ल.स. इकाई विधि

समय और कार्य के प्रश्न असल में भिन्नों के ही प्रश्न होते हैं, बस दिखते अलग हैं। टियर 1 में एक प्रश्न पर लगभग 36 सेकंड ही मिलते हैं। इसलिए आगे की लगभग हर विधि में हम इन भिन्नों को पूरी संख्या वाली इकाइयों में बदल देंगे। तब सारा जोड़-घटाव मन में हो जाता है।

हर विधि के साथ यह भी देखेंगे कि उसमें गलती कहाँ होती है। इस अध्याय में ज़्यादातर गलतियाँ तीन तरह की होती हैं। कोई दर को ही समय मान लेता है। कोई सहायक का वह दिन भी गिन लेता है, जिस दिन उसने कार्य किया ही नहीं। और कोई खाली करने वाले नल को भी भरने वाला मान लेता है।

कुल कार्य = समयों का ल.स.

जब दो या ज़्यादा व्यक्ति (या नल) हों और सबके समय पूरी संख्याओं में दिए हों, तो ल.स. विधि (LCM method) लगाइए। वरना 115+135\frac{1}{15} + \frac{1}{35} जैसी भिन्नें जोड़नी पड़ेंगी।

पूरा कार्य समयों के ल.स. के बराबर मान लीजिए। अब हर व्यक्ति की दर निकालिए, यानी वह एक दिन में कितनी इकाई कार्य करता है। इसके लिए कुल इकाइयों को उसके अपने समय से भाग दीजिए, दर पूरी संख्या में आएगी। फिर ज़रूरत के हिसाब से दरें जोड़िए या घटाइए, और बची इकाइयों को दर से भाग दे दीजिए।

जैसे A किसी कार्य को 15 दिनों में और B उसे 35 दिनों में कर सकता है। 15 और 35 का ल.स. 105 है, तो कार्य 105 इकाई मान लेते हैं। A हर दिन 7 इकाई करता है और B 3 इकाई। दोनों मिलकर एक दिन में 10 इकाई करेंगे, तो पूरा कार्य 105 ÷ 10 = 101210\frac{1}{2} दिन में होगा।

इसी प्रश्न में एक बात और जोड़ते हैं। मान लीजिए A अकेले 3 दिन कार्य करके छोड़ देता है। उसने 21 इकाई कर दीं, और बाकी 84 इकाई B को करनी हैं। B रोज़ 3 इकाई करता है, तो उसे 28 दिन लगेंगे।

तीन व्यक्ति हों, तब भी यह उतना ही आसान है। A को 7 दिन, B को 14 दिन और C को 28 दिन लगते हैं। ल.स. 28 है, तो कार्य 28 इकाई हुआ और दरें 4, 2 और 1 हुईं। तीनों मिलकर हर दिन 7 इकाई करेंगे, तो कार्य 4 दिन में पूरा हो जाएगा।

समय पूर्ण संख्या में न हो तब

कभी किसी का समय भिन्न में दिया होता है। जैसे A को 4124\frac{1}{2} दिन लगते हैं और B को 6 दिन। तब कुल कार्य इतनी इकाई मानिए कि वह दोनों समयों से पूरा-पूरा बँट जाए। यहाँ 18 इकाई ठीक रहेगी। A की दर 18 ÷ 4.5 = 4 इकाई प्रतिदिन है और B की 3। दोनों मिलकर 7 इकाई प्रतिदिन करेंगे, तो समय 187\frac{18}{7} यानी 2472\frac{4}{7} दिन लगेगा।

जब भिन्न पहले से दी हो

कुछ प्रश्नों में भिन्न पहले से दी होती है, जैसे "A, कार्य का 25\frac{2}{5} भाग 6 दिनों में करता है"। ऐसे में पहले यह निकालिए कि पूरे कार्य में कितने दिन लगेंगे। A = 6 × 52\frac{5}{2} = 15 दिन। इसके बाद इकाइयाँ हमेशा की तरह मान लीजिए।

कार्य बड़ा हो, तो इकाइयाँ भी उसी अनुपात में बढ़ा दीजिए। ऊपर वाले A और B को ऐसे तीन कार्य करने हों, तो कुल 3 × 105 = 315 इकाई होंगी। मिलकर वे रोज़ 10 इकाई करते हैं, तो 315 ÷ 10 = 311231\frac{1}{2} दिन लगेंगे।

इस विधि में चार बातों का ध्यान रखिए।

  • दर उत्तर नहीं है। 10 इकाई प्रतिदिन का मतलब 10 दिन नहीं होता। समय निकालने के लिए इकाइयों को दर से भाग दीजिए।
  • ल.स. ही लेना ज़रूरी नहीं, कोई भी सार्व गुणज चलेगा। 210 इकाई लेंगे, तब भी वही 101210\frac{1}{2} दिन आएगा। ल.स. से बस संख्याएँ छोटी रहती हैं। गुणनफल 15 × 35 = 525 ले लिया, तो हल धीमा होगा, गलत नहीं।
  • कभी प्रश्न में समय नहीं, कार्यक्षमता (efficiency) दी होती है, जैसे "A, B से दोगुनी तेज़ी से कार्य करता है"। तब कार्यक्षमता को ही इकाई प्रतिदिन मान लीजिए, यानी A की 2 और B की 1। फिर कुल कार्य = दर × समय।
  • इकाइयाँ एक ही कार्य की होती हैं। दूसरा कार्य दोगुना बड़ा हो, तो भाग देने से पहले कुल इकाइयाँ भी दोगुनी कीजिए।

मिलकर कार्य: दो, तीन और जोड़ियाँ

दो व्यक्ति: गुणनफल ÷ योग

दो व्यक्तियों के समय दिए हों और केवल यह पूछा जाए कि मिलकर कितना समय लगेगा, तो इकाइयाँ मानने की भी ज़रूरत नहीं। मान लीजिए दोनों के अकेले के समय x और y हैं। तब सीधे यह सूत्र लगाइए।

T=xyx+yT = \frac{xy}{x + y}

जैसे एक को 20 दिन और दूसरे को 80 दिन लगते हैं। तो T = 20×80100\frac{20 \times 80}{100} = 16 दिन।

जोड़ी से एक व्यक्ति

उलटा प्रश्न भी आता है। दोनों मिलकर कार्य T दिन में करते हैं और अकेले A उसे x दिन में करता है। तब अकेले B को xTx−T\frac{xT}{x - T} दिन लगेंगे। ऊपर वाली संख्याएँ ही लीजिए। मिलकर 16 दिन और अकेले A को 20 दिन, तो B = 20×164\frac{20 \times 16}{4} = 80 दिन।

तीन व्यक्ति

तीन व्यक्तियों के लिए सूत्र यह है।

T=xyzxy+yz+zxT = \frac{xyz}{xy + yz + zx}

जैसे तीनों को अकेले 20, 36 और 45 दिन लगते हैं। तो T = 32400720+1620+900=324003240\frac{32400}{720 + 1620 + 900} = \frac{32400}{3240} = 10 दिन।

पर इतने बड़े गुणा से बचना हो, तो इकाइयों वाला तरीका तेज़ है। कार्य 180 इकाई मान लीजिए। दरें 9 + 5 + 4 = 18 इकाई प्रतिदिन हुईं, और 180 ÷ 18 = 10 दिन।

जोड़ियों के आँकड़े: जोड़ना, फिर आधा

कभी अकेले के समय नहीं, जोड़ियों के समय दिए होते हैं, यानी A + B, B + C और C + A के। तब तीनों जोड़ी-समयों का ल.स. लेकर कुल कार्य मानिए और हर जोड़ी की इकाई प्रतिदिन निकालिए। तीनों जोड़ी-दरों को जोड़कर आधा कीजिए। यही A + B + C की दर है।

किसी एक की अकेले की दर चाहिए, तो तीनों की मिली दर में से वह जोड़ी घटा दीजिए जिसमें वह व्यक्ति नहीं है।

उदाहरण देखिए। A और B कार्य को 5 दिन में, B और C 6 दिन में, तथा C और A 10 दिन में करते हैं। ल.स. 30 है, तो कार्य 30 इकाई हुआ। जोड़ी-दरें 6, 5 और 3 हैं, जिनका जोड़ 14 है।

इसका आधा 7 है। मतलब तीनों मिलकर हर दिन 7 इकाई करते हैं, और कार्य 4274\frac{2}{7} दिन में होगा।

अब अकेले की दरें निकालते हैं। A की दर 7 − 5 = 2 इकाई प्रतिदिन है, तो उसे 15 दिन लगेंगे। B की दर 7 − 3 = 4 है, तो उसे 7127\frac{1}{2} दिन लगेंगे। और C की दर 7 − 6 = 1 है, तो 30 दिन।

अब देखिए कि इन प्रश्नों में गलती कहाँ होती है।

  • समय जोड़ देना (20 + 80 = 100 दिन) या उनका औसत ले लेना (50 दिन)। याद रखिए, दो व्यक्ति मिलकर हमेशा तेज़ वाले के अकेले समय से भी कम समय लेते हैं।
  • आधा करना भूल जाना। जोड़ी-दरों में हर व्यक्ति दो बार गिना गया है। ऊपर वाले उदाहरण में आधा किए बिना 30 ÷ 14 = 2172\frac{1}{7} दिन आएगा, जो गलत है।
  • गलत जोड़ी घटा देना। अकेले A = तीनों मिलकर − (B + C), यानी वह जोड़ी घटाइए जिसमें A नहीं है।
  • xTx−T\frac{xT}{x - T} लगाते समय देख लीजिए कि x, T से बड़ा हो। कोई अकेला व्यक्ति जोड़ी से भी जल्दी कार्य कर दे, तो समझिए कि हिसाब में कोई संख्या गलत है।

जोड़ी से ज़्यादा समय: कभी प्रश्न में दिया होता है कि अकेले A को, A और B के मिलकर लगने वाले समय से a दिन अधिक लगते हैं, और अकेले B को b दिन अधिक। तब मिलकर लगने वाला समय सीधे ab\sqrt{ab} होता है। जैसे ये अधिक समय 16 और 9 दिन हों, तो मिलकर 12 दिन लगेंगे। तो A को 28 दिन और B को 21 दिन लगते हैं। मिलाकर देख लीजिए, 28×2149\frac{28 \times 21}{49} = 12।

कार्यक्षमता और समय

प्रश्न में कभी लिखा होता है "A, B से 20% अधिक कुशल है", कभी "A दोगुना अच्छा कारीगर है", और कभी "जो कार्य B 9 दिनों में करता है, वह A 6 दिनों में करता है"। कई बार सीधे कार्यक्षमताओं का अनुपात दिया होता है। इन सबमें एक ही बात काम आती है।

कार्य एक ही हो, तो जिसकी कार्यक्षमता ज़्यादा है, उसे समय कम लगता है। कार्यक्षमता a : b हो, तो समय b : a होगा।

प्रतिशत में दिया हो, तो सीधा गुणा कीजिए। "x% अधिक कुशल" हो तो समय × 100100+x\frac{100}{100 + x}, और "x% कम कुशल" हो तो समय × 100100−x\frac{100}{100 - x}।

जैसे B को 36 दिन लगते हैं और A उससे 20% अधिक कुशल है। तो A = 36 × 100120\frac{100}{120} = 30 दिन। इसी तरह 15 दिन लेने वाले श्रमिक से 25% कम कुशल श्रमिक को 15 × 10075\frac{100}{75} = 20 दिन लगेंगे।

कार्यक्षमता और मिलकर समय

यहाँ कार्यक्षमता को ही इकाई प्रतिदिन मान लीजिए। जैसे A, B से दोगुना अच्छा कारीगर है और दोनों मिलकर कार्य 26 दिन में करते हैं। A की दर 2 और B की 1 इकाई प्रतिदिन लीजिए। तो कुल कार्य = 3 × 26 = 78 इकाई। अब अकेले A को 39 दिन लगेंगे और अकेले B को 78 दिन।

कार्यक्षमता और दिनों का अंतर

A, B से 50% अधिक कुशल है और उसे 17 दिन कम लगते हैं। कार्यक्षमता 3 : 2 है, तो समय 2 : 3 होगा। दोनों समयों में 1 भाग का अंतर है, और वही 17 दिन है। तो A को 34 दिन और B को 51 दिन लगते हैं।

एक ही कार्य, अलग-अलग समय

प्रश्न में लिखा हो "जो कार्य B 9 दिनों में करता है, वह A 6 दिनों में करता है", तो समय का अनुपात A : B = 2 : 3 है। इसे पलट दीजिए, कार्यक्षमता 3 : 2 हो गई।

कभी कथन थोड़ा घुमाकर दिया जाता है, जैसे "A, B के तीन-चौथाई समय में B का आधा कार्य करता है"। तब A की दर = B की दर का 12÷34=23\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3}, तो A : B = 2 : 3।

इन प्रश्नों में तीन गलतियाँ बार-बार दिखती हैं।

  • 20% अधिक कुशल होने का मतलब 20% कम समय नहीं है। 36 दिन से 30 दिन होना केवल 1623%16\frac{2}{3}\% की कमी है। 36 × 0.8 = 28.8 दिन लिख देना सबसे आम गलती है।
  • गलत अनुपात पलट देना। कार्यक्षमता 3 : 2 है, तो समय 2 : 3 होगा। अच्छा श्रमिक कम दिन लेता है।
  • "B, A से 25% कम कुशल है" और "A, B से 25% अधिक कुशल है" एक बात नहीं है। पहले कथन में A : B = 4 : 3 है, यानी A, 3313%33\frac{1}{3}\% अधिक कुशल है।

सबसे अच्छा यह है कि प्रश्न पढ़ते ही शब्दों को अनुपात में बदल लीजिए। 20% अधिक मतलब 6 : 5, 50% अधिक मतलब 3 : 2, दोगुना अच्छा मतलब 2 : 1 और 25% कम मतलब 3 : 4। समय चाहिए तो अनुपात पलट दीजिए। फिर एक भाग का मान निकालिए, बाकी सब उसी से निकल आता है।

देर से जुड़ना, जल्दी छोड़ना, शेष कार्य

पहले दो तरह के प्रश्नों में हम एक ही A और B लेंगे। A किसी कार्य को 21 दिनों में और B उसे 28 दिनों में कर सकता है। कार्य 84 इकाई मान लेते हैं, तो A की दर 4 और B की 3 इकाई प्रतिदिन है।

n दिन बाद जुड़ना या n दिन बाद छोड़ना

कभी एक व्यक्ति अकेले कार्य शुरू करता है और दूसरा बाद में जुड़ता है। या दोनों साथ शुरू करते हैं और एक कुछ दिन बाद कार्य छोड़ देता है। ऐसे में शुरू से एक-एक टुकड़ा करके चलिए। पहले टुकड़े में जितनी इकाइयाँ हुईं, उन्हें कुल में से घटाइए, और बचे कार्य को नई दर से भाग दीजिए।

  • A शुरू करता है और B 7 दिन बाद जुड़ता है। 7 दिन में A ने 28 इकाई कीं, तो 56 बचीं। अब दोनों मिलकर रोज़ 7 इकाई करेंगे, तो 56 ÷ 7 = 8 दिन और लगेंगे। कुल 15 दिन हुए।
  • दोनों साथ शुरू करते हैं और A 6 दिन बाद छोड़ देता है। 6 दिन में दोनों ने 42 इकाई कीं, और 42 ही बचीं। इन्हें B अकेले 14 दिनों में करेगा, तो कुल 20 दिन लगेंगे।

अंत से n दिन पहले छोड़ना: उलटी दिशा से

प्रश्न में लिखा हो "कार्य पूरा होने से 14 दिन पहले B कार्य छोड़ देता है", या "आख़िरी 4 दिन A अनुपस्थित रहा", तो अंत की ओर से सोचिए। A की दर a और B की b लीजिए, और मान लीजिए पूरा कार्य T दिन में हुआ। A पूरे T दिन लगा रहा और B केवल T − n दिन। तो aT + b(T − n) = कुल कार्य, और इससे यह निकलता है।

T=कुल कार्य+bna+bT = \frac{\text{कुल कार्य} + bn}{a + b}

इसे शब्दों में ऐसे समझिए। मान लीजिए B ने कार्य छोड़ा ही नहीं। तब कुल कार्य में bn इकाई और जोड़नी होंगी, और अब दोनों पूरे समय साथ कार्य करते हैं।

हमारे उदाहरण में B अंत से 14 दिन पहले छोड़ देता है। तो T = (84 + 3 × 14) ÷ 7 = 18 दिन। जाँचकर देखिए। A ने 18 दिन कार्य किया (72 इकाई) और B ने 4 दिन (12 इकाई)।

शेष कार्य विधि

कभी एक व्यक्ति कुछ दिन कार्य करता है, दूसरा उसे पूरा करता है, और पूछा जाता है कि किसी एक को अकेले कितना समय लगेगा। तब हर टुकड़े को कार्य के भाग में लिखिए। पूरा करने वाले का हिस्सा = उसके कार्य के दिन ÷ उसका अपना समय। बाकी भाग पहले व्यक्ति ने किया।

जैसे A 5 दिन कार्य करके छोड़ देता है, और B, जो अकेले 21 दिन लेता है, बाकी कार्य 14 दिनों में पूरा करता है। B ने 1421=23\frac{14}{21} = \frac{2}{3} कार्य किया। तो A के 5 दिनों में 13\frac{1}{3} कार्य हुआ, और अकेले A को 5 × 3 = 15 दिन लगेंगे।

छोड़ने और जुड़ने वाले प्रश्नों में ये गलतियाँ आम हैं।

  • "6 दिन बाद छोड़ दे" में दिन शुरुआत से गिने जाते हैं, और "अंत से 6 दिन पहले छोड़ दे" में अंत से। इन दोनों में लोग अक्सर गड़बड़ा जाते हैं, इसलिए पहले ठीक से पढ़ लीजिए कि प्रश्न में कौन-सी बात लिखी है।
  • मिलकर लगने वाले समय में n जोड़ देना। मिलकर 12 दिन लगते हैं और B 14 दिन पहले छोड़ देता है, तो 12 + 14 = 26 दिन उत्तर नहीं है।
  • शेष कार्य विधि में भाग गलत व्यक्ति को दे देना। पूरा करने वाले ने बचा हुआ भाग किया है, शुरू वाला भाग नहीं।

[SSC टिप] कई व्यक्ति अलग-अलग समय पर कार्य छोड़ें, तो हर व्यक्ति के कार्य के दिन अलग-अलग लिख लीजिए। फिर बस एक पंक्ति लिखनी है कि (दर × दिन) का जोड़ = कुल इकाइयाँ। जुड़ने और छोड़ने का कोई भी मेल हो, इसी से हल हो जाता है।

मानव-दिवस और श्रृंखला नियम

जब प्रश्न में श्रमिकों के समूह हों, साथ में प्रतिदिन घंटे दिए हों और कार्य का आकार भी बदल रहा हो, तब यह तरीका लगाइए। किसी समूह का कार्य = पुरुष × दिन × प्रतिदिन घंटे। पुरुषों और दिनों के गुणनफल को मानव-दिवस (man-days) कहते हैं। दो समूहों की तुलना के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) लगता है।

M1D1H1W1=M2D2H2W2\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}

यहाँ M पुरुषों की संख्या है, D दिन, H प्रतिदिन घंटे और W कार्य। अज्ञात को एक ओर अकेला रखिए, और गुणा करने से पहले जितना हो सके काट दीजिए।

मान लीजिए प्रतिदिन 5 घंटे कार्य करके 16 पुरुष 9 दिनों में 360 मीटर पाइपलाइन बिछाते हैं। अब 24 पुरुष प्रतिदिन 7 घंटे कार्य करके 504 मीटर पाइपलाइन कितने दिनों में बिछाएँगे? D = 16×9×5×504360×24×7\frac{16 \times 9 \times 5 \times 504}{360 \times 24 \times 7} = 6 दिन।

इसे दूसरी तरह भी देख सकते हैं। पहले समूह के हिसाब से एक मीटर पाइपलाइन पर 2 मानव-घंटे लगते हैं। तो 504 मीटर के लिए 1,008 मानव-घंटे चाहिए। नया समूह हर दिन 24 × 7 = 168 मानव-घंटे कार्य करता है, तो 1,008 ÷ 168 = 6 दिन लगेंगे।

जल्दी पूरा करने के लिए और पुरुष

40 पुरुष कोई कार्य 30 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 12 दिन बाद तय हुआ कि कार्य 6 दिन पहले पूरा करना है। कितने और पुरुष चाहिए?

पूरा कार्य 40 × 30 = 1,200 मानव-दिवस है। 12 दिनों में 480 हो चुके, और 720 बाकी हैं। बचे दिन 30 − 12 − 6 = 12 हैं। तो 720 ÷ 12 = 60 पुरुष चाहिए, यानी 20 और पुरुष।

बीच में कुछ पुरुष कार्य छोड़ दें

48 पुरुष कोई कार्य 35 दिनों में पूरा कर सकते हैं, पर 15 दिन बाद 8 पुरुष कार्य छोड़ देते हैं। कार्य 48 × 35 = 1,680 मानव-दिवस है, जिसमें से 15 दिनों में 720 हो चुके। अब 40 पुरुष बचे हैं और 960 मानव-दिवस कार्य बाकी है। तो 24 दिन और लगेंगे, यानी कुल 39 दिन।

यहाँ चार बातें ध्यान में रखिए।

  • कुछ कार्य हो चुका हो, तो दूसरी ओर केवल बचा कार्य रखिए, पूरा नहीं। "और पुरुष" वाले उदाहरण में पूरे 1,200 मानव-दिवस को 24 दिनों से भाग दिया, तो 50 पुरुष आते हैं और उत्तर "10 और" निकलता है। विकल्पों में यही गलत उत्तर दिया होता है।
  • बचे दिन = कुल दिन − बीते दिन − जितने दिन पहले पूरा करना है। भाग देने से पहले ये तीनों संख्याएँ लिख लीजिए।
  • इकाइयाँ न मिलाइए। W दोनों ओर एक ही इकाई में हो, मीटर के साथ मीटर। और H का मतलब प्रतिदिन घंटे है, कुल घंटे नहीं।
  • ज़्यादा पुरुष होंगे तो दिन कम लगेंगे। पुरुष बढ़ाने पर उत्तर भी बढ़ जाए, तो समझिए कोई अनुपात उलट गया है।

पुरुष, महिलाएँ, बच्चे: एक इकाई

कई प्रश्नों में मिला-जुला समूह होता है, जिसमें पुरुष, महिलाएँ, बच्चे या लड़के होते हैं। पूछा जाता है कि किसी और मेल को कितना समय लगेगा, या किसी एक प्रकार के कितने श्रमिक चाहिए। ऐसे में सबको एक ही इकाई में बदल दीजिए। इकाई ऐसी चुनिए जिससे संख्याएँ पूरी रहें। फिर यह सीधा मानव-दिवस वाला प्रश्न रह जाता है।

अनुपात दिया हो: मान लीजिए कार्य के हिसाब से 1 पुरुष = 2 महिलाएँ = 4 बच्चे, और कार्य को 6 पुरुष 10 दिन में करते हैं। यानी कार्य 60 मानव-दिवस है। अब 4 पुरुष, 4 महिलाएँ और 8 बच्चे लगें, तो वे 4 + 2 + 2 = 8 पुरुषों के बराबर हैं। समय = 60 ÷ 8 = 7127\frac{1}{2} दिन।

दो समूह, एक ही कार्य: 2 पुरुष और 3 महिलाएँ कार्य को 16 दिन में करते हैं, और 3 पुरुष और 2 महिलाएँ उसी को 14 दिन में। कार्य बराबर है, तो 16(2m + 3w) = 14(3m + 2w)। इससे 32m + 48w = 42m + 28w, यानी 20w = 10m।

मतलब 1 पुरुष = 2 महिलाएँ। पहला समूह 7 महिलाओं के बराबर है, तो कार्य = 16 × 7 = 112 महिला-दिवस। अब यही कार्य 7 पुरुषों को करना हो, तो वे 14 महिलाओं के बराबर हैं और उन्हें 8 दिन लगेंगे।

एक प्रकार के कितने?

वही 112 महिला-दिवस वाला कार्य 4 दिनों में करना है। 5 पुरुष लगे हैं, और देखना है कि साथ में कितनी महिलाएँ लगानी होंगी। 4 दिन में पूरा करने के लिए हर दिन 28 महिलाओं जितना कार्य होना चाहिए। 5 पुरुष 10 महिलाओं के बराबर हैं, तो 18 महिलाएँ चाहिए।

"या" वाली सूची

कभी प्रश्न में "या" आता है, जैसे "2 पुरुष या 3 महिलाएँ या 4 लड़के उसे 12 दिनों में कर सकते हैं"। इसका मतलब है 2 पुरुष = 3 महिलाएँ = 4 लड़के, यानी 1 पुरुष = 1.5 महिलाएँ = 2 लड़के। पुरुषों में गिनें, तो कार्य 24 मानव-दिवस है।

मिले-जुले समूहों में ये गलतियाँ बहुत होती हैं।

  • केवल श्रमिकों की गिनती जोड़ देना। 5 पुरुष और 5 महिलाएँ, एक ही प्रकार के 10 श्रमिकों के बराबर नहीं हैं।
  • अनुपात पलट देना। 4 पुरुष = 6 महिलाएँ हो, तो 1 पुरुष = 32\frac{3}{2} महिलाएँ, 23\frac{2}{3} नहीं।
  • दिनों को बराबर रखकर समीकरण लिख देना। बराबर तो कार्य होता है, यानी दोनों ओर (समूह की क्षमता) × दिन बराबर होना चाहिए।
  • कार्य वाला अनुपात पैसों पर लगा देना। भुगतान किसी और अनुपात में तय हो, तो वह अनुपात केवल पैसे बाँटने के लिए है।

जब बाकी सब सबसे धीमे श्रमिक के पूरे गुणज हों, तो उसी को इकाई मानकर गिनना सबसे आसान है। 1 पुरुष = 2 महिलाएँ = 4 बच्चे हो, तो बच्चों में गिनिए। एक पुरुष 4 हुआ और एक महिला 2।

2 पुरुष = 3 महिलाएँ जैसा अनुपात हो, तो जोड़ियों में गिनिए, यानी हर 2 पुरुषों को 3 महिलाओं के बराबर मानिए।

एकांतर दिन और बारी

A और B एकांतर दिनों में कार्य करें, या लोग बारी-बारी से कार्य करें, या कोई सहायक हर तीसरे दिन सहायता करने आए, तो प्रश्न तीन कदम में हल होता है। मान लीजिए A की दर a और B की b है।

  1. एक चक्र में हर व्यक्ति का एक दिन गिनिए। यानी 2 दिनों में a + b इकाई कार्य होता है।
  2. कार्य पूरा किए बिना जितने पूरे चक्र चल सकते हैं, उतने चलाइए।
  3. जो बचे, वह उसे दीजिए जिसकी बारी है। ज़रूरत हो, तो फिर अगले व्यक्ति को।

उदाहरण लेते हैं। A को 8 दिन और B को 12 दिन लगते हैं। कार्य 24 इकाई है, A की दर 3 और B की 2 इकाई प्रतिदिन। एक चक्र में, यानी 2 दिनों में, 5 इकाई कार्य होता है। 4 चक्र, यानी 8 दिन में, 20 इकाई हो गईं और 4 बचीं। अब देखिए कि शुरुआत किसने की।

  • A ने शुरुआत की, तो नौवाँ दिन A का है। वह 3 इकाई करता है और 1 बचती है। दसवाँ दिन B का है। 1 इकाई के लिए उसे आधा दिन चाहिए, तो कुल 9129\frac{1}{2} दिन लगे।
  • B ने शुरुआत की, तो नौवाँ दिन B का है। वह 2 इकाई करता है और 2 बचती हैं। दसवाँ दिन A का है, और उसकी 3 इकाई में से 2 चाहिए, यानी दिन का 23\frac{2}{3}। कुल 9239\frac{2}{3} दिन लगे।

आधे दिन पर अंत

आख़िरी टुकड़ा अगर बारी वाले व्यक्ति के आधे दिन के कार्य जितना हो, तो उत्तर के अंत में 12\frac{1}{2} आता है, जैसा ऊपर A वाली शुरुआत में हुआ। विकल्पों में 9129\frac{1}{2}, 9359\frac{3}{5} और 9239\frac{2}{3} जैसे मान अक्सर साथ-साथ दिए होते हैं। इसलिए आख़िरी दो दिन एक-एक करके गिनिए।

हर तीसरे दिन सहायक

A रोज़ कार्य करे और B हर तीसरे दिन उसके साथ लगे, तो एक चक्र 3 दिन का होता है। इसमें 3a + b इकाई कार्य होता है। पूरे चक्र चलाइए। फिर बचा हुआ कार्य अगले चक्र के पहले दिन से शुरू कीजिए, जब A अकेला होता है।

इन प्रश्नों में तीन बातें ध्यान रखिए।

  • कुल को एक चक्र की इकाइयों से भाग देकर दोगुना कर देना गलत है। 24 ÷ 5 × 2 = 9359\frac{3}{5} दिन आता है, पर आख़िरी दिन किसी एक ही व्यक्ति का होता है, दोनों के औसत का नहीं।
  • बचा हुआ कार्य गलत व्यक्ति को न दीजिए। पूरे चक्रों के बाद बारी फिर उसी की आती है जिसने शुरुआत की थी।
  • चक्रों से ही कार्य ठीक-ठीक पूरा हो जाए, तो आख़िरी दिन दूसरे व्यक्ति का होता है। तब शुरुआत कोई भी करे, उत्तर वही रहता है। जैसे 6 दिन और 12 दिन वाले दो व्यक्ति हों (12 इकाई, हर चक्र में 3), तो दोनों तरह से 8 दिन लगते हैं।

जाँच के लिए याद रखिए कि उत्तर हमेशा मिलकर लगने वाले समय के दोगुने के आसपास होता है। यहाँ मिलकर समय 4454\frac{4}{5} दिन है, तो उत्तर 9359\frac{3}{5} के पास होगा। बस आख़िरी एक-दो दिनों पर ध्यान देना है।

ऋणात्मक कार्य: बनाने वाले और तोड़ने वाले

कुछ प्रश्नों में एक व्यक्ति बनाता है और दूसरा तोड़ता है। जैसे एक दीवार बनाता है और दूसरा उसे गिराता है, या एक गड्ढा खोदता है और दूसरा उसे भरता है। नल वाले प्रश्नों में भी एक नल भरता है और दूसरा खाली करता है। इसे ऋणात्मक कार्य (negative work) कहते हैं। तोड़ने वाले की दर ऋण चिह्न के साथ लिखिए। दोनों एक साथ कार्य करें, तो शुद्ध दर = बनाने की दर − तोड़ने की दर।

जैसे A एक दीवार 10 दिनों में बनाता है और B उसे 25 दिनों में गिरा सकता है। कार्य 50 इकाई मानिए। A की दर +5 और B की −2 इकाई प्रतिदिन है। दोनों साथ कार्य करें, तो दीवार हर दिन 3 इकाई बढ़ती है और 50 ÷ 3 = 162316\frac{2}{3} दिन में पूरी होती है।

एकांतर दिन: आख़िरी दिन का फ़ायदा

अब मान लीजिए A और B एकांतर दिनों में कार्य करते हैं, और पहला दिन A का है। हर 2 दिन के चक्र में दीवार केवल 3 इकाई बढ़ती है। तो लगता है कि 50 ÷ 3 × 2 = 331333\frac{1}{3} दिन लगेंगे। यही जाल है।

वजह यह है कि जिस दिन A दीवार को 50 इकाई तक पहुँचा देता है, दीवार उसी समय पूरी हो जाती है। उस दिन का कार्य गिराने का मौका B को मिलता ही नहीं।

इसलिए चक्र थोड़ा पहले रोकिए। k चक्रों के बाद दीवार 3k इकाई ऊँची है। अगले दिन A 5 इकाई और जोड़ेगा। हमें चाहिए 3k+5≥503k + 5 \ge 50, तो k = 15।

30 दिन बाद दीवार 45 इकाई ऊँची है। 31वें दिन A आख़िरी 5 इकाई जोड़ देता है, और दीवार 31 दिन में पूरी हो जाती है।

दिन=2×50−53+1=31\text{दिन} = 2 \times \frac{50 - 5}{3} + 1 = 31

सामान्य नियम यह है। कुल में से बनाने वाले के एक दिन का कार्य घटाइए और एक चक्र की शुद्ध बढ़त से भाग दीजिए। इससे पूरे चक्र मिलते हैं। फिर बनाने वाले का आख़िरी दिन जोड़ दीजिए।

भाग पूरा न जाए, तो चक्रों की संख्या ऊपर की ओर पूरी कर लीजिए। तब बनाने वाले को आख़िरी दिन का केवल कुछ भाग लगेगा।

शुरुआत कौन करता है, इससे भी फ़र्क पड़ता है

अगर B ख़ाली ज़मीन पर शुरुआत करे, तो उसका पहला दिन बेकार जाता है, क्योंकि जो दीवार अभी है ही नहीं, उसे वह गिरा नहीं सकता। तब कार्य 32 दिनों में पूरा होता है।

अब देखिए कि गलत उत्तर कहाँ से आते हैं।

  • एकांतर दिनों के लिए 2 × (कुल ÷ शुद्ध दर) लगा देना। यहाँ इससे 331333\frac{1}{3} दिन आता है, जो वही पुराना गलत विकल्प है।
  • तोड़ने वाला बनाने वाले से तेज़ हो, तो शुद्ध दर शून्य से नीचे चली जाती है, और दीवार कभी पूरी नहीं होती।
  • "एक साथ" और "एकांतर" को मिला देना। एक साथ कार्य हो, तो उत्तर = कुल ÷ शुद्ध दर। एकांतर हो, तो लगभग उसका दोगुना, बस आख़िरी दिन के फ़ायदे जितना कम।

कार्य और मज़दूरी

किसी कार्य का भुगतान मिला हो और उसे कार्य करने वालों में बाँटना हो, तो एक नियम याद रखिए। मज़दूरी (wages) किए गए कार्य के अनुपात में बँटती है, और किया गया कार्य = दर × कार्य के दिन। इकाइयाँ मान लें, तो हिस्सा तुरंत निकलता है। किसी व्यक्ति का हिस्सा = उसकी इकाइयाँ ÷ कुल इकाइयाँ।

सबने पूरे समय कार्य किया: A को 10 दिन और B को 15 दिन लगते हैं। दोनों ने मिलकर कार्य किया और ₹4,500 मिले। कार्य 30 इकाई है, A की दर 3 और B की 2 इकाई प्रतिदिन। तो पैसा 3 : 2 में बँटेगा। A को ₹2,700 और B को ₹1,800 मिलेंगे।

तेज़ श्रमिक ज़्यादा कमाता है। अगर समयों के अनुपात 10 : 15 में बाँट दिया, तो बँटवारा उलटा हो जाएगा।

एक सहायक: C की सहायता से A और B वही कार्य 5 दिनों में कर लेते हैं। तीनों की मिली दर 30 ÷ 5 = 6 इकाई प्रतिदिन है। तो C की दर 6 − 3 − 2 = 1 हुई। हिस्से 3 : 2 : 1 में होंगे, और ₹6,000 में से C को ₹1,000 मिलेंगे।

अलग-अलग दिन: A 4 दिन कार्य करके (12 इकाई) छोड़ देता है, और B बाकी 18 इकाई 9 दिनों में करता है। हिस्से 12 : 18 = 2 : 3 में होंगे। दिनों वाला 4 : 9 नहीं, और दरों वाला 3 : 2 भी नहीं।

दैनिक मज़दूरी

जब हर दिन की दर तय हो, यानी दैनिक मज़दूरी (daily wage) दी हो, तो कुल मज़दूरी मानव-दिवस के अनुपात में होती है। जैसे 12 पुरुष 6 दिनों में ₹28,800 कमाते हैं। यह ₹400 प्रति मानव-दिवस हुआ। अब 15 पुरुष 8 दिन कार्य करें, तो 120 मानव-दिवस हुए, और मज़दूरी ₹48,000 होगी।

पुरुष की दैनिक मज़दूरी महिला की दोगुनी हो, तो पहले सबको एक इकाई में बदलिए, ठीक वैसे ही जैसे कार्य में करते हैं।

मज़दूरी बाँटते समय इन बातों का ध्यान रखिए।

  • कार्य के दिनों से, या अकेले लगने वाले समयों से बाँट देना गलत है। दोनों में पैसा गलत व्यक्ति के पास चला जाता है।
  • सहायक का हिस्सा उसके किए कार्य जितना होता है। यह उसके साथ वाली दर में से उसके बिना वाली दर घटाकर निकलता है।
  • कार्य और मज़दूरी अलग-अलग अनुपात में हो सकते हैं, जैसे पुरुष 2 महिलाओं जितना कार्य करे पर मज़दूरी 3 जितनी पाए। तब समय के लिए कार्य वाला अनुपात लगाइए और पैसों के लिए मज़दूरी वाला।

नल और टंकी: धन-ऋण दरें

नल वाला कोई भी प्रश्न हो, उसे कार्य वाले प्रश्न की तरह ही हल कीजिए। टंकी को एक कार्य मानिए। भरने वाला नल (inlet) धन है, और खाली करने वाला नल (outlet) या रिसाव (leak) ऋण। टंकी को समयों के ल.स. जितनी इकाई मान लीजिए, चिह्न के साथ दरें जोड़िए और भाग दे दीजिए।

जैसे A टंकी को 20 घंटे में भरता है, B उसे 60 घंटे में भरता है, और C उसे 40 घंटे में खाली करता है। टंकी 120 इकाई की मानिए। A की दर +6, B की +2 और C की −3 है। तीनों खुले हों, तो हर घंटे 5 इकाई पानी बढ़ता है, और टंकी 24 घंटे में भर जाती है।

रिसाव का सूत्र

कोई नल टंकी को x घंटे में भरता है, पर रिसाव के साथ उसे y घंटे लगते हैं (y, x से ज़्यादा है)। तब अकेला रिसाव भरी टंकी को इतने घंटे में खाली करेगा।

xyy−x\frac{xy}{y - x}

जैसे रिसाव के बिना 10 घंटे और रिसाव के साथ 12 घंटे लगते हैं। तो अकेला रिसाव 1202\frac{120}{2} = 60 घंटे लेगा। जाँच कर लीजिए, 110−160=112\frac{1}{10} - \frac{1}{60} = \frac{1}{12}।

दरों के अंतर से लीटर में धारिता

कभी टंकी की धारिता (capacity) लीटर में पूछी जाती है। तब इकाइयों में दोनों दरों का अंतर निकालिए, उसे दिए गए लीटर से मिलाइए और फिर उसी अनुपात में बढ़ा दीजिए।

मान लीजिए रिसाव भरी टंकी को 12 घंटे में खाली कर देता है। फिर एक भरने वाला नल खोला गया, जो हर मिनट 3 लीटर पानी डालता है। अब भरी टंकी 20 घंटे में खाली होती है।

टंकी 60 इकाई की मानिए। रिसाव हर घंटे 5 इकाई निकालता है, जबकि अब शुद्ध कमी 3 इकाई है। मतलब भरने वाला नल हर घंटे 2 इकाई डालता है।

यही नल हर घंटे 3 × 60 = 180 लीटर डालता है। तो 1 इकाई = 90 लीटर, और टंकी की धारिता 5,400 लीटर है।

नल वाले प्रश्नों में ये चार बातें याद रखिए।

  • रिसाव के सूत्र में x और y की अदला-बदली न कीजिए। y − x धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि रिसाव के साथ टंकी हमेशा ज़्यादा समय लेती है।
  • खाली करने वाले नल भरने वालों से तेज़ हों, तो शुद्ध दर शून्य से नीचे चली जाती है और टंकी कभी नहीं भरती।
  • मिनट और घंटे आपस में न मिलाइए। 3 लीटर प्रति मिनट = 180 लीटर प्रति घंटा।
  • रिसाव का समय भरी टंकी के लिए होता है। जो रिसाव भरी टंकी 6 घंटे में खाली करता है, वह आधी भरी टंकी 3 घंटे में खाली कर देगा।

[SSC टिप] रिसाव के सूत्र में दोनों संख्याएँ भरने के समय हैं। प्रश्न में लिखा हो "रिसाव के कारण 2 घंटे अधिक लगते हैं", तो पहले जोड़ लीजिए, y = x + 2।

अलग-अलग समय पर नल खोलना-बंद करना

पहले तीन उदाहरणों में A टंकी को 15 घंटे में और B उसे 60 घंटे में भरता है। टंकी 60 इकाई की है, तो A हर घंटे 4 इकाई भरता है और B 1 इकाई।

n घंटे बाद बंद, या बाद में खुला

यहाँ भी शुरू से एक-एक टुकड़ा करके हिसाब लगाइए।

  • दोनों नल खुले हैं और B को 4 घंटे बाद बंद कर दिया गया। 4 घंटे में 20 इकाई भरीं, 40 बचीं। इन्हें A 10 घंटे में भरेगा, तो कुल 14 घंटे लगे।
  • पहले केवल A खुला है और B 3 घंटे बाद खोला गया। 3 घंटे में A ने 12 इकाई भरीं, 48 बचीं। अब दोनों मिलकर हर घंटे 5 इकाई भरते हैं, तो 48 ÷ 5 = 9.6 घंटे और लगेंगे। कुल 12 घंटे 36 मिनट हुए।

भरने से n घंटे पहले बंद: उलटी दिशा से

यह वही "अंत से पहले छोड़ना" वाली बात है। जो नल खुला रहता है वह पूरे T घंटे चलता है, और दूसरा T − n घंटे। मान लीजिए दोनों खुले हैं और टंकी भरने से 5 घंटे पहले A बंद कर दिया गया। तो 4(T − 5) + T = 60, यानी 5T = 80 और T = 16 घंटे। उलटा मिलाकर देखें, तो A 11 घंटे चला (44 इकाई) और B 16 घंटे (16 इकाई)।

भरने वाला और खाली करने वाला बारी-बारी से

यहाँ भी चक्र पहले रोकने हैं, ताकि आख़िरी घंटा भरने वाले नल का रहे। k चक्रों के बाद पानी का स्तर k × (शुद्ध बढ़त) होता है। जब यह स्तर और भरने वाले का एक घंटा मिलकर टंकी के ऊपर तक पहुँच जाएँ, तो अगले भरने वाले घंटे में टंकी भर जाती है।

जैसे A टंकी को 5 घंटे में भरता है और B उसे 6 घंटे में खाली करता है। दोनों बारी-बारी से एक-एक घंटा खुलते हैं, पहले A। टंकी 30 इकाई की मानिए। A की दर +6 और B की −5 है, तो 2 घंटे के हर चक्र में 1 इकाई बढ़त होती है।

हमें चाहिए k+6≥30k + 6 \ge 30, तो k = 24। 48 घंटे बाद टंकी में 24 इकाई पानी है। 49वें घंटे में A आख़िरी 6 इकाई भर देता है। तो टंकी 49 घंटे में भरती है, 60 में नहीं।

दो भरने वाले नल बारी-बारी से खुलें, तो यह ठीक एकांतर दिन वाला प्रश्न है। जैसे A टंकी को 5 घंटे में और B उसे 7 घंटे में भरता है, और पहले A खुलता है। टंकी 35 इकाई की है, और हर चक्र में 7 + 5 इकाई भरती हैं। 2 चक्रों में 24 इकाई भरीं। पाँचवाँ घंटा A का है, वह 7 और भरता है। आख़िरी 4 इकाई के लिए B को छठे घंटे का 45\frac{4}{5} चाहिए, तो कुल 5 घंटे 48 मिनट लगे।

यहाँ भी कुछ गलतियाँ बहुत आम हैं।

  • 30 ÷ 1 × 2 = 60 घंटे लिख देना। लोग भूल जाते हैं कि टंकी किसी भरने वाले घंटे में ही भर जाती है, खाली करने वाले की बारी आने से पहले।
  • खाली टंकी पर पहले खाली करने वाला नल खोला जाए, तो वह अपने घंटे में कुछ नहीं करता। पर वह घंटा समय में गिना जाता है।
  • "3 घंटे बाद बंद" और "भरने से 3 घंटे पहले बंद" अलग-अलग प्रश्न हैं। पढ़ लीजिए कि n घंटे किस छोर से गिने गए हैं।

जाँच का एक आसान तरीका भी है। भरने वाला नल पहले खुले, तो उत्तर में घंटों की कोई सम संख्या होती है, और उसके ऊपर भरने वाले नल का एक पूरा घंटा या उसका कुछ भाग। इसलिए 60 घंटे जैसी गोल सम संख्या लगभग निश्चित रूप से गलत है।

विकल्प हटाना

पूरा हल करने से पहले, या जब समय कम हो, चारों विकल्पों पर ये छोटी-छोटी जाँचें कर लीजिए।

  • मिलकर सबसे तेज़ से भी तेज़: दो व्यक्ति मिलकर तेज़ वाले के अकेले समय से कम समय लेंगे, पर उसके आधे समय से ज़्यादा। 18 और 21 दिन हों, तो उत्तर 9 और 18 दिन के बीच होगा।
  • ल.स. वाली जाँच: समय = (ल.स.) ÷ (इकाई प्रतिदिन), इसलिए उत्तर के हर से इकाई प्रतिदिन वाली संख्या पूरी-पूरी बँट जाती है। दरों का जोड़ 7 हो, तो हर में 7 ढूँढिए।
  • रिसाव धीमा करता है: रिसाव हो, तो टंकी ज़्यादा समय लेती है। और रिसाव का अपना समय भरने के समय से ज़्यादा होना चाहिए, वरना टंकी कभी नहीं भरेगी।
  • एकांतर दिन, लगभग दोगुना: एकांतर दिनों में उत्तर लगभग मिलकर लगने वाले समय का दोगुना होता है।
  • तेज़ की कमाई ज़्यादा: दोनों ने उतने ही दिन कार्य किया हो, तो तेज़ श्रमिक की कमाई ज़्यादा होगी।

एक प्रश्न देखिए। "A किसी कार्य को 18 दिनों में और B उसे 21 दिनों में कर सकता है। मिलकर वे उसे कितने समय में करेंगे? (a) 191219\frac{1}{2} दिन (b) 99139\frac{9}{13} दिन (c) 39 दिन (d) 9 दिन"

(a) और (c) 18 से ज़्यादा हैं, तो ये हट गए। (d) ठीक 18 का आधा है। ऐसा तभी होता जब B भी A जितना तेज़ होता, इसलिए यह भी हट गया। बचा (b)। ल.स. वाली जाँच से पक्का कर लीजिए। कार्य 126 इकाई, दरें 7 + 6 = 13 प्रतिदिन, तो समय 12613\frac{126}{13} दिन।

अब दूसरा प्रश्न। "एक नल किसी टंकी को 15 घंटे में भरता है, लेकिन रिसाव के कारण उसे 20 घंटे लगते हैं। अकेला रिसाव भरी टंकी को कितने समय में खाली करेगा? (a) 5 घंटे (b) 8478\frac{4}{7} घंटे (c) 35 घंटे (d) 60 घंटे"

रिसाव नल से धीमा होना चाहिए, तो (a) और (b) हट गए। (c) बस दोनों समयों का सीधा जोड़ है। सूत्र से 15×205\frac{15 \times 20}{5} = 60, तो उत्तर (d) है। ध्यान दीजिए, (b) तो 15 और 20 घंटे वाले दो नलों का मिलकर समय है। यह गलती बहुत आम है।

दो बातें और।

  • बनाने वाले और तोड़ने वाले हों, तो मिलकर लगने वाला समय बनाने वाले के अपने समय से ज़्यादा होता है। वहाँ "मिलकर सबसे तेज़ से भी तेज़" वाली जाँच उलटी लगती है।
  • जाँचों के बाद भी दो विकल्प बच जाएँ, तो पूरा हल करना ही पड़ेगा।

[SSC टिप] जाल वाले विकल्प एक छोटी-सी सूची से ही आते हैं। समयों का जोड़ या औसत, इकाई प्रतिदिन को ही दिन बता देना, एकांतर दिनों के लिए 2 × कुल ÷ शुद्ध दर, समय उलटे रखकर रिसाव का सूत्र, और दिनों के अनुपात में मज़दूरी। आपका उत्तर इनमें से किसी तरीके से निकला हो, तो निशान लगाने से पहले वही एक कदम दोबारा देख लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करते हैं। हर प्रश्न इकाइयों से या एक पंक्ति के सूत्र से करेंगे, और साथ में देखेंगे कि उसमें मोटे तौर पर कितना समय लगना चाहिए।

प्रश्न 1

A किसी कार्य को 26 दिनों में और B उसे 39 दिनों में पूरा कर सकता है। वे 6 दिन तक मिलकर कार्य करते हैं, फिर A कार्य छोड़ देता है। B शेष कार्य को और कितने दिनों में पूरा करेगा?

उत्तर: 26 और 39 का ल.स. 78 है, तो कार्य 78 इकाई मान लेते हैं। A रोज़ 3 इकाई करता है और B 2 इकाई। 6 दिन मिलकर कार्य करने से 30 इकाई हुईं, और 48 बचीं। B रोज़ 2 इकाई करता है, तो उसे 24 दिन और लगेंगे। यह पूरा हल करीब 15 सेकंड का है।

प्रश्न 2

A और B किसी कार्य को 27 दिनों में, B और C उसे 36 दिनों में, तथा C और A उसे 54 दिनों में कर सकते हैं। A अकेले उसे कितने समय में करेगा?

उत्तर: यहाँ ल.स. 108 है। जोड़ी-दरें 4, 3 और 2 इकाई प्रतिदिन हैं, जिनका जोड़ 9 है। हर व्यक्ति दो बार गिना गया है, इसलिए इसका आधा लेते हैं, तो तीनों मिलकर 4.5 इकाई प्रतिदिन करते हैं। A अकेले की दर के लिए इसमें से B और C की दर घटाते हैं, 4.5 − 3 = 1.5 इकाई प्रतिदिन। तो A को 108 ÷ 1.5 = 72 दिन लगेंगे। आधा करना भूल गए, तो 9 − 3 = 6 इकाई प्रतिदिन और 18 दिन आएगा, जो गलत है। इसमें लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 3

A, B से 20% अधिक कुशल है, और दोनों मिलकर किसी कार्य को 30 दिनों में पूरा करते हैं। A अकेले उसे कितने समय में पूरा करेगा?

उत्तर: 20% अधिक कुशल का मतलब A : B = 120 : 100 = 6 : 5। दोनों मिलकर रोज़ 11 इकाई करते हैं, तो कार्य = 11 × 30 = 330 इकाई। अकेले A को 330 ÷ 6 = 55 दिन लगेंगे, और B को 66 दिन। पूरा प्रश्न 12 सेकंड के आसपास हो जाता है।

प्रश्न 4

A और B किसी कार्य को क्रमशः 24 दिनों और 36 दिनों में कर सकते हैं। वे एक साथ कार्य शुरू करते हैं, लेकिन कार्य पूरा होने से 6 दिन पहले A कार्य छोड़ देता है। कार्य पूरा होने में कुल कितना समय लगता है?

उत्तर: कार्य 72 इकाई मानते हैं, तो A की दर 3 और B की 2 है। B पूरे T दिन कार्य करता है और A केवल T − 6 दिन। तो 3(T − 6) + 2T = 72, यानी 5T = 90 और T = 18 दिन। जाँच भी कर लेते हैं। A ने 12 दिन में 36 इकाई कीं और B ने 18 दिन में 36 इकाई। यह हल करीब 20 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 5

A किसी कार्य को 45 दिनों में कर सकता है। वह 15 दिन तक अकेले कार्य करता है, फिर B उसके साथ जुड़ जाता है और दोनों मिलकर शेष कार्य 12 दिनों में पूरा करते हैं। B अकेले उस कार्य को कितने समय में करेगा?

उत्तर: 15 दिन, 45 दिन का एक-तिहाई है, तो A ने अकेले कार्य का 13\frac{1}{3} किया और 23\frac{2}{3} बचा। यह 23\frac{2}{3} दोनों ने मिलकर 12 दिनों में किया, यानी पूरा कार्य वे मिलकर 18 दिनों में करते। अब B = 45×1845−18\frac{45 \times 18}{45 - 18} = 30 दिन। इसमें 20 सेकंड के आसपास का समय लगता है।

प्रश्न 6

प्रतिदिन 7 घंटे कार्य करके 18 पुरुष 10 दिनों में 630 मीटर केबल बिछाते हैं। प्रतिदिन 8 घंटे कार्य करके 12 दिनों में 960 मीटर केबल बिछाने के लिए कितने पुरुषों की आवश्यकता होगी?

उत्तर: श्रृंखला नियम सीधे लगाते हैं, 18×10×7630=M×12×8960\frac{18 \times 10 \times 7}{630} = \frac{M \times 12 \times 8}{960}। काटने पर बायाँ पक्ष 2 रह जाता है और दायाँ पक्ष M10\frac{M}{10}। तो M = 20 पुरुष। यह भी लगभग 20 सेकंड का काम है।

प्रश्न 7

एक ठेकेदार 60 दिनों में बनने वाली एक सड़क पर 50 पुरुष लगाता है। 20 दिन बाद सड़क का केवल 14\frac{1}{4} भाग बन पाता है। समय पर कार्य पूरा करने के लिए उसे कितने और पुरुष लगाने होंगे?

उत्तर: 20 दिनों में 50 × 20 = 1,000 मानव-दिवस कार्य हुआ, और इतने में सड़क का 14\frac{1}{4} भाग बना। तो पूरी सड़क के लिए 4,000 मानव-दिवस चाहिए। बाकी 3,000 मानव-दिवस का कार्य 40 दिनों में करना है, तो 75 पुरुष चाहिए। 50 पहले से लगे हैं, इसलिए 25 और पुरुष लगाने होंगे। सब मिलाकर करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 8

4 पुरुष या 6 महिलाएँ किसी कार्य को 15 दिनों में कर सकते हैं। 2 पुरुष और 5 महिलाएँ उसे कितने समय में करेंगे?

उत्तर: 4 पुरुष = 6 महिलाएँ, तो 1 पुरुष = 1.5 महिलाएँ। कार्य = 6 × 15 = 90 महिला-दिवस। 2 पुरुष, 3 महिलाओं के बराबर हैं, तो 2 पुरुष और 5 महिलाएँ मिलकर 3 + 5 = 8 महिलाओं के बराबर हुए। समय = 90 ÷ 8 = 111411\frac{1}{4} दिन। इसे करने में 15 सेकंड के आसपास लगते हैं।

प्रश्न 9

A किसी कार्य को 16 दिनों में और B उसे 20 दिनों में कर सकता है। वे एकांतर दिनों में कार्य करते हैं, और शुरुआत A करता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होता है?

उत्तर: कार्य 80 इकाई है, A की दर 5 और B की 4। 2 दिन के एक चक्र में 9 इकाई होती हैं। 8 चक्र, यानी 16 दिन में, 72 इकाई हो गईं और 8 बचीं। 17वाँ दिन A का है, वह 5 इकाई करता है और 3 बचती हैं। 18वाँ दिन B का है, और उसे अपनी 4 में से 3 इकाई करनी हैं, यानी दिन का 34\frac{3}{4}। तो कार्य 173417\frac{3}{4} दिन में पूरा होता है। आख़िरी दो दिन अलग से गिनने पड़ते हैं, इसलिए यहाँ थोड़ा ज़्यादा, करीब 25 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 10

रवि किसी दीवार को 4 दिनों में बना सकता है और मोहन उसे 10 दिनों में गिरा सकता है। वे एकांतर दिनों में कार्य करते हैं, और शुरुआत रवि करता है। दीवार किस दिन पूरी बनती है?

उत्तर: दीवार 20 इकाई की मान लेते हैं। रवि रोज़ +5 इकाई करता है और मोहन −2, तो 2 दिन के हर चक्र में दीवार 3 इकाई बढ़ती है। चक्र पहले रोकना है, इसलिए 3k+5≥203k + 5 \ge 20 से k = 5 आया। 10 दिन बाद दीवार 15 इकाई ऊँची है, और 11वें दिन रवि आख़िरी 5 इकाई जोड़ देता है। तो दीवार 11वें दिन पूरी होती है। कई लोग 20 ÷ 3 × 2 = 131313\frac{1}{3} दिन लिख देते हैं। वे भूल जाते हैं कि रवि अपने ही दिन कार्य पूरा कर देता है। ठीक से किया जाए, तो इसमें भी लगभग 20 सेकंड ही लगते हैं।

प्रश्न 11

A किसी कार्य को 18 दिनों में और B उसे 45 दिनों में कर सकता है। A 6 दिन कार्य करके छोड़ देता है, और B शेष कार्य पूरा करता है। कार्य के लिए उन्हें ₹8,400 मिलते हैं। B का हिस्सा कितना है?

उत्तर: A ने 6 दिन कार्य किया, तो उसने 618=13\frac{6}{18} = \frac{1}{3} कार्य किया। बाकी 23\frac{2}{3} B ने किया, जिसमें उसे 30 दिन लगे। मज़दूरी किए गए कार्य के हिसाब से बँटती है, तो B को 8,400 का 23\frac{2}{3} = ₹5,600 मिलेगा। दरों के अनुपात 5 : 2 में बाँटें, तो B को केवल ₹2,400 मिलते, जबकि B ने कहीं ज़्यादा दिन कार्य किया है। हिस्सा निकालने में करीब 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 12

दो नल किसी टंकी को 28 और 70 मिनट में भर सकते हैं। तली में रिसाव के कारण दोनों मिलकर उसे भरने में 24 मिनट लेते हैं। अकेला रिसाव भरी टंकी को कितने समय में खाली करेगा?

उत्तर: पहले देखते हैं कि रिसाव न होता तो दोनों नल मिलकर कितना समय लेते। 28×7098\frac{28 \times 70}{98} = 20 मिनट। रिसाव के साथ 24 मिनट लगते हैं। अब रिसाव का सूत्र लगाते हैं, 20×2424−20\frac{20 \times 24}{24 - 20} = 120 मिनट, यानी 2 घंटे। दोनों सूत्र मिलाकर यह लगभग 15 सेकंड का काम है।

प्रश्न 13

नल A किसी टंकी को 5 घंटे में भरता है और नल B उसे 15 घंटे में खाली करता है। खाली टंकी से शुरू करते हुए, दोनों नलों को बारी-बारी से एक-एक घंटे के लिए खोला जाता है, और शुरुआत A से होती है। टंकी कितने समय में भरेगी?

उत्तर: टंकी 15 इकाई की मानते हैं। A हर घंटे 3 इकाई भरता है और B 1 इकाई निकालता है, तो 2 घंटे के हर चक्र में 2 इकाई बढ़ती हैं। हमें चाहिए 2k+3≥152k + 3 \ge 15, तो k = 6। 12 घंटे बाद टंकी में 12 इकाई पानी है। 13वें घंटे में A आख़िरी 3 इकाई भर देता है, तो टंकी 13 घंटे में भरती है। पूरा हल लगभग 20 सेकंड में निपट जाता है।

प्रश्न 14

एक नल किसी टंकी को 10 घंटे में भर सकता है। टंकी की तली में बना एक निकास प्रति मिनट 8 लीटर पानी बाहर निकालता है, और दोनों के खुले रहने पर टंकी 15 घंटे में भरती है। टंकी की धारिता ज्ञात कीजिए।

उत्तर: टंकी 30 इकाई की लेते हैं। नल हर घंटे 3 इकाई डालता है, पर दोनों खुले हों तो शुद्ध बढ़त 2 इकाई है। मतलब निकास हर घंटे 1 इकाई निकालता है। यही निकास हर घंटे 8 × 60 = 480 लीटर निकालता है, तो 1 इकाई = 480 लीटर। धारिता = 30 × 480 = 14,400 लीटर। धारिता निकालने में करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 15

नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 20 और 36 मिनट में भर सकते हैं। दोनों को एक साथ खोला जाता है। B को कितने मिनट बाद बंद किया जाए ताकि टंकी 15 मिनट में भर जाए?

उत्तर: 20 और 36 का ल.स. 180 है, तो टंकी 180 इकाई की हुई। A हर मिनट 9 इकाई भरता है और B 5 इकाई। A पूरे 15 मिनट खुला रहता है, तो वह 135 इकाई भरता है। बाकी 45 इकाई B को भरनी हैं, जो 5 प्रति मिनट से 9 मिनट में होंगी। तो B को 9 मिनट बाद बंद करना है। इसमें भी करीब 15 सेकंड ही लगने चाहिए।