कोई कार्य 10 दिनों में कर सकता है और एक महिला 15 दिनों में।" यहाँ समय पलट दीजिए। पुरुष और महिला के कार्य का अनुपात 15 : 10 = 3 : 2 है, यानी 2 पुरुष = 3 महिलाएँ। समय पलटने वाली बात "समय और कार्य: दर, कार्यक्षमता और मिलकर कार्य" वाले खंड में विस्तार से है।

शब्दों को ध्यान से पढ़िए।

• "2 पुरुष या 5 महिलाएँ" का मतलब है कि हर समूह अकेले कार्य करता है। इसे "2 पुरुष और 5 महिलाएँ मिलकर" न समझिए।
• "एक पुरुष, एक महिला से दोगुना कार्य करता है" का मतलब है 1 पुरुष = 2 महिलाएँ।
• "एक महिला, एक पुरुष से दोगुना समय लेती है" का मतलब भी 1 पुरुष = 2 महिलाएँ ही है।
• "एक पुरुष, एक महिला से 50% अधिक कुशल है" का मतलब है 2 पुरुष = 3 महिलाएँ।

बदलने के बाद एक बार दिशा जाँच लीजिए। 4 पुरुष = 10 महिलाएँ आया, तो यह ठीक है। पुरुष अधिक कार्य करता है, इसलिए 4 पुरुषों के बराबर 4 से अधिक महिलाएँ होनी ही चाहिए। अगर पुरुषों को महिलाओं में बदलने पर संख्या घट जाए, तो समझिए कि बदलने की दर (1 पुरुष = कितनी महिलाएँ) उलटी लग गई है।

दो समूह, दो समीकरण, और कितने श्रमिक चाहिए

बदलने की दर न दी हो। "6 पुरुष और 3 महिलाएँ एक कार्य 6 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जबकि 1 पुरुष और 4 महिलाएँ उसमें 18 दिन लेते हैं। 2 पुरुष और 1 महिला कितने दिन लेंगे?" दोनों समूह एक ही कार्य करते हैं। इसलिए दोनों के लिए रोज़ का कार्य × दिन बराबर होगा।

$$6(6M + 3W) = 18(M + 4W) \Rightarrow 36M + 18W = 18M + 72W \Rightarrow 18M = 54W \Rightarrow M = 3W$$

तो 1 पुरुष = 3 महिलाएँ। अब महिला को 1 इकाई प्रतिदिन दीजिए और पुरुष को 3।

• कार्य = 6 × (6 × 3 + 3 × 1) = 6 × 21 = 126 इकाई। जाँच के लिए दूसरा समूह देखिए, 18 × (3 + 4) = 126।
• 2 पुरुष और 1 महिला रोज़ 7 इकाई करते हैं, तो 126 ÷ 7 = 18 दिन लगेंगे।
• एक महिला अकेले 126 दिन लेगी, और एक पुरुष अकेले 42 दिन।

एक प्रकार के कितने श्रमिक चाहिए। "उसी कार्य को 7 दिनों में पूरा करने के लिए 6 महिलाओं के साथ कितने पुरुष कार्य करें?" 7 दिनों में पूरा करना है, तो रोज़ 18 इकाई चाहिए। 6 महिलाएँ 6 इकाई करती हैं, तो बाकी 12 इकाई पुरुषों से चाहिए। हर पुरुष 3 इकाई करता है, इसलिए 4 पुरुष चाहिए।

हर प्रकार के श्रमिक का अपना समय। "एक पुरुष कोई कार्य 6 दिनों में, एक महिला 10 दिनों में और एक लड़का 15 दिनों में कर सकता है। कार्य को 1 दिन में पूरा करने के लिए 3 पुरुषों और 1 महिला की सहायता हेतु कितने लड़के चाहिए?" ल.स. 30 लीजिए। तो पुरुष 5 इकाई प्रतिदिन करता है, महिला 3 और लड़का 2। पूरी 30 इकाई उसी एक दिन में करनी हैं। 3 पुरुष और 1 महिला 15 + 3 = 18 इकाई करते हैं, तो 12 इकाई लड़कों से चाहिए। यानी 6 लड़के।

पुरुष और लड़के, महिलाएँ और बच्चे। कोई भी दो प्रकार के श्रमिक हों, हर बार यही तीन कदम काम आते हैं।

1. दोनों समूह एक ही कार्य करते हैं, तो लिखिए कि पहले समूह का दैनिक कार्य × दिन = दूसरे समूह का दैनिक कार्य × दिन।
2. इससे बदलने की दर निकालिए, जैसे 1 पुरुष = k लड़के।
3. फिर हर श्रमिक को उसकी इकाई प्रतिदिन दीजिए, और जो पूछा है वह निकालिए।

केवल एक समूह का समय दिया हो। "3 पुरुष और 4 लड़के 12 दिन लेते हैं। एक पुरुष की कार्यक्षमता एक लड़के की दोगुनी है। 1 पुरुष और 3 लड़के कितने दिन लेंगे?" लड़के को 1 इकाई दीजिए और पुरुष को 2। कार्य = 12 × (6 + 4) = 120 इकाई। 1 पुरुष और 3 लड़के रोज़ 5 इकाई करते हैं, तो 120 ÷ 5 = 24 दिन लगेंगे।

एक समूह के दिन दूसरे समूह के दिनों में से कभी न घटाइए। समीकरण हमेशा इसी बात से लिखिए कि दोनों समूह एक ही कार्य करते हैं।

एक जाँच और कर लीजिए। "कितने लड़के" के उत्तर में 5.4 लड़के जैसा कुछ आए, तो हिसाब दोबारा देखिए। SSC के प्रश्नों में श्रमिकों की संख्या हमेशा पूर्ण संख्या होती है।

एकांतर दिन: दो की बारी

कई प्रश्नों में दो लोग एक साथ नहीं, बल्कि एकांतर दिनों (alternate days) में कार्य करते हैं। "A और B एकांतर दिनों में कार्य करते हैं" का मतलब है कि पहले दिन A, दूसरे दिन B, तीसरे दिन फिर A, और आगे इसी तरह। प्रश्न में दिया हो, तो शुरुआत B से भी हो सकती है। ऐसे प्रश्न 2 दिन के चक्र से हल होते हैं।

जब कार्य पूरे चक्रों में ख़त्म हो। मान लीजिए A कार्य को 15 दिनों में करता है और B 30 दिनों में। ल.स. 30 लीजिए, तो A 2 इकाई प्रतिदिन करता है और B 1। हर 2 दिन के चक्र में 3 इकाई होती हैं। 10 चक्रों में पूरी 30 इकाई हो जाती हैं, तो कार्य 20 दिन में पूरा होगा, शुरुआत चाहे कोई भी करे।

जब कुछ भाग बच जाए। अब मान लीजिए A कार्य को 10 दिनों में करता है और B 16 दिनों में। ल.स. 80 लीजिए। A 8 इकाई प्रतिदिन करता है और B 5, तो हर चक्र में 13 इकाई।

• 6 पूरे चक्र, यानी 12 दिन में 78 इकाई होती हैं। 2 इकाई बचती हैं।
• A ने शुरू किया हो, तो 13वें दिन A की बारी है। वह 8 इकाई प्रतिदिन करता है, तो 2 इकाई में दिन का $\frac{1}{4}$ भाग लगेगा। कुल $12\frac{1}{4}$ दिन।
• B ने शुरू किया हो, तो 13वें दिन B की बारी है। वह 5 इकाई प्रतिदिन करता है, तो 2 इकाई में दिन का $\frac{2}{5}$ भाग लगेगा। कुल $12\frac{2}{5}$ दिन।

जब अगला व्यक्ति अकेले पूरा न कर सके। मान लीजिए A को कार्य में 20 दिन लगते हैं और B को 24 दिन। ल.स. 120 लीजिए, तो A 6 इकाई प्रतिदिन करता है और B 5। एक चक्र में 11 इकाई।

• 10 चक्र, यानी 20 दिन में 110 इकाई होती हैं, और 10 इकाई बचती हैं।
• A पहले हो, तो 21वें दिन A 6 इकाई करता है और 4 बचती हैं। 22वें दिन B ये 4 इकाई करता है, और उसे दिन का $\frac{4}{5}$ भाग लगता है। कुल $21\frac{4}{5}$ दिन।
• B पहले हो, तो 21वें दिन B 5 इकाई करता है और 5 बचती हैं। 22वें दिन A ये 5 इकाई करता है, और उसे दिन का $\frac{5}{6}$ भाग लगता है। कुल $21\frac{5}{6}$ दिन।

तरीका। कार्य को एक चक्र के कार्य से भाग दीजिए। इससे पता चलता है कि कितने पूरे चक्र चलेंगे। उसके बाद एक-एक दिन आगे बढ़िए, और हर दिन देखिए कि बारी किसकी है।

कुल कार्य को एक चक्र के कार्य से भाग देकर सीधे दोगुना कर देना और उसे दिन मान लेना गलत है। पिछले उदाहरण में ऐसा करने पर $\frac{120}{11} \times 2 = 21\frac{9}{11}$ दिन आता है, और यही गलत उत्तर विकल्पों में भी दिया होता है। ऐसा करने में हम मान लेते हैं कि दोनों हर दिन अपनी औसत गति से साथ-साथ कार्य कर रहे हैं। पर आख़िरी दिन तो केवल एक ही व्यक्ति कार्य करता है।

आख़िरी दिन अधूरा होता है। उत्तर $12\frac{1}{4}$ दिन आया, तो इसका मतलब है कि कार्य 13वें दिन का एक-चौथाई बीतने पर पूरा हुआ। अगर प्रश्न में पूछा जाए, "कार्य किस दिन पूरा होता है?", तो उत्तर होगा 13वाँ दिन।

पहले कौन शुरू करे, इससे क्या फ़र्क पड़ता है। अगर कार्य पूरे चक्रों में ख़त्म नहीं होता, तो तेज़ व्यक्ति के शुरू करने पर कार्य जल्दी पूरा होता है, क्योंकि आख़िर का अतिरिक्त दिन तेज़ वाले को मिलता है। अगर कार्य पूरे चक्रों में ही ख़त्म हो जाता है, तो कौन शुरू करे, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

[SSC टिप] पूरे चक्र गिनने के बाद रुकिए। आगे कुछ भी करने से पहले लिख लीजिए कि कितनी इकाइयाँ बचीं और अगली बारी किसकी है। ज़्यादातर गलत उत्तर दो ही वजहों से आते हैं। या तो आख़िरी दिन गलत व्यक्ति को दे दिया जाता है, या किसी से एक दिन में उसकी क्षमता से अधिक कार्य करवा दिया जाता है।

हर तीसरे दिन सहायक, तीन की बारी, पालियाँ

हर तीसरे दिन आने वाला सहायक। "A किसी कार्य को 15 दिनों में और B उसे 45 दिनों में कर सकता है। A प्रतिदिन कार्य करता है, और B हर तीसरे दिन (तीसरे, छठे, नौवें दिन, आगे इसी तरह) उसकी सहायता करता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होगा?" ल.स. 45 लीजिए। A 3 इकाई प्रतिदिन करता है और B 1। हर 3 दिन के चक्र में 3 + 3 + (3 + 1) = 10 इकाई होती हैं।

• 4 चक्र, यानी 12 दिन में 40 इकाई होती हैं। 5 इकाई बचती हैं।
• 13वें दिन A अकेले 3 इकाई करता है, और 2 बचती हैं। 14वें दिन भी A अकेले है, और उसे दिन का $\frac{2}{3}$ भाग लगता है।
• कुल $13\frac{2}{3}$ दिन। B की अगली बारी 15वें दिन थी, वह आती ही नहीं।

एक दिन अकेले, अगले दिन साथ। "A प्रतिदिन कार्य करता है और B हर दूसरे दिन उसके साथ जुड़ता है।" यहाँ 2 दिन का चक्र लीजिए, जिसमें A के दो दिन हैं और B का एक दिन। आगे के कदम वही हैं।

तीन व्यक्ति, बारी-बारी से। "A, B और C किसी कार्य को 8, 10 और 20 दिनों में कर सकते हैं। वे एक-एक करके कार्य करते हैं: पहले दिन A, दूसरे दिन B, तीसरे दिन C, फिर दोबारा A।" ल.स. 40 लीजिए। A 5 इकाई प्रतिदिन करता है, B 4 और C 2। 3 दिन के चक्र में 11 इकाई होती हैं।

• 3 चक्र, यानी 9 दिन में 33 इकाई होती हैं, और 7 बचती हैं।
• दसवाँ दिन A का है। वह 5 इकाई करता है, और 2 बचती हैं। 11वाँ दिन B का है, और उसे $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ दिन लगता है।
• कुल $10\frac{1}{2}$ दिन।

कुछ घंटों की पालियाँ। "A किसी कार्य को 9 घंटे में और B उसे 12 घंटे में पूरा कर सकता है। वे बारी-बारी से 2-2 घंटे कार्य करते हैं, पहले A।" ल.स. 36 लीजिए। A 4 इकाई प्रति घंटा करता है और B 3। A की 2 घंटे की पाली में 8 इकाई होती हैं और B की पाली में 6। तो हर 4 घंटे के चक्र में 14 इकाई।

• 2 चक्र, यानी 8 घंटे में 28 इकाई होती हैं, और 8 बचती हैं।
• अगली पाली A की है, और वह ठीक 8 इकाई 2 घंटे में कर देता है।
• कुल 8 + 2 = 10 घंटे। अगर पहली पाली B की होती, तो आख़िरी 8 इकाई में B की पूरी पाली (6 इकाई) और A का आधा घंटा लगता। तब कुल $10\frac{1}{2}$ घंटे होते।

कई दिनों वाले चक्र। "A 3 दिन, फिर B 2 दिन, और आगे इसी तरह" जैसे प्रश्न में भी यही तरीका है। पहले एक चक्र का कार्य निकालिए, फिर पूरे चक्र गिनिए, और उसके बाद एक-एक दिन देखिए।

कुछ भी जोड़ने से पहले एक चक्र का ढाँचा लिख लीजिए, जैसे A, A, A + B। विकल्पों में जो गलत उत्तर रखे जाते हैं, वे आम तौर पर इन दो गलतियों से बनते हैं। पहली, सहायक को ऐसे दिन का कार्य भी दे देना, जिस दिन वह आया ही नहीं। दूसरी, कार्य को प्रतिदिन के औसत कार्य से भाग दे देना।

ऋणात्मक कार्य, बदलती गति

कुछ प्रश्नों में एक व्यक्ति कुछ बनाता है और दूसरा उसे गिराता है। गिराने वाले का कार्य ऋणात्मक कार्य (negative work) माना जाता है, यानी उसकी इकाइयाँ घटाई जाती हैं।

एक बनाए, एक गिराए। "A एक दीवार 15 दिनों में बना सकता है, और B उसे 24 दिनों में गिरा सकता है। यदि दोनों एक साथ कार्य करें, तो दीवार कितने दिनों में बनेगी?" ल.स. 120 लीजिए। A रोज़ 8 इकाई जोड़ता है और B 5 इकाई हटाता है। तो दीवार रोज़ 3 इकाई बढ़ती है, और 120 ÷ 3 = 40 दिन लगते हैं। भिन्न से भी यही आता है, $\frac{1}{15} - \frac{1}{24} = \frac{8 - 5}{120} = \frac{1}{40}$।

यही बात नल और टंकी में भी है। नल टंकी भरता है और रिसाव उसे खाली करता है। यह "नल और टंकी" वाले खंड में देखेंगे।

दो बनाने वाले, एक गिराने वाला। मान लीजिए A और B एक दीवार को 12 और 24 दिनों में बनाते हैं, और C उसे 16 दिनों में गिरा देता है। ल.स. 48 लीजिए। दीवार रोज़ 4 + 2 − 3 = 3 इकाई बढ़ती है, तो तीनों मिलकर उसे 16 दिन में बनाएँगे।

बनाने और गिराने वाले, एकांतर दिनों में। "A एक दीवार 5 दिनों में बनाता है और B उसे 10 दिनों में गिरा देता है। वे एकांतर दिनों में कार्य करते हैं, पहले A।" ल.स. 10 लीजिए। A अपने दिन 2 इकाई जोड़ता है और B 1 हटाता है। तो 2 दिन के चक्र में दीवार केवल 1 इकाई बढ़ती है। यहाँ कई छात्र 10 चक्र = 20 दिन लिख देते हैं, जो गलत है।

आख़िरी दिन पर ध्यान दीजिए। जिस दिन A अपनी बारी में दीवार को 10 इकाई तक पहुँचा दे, दीवार उसी दिन पूरी हो जाती है। उसके बाद B की बारी आती ही नहीं।

• 8 चक्र, यानी 16 दिन बाद दीवार 8 इकाई पर है।
• 17वें दिन A 2 इकाई जोड़ता है, और दीवार 10 हो जाती है।
• तो उत्तर 17 दिन है।

तो चक्र वहीं तक गिनिए, जहाँ से बनाने वाला अपने अगले दिन में कार्य पूरा कर दे। यहाँ 8 + 2 = 10।

घटती गति। "A एक कार्य 24 दिनों में पूरा कर सकता है। 6 दिन बाद वह बीमार पड़ जाता है और अपनी गति के $\frac{3}{4}$ से कार्य करता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होगा?" कार्य 96 इकाई मान लीजिए, तो A रोज़ 4 इकाई करता है। 6 दिनों में 24 इकाई हुईं। बाकी 72 इकाई अब 3 इकाई प्रतिदिन से होंगी, तो 24 दिन और लगेंगे। कुल 30 दिन।

अभ्यास से बढ़ती गति। "B अपनी शुरुआती गति से एक कार्य 30 दिनों में कर सकता है। 10 दिन बाद उसकी गति 25% बढ़ जाती है।" 10 दिनों में B कार्य का $\frac{1}{3}$ भाग कर लेता है। उसकी नई गति $\frac{5}{4} \times \frac{1}{30} = \frac{1}{24}$ भाग प्रतिदिन है। बाकी $\frac{2}{3}$ भाग में 16 दिन लगेंगे, तो कुल 26 दिन।

[Tier 2] हर दिन थोड़ा अधिक। "एक श्रमिक पहले दिन 2 इकाई, दूसरे दिन 4, तीसरे दिन 6, आगे इसी तरह कार्य करता है। कार्य 110 इकाई का है।" n दिनों में वह 2 + 4 + … + 2n = n(n + 1) इकाई कर लेता है। n(n + 1) = 110 रखिए, तो n = 10 दिन आता है।

कार्य और मज़दूरी

मज़दूरी हर व्यक्ति को उसके किए गए कार्य के अनुपात में मिलती है। किसने कितने दिन कार्य किया, इसके अनुपात में नहीं।

शुरू से अंत तक साथ। जब सब शुरू से अंत तक पूरे दिन कार्य करें, तो हर एक का किया हुआ कार्य उसकी कार्यक्षमता के अनुपात में होता है। यही समयों का व्युत्क्रम अनुपात है। जैसे, "A किसी कार्य को 27 दिनों में और B उसे 36 दिनों में कर सकता है। वे उसे मिलकर करते हैं और उन्हें ₹7,000 मिलते हैं।" ल.स. 108 लीजिए। A 4 इकाई प्रतिदिन करता है और B 3, तो पैसा 4 : 3 में बँटेगा। A को ₹4,000 और B को ₹3,000 मिलेंगे।

सहायक का हिस्सा। "A और B एक कार्य 30 और 40 दिनों में कर सकते हैं। C की सहायता से वे उसे 12 दिनों में पूरा करते हैं और उन्हें ₹6,000 मिलते हैं। C का हिस्सा कितना है?" ल.स. 120 लीजिए। A 4 इकाई प्रतिदिन करता है और B 3। 12 दिनों में A ने 48 इकाई कीं और B ने 36। तो C ने 120 − 84 = 36 इकाई कीं। C का हिस्सा $\frac{36}{120}$ × 6,000 = ₹1,800 है। A को ₹2,400 और B को ₹1,800 मिलेंगे।

इसे जल्दी करना हो, तो याद रखिए कि C को कुल मज़दूरी का उतना ही भाग मिलता है, जितना भाग कार्य उसने किया। और वह भाग 1 − (A और B का किया भाग) होता है।

अलग-अलग दिनों तक कार्य। "A एक कार्य 20 दिनों में और B उसे 36 दिनों में कर सकता है। A 5 दिन कार्य करके छोड़ देता है, और शेष कार्य B पूरा करता है। उन्हें ₹4,800 मिलते हैं।" A ने कार्य का $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ भाग किया। तो A को ₹1,200 और B को ₹3,600 मिलेंगे। बाकी कार्य $\frac{3}{4}$ भाग था, तो B को इसमें 36 दिनों के तीन-चौथाई, यानी 27 दिन लगे। अगर कोई दिनों के अनुपात 5 : 27 में पैसा बाँट दे, तो A को केवल ₹750 मिलेगा। विकल्पों में यही गलत मान दिया होता है।

दैनिक मज़दूरी। "2 पुरुष और 3 महिलाएँ मिलकर प्रतिदिन ₹2,900 कमाते हैं, जबकि 3 पुरुष और 2 महिलाएँ प्रतिदिन ₹3,100।" दोनों को जोड़िए। 5 पुरुष और 5 महिलाएँ ₹6,000 कमाते हैं, तो 1 पुरुष और 1 महिला ₹1,200। अब दोनों को घटाइए, तो पता चलता है कि पुरुष महिला से ₹200 अधिक कमाता है। इसलिए पुरुष को प्रतिदिन ₹700 मिलते हैं और महिला को ₹500। अब कोई कार्य 5 पुरुष और 4 महिलाएँ 8 दिनों में करें, तो खर्च 8 × (3,500 + 2,000) = ₹44,000 होगा।

खर्च की तुलना। जब अलग-अलग टोलियाँ एक ही कार्य कर सकें, तो हर टोली से कराने का पूरा खर्च निकालिए। खर्च = श्रमिक × दिन × दैनिक मज़दूरी। जैसे, "एक कार्य में 60 मानव-दिवस या 90 महिला-दिवस लगते हैं। पुरुषों को प्रतिदिन ₹700 और महिलाओं को ₹500 मिलते हैं।" पुरुषों से कराने पर 60 × 700 = ₹42,000 लगेंगे, और महिलाओं से 90 × 500 = ₹45,000। यानी पुरुष ₹3,000 सस्ते पड़ते हैं, जबकि हर पुरुष की मज़दूरी अधिक है।

हल किए गए उदाहरण

अब ऊपर के तरीकों से कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

24 श्रमिक एक चारदीवारी 15 दिनों में बना सकते हैं। 18 श्रमिक उसे कितने दिनों में बना सकते हैं? (a) $11\frac{1}{4}$ दिन (b) 21 दिन (c) 20 दिन (d) 18 दिन

उत्तर: पूरी चारदीवारी 24 × 15 = 360 श्रमिक-दिवस का कार्य है। 18 श्रमिक लगें, तो 360 ÷ 18 = (c) 20 दिन लगेंगे। श्रमिक कम हुए हैं, तो समय बढ़ना ही चाहिए। इसलिए $11\frac{1}{4}$ दिन हो ही नहीं सकता। यह तो 15 × $\frac{18}{24}$ करके, यानी प्रत्यक्ष समानुपात लगाकर आता है।

प्रश्न 2

प्रतिदिन 9 घंटे कार्य करके 20 पुरुष किसी कार्य को 14 दिनों में पूरा कर सकते हैं। प्रतिदिन 6 घंटे कार्य करके 28 पुरुष उसे कितने दिनों में पूरा करेंगे? (a) 15 दिन (b) 10 दिन (c) 12 दिन (d) 18 दिन

उत्तर: कुल कार्य 20 × 14 × 9 = 2,520 मानव-घंटे है। 28 पुरुष रोज़ 6 घंटे कार्य करें, तो एक दिन में 168 मानव-घंटे कार्य होता है। इसलिए 2,520 ÷ 168 = (a) 15 दिन लगेंगे।

प्रश्न 3

प्रतिदिन 8 घंटे कार्य करके 20 पुरुष 120 मीटर लंबी खाई 9 दिनों में खोद सकते हैं। प्रतिदिन 6 घंटे कार्य करके 150 मीटर लंबी खाई 10 दिनों में खोदने के लिए कितने पुरुषों की आवश्यकता होगी? (a) 24 पुरुष (b) 25 पुरुष (c) 36 पुरुष (d) 30 पुरुष

उत्तर: सूत्र $\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}$ लगाते हैं। इससे $M_2 = \frac{20 \times 9 \times 8 \times 150}{120 \times 10 \times 6} = \frac{216000}{7200}$ = (d) 30 पुरुष आता है। तर्क से भी देख लेते हैं। खाई लंबी है, तो पुरुष अधिक चाहिए। दिन अधिक मिले हैं, तो पुरुष कम चाहिए। घंटे कम हैं, तो फिर पुरुष अधिक चाहिए। इस तरह 20 × $\frac{150}{120}$ × $\frac{9}{10}$ × $\frac{8}{6}$ = 30 ही आता है।

प्रश्न 4

45 पुरुष किसी कार्य को 32 दिनों में पूरा कर सकते हैं। उसे 24 दिनों में पूरा करने के लिए कितने अतिरिक्त पुरुषों की आवश्यकता होगी? (a) 60 (b) 15 (c) 12 (d) 20

उत्तर: कार्य 45 × 32 = 1,440 मानव-दिवस का है। 24 दिनों में करना हो, तो 1,440 ÷ 24 = 60 पुरुष चाहिए। 45 पहले से लगे हैं, तो अतिरिक्त पुरुष 60 − 45 = (b) 15 हैं।

प्रश्न 5

एक ठेकेदार ने कोई कार्य 54 दिनों में पूरा करने का ठेका लिया और उस पर 80 पुरुष लगाए। 18 दिन बाद कार्य का केवल $\frac{1}{4}$ भाग पूरा हुआ था। कार्य समय पर पूरा करने के लिए उसे कितने अतिरिक्त पुरुष लगाने होंगे? (a) 120 (b) 60 (c) 40 (d) 20

उत्तर: 80 पुरुषों ने 18 दिनों में 80 × 18 = 1,440 मानव-दिवस कार्य किया, और यह कार्य का $\frac{1}{4}$ भाग है। बाकी $\frac{3}{4}$ भाग इसका तीन गुना है, यानी 3 × 1,440 = 4,320 मानव-दिवस। अब 36 दिन बचे हैं, तो 4,320 ÷ 36 = 120 पुरुष चाहिए। 80 पहले से हैं, इसलिए (c) 40 अतिरिक्त पुरुष लगाने होंगे। अगर कोई मूल योजना के 80 × 54 मानव-दिवस से हिसाब करे, तो उसे लगेगा कि अतिरिक्त पुरुष चाहिए ही नहीं। यह गलत है, क्योंकि कार्य योजना से बड़ा निकला।

प्रश्न 6

36 पुरुष किसी कार्य को 25 दिनों में पूरा कर सकते हैं। वे 10 दिन कार्य करते हैं, और फिर उनमें से 9 पुरुष कार्य छोड़ देते हैं। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा होता है? (a) 30 दिन (b) 20 दिन (c) $33\frac{1}{3}$ दिन (d) 35 दिन

उत्तर: शेष कार्य उतना है, जितना 36 पुरुष बाकी 15 दिनों में करते, यानी 36 × 15 = 540 मानव-दिवस। अब 27 पुरुष बचे हैं, तो 540 ÷ 27 = 20 दिन और लगेंगे। कुल समय 10 + 20 = (a) 30 दिन हुआ।

प्रश्न 7

30 पुरुष किसी कार्य को 40 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 16 दिन बाद 10 और पुरुष उनके साथ जुड़ जाते हैं। कार्य योजना से कितने दिन पहले पूरा होता है? (a) 10 दिन (b) 18 दिन (c) 4 दिन (d) 6 दिन

उत्तर: 16 दिन बाद शेष कार्य 30 × 24 = 720 मानव-दिवस है। अब 40 पुरुष हैं, तो 720 ÷ 40 = 18 दिन लगेंगे। कार्य 16 + 18 = 34वें दिन पूरा होगा, यानी योजना से (d) 6 दिन पहले। 18 दिन वाला विकल्प गलत है। वह तो नए पुरुष जुड़ने के बाद लगा समय है, जबकि पूछा यह गया है कि कार्य कितने दिन पहले पूरा हुआ।

प्रश्न 8

6 पुरुष या 8 महिलाएँ किसी कार्य को 20 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 9 पुरुष और 4 महिलाएँ उसे कितने दिनों में पूरा करेंगे? (a) 12 दिन (b) 10 दिन (c) 15 दिन (d) 8 दिन

उत्तर: 6 पुरुष = 8 महिलाएँ, तो 3 पुरुष = 4 महिलाएँ। पुरुष को 4 इकाई प्रतिदिन मान लेते हैं और महिला को 3। कार्य = 6 × 4 × 20 = 480 इकाई। 9 पुरुष और 4 महिलाएँ रोज़ 36 + 12 = 48 इकाई करते हैं, तो 480 ÷ 48 = (b) 10 दिन। मानव-दिवस से भी यही आता है। कार्य 6 × 20 = 120 मानव-दिवस है, और 4 महिलाएँ 3 पुरुषों के बराबर हैं, तो समूह 12 पुरुषों का हुआ। 120 ÷ 12 = 10। जाँच भी आसान है। यह समूह 12 पुरुषों के बराबर है, जो 20 दिन लेने वाले 6 पुरुषों के दोगुने हैं, तो समय आधा होना ही था।

प्रश्न 9

7 पुरुष और 2 महिलाएँ किसी कार्य को 5 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 पुरुष और 4 महिलाएँ उसमें 8 दिन लेते हैं। 1 पुरुष अकेले उस कार्य को कितने दिनों में पूरा कर सकता है? (a) 80 दिन (b) 20 दिन (c) 40 दिन (d) 35 दिन

उत्तर: दोनों समूह एक ही कार्य करते हैं, तो 5(7M + 2W) = 8(3M + 4W)। इससे 35M + 10W = 24M + 32W, यानी 11M = 22W आता है। मतलब 1 पुरुष = 2 महिलाएँ। महिला को 1 इकाई प्रतिदिन देते हैं और पुरुष को 2, तो कार्य = 5 × (14 + 2) = 80 इकाई। दूसरे समूह से जाँच कर लेते हैं, 8 × (6 + 4) = 80। तो एक पुरुष अकेले 80 ÷ 2 = (c) 40 दिन लेगा।

प्रश्न 10

एक पुरुष किसी कार्य को 10 दिनों में, एक महिला 20 दिनों में और एक लड़का 40 दिनों में पूरा कर सकता है। कार्य को 2 दिनों में पूरा करने के लिए 2 पुरुषों और 4 महिलाओं की सहायता हेतु कितने लड़कों की आवश्यकता होगी? (a) 4 (b) 2 (c) 5 (d) 8

उत्तर: कुल कार्य 40 इकाई मान लेते हैं, जो 10, 20 और 40 का ल.स. है। पुरुष 4 इकाई प्रतिदिन करता है, महिला 2 और लड़का 1। कार्य 2 दिनों में पूरा करना है, तो टोली को रोज़ 20 इकाई करनी होंगी। 2 पुरुष 8 इकाई करते हैं और 4 महिलाएँ भी 8, यानी ये सब मिलकर 8 + 8 = 16 इकाई करते हैं। बाकी 4 इकाई लड़कों से चाहिए, यानी (a) 4 लड़के। जाँच कर लेते हैं, 2 × (8 + 8 + 4) = 40।

प्रश्न 11

9 पुरुष किसी कार्य को 16 दिनों में पूरा कर सकते हैं। कार्य की दृष्टि से 1 पुरुष = 2 महिलाएँ = 3 बच्चे। 2 पुरुष, 6 महिलाएँ और 9 बच्चे मिलकर उसे कितने दिनों में पूरा करेंगे? (a) 16 दिन (b) 8 दिन (c) 24 दिन (d) 18 दिन

उत्तर: सबको पुरुषों में बदल लेते हैं। 6 महिलाएँ = 3 पुरुष, और 9 बच्चे = 3 पुरुष। तो समूह 2 + 3 + 3 = 8 पुरुषों के बराबर है। कार्य 9 × 16 = 144 मानव-दिवस है, तो 144 ÷ 8 = (d) 18 दिन लगेंगे।

प्रश्न 12

A किसी कार्य को 16 दिनों में और B उसे 28 दिनों में पूरा कर सकता है। वे एकांतर दिनों में कार्य करते हैं, और पहले दिन A कार्य करता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होता है? (a) $20\frac{1}{2}$ दिन (b) $20\frac{2}{7}$ दिन (c) $20\frac{4}{11}$ दिन (d) 21 दिन

उत्तर: 16 और 28 का ल.स. 112 है, तो कार्य 112 इकाई मानते हैं। A 7 इकाई प्रतिदिन करता है और B 4, तो 2 दिन के हर चक्र में 11 इकाई होती हैं। 10 चक्र, यानी 20 दिन में 110 इकाई हो जाती हैं और 2 बचती हैं। 21वें दिन A की बारी है। वह रोज़ 7 इकाई करता है, तो 2 इकाई में दिन का $\frac{2}{7}$ भाग लगेगा। कुल (b) $20\frac{2}{7}$ दिन।

प्रश्न 13

A किसी कार्य को 8 दिनों में और B उसे 10 दिनों में कर सकता है। वे एकांतर दिनों में कार्य करते हैं, और पहले दिन B कार्य करता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होता है? (a) $8\frac{4}{5}$ दिन (b) $8\frac{8}{9}$ दिन (c) 9 दिन (d) $9\frac{1}{2}$ दिन

उत्तर: कार्य 40 इकाई मान लीजिए। तब A 5 इकाई प्रतिदिन करता है और B 4, तो 2 दिन के चक्र में 9 इकाई होती हैं। 4 चक्र, यानी 8 दिन में 36 इकाई होती हैं और 4 बचती हैं। शुरुआत B ने की थी, तो नौवें दिन B की बारी है। B रोज़ ठीक 4 इकाई करता है, इसलिए कार्य (c) 9 दिन पर पूरा हो जाता है।

प्रश्न 14

A किसी कार्य को 10 दिनों में और B उसे 25 दिनों में कर सकता है। A प्रतिदिन कार्य करता है, और B केवल हर तीसरे दिन उसकी सहायता करता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होता है? (a) $8\frac{6}{7}$ दिन (b) $8\frac{14}{17}$ दिन (c) 9 दिन (d) $7\frac{1}{7}$ दिन

उत्तर: यहाँ ल.स. 50 है। A 5 इकाई प्रतिदिन करता है और B 2। 3 दिन के चक्र में 5 + 5 + (5 + 2) = 17 इकाई होती हैं। 2 चक्र, यानी 6 दिन में 34 इकाई हुईं और 16 बचीं। सातवें दिन A अकेले 5 इकाई करता है, 11 बचती हैं। आठवें दिन भी A अकेले 5 करता है, 6 बचती हैं। नौवें दिन B भी आता है, तो उस दिन A और B मिलकर 7 इकाई प्रतिदिन की दर से करते हैं, और 6 इकाई में दिन का $\frac{6}{7}$ भाग लगता है। कुल (a) $8\frac{6}{7}$ दिन।

प्रश्न 15

A, B और C किसी कार्य को क्रमशः 5, 12 और 15 दिनों में कर सकते हैं। वे बारी-बारी से एक-एक करके कार्य करते हैं: पहले दिन A, दूसरे दिन B, तीसरे दिन C, फिर दोबारा A, और आगे इसी तरह। कार्य कितने दिनों में पूरा होता है? (a) $8\frac{4}{7}$ दिन (b) 9 दिन (c) $2\frac{6}{7}$ दिन (d) $8\frac{1}{4}$ दिन

उत्तर: कुल कार्य 60 इकाई लेते हैं। A, B और C रोज़ 12, 5 और 4 इकाई करते हैं, तो 3 दिन के चक्र में 21 इकाई होती हैं। 2 चक्र, यानी 6 दिन में 42 इकाई हुईं और 18 बचीं। सातवें दिन A 12 करता है, 6 बचती हैं। आठवें दिन B 5 करता है, 1 बचती है। नौवें दिन C की बारी है, और 1 इकाई के लिए C को दिन का $\frac{1}{4}$ भाग लगता है। कुल (d) $8\frac{1}{4}$ दिन।

प्रश्न 16

A किसी दीवार को 8 दिनों में बना सकता है और B उसी दीवार को 12 दिनों में गिरा सकता है। यदि A दीवार बनाता रहे और साथ ही B उसे गिराता रहे, तो दीवार कितने दिनों में बनेगी? (a) $4\frac{4}{5}$ दिन (b) 24 दिन (c) 20 दिन (d) 4 दिन

उत्तर: दीवार 24 इकाई की मान लीजिए। A रोज़ 3 इकाई जोड़ता है और B 2 हटाता है, तो दीवार रोज़ 1 इकाई बढ़ती है। इसलिए 24 ÷ 1 = (b) 24 दिन लगेंगे। भिन्न से भी यही आता है, $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3 - 2}{24} = \frac{1}{24}$।

प्रश्न 17

A और B किसी दीवार को क्रमशः 9 दिनों और 36 दिनों में बना सकते हैं, और C उसे 12 दिनों में गिरा सकता है। यदि तीनों एक साथ कार्य करें, तो दीवार कितने दिनों में बनेगी? (a) $4\frac{1}{2}$ दिन (b) 12 दिन (c) 18 दिन (d) $7\frac{1}{5}$ दिन

उत्तर: 9, 36 और 12 का ल.स. 36 है। A रोज़ 4 इकाई जोड़ता है, B 1 जोड़ता है और C 3 हटाता है। तो दीवार रोज़ 4 + 1 − 3 = 2 इकाई बढ़ती है, और 36 ÷ 2 = (c) 18 दिन लगेंगे।

प्रश्न 18

A किसी दीवार को 6 दिनों में बना सकता है और B उसे 9 दिनों में गिरा सकता है। वे एकांतर दिनों में कार्य करते हैं, और शुरुआत A करता है। दीवार कितने दिनों में पूरी बनेगी? (a) 31 दिन (b) 36 दिन (c) 33 दिन (d) 18 दिन

उत्तर: दीवार 18 इकाई की लेते हैं। A अपने दिन 3 इकाई जोड़ता है और B अपने दिन 2 हटाता है, तो हर 2 दिन के चक्र में दीवार 1 इकाई बढ़ती है। 15 चक्र, यानी 30 दिन बाद दीवार 15 इकाई पर है। 31वें दिन A 3 इकाई जोड़ता है और दीवार 18 हो जाती है। तो दीवार (a) 31 दिन में पूरी बन जाती है, B की अगली बारी आने से पहले ही। 36 दिन वाला विकल्प 18 पूरे चक्र मानकर आता है। उसमें यह बात छूट गई कि कार्य A के अपने दिन पर ही पूरा हो जाता है।

प्रश्न 19

A किसी कार्य को 20 दिनों में पूरा कर सकता है। 8 दिन कार्य करने के बाद उसकी कार्यक्षमता 25% घट जाती है। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा होता है? (a) 23 दिन (b) $26\frac{2}{3}$ दिन (c) 25 दिन (d) 24 दिन

उत्तर: 8 दिनों में A कार्य का $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ भाग कर लेता है, तो $\frac{3}{5}$ भाग बचता है। सामान्य गति से इसमें 12 दिन लगते। अब गति सामान्य की $\frac{3}{4}$ रह गई है, तो 12 × $\frac{4}{3}$ = 16 दिन लगेंगे। कुल 8 + 16 = (d) 24 दिन। गति 25% धीमी हो, तो समय $\frac{4}{3}$ गुना होता है, 1.25 गुना नहीं। 1.25 गुना लेकर 23 दिन लिखना गलत है।

प्रश्न 20

A किसी कार्य को 15 दिनों में और B उसे 10 दिनों में कर सकता है। वे मिलकर उसे करते हैं और उन्हें ₹5,000 मिलते हैं। B का हिस्सा कितना है? (a) ₹2,000 (b) ₹3,000 (c) ₹2,500 (d) ₹3,200

उत्तर: ल.स. 30 लेते हैं, तो A 2 इकाई प्रतिदिन करता है और B 3। दोनों हर दिन साथ कार्य करते हैं, तो पैसा 2 : 3 में बँटेगा। B को $\frac{3}{5}$ × 5,000 = (b) ₹3,000 मिलेंगे। अगर समयों के अनुपात 15 : 10 में बाँट दें, तो B को केवल ₹2,000 मिलेंगे, यानी धीमे श्रमिक को अधिक पैसा। यह गलत है।

प्रश्न 21

A किसी कार्य को 10 दिनों में और B उसे 40 दिनों में कर सकता है। C की सहायता से वे उसे 5 दिनों में पूरा करते हैं, और तीनों को कुल ₹5,600 मिलते हैं। C का हिस्सा कितना है? (a) ₹2,800 (b) ₹700 (c) ₹2,100 (d) ₹3,360

उत्तर: कार्य 40 इकाई मानते हैं। A 4 इकाई प्रतिदिन करता है और B 1। 5 दिनों में A ने 20 इकाई कीं और B ने 5, तो C ने 40 − 25 = 15 इकाई कीं। C का हिस्सा $\frac{15}{40}$ × 5,600 = (c) ₹2,100 है।

प्रश्न 22

3 पुरुष और 2 महिलाएँ मिलकर प्रतिदिन ₹3,400 कमाते हैं, जबकि 2 पुरुष और 3 महिलाएँ प्रतिदिन ₹3,100 कमाते हैं। 4 पुरुष और 5 महिलाएँ 6 दिनों में कितना कमाएँगे? (a) ₹5,700 (b) ₹36,000 (c) ₹33,000 (d) ₹34,200

उत्तर: दोनों समूहों की रोज़ की कमाई जोड़ते हैं। 5 पुरुष और 5 महिलाएँ ₹6,500 कमाते हैं, तो 1 पुरुष और 1 महिला ₹1,300। अब घटाते हैं, तो पुरुष महिला से ₹300 अधिक कमाता है। इसलिए पुरुष को प्रतिदिन ₹800 मिलते हैं और महिला को ₹500। 4 पुरुष और 5 महिलाएँ रोज़ 3,200 + 2,500 = ₹5,700 कमाएँगे, तो 6 दिनों में (d) ₹34,200।