हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

यहाँ 36 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनमें अध्याय के तीनों विषय आपस में मिले हुए हैं, और कहीं यह नहीं लिखा कि कौन-सा प्रश्न किस विषय का है। पुरुषों और महिलाओं वाले प्रश्न के ठीक बाद नल वाला प्रश्न भी आ सकता है।

इसलिए हर प्रश्न में सबसे पहले यह तय कीजिए कि वह किस प्रकार का है। दर वाला प्रश्न है, मानव-दिवस (man-days) वाला है या टंकी वाला। प्रकार तय हो जाए, तो इकाइयाँ मानकर ज़्यादातर प्रश्न दो या तीन पंक्तियों में हल हो जाते हैं।

हर प्रश्न पहले ख़ुद कागज़ पर हल कीजिए, उत्तर उसके बाद पढ़िए। एक प्रश्न पर लगभग 36 से 45 सेकंड लगने चाहिए। किसी प्रश्न में एक मिनट से ज़्यादा लग जाए, तो "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में उससे मेल खाती विधि देखिए। फिर अगले दिन वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

प्रश्नों का बँटवारा कुछ ऐसा है। लगभग एक-तिहाई प्रश्न दर वाले हैं। इनमें कार्यक्षमता (efficiency) वाले, तीन व्यक्तियों वाले और बीच में कार्य छोड़ने या जुड़ने वाले प्रश्न हैं, और कुछ में कार्य का भाग भिन्न में दिया है। लगभग इतने ही प्रश्न मानव-दिवस वाले हैं। इनमें पुरुषों, महिलाओं और लड़कों के मिले-जुले समूह हैं, और एकांतर दिनों (alternate days) पर कार्य, ऋणात्मक कार्य और मज़दूरी वाले प्रश्न भी हैं। बाकी प्रश्न नल और टंकी के हैं। इनमें खाली करने वाले नल और रिसाव (leak) वाले प्रश्न हैं, बारी-बारी से खुलने वाले नल हैं, आंशिक भरी टंकी है, और लीटर में धारिता (capacity) निकालने वाले प्रश्न भी हैं।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। ऐसे प्रश्नों में एक चरण ज़्यादा होता है। जैसे तीन व्यक्ति अलग-अलग समय पर कार्य छोड़ें, या नल एक के बाद एक बंद किए जाएँ। टियर 1 की तैयारी करने वाले छात्र भी ये प्रश्न ज़रूर करें। ढाँचा वही है, बस हल थोड़ा लंबा है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 15 मिनट और 18 मिनट में भर सकते हैं, और नल C उसे 45 मिनट में खाली कर सकता है। यदि खाली टंकी में तीनों नल एक साथ खोल दिए जाएँ, तो टंकी कितने समय में भर जाएगी?

उत्तर: टंकी = 90 इकाई मान लेते हैं। तब A हर मिनट 6 इकाई भरता है, B 5 इकाई, और C 2 इकाई बाहर निकालता है। मतलब टंकी में हर मिनट 6 + 5 − 2 = 9 इकाई पानी बढ़ता है। तो टंकी भरने में 90 ÷ 9 = 10 मिनट लगेंगे।

प्रश्न 2

A किसी कार्य का $\frac{3}{5}$ भाग 12 दिनों में कर सकता है, और B उसका $\frac{2}{3}$ भाग 20 दिनों में कर सकता है। दोनों मिलकर पूरा कार्य कितने दिनों में करेंगे?

उत्तर: पहले दोनों का पूरा कार्य करने का समय निकाल लेते हैं। A $\frac{3}{5}$ भाग 12 दिन में करता है, तो पूरा कार्य 12 × $\frac{5}{3}$ = 20 दिन में करेगा। B $\frac{2}{3}$ भाग 20 दिन में करता है, तो पूरा कार्य 20 × $\frac{3}{2}$ = 30 दिन में करेगा। अब दोनों मिलकर $\frac{20 \times 30}{50}$ = 12 दिन लेंगे।

प्रश्न 3

प्रतिदिन 9 घंटे कार्य करके 8 बढ़ई 15 दिनों में 360 कुर्सियाँ बनाते हैं। प्रतिदिन 6 घंटे कार्य करके 12 दिनों में 480 कुर्सियाँ बनाने के लिए कितने बढ़इयों की आवश्यकता होगी?

उत्तर: पहले समूह का कार्य मानव-घंटों में गिन लेते हैं। 8 × 9 × 15 = 1,080 मानव-घंटे, और इतने में 360 कुर्सियाँ बनीं। तो एक कुर्सी पर 3 मानव-घंटे लगते हैं, और 480 कुर्सियों के लिए 1,440 मानव-घंटे चाहिए। अब हर बढ़ई 6 × 12 = 72 घंटे कार्य करेगा। तो 1,440 ÷ 72 = 20 बढ़ई चाहिए।

प्रश्न 4

किसी कार्य को पूरा करने में A, B से 12 दिन अधिक लेता है। मिलकर कार्य करते हुए वे उसे 8 दिनों में पूरा कर लेते हैं। A अकेले कितने दिन लेता है?

उत्तर: मान लीजिए B को x दिन लगते हैं, तो A को x + 12 दिन लगेंगे। मिलकर लगा समय गुणनफल ÷ योग होता है, तो $\frac{x(x + 12)}{2x + 12} = 8$। इसे सरल करने पर $x^2 + 12x = 16x + 96$, यानी $x^2 - 4x - 96 = 0$ आता है। गुणनखंड करने पर $(x - 12)(x + 8) = 0$ मिलता है। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, तो B को 12 दिन लगते हैं और A को 24 दिन। जाँच के लिए $\frac{24 \times 12}{36}$ निकालिए, ठीक 8 दिन आता है। परीक्षा में इससे भी जल्दी हो सकता है। विकल्पों के मान सीधे इसी गुणनफल ÷ योग में रखकर देख लीजिए।

प्रश्न 5

एक नल किसी टंकी को 6 घंटे में भर सकता है। रिसाव के कारण उसे भरने में 7 घंटे 30 मिनट लगते हैं। रिसाव अकेले भरी टंकी को कितने समय में खाली कर देगा?

उत्तर: पहले समय को घंटों में बदल लेते हैं, 7 घंटे 30 मिनट = 7.5 घंटे। रिसाव वाले सूत्र में दोनों समयों के गुणनफल को उनके अंतर से भाग देते हैं। तो रिसाव का समय = $\frac{6 \times 7.5}{7.5 - 6} = \frac{45}{1.5}$ = 30 घंटे। उलटा मिलान भी कर लीजिए। नल और रिसाव मिलकर हर घंटे टंकी का $\frac{1}{6} - \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ भाग भरते हैं, तो टंकी $\frac{15}{2}$ = 7.5 घंटे में भरती है, जैसा प्रश्न में दिया है।

प्रश्न 6

A किसी कार्य को 9 दिनों में और B उसे 15 दिनों में कर सकता है। वे एकांतर दिनों में कार्य करते हैं, और पहले दिन B कार्य करता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होगा?

उत्तर: कुल कार्य = 45 इकाई मान लेते हैं। A प्रतिदिन 5 इकाई करता है और B 3, तो हर 2 दिन में 8 इकाई होती हैं। 5 चक्र, यानी 10 दिन में 40 इकाई हो जाती हैं और 5 बचती हैं। 11वाँ दिन फिर B का है। वह 3 इकाई करता है और 2 बचती हैं। 12वें दिन A को अपनी 5 में से केवल 2 इकाई करनी हैं, तो उसके दिन का $\frac{2}{5}$ भाग ही लगेगा। इस तरह कार्य $11\frac{2}{5}$ दिन में पूरा होता है।

प्रश्न 7

A, B से 50% अधिक कुशल है, और B, C से 20% अधिक कुशल है। C अकेले किसी कार्य को 36 दिनों में पूरा कर सकता है। A, B और C मिलकर उसे कितने दिनों में पूरा करेंगे?

उत्तर: B, C से 20% अधिक कुशल है, तो B को कम समय लगेगा। B का समय = 36 × $\frac{100}{120}$ = 30 दिन। इसी तरह A, B से 50% अधिक कुशल है, तो A का समय = 30 × $\frac{100}{150}$ = 20 दिन। अब कुल कार्य = 180 इकाई मान लेते हैं। A प्रतिदिन 9 इकाई करेगा, B 6 और C 5, यानी तीनों मिलकर 20 इकाई प्रतिदिन। तो कार्य 180 ÷ 20 = 9 दिन में पूरा होगा।

प्रश्न 8

नल A किसी टंकी को 21 घंटे में और नल B उसे 42 घंटे में भर सकता है। A को पूर्वाह्न 6 बजे और B को पूर्वाह्न 9 बजे खोला जाता है। टंकी किस समय भर जाएगी?

उत्तर: टंकी = 42 इकाई मान लेते हैं। A हर घंटे 2 इकाई भरता है और B 1 इकाई। पूर्वाह्न 6 बजे से 9 बजे तक अकेला A चला, तो 6 इकाई भर गईं और 36 इकाई बचीं। अब दोनों मिलकर हर घंटे 3 इकाई भरते हैं, तो बाकी टंकी 12 घंटे में भरेगी। पूर्वाह्न 9 बजे में 12 घंटे जोड़ें, तो टंकी रात 9 बजे भर जाएगी।

प्रश्न 9

3 पुरुष और 2 लड़के किसी कार्य को 18 दिनों में कर सकते हैं, जबकि 2 पुरुष और 5 लड़के उसे 16 दिनों में कर सकते हैं। 4 पुरुष और 4 लड़के उसे कितने दिनों में करेंगे?

उत्तर: मान लीजिए एक पुरुष एक दिन में m कार्य करता है और एक लड़का b। दोनों समूह वही कार्य करते हैं, तो 18(3m + 2b) = 16(2m + 5b)। खोलने पर 54m + 36b = 32m + 80b, यानी 22m = 44b। मतलब 1 पुरुष = 2 लड़के। अब पहले समूह के 3 पुरुष 6 लड़कों के बराबर हुए, तो कार्य = 18 × (6 + 2) = 144 लड़का-दिवस। 4 पुरुष और 4 लड़के मिलकर 8 + 4 = 12 लड़कों के बराबर हैं, तो वे 144 ÷ 12 = 12 दिन लेंगे।

प्रश्न 10 [Tier 2]

A, B और C किसी कार्य को क्रमशः 15, 25 और 75 दिनों में कर सकते हैं। वे एक साथ कार्य शुरू करते हैं, परंतु 3 दिन बाद A कार्य छोड़ देता है, और कार्य पूरा होने से 4 दिन पहले B कार्य छोड़ देता है। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा होता है?

उत्तर: कुल कार्य = 75 इकाई मान लेते हैं। A प्रतिदिन 5 इकाई करता है, B 3 और C 1। पहले 3 दिन तीनों ने मिलकर 27 इकाई कीं। आख़िरी 4 दिन केवल C ने कार्य किया, तो उनमें 4 इकाई हुईं। बीच में B और C के लिए 75 − 27 − 4 = 44 इकाई बचीं। दोनों मिलकर प्रतिदिन 4 इकाई करते हैं, तो इसमें 11 दिन लगे। इस तरह कार्य कुल 3 + 11 + 4 = 18 दिन में पूरा हुआ।

प्रश्न 11

एक टंकी एक-तिहाई भरी है। नल A पूरी टंकी को 9 घंटे में भर सकता है और नल B उसे 18 घंटे में खाली कर सकता है। A से शुरू करते हुए, दोनों नलों को बारी-बारी से एक-एक घंटे के लिए खोला जाता है। कितने घंटे बाद टंकी भर जाएगी?

उत्तर: टंकी = 18 इकाई मान लेते हैं। एक-तिहाई भरी है, तो उसमें पहले से 6 इकाई हैं। A हर घंटे 2 इकाई डालता है और B 1 निकालता है, तो 2 घंटे के हर चक्र में टंकी 1 इकाई बढ़ती है। ध्यान रखिए, टंकी A वाले घंटे में ही भरेगी। k चक्र के बाद उसमें 6 + k इकाई होंगी और अगले घंटे A 2 इकाई और डालेगा, तो 6 + k + 2 को 18 तक पहुँचना है। इससे k = 10 आता है। यानी 20 घंटे बाद टंकी में 16 इकाई होंगी और 21वें घंटे में A आख़िरी 2 इकाई डाल देगा। टंकी 21 घंटे में भरती है। जल्दबाज़ी में लोग 12 ÷ 1 × 2 = 24 घंटे लिख देते हैं, यह भूलकर कि टंकी B की बारी आने से पहले ही भर जाती है।

प्रश्न 12

A, B और C किसी कार्य को क्रमशः 9, 18 और 36 दिनों में कर सकते हैं। तीनों एक साथ कार्य शुरू करते हैं, परंतु 3 दिन बाद A कार्य छोड़ देता है, और शेष कार्य B और C पूरा करते हैं। इस कार्य के लिए उन्हें ₹4,500 मिलते हैं। C का हिस्सा कितना है?

उत्तर: कुल कार्य = 36 इकाई मान लेते हैं। A प्रतिदिन 4 इकाई करता है, B 2 और C 1। पहले 3 दिन में तीनों ने 21 इकाई कीं। बाकी 15 इकाई B और C ने 15 ÷ 3 = 5 दिन में कीं, तो कार्य कुल 8 दिन चला। अब देखते हैं कि किसने कितना कार्य किया। A ने 12 इकाई, B ने 16 और C ने 8। मज़दूरी किए गए कार्य के हिसाब से बँटती है, तो C का हिस्सा = 4,500 का $\frac{8}{36}$ = ₹1,000।

प्रश्न 13

A और B मिलकर किसी कार्य को 20 दिनों में कर सकते हैं। A अकेले उसे 36 दिनों में कर सकता है। B अकेले उसे कितने दिनों में करेगा?

उत्तर: मिलकर लगा समय और एक व्यक्ति का अकेले का समय पता हो, तो दूसरे का समय गुणनफल ÷ अंतर से निकलता है। B = $\frac{36 \times 20}{36 - 20} = \frac{720}{16}$ = 45 दिन। इकाइयों से भी यही आता है। कुल कार्य 180 इकाई लें, तो दोनों मिलकर प्रतिदिन 9 इकाई करते हैं और A अकेले 5। मतलब B प्रतिदिन 4 इकाई करता है, और उसे 180 ÷ 4 = 45 दिन लगेंगे।

प्रश्न 14

नल A किसी टंकी को नल B से तीन गुनी तेज़ी से भरता है, और नल B उसे नल C से दोगुनी तेज़ी से भरता है। तीनों नल मिलकर टंकी को 12 मिनट में भरते हैं। अकेले नल C को टंकी भरने में कितना समय लगेगा?

उत्तर: मान लेते हैं कि C हर मिनट 1 इकाई भरता है। B उससे दोगुनी तेज़ी से भरता है, तो 2 इकाई, और A, B से तीन गुनी तेज़ी से, तो 6 इकाई। तीनों मिलकर हर मिनट 9 इकाई भरते हैं, तो टंकी = 9 × 12 = 108 इकाई। अकेला C इसे 108 मिनट में भरेगा।

प्रश्न 15

60 श्रमिक किसी सड़क को 45 दिनों में बना सकते हैं। 15 दिन बाद 20 श्रमिक कार्य छोड़कर चले जाते हैं। सड़क कुल कितने दिनों में बनकर पूरी होगी?

उत्तर: पूरी सड़क = 60 × 45 = 2,700 श्रमिक-दिवस। 15 दिन में 900 श्रमिक-दिवस का कार्य हो गया, तो 1,800 बचा। अब 40 श्रमिक रह गए हैं, तो बाकी कार्य में 1,800 ÷ 40 = 45 दिन और लगेंगे। सड़क कुल 15 + 45 = 60 दिन में पूरी होगी।

प्रश्न 16

A और B किसी कार्य को क्रमशः 12 और 30 दिनों में कर सकते हैं। वे एक साथ कार्य शुरू करते हैं, परंतु कुछ दिन बाद A कार्य छोड़ देता है, और B शेष कार्य 9 दिनों में पूरा करता है। A ने कितने दिन बाद कार्य छोड़ा था?

उत्तर: कुल कार्य = 60 इकाई मान लेते हैं। A प्रतिदिन 5 इकाई करता है और B 2 इकाई। आख़िरी 9 दिन B ने अकेले 18 इकाई कीं। बाकी 42 इकाई दोनों ने मिलकर 7 इकाई प्रतिदिन की दर से कीं, तो इसमें 6 दिन लगे। मतलब A ने 6 दिन बाद कार्य छोड़ा।

प्रश्न 17

एक नल किसी टंकी को 6 घंटे में भरता है। यदि उससे प्रति मिनट 10 लीटर अधिक पानी आए, तो वह टंकी को 5 घंटे में भर देगा। टंकी की धारिता कितनी है?

उत्तर: टंकी = 30 इकाई मान लेते हैं। नल हर घंटे 5 इकाई भरता है, और तेज़ होने पर 6 इकाई भरेगा, यानी हर घंटे 1 इकाई ज़्यादा। उधर प्रति मिनट 10 लीटर अधिक का मतलब है हर घंटे 600 लीटर अधिक। तो 1 इकाई = 600 लीटर। टंकी की धारिता = 30 × 600 = 18,000 लीटर।

प्रश्न 18

A किसी दीवार को 18 दिनों में बना सकता है, और B उसे 27 दिनों में गिरा सकता है। A अकेले 9 दिन तक दीवार बनाता है, और फिर B भी उसे गिराने का कार्य शुरू कर देता है। दीवार कुल कितने दिनों में बनकर पूरी होगी?

उत्तर: दीवार = 54 इकाई मान लेते हैं। पहले 9 दिन अकेले A ने 27 इकाई बनाईं। इसके बाद A प्रतिदिन 3 इकाई जोड़ता है और B 2 इकाई गिराता है, तो दीवार प्रतिदिन केवल 1 इकाई बढ़ती है। बाकी 27 इकाई में 27 दिन लगेंगे, तो दीवार कुल 9 + 27 = 36 दिन में बनेगी।

प्रश्न 19

B जितना कार्य करता है, A उसका आधा कार्य B के समय के तीन-चौथाई समय में कर लेता है। दोनों मिलकर किसी कार्य को 18 दिनों में पूरा करते हैं। B अकेले उसे कितने दिनों में पूरा करेगा?

उत्तर: A आधा कार्य तीन-चौथाई समय में कर लेता है। तो जितने समय में B कोई कार्य करता है, उतने में A उसका $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$ भाग करेगा। मतलब A : B = 2 : 3। दोनों मिलकर प्रतिदिन 5 इकाई करते हैं, तो कार्य = 5 × 18 = 90 इकाई। B प्रतिदिन 3 इकाई करता है, तो अकेले उसे 30 दिन लगेंगे।

प्रश्न 20

नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 32 और 48 मिनट में भर सकते हैं। दोनों को एक साथ खोला जाता है, और 9 मिनट बाद नल B बंद कर दिया जाता है। टंकी भरने में A को और कितना समय लगेगा?

उत्तर: टंकी = 96 इकाई मान लेते हैं। A हर मिनट 3 इकाई भरता है और B 2 इकाई। 9 मिनट में दोनों ने मिलकर 45 इकाई भरीं। बाकी 51 इकाई अकेला A भरेगा, तो उसे 17 मिनट और लगेंगे।

प्रश्न 21 [Tier 2]

A किसी कार्य को 20 दिनों में पूरा कर सकता है। वह 8 दिन तक पूरी गति से कार्य करता है, और उसके बाद उसकी कार्यक्षमता 25% घट जाती है। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा होता है?

उत्तर: 8 दिन में A ने कार्य का $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ भाग कर दिया, तो $\frac{3}{5}$ भाग बचा। अब उसकी कार्यक्षमता 25% घट गई, यानी वह पहले की 75% गति से कार्य करेगा। तब वह प्रतिदिन $\frac{3}{4} \times \frac{1}{20} = \frac{3}{80}$ भाग करेगा। बचे कार्य में $\frac{3}{5} \div \frac{3}{80}$ = 16 दिन लगेंगे, तो कार्य कुल 8 + 16 = 24 दिन में पूरा होता है।

प्रश्न 22 [Tier 2]

नल A, B और C किसी टंकी को क्रमशः 12, 15 और 60 घंटे में भर सकते हैं। तीनों को एक साथ खोला जाता है। 2 घंटे बाद नल C बंद कर दिया जाता है, और उसके 1 घंटे बाद नल B भी बंद कर दिया जाता है। टंकी को भरने में कितना समय लगता है?

उत्तर: टंकी = 60 इकाई मान लेते हैं। A हर घंटे 5 इकाई भरता है, B 4 और C 1। पहले 2 घंटे तीनों खुले रहे, तो 20 इकाई भरीं। अगले घंटे केवल A और B खुले रहे। उन्होंने 9 इकाई भरीं, तो टंकी में 29 इकाई हो गईं। बाकी 31 इकाई अकेला A भरेगा, और इसमें उसे 31 ÷ 5 = 6.2 घंटे लगेंगे। कुल समय 3 + 6.2 = 9.2 घंटे, यानी 9 घंटे 12 मिनट।

प्रश्न 23

रमेश 3 एकड़ के एक खेत की निराई 9 दिनों में कर सकता है, और सुरेश 2 एकड़ के एक खेत की निराई 4 दिनों में कर सकता है। मिलकर कार्य करते हुए वे 10 एकड़ के खेत की निराई कितने दिनों में करेंगे?

उत्तर: यहाँ खेत अलग-अलग आकार के हैं, तो देखते हैं कि कौन प्रतिदिन कितने एकड़ करता है। रमेश प्रतिदिन $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ एकड़ की निराई करता है और सुरेश $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ एकड़ की। दोनों मिलकर प्रतिदिन $\frac{5}{6}$ एकड़ करते हैं। तो 10 एकड़ में 10 ÷ $\frac{5}{6}$ = 12 दिन लगेंगे।

प्रश्न 24

12 पुरुष किसी कार्य को 10 दिनों में पूरा कर सकते हैं, और 15 महिलाएँ उसे 16 दिनों में पूरा कर सकती हैं। यदि कार्य पर 4 पुरुष लगाए जाएँ, तो कार्य 8 दिनों में पूरा करने के लिए उनके साथ कितनी महिलाओं को जुड़ना होगा?

उत्तर: 12 पुरुष 10 दिन लेते हैं, तो कार्य 120 मानव-दिवस का है। 15 महिलाएँ 16 दिन लेती हैं, तो यही कार्य 240 महिला-दिवस का भी है। मतलब 1 पुरुष = 2 महिलाएँ। कार्य 8 दिन में पूरा करना है, तो प्रतिदिन 120 ÷ 8 = 15 पुरुषों जितना कार्य होना चाहिए। इसमें से 4 पुरुषों जितना कार्य तो लगे हुए 4 पुरुष कर देंगे। बाकी 11 पुरुषों जितना कार्य महिलाओं को करना है। इसके लिए 11 × 2 = 22 महिलाएँ जुड़नी होंगी।

प्रश्न 25

एक टंकी $\frac{3}{5}$ भरी है। नल A टंकी को 28 मिनट में भर सकता है और नल B उसे 20 मिनट में खाली कर सकता है। यदि दोनों नल एक साथ खोल दिए जाएँ, तो टंकी कितने समय में खाली हो जाएगी?

उत्तर: टंकी = 140 इकाई मान लेते हैं, तो अभी उसमें 84 इकाई पानी है। A हर मिनट 5 इकाई डालता है और B 7 इकाई निकालता है। तो टंकी में हर मिनट 2 इकाई पानी घटता है। 84 इकाई निकलने में 42 मिनट लगेंगे।

प्रश्न 26

A किसी कार्य को 40 दिनों में कर सकता है। वह 8 दिन तक अकेले कार्य करता है, फिर B उसके साथ जुड़ जाता है, और दोनों मिलकर शेष कार्य 12 दिनों में पूरा करते हैं। B अकेले उस कार्य को कितने दिनों में करेगा?

उत्तर: 8 दिन में A ने कार्य का $\frac{8}{40} = \frac{1}{5}$ भाग किया, तो $\frac{4}{5}$ भाग बचा। दोनों ने मिलकर यह $\frac{4}{5}$ भाग 12 दिन में किया, तो पूरा कार्य वे मिलकर 15 दिन में करते। अब गुणनफल ÷ अंतर से B का समय निकालते हैं। B = $\frac{40 \times 15}{40 - 15} = \frac{600}{25}$ = 24 दिन।

प्रश्न 27

A किसी कार्य को 12 दिनों में और B उसे 24 दिनों में कर सकता है। A प्रतिदिन कार्य करता है, और हर तीसरे दिन B उसकी सहायता करता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होता है?

उत्तर: कुल कार्य = 24 इकाई मान लेते हैं। A प्रतिदिन 2 इकाई करता है और B 1। 3 दिन के हर चक्र में A 3 दिन कार्य करता है और B 1 दिन, तो एक चक्र में 7 इकाई होती हैं। 3 चक्र, यानी 9 दिन में 21 इकाई हो जाती हैं और 3 बचती हैं। दसवें दिन अकेला A 2 इकाई करता है और 1 बचती है। 11वें दिन यह 1 इकाई करने में उसे केवल आधा दिन लगता है, तो कार्य $10\frac{1}{2}$ दिन में पूरा होता है।

प्रश्न 28

नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 12 घंटे और 20 घंटे में भर सकते हैं। उन्हें बारी-बारी से एक-एक घंटे के लिए खोला जाता है, और शुरुआत नल B से होती है। टंकी कितने समय में भरेगी?

उत्तर: टंकी = 60 इकाई मान लेते हैं। A हर घंटे 5 इकाई भरता है और B 3, तो हर 2 घंटे में 8 इकाई भरती हैं। 7 चक्र, यानी 14 घंटे में 56 इकाई भर जाती हैं और 4 बचती हैं। शुरुआत B से हुई थी, तो 15वाँ घंटा B का है। वह 3 इकाई भरता है और 1 बचती है। 16वें घंटे में A को अपनी 5 में से केवल 1 इकाई भरनी है, जिसमें $\frac{1}{5}$ घंटा लगेगा। टंकी $15\frac{1}{5}$ घंटे, यानी 15 घंटे 12 मिनट में भरती है।

प्रश्न 29

A और B की कार्यक्षमताओं का अनुपात 5 : 3 है, और किसी कार्य को पूरा करने में A, B से 12 दिन कम लेता है। मिलकर कार्य करते हुए वे उसे कितने दिनों में पूरा करेंगे?

उत्तर: कार्यक्षमता 5 : 3 है, तो समय उलटे अनुपात में 3 : 5 होगा। दोनों के समय में 2 भाग का अंतर है, और यही 12 दिन है। तो 1 भाग = 6 दिन, यानी A को 18 दिन लगते हैं और B को 30 दिन। मिलकर समय = $\frac{18 \times 30}{48}$ = $11\frac{1}{4}$ दिन।

प्रश्न 30

नल A किसी टंकी को 33 घंटे में भर सकता है। उसके साथ नल B को भी खोलने पर टंकी 11 घंटे पहले भर जाती है। अकेले नल B को टंकी भरने में कितना समय लगेगा?

उत्तर: दोनों नल मिलकर टंकी को 33 − 11 = 22 घंटे में भरते हैं। मिलकर लगा समय और A का समय पता है, तो B का समय गुणनफल ÷ अंतर से निकलेगा। B = $\frac{33 \times 22}{33 - 22}$ = 66 घंटे।

प्रश्न 31

किसी कार्य को 50 दिनों में पूरा करने के लिए 60 पुरुष लगाए गए। 30 दिन बाद केवल आधा कार्य ही पूरा हुआ था। कार्य को समय पर पूरा करने के लिए कितने अतिरिक्त पुरुष लगाने होंगे?

उत्तर: 30 दिन में 60 पुरुषों ने 60 × 30 = 1,800 मानव-दिवस का कार्य किया, और इतने में आधा कार्य हुआ। तो बाकी आधे कार्य के लिए भी 1,800 मानव-दिवस चाहिए। अब केवल 20 दिन बचे हैं, तो 1,800 ÷ 20 = 90 पुरुष चाहिए। 60 पहले से लगे हैं, मतलब 30 और पुरुष लगाने होंगे।

प्रश्न 32 [Tier 2]

A और B किसी कार्य को 15 दिनों में, तथा B और C उसे 20 दिनों में कर सकते हैं। A 6 दिन कार्य करता है, फिर B 8 दिन कार्य करता है, और फिर C शेष कार्य 17 दिनों में पूरा करता है। C अकेले उस कार्य को कितने दिनों में करेगा?

उत्तर: यहाँ दिनों की जोड़ियाँ बना लेते हैं। A के 6 दिन और B के 6 दिन साथ रखें, तो ये A और B के मिलकर 6 दिन हो गए। B के बचे 2 दिन और C के 2 दिन साथ रखें, तो ये B और C के मिलकर 2 दिन हुए। C के बाकी 15 दिन उसके अकेले के रहे। मान लीजिए C एक दिन में कार्य का c भाग करता है। तब $\frac{6}{15} + \frac{2}{20} + 15c = 1$, तो $15c = 1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$। मतलब C प्रतिदिन कार्य का $\frac{1}{30}$ भाग करता है, और अकेले उसे 30 दिन लगेंगे।

प्रश्न 33

एक नल किसी टंकी को 10 घंटे में भर सकता है। जब टंकी आधी भर जाती है, तब उसमें एक रिसाव हो जाता है, जो अकेले भरी टंकी को 40 घंटे में खाली कर देता। टंकी को भरने में कुल कितना समय लगता है?

उत्तर: पहली आधी टंकी नल अकेले भरता है, जिसमें 5 घंटे लगते हैं। इसके बाद रिसाव भी शुरू हो जाता है, तो हर घंटे टंकी का केवल $\frac{1}{10} - \frac{1}{40} = \frac{3}{40}$ भाग भरता है। दूसरी आधी टंकी भरने में $\frac{1}{2} \div \frac{3}{40} = \frac{20}{3}$ = $6\frac{2}{3}$ घंटे लगेंगे। पूरी टंकी भरने में 5 + $6\frac{2}{3}$ = $11\frac{2}{3}$ घंटे, यानी 11 घंटे 40 मिनट लगते हैं।

प्रश्न 34

एक पुरुष की दैनिक मज़दूरी एक महिला की दैनिक मज़दूरी की दोगुनी है। 4 पुरुष और 6 महिलाएँ मिलकर 5 दिनों में ₹21,000 कमाते हैं। 6 पुरुष और 8 महिलाएँ 7 दिनों में कितना कमाएँगे?

उत्तर: एक पुरुष की मज़दूरी दो महिलाओं के बराबर है, तो हर पुरुष को 2 महिलाएँ गिन लेते हैं। पहला समूह 8 + 6 = 14 महिलाओं के बराबर है, और 5 दिन में यह 70 महिला-दिवस हुआ। 70 महिला-दिवस की कमाई ₹21,000 है, तो एक महिला-दिवस = ₹300। दूसरा समूह 12 + 8 = 20 महिलाओं के बराबर है, और 7 दिन में 140 महिला-दिवस करेगा। कमाई = 140 × 300 = ₹42,000।

प्रश्न 35 [Tier 2]

अकेले नल A को किसी टंकी को भरने में, नल A और B द्वारा मिलकर लिए गए समय से 25 मिनट अधिक लगते हैं, और अकेले नल B को दोनों द्वारा मिलकर लिए गए समय से 4 मिनट अधिक लगते हैं। अकेले नल A को टंकी भरने में कितना समय लगता है?

उत्तर: मान लीजिए दोनों नल मिलकर टंकी को T मिनट में भरते हैं। ऐसे प्रश्नों में सीधा नियम है कि $T^2$ = 25 × 4, तो T = 10। यह नियम दोनों नलों की दरें जोड़ने से आता है, $\frac{1}{T + 25} + \frac{1}{T + 4} = \frac{1}{T}$, और इसे सरल करने पर $T^2 = 25 \times 4$ ही बचता है। अब अकेले A को 10 + 25 = 35 मिनट लगते हैं और B को 14 मिनट। मिलान भी हो जाता है, $\frac{35 \times 14}{49}$ = 10 मिनट।

प्रश्न 36

A किसी कार्य का $\frac{2}{3}$ भाग 16 दिनों में करता है, और फिर B शेष कार्य 6 दिनों में पूरा करता है। A और B मिलकर पूरा कार्य कितने दिनों में करेंगे?

उत्तर: A पूरा कार्य 16 × $\frac{3}{2}$ = 24 दिन में करेगा। B ने आख़िरी $\frac{1}{3}$ भाग 6 दिन में किया, तो पूरा कार्य वह 18 दिन में करेगा। दोनों मिलकर $\frac{24 \times 18}{42} = \frac{72}{7}$ = $10\frac{2}{7}$ दिन लेंगे।