एक दिन का कार्य और ल.स. विधि

  • कोई व्यक्ति किसी कार्य को n दिनों में पूरा करता है, तो वह हर दिन कार्य का 1n\frac{1}{n} भाग करता है। d दिनों में वह dn\frac{d}{n} भाग कर लेगा।
  • ल.स. विधि (LCM method) में कुल कार्य को सभी समयों का ल.स. मान लेते हैं। फिर ल.स. को हर व्यक्ति के अपने समय से भाग देने पर उसकी प्रतिदिन की इकाइयाँ मिल जाती हैं।
  • जैसे A किसी कार्य को 25 दिनों में करता है और B 100 दिनों में। कुल कार्य 100 इकाई मानिए, तो A प्रतिदिन 4 इकाई करता है और B 1 इकाई। दोनों मिलकर प्रतिदिन 5 इकाई करेंगे, तो कार्य 20 दिनों में पूरा होगा।
  • कोई 4 दिनों में कार्य का 27\frac{2}{7} भाग कर लेता है, तो पूरा कार्य वह 14 दिनों में करेगा।
  • समयों को कभी न जोड़िए और न उनका औसत लीजिए। जोड़ना हो तो केवल दरें जोड़िए।

दो और तीन व्यक्ति मिलकर

  • दो व्यक्ति अकेले a और b दिनों में कार्य पूरा करते हों, तो मिलकर उन्हें T=aba+bT = \frac{ab}{a + b} दिन लगते हैं।
  • दोनों का मिलकर लगा समय और एक का अकेले का समय पता हो, तो दूसरे का समय 1b=1T−1a\frac{1}{b} = \frac{1}{T} - \frac{1}{a} से निकालिए। जैसे A और B मिलकर 24 दिन लेते हैं और A अकेले 40 दिन। तो B की दर 124−140=160\frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{1}{60} है, यानी B अकेले 60 दिन लेगा।
  • तीन व्यक्ति हों, तो तीनों की दरें जोड़ दीजिए। जैसे तीनों को अकेले 30, 45 और 90 दिन लगते हों, तो कुल कार्य 90 इकाई लीजिए। प्रतिदिन 3 + 2 + 1 = 6 इकाई होंगी और कार्य 15 दिनों में पूरा होगा।
  • aba+b\frac{ab}{a + b} वाला सूत्र केवल दो व्यक्तियों के लिए है। तीन व्यक्ति हों, तो इकाइयों से ही हल कीजिए।
  • मिलकर लगा समय हमेशा सबसे तेज़ व्यक्ति के अकेले के समय से कम होता है। इसी से कई विकल्प तुरंत हट जाते हैं।

जोड़ियों के समय: A + B, B + C, C + A

  • तीनों जोड़ियों की दरें जोड़िए और उस जोड़ का आधा कीजिए। तीनों मिलकर इसी दर से कार्य करते हैं।
  • किसी एक की दर चाहिए, तो तीनों की मिलकर दर में से बाकी दो की जोड़ी की दर घटा दीजिए।
  • जैसे A + B को 20 दिन, B + C को 28 दिन और C + A को 35 दिन लगते हैं। कुल कार्य 140 इकाई लें, तो जोड़ियाँ प्रतिदिन 7, 5 और 4 इकाई करती हैं। इनका जोड़ 16 है, तो तीनों मिलकर प्रतिदिन 16 ÷ 2 = 8 इकाई करेंगे और कार्य 171217\frac{1}{2} दिनों में पूरा होगा। C प्रतिदिन 8 − 7 = 1 इकाई करता है, इसलिए अकेले उसे 140 दिन लगेंगे।
  • जोड़ का आधा करना भूल गए, तो उत्तर असली समय का आधा आएगा।

कार्यक्षमता और समय

  • कार्यक्षमता (efficiency) जितनी ज़्यादा, समय उतना कम। यानी T∝1ET \propto \frac{1}{E}।
  • A, B से x% अधिक कुशल हो, तो A और B की कार्यक्षमता का अनुपात (100 + x) : 100 होता है, और समय का अनुपात इसका उलटा। जैसे A, B से 40% अधिक कुशल हो, तो कार्यक्षमता 7 : 5 और समय 5 : 7 होगा। B को 35 दिन लगें, तो A को 25 दिन लगेंगे।
  • प्रतिदिन का कार्य आधा हो जाए, तो समय दोगुना लगेगा।
  • कार्यक्षमता का अनुपात और मिलकर लगा समय दिया हो, तो अनुपात के पदों के जोड़ को दिनों से गुणा करने पर कुल कार्य मिल जाता है। जैसे A और B की कार्यक्षमता 2 : 5 है और मिलकर वे 10 दिन लेते हैं, तो कुल कार्य 70 इकाई है। A अकेले इसे 35 दिनों में करेगा।
  • 25% अधिक कुशल होने का मतलब है समय 20% कम होना, 25% नहीं।

कार्य छोड़ना और जुड़ना

  • समय के हर हिस्से का कार्य अलग निकालिए। उस हिस्से में जो लोग कार्य कर रहे हैं, उनकी दर को दिनों से गुणा कीजिए। फिर सब हिस्सों का कार्य जोड़ दीजिए।
  • कोई n दिन बाद कार्य छोड़ देता है, तो पहले n दिन दोनों मिलकर कार्य करते हैं। शेष कार्य दूसरा अकेले करता है।
  • कोई कार्य पूरा होने से k दिन पहले उसे छोड़ देता है, तो कुल समय T मान लीजिए। उसने T − k दिन ही कार्य किया। जैसे A किसी कार्य को 36 दिनों में करता है और B 54 दिनों में, और A कार्य पूरा होने से 4 दिन पहले छोड़ देता है। तब 3(T − 4) + 2T = 108 से T = 24 दिन आता है।
  • कोई बाद में जुड़ता है, तो शुरू करने वाला पूरे समय कार्य करता है।
  • विकल्पों में कुल समय भी दिया होता है और किसी के छोड़ने या जुड़ने के बाद का समय भी। देख लीजिए कि प्रश्न में कौन-सा पूछा गया है।

मानव-दिवस और श्रृंखला नियम

  • मानव-दिवस (man-days) वाले प्रश्नों में श्रृंखला नियम (chain rule) लगाइए। सूत्र है M1D1H1W1=M2D2H2W2\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}। पुरुष या प्रतिदिन घंटे ज़्यादा हों तो दिन कम लगते हैं, और कार्य ज़्यादा हो तो दिन भी ज़्यादा लगते हैं।
  • जैसे 21 पुरुष प्रतिदिन 8 घंटे कार्य करके 10 दिनों में एक दीवार बनाते हैं। ऐसी दो दीवारें 28 पुरुष प्रतिदिन 6 घंटे कार्य करके बनाएँ, तो D=21×10×8×228×6D = \frac{21 \times 10 \times 8 \times 2}{28 \times 6} = 20 दिन लगेंगे।
  • बीच में टोली बदल जाए, तो पहले शेष कार्य निकालिए, यानी कुल कार्य में से हो चुका कार्य घटाइए। फिर उसे नई टोली से भाग दीजिए।
  • कार्य समय पर पूरा करना हो, तो शेष कार्य को शेष दिनों से भाग दीजिए। इससे पता चलता है कि कितने पुरुष चाहिए। इनमें से जो पुरुष पहले से लगे हैं, उन्हें घटा दीजिए। जितने बचें, उतने अतिरिक्त पुरुष लगाने होंगे।
  • ध्यान रखिए, प्रश्न में अक्सर अतिरिक्त पुरुष पूछे जाते हैं, कुल पुरुष नहीं।

पुरुष, महिलाएँ और बच्चे

  • सबको एक ही इकाई में बदल लीजिए। जैसे कोई कार्य 3 पुरुष या 5 महिलाएँ बराबर समय में करते हैं, तो 1 पुरुष = 53\frac{5}{3} महिलाएँ।
  • मान लीजिए 4 पुरुष या 6 महिलाएँ कोई कार्य 21 दिनों में करते हैं। तो कुल कार्य 126 महिला-दिवस है। 2 पुरुष और 9 महिलाएँ मिलकर 12 महिलाओं के बराबर हैं, तो उन्हें 101210\frac{1}{2} दिन लगेंगे।
  • एक ही कार्य दो मिली-जुली टोलियाँ करें, तो दोनों टोलियों का कुल कार्य बराबर लिखिए। इससे अनुपात निकल आता है।
  • एक व्यक्ति का समय चाहिए, तो लोगों की संख्या को दिनों से गुणा कीजिए। जैसे 6 पुरुष 11 दिन लेते हैं, तो 1 पुरुष 66 दिन लेगा।
  • प्रश्न में न लिखा हो, तो यह मत मानिए कि पुरुष और महिला बराबर कार्य करते हैं।

एकांतर दिन और सहायक

  • पहले देखिए कि एक चक्र कितने दिन का है और उसमें कितनी इकाइयाँ होती हैं। A और B बारी-बारी से कार्य करें, तो चक्र 2 दिन का होता है। कोई हर तीसरे दिन सहायता करता हो, तो चक्र 3 दिन का होता है।
  • पहले पूरे चक्र गिनिए, फिर एक-एक दिन। आख़िरी दिन अधूरा भी हो सकता है।
  • जैसे A किसी कार्य को 9 दिनों में करता है और B 24 दिनों में, और वे एकांतर दिनों (alternate days) में कार्य करते हैं। कुल कार्य 72 इकाई लें, तो A एक दिन में 8 इकाई करता है और B 3, यानी एक चक्र में 11 इकाई होती हैं। A पहले शुरू करे, तो 12 दिन बाद 66 इकाई हो जाती हैं। 13वें दिन केवल 6 इकाई बचती हैं, जबकि A दिन में 8 इकाई करता है, इसलिए कुल 123412\frac{3}{4} दिन लगते हैं। B पहले शुरू करे, तो 133813\frac{3}{8} दिन लगते हैं।
  • कई छात्र कुल कार्य को एक चक्र की इकाइयों से भाग देकर चक्र के दिनों से गुणा कर देते हैं। कार्य आख़िरी चक्र के बीच में ही पूरा हो जाए, तो इस तरह उत्तर गलत आता है।

ऋणात्मक कार्य

  • ऋणात्मक कार्य (negative work) में तोड़ने वाले की दर के आगे ऋण चिह्न लगाइए। बनाने वाले की दर में से तोड़ने वाले की दर घटाइए, तो शुद्ध दर मिल जाती है।
  • जैसे बनाने वाला 7 दिनों में दीवार बनाता है और तोड़ने वाला उसे 12 दिनों में गिरा देता है। दोनों एक साथ कार्य करें, तो शुद्ध दर 17−112=584\frac{1}{7} - \frac{1}{12} = \frac{5}{84} है, यानी दीवार 164516\frac{4}{5} दिनों में बनेगी।
  • दोनों एकांतर दिनों में कार्य करें, तो कार्य हमेशा बनाने वाले के दिन ही पूरा होता है। जैसे बनाने वाला पहले शुरू करता है और दीवार 84 इकाई की मान लीजिए। एक दिन 12 इकाई बनती हैं और अगले दिन 7 टूटती हैं, तो हर चक्र में दीवार 5 इकाई बढ़ती है। 15 चक्र (30 दिन) बाद 75 इकाई बन जाती हैं। 31वें दिन बनाने वाले को केवल 9 इकाई बनानी हैं, जबकि वह दिन में 12 बनाता है, इसलिए कुल 303430\frac{3}{4} दिन लगते हैं।
  • 84 ÷ 5 × 2 करके 333533\frac{3}{5} दिन लिखना गलत है। यह असली उत्तर से ज़्यादा आता है।

कार्य और मज़दूरी

  • मज़दूरी (wages) किए गए कार्य के अनुपात में बँटती है, दिनों या समयों के अनुपात में कभी नहीं।
  • सबने उतने ही दिन मिलकर कार्य किया हो, तो मज़दूरी कार्यक्षमताओं के अनुपात में बँटेगी। यह अनुपात समयों के अनुपात का उलटा होता है। जैसे दो लोग अकेले कोई कार्य 16 और 40 दिनों में करते हैं, तो उनकी कार्यक्षमता 5 : 2 है। ₹3,500 में से उन्हें ₹2,500 और ₹1,000 मिलेंगे।
  • सबने अलग-अलग दिन कार्य किया हो, तो हर व्यक्ति की दर को उतने दिनों से गुणा कीजिए, जितने दिन उसने कार्य किया। उसने कुल कार्य का जितना भाग किया, कुल मज़दूरी का भी उतना ही भाग उसे मिलेगा।
  • बाकी लोगों का कार्य पूरे कार्य में से घटा दीजिए। जो भाग बचे, वही सहायक ने किया, और मज़दूरी में उसका हिस्सा भी उतना ही है।
  • समयों के अनुपात में बाँटेंगे, तो हिस्से आपस में उलट जाएँगे।

नल की धन-ऋण दरें और रिसाव

  • नल और टंकी (pipes and cisterns) के प्रश्नों में भरने वाले नल (inlet pipe) की दर धन लीजिए, और खाली करने वाले नल (outlet pipe) या रिसाव (leak) की दर ऋण। पूरी टंकी को शुद्ध दर से भाग दीजिए, तो टंकी भरने का समय आ जाएगा।
  • जैसे एक नल टंकी को 21 घंटे में भरता है और दूसरा उसे 70 घंटे में खाली करता है। शुद्ध दर 121−170=130\frac{1}{21} - \frac{1}{70} = \frac{1}{30} है, तो टंकी 30 घंटे में भरेगी।
  • कभी रिसाव का पता बाद में चलता है। मान लीजिए बिना रिसाव टंकी a घंटे में भरती है और रिसाव के साथ b घंटे में। तब रिसाव अकेले भरी टंकी को abb−a\frac{ab}{b - a} घंटे में खाली करेगा। जैसे 4 घंटे की जगह 4 घंटे 48 मिनट लगें, तो रिसाव 24 घंटे में टंकी खाली करेगा।
  • टंकी पहले से आंशिक भरी हो, तो टंकी का जितना भाग भरना बाकी है, उसे शुद्ध दर से भाग दीजिए।
  • गुणनफल ÷ जोड़ वाला सूत्र दो भरने वाले नलों के लिए है। एक नल और रिसाव हों, तो गुणनफल ÷ अंतर लगाइए।

अलग-अलग समय पर खुले या बंद नल

  • समय के हर हिस्से को अलग से देखिए। उस हिस्से में जो नल खुले हैं, उनकी दर को समय से गुणा कीजिए।
  • t घंटे बाद एक नल बंद कर दिया जाए, तो t घंटे तक दोनों नल चलते हैं, और उसके बाद दूसरा नल अकेले।
  • एक नल बाद में खोला जाए, तो शुरू में पहला नल अकेले चलता है। प्रश्न कुछ और न कहे, तो समय उसी पल से गिनिए जब पहला नल खोला गया।
  • नल को ऐसे बंद करना हो कि टंकी ठीक T घंटे में भरे, तो जो नल खुला छोड़ा गया, वह पूरे T घंटे चलता है। जैसे A टंकी को 16 घंटे में भरता है और B 20 घंटे में। A को बीच में बंद कर दिया गया और टंकी 15 घंटे में भरी। B पूरे 15 घंटे खुला रहा, तो t16+1520=1\frac{t}{16} + \frac{15}{20} = 1 से t = 4 आता है। यानी A केवल 4 घंटे चला।
  • विकल्पों में कुल समय भी होता है और नल खुलने या बंद होने के बाद का समय भी। प्रश्न ध्यान से पढ़िए।

एकांतर घंटे

  • यहाँ नल बारी-बारी से एक-एक घंटा चलते हैं। हर नल का एक-एक घंटा मिलाकर एक चक्र होता है। देखिए कि हर चक्र में टंकी में कितनी इकाइयाँ जुड़ती हैं।
  • दो भरने वाले नल एकांतर घंटों (alternate hours) में चलें, तो पहले पूरे चक्र गिनिए, फिर एक-एक घंटा। आख़िरी घंटा अधूरा भी हो सकता है।
  • भरने वाला और खाली करने वाला नल बारी-बारी से चलें, तो टंकी भरने वाले नल के घंटे में ही भरती है। ज़्यादातर गलती आख़िरी घंटे में होती है। जैसे भरने वाला नल टंकी को 3 घंटे में भरता है और खाली करने वाला 8 घंटे में खाली करता है। टंकी 24 इकाई लें, तो हर चक्र में 8 इकाई आती हैं और 3 निकलती हैं। 4 चक्र (8 घंटे) बाद टंकी में 20 इकाई होती हैं। नौवें घंटे में बस 4 इकाई चाहिए, और भरने वाला नल घंटे में 8 इकाई भरता है, तो उत्तर 8128\frac{1}{2} घंटे है, 9359\frac{3}{5} नहीं।
  • टंकी को हर चक्र की बढ़त से भाग देकर 2 से गुणा करेंगे, तो उत्तर असली उत्तर से ज़्यादा आएगा।

लीटर में धारिता

  • सब बहाव पहले एक ही इकाई में लिख लीजिए, या तो लीटर प्रति मिनट में या लीटर प्रति घंटा में। उसके बाद ही उन्हें टंकी के भिन्नों वाले हिसाब में लगाइए।
  • किसी नल का बहाव लीटर में भी पता हो और टंकी के भिन्न में भी, तो लीटर को भिन्न से भाग दीजिए। इससे धारिता (capacity) आ जाती है। जैसे खाली करने वाला नल 8 लीटर प्रति मिनट पानी निकालता है। भरने वाला नल अकेले टंकी को 4 घंटे में भरता है, और दोनों खुले हों तो 6 घंटे लगते हैं। तो खाली करने वाला नल हर घंटे 14−16=112\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} टंकी निकालता है। एक घंटे में वह 480 लीटर निकालता है, तो धारिता 480 × 12 = 5,760 लीटर है।
  • दो नलों की दरों में d लीटर प्रति मिनट का अंतर हो, और वे टंकी को a और b मिनट में भरते हों (a > b), तो धारिता d×a×ba−b\frac{d \times a \times b}{a - b} लीटर होगी।
  • लीटर प्रति मिनट और लीटर प्रति घंटा को एक ही हिसाब में मिला देने से उत्तर गलत आता है।