नल और टंकी

नल: चिह्न वाला कार्य

टंकी में पानी भरने वाले नल को भरने वाला नल (inlet) कहते हैं, और पानी बाहर निकालने वाले नल को खाली करने वाला नल (outlet)। बेकार पानी निकालने वाला नल हो, नाली हो या रिसाव (leak), तीनों को खाली करने वाला नल ही मानिए।

नल और टंकी के प्रश्न असल में समय और कार्य के ही प्रश्न हैं। बस एक बदलाव है। यहाँ कुछ "श्रमिक" ऐसे भी होते हैं, जो किया हुआ कार्य बिगाड़ देते हैं। भरी टंकी को पूरा कार्य मान लीजिए। फिर कुल कार्य वाली ल.स. विधि (LCM method) यहाँ ज्यों की त्यों लगती है। यह विधि "समय और कार्य: दर, कार्यक्षमता और मिलकर कार्य" वाले खंड में आ चुकी है।

नया नियम बस एक है, और वह है चिह्न का।

• भरने वाला नल पानी अंदर लाता है, इसलिए उसकी दर + लीजिए।
• खाली करने वाला नल या रिसाव पानी बाहर निकालता है, इसलिए उसकी दर − लीजिए।
• जितने नल खुले हों, सबकी दरें चिह्न सहित जोड़ दीजिए। यही शुद्ध दर (net rate) है। फिर समय = (भरा या निकाला जाने वाला पानी) ÷ (शुद्ध दर)।

अब यह प्रश्न देखिए, "नल A किसी टंकी को 34 घंटे में भरता है और नल B भरी टंकी को 51 घंटे में खाली करता है। टंकी खाली होने पर दोनों नल खोल दिए जाते हैं। टंकी कब भरेगी?"

34 और 51 का ल.स. 102 है, तो टंकी = 102 इकाई मान लीजिए।

मतलब हर घंटे टंकी में 1 इकाई पानी बढ़ता है, और टंकी 102 घंटे में भर जाती है। भिन्न में करें तो $\frac{1}{34} - \frac{1}{51} = \frac{3 - 2}{102} = \frac{1}{102}$ टंकी प्रति घंटा आता है।

इसका एक सूत्र भी है। भरने वाला नल टंकी को $x$ घंटे में भरे और खाली करने वाला नल उसे $y$ घंटे में खाली करे, और $y$, $x$ से अधिक हो, तो टंकी भरने का समय होगा

$$\frac{xy}{y - x}$$

यहाँ $\frac{34 \times 51}{51 - 34} = \frac{1734}{17} = 102$, यानी वही उत्तर।

जब खाली करने वाला नल भारी पड़े: मान लीजिए खाली करने वाला नल ज़्यादा तेज़ है। भरने वाला नल टंकी को जितने समय में भरता है, यह उससे कम समय में उसे खाली कर देता है। तब शुद्ध दर ऋणात्मक होगी। ऐसे में खाली टंकी कभी नहीं भरेगी, उलटे भरी टंकी धीरे-धीरे खाली होने लगेगी। जैसे भरने वाला नल टंकी को 38 घंटे में भरता है और खाली करने वाला 19 घंटे में खाली करता है, और टंकी भरी है। टंकी = 38 इकाई लीजिए। हर घंटे +1 − 2 = −1 इकाई, यानी 1 इकाई पानी घटता है। भरी टंकी 38 घंटे में खाली हो जाएगी।

समय की इकाई एक रखिए: दोनों समय पहले एक ही इकाई में ले आइए। मान लीजिए भरने वाला नल टंकी को 50 मिनट में भरता है और खाली करने वाला उसे 1 घंटा 15 मिनट में खाली करता है। खाली करने वाले के लिए 75 मिनट लीजिए। 50 और 75 का ल.स. 150 है, तो टंकी = 150 इकाई। हर मिनट +3 − 2 = +1 इकाई पानी बढ़ता है, तो टंकी 150 मिनट, यानी 2 घंटे 30 मिनट में भरेगी।

[SSC टिप] सबसे आम चूक है खाली करने वाले नल को दूसरा भरने वाला नल मान लेना। 34 और 51 घंटे वाले नलों पर ऐसा करने से $\frac{34 \times 51}{85}$ = 20.4 घंटे आता है, और SSC यही मान विकल्पों में रखता है। इस गलती को जल्दी पकड़ने का आसान तरीका है। साथ में खाली करने वाला नल भी खुला हो, तो टंकी भरने में अकेले भरने वाले नल से अधिक समय लगेगा। इसलिए यहाँ 34 घंटे से कम वाला हर उत्तर गलत है।

दो या तीन नल एक साथ

दो भरने वाले नल: A टंकी को 18 घंटे में भरता है और B 90 घंटे में। टंकी = 90 इकाई लीजिए। A हर घंटे 5 इकाई भरता है और B 1 इकाई, यानी दोनों मिलकर 6। तो 90 ÷ 6 = 15 घंटे। दो भरने वाले नलों के सूत्र से भी यही आता है, $\frac{xy}{x + y} = \frac{18 \times 90}{108} = 15$।

दो भरने वाले, एक खाली करने वाला: A और B टंकी को 6 घंटे और 27 घंटे में भरते हैं, और C उसे 54 घंटे में खाली करता है। तीनों एक साथ खोले गए।

समय = 54 ÷ 10 = 5.4 घंटे। दशमलव वाले भाग को मिनट में बदल लीजिए। 0.4 घंटा = 0.4 × 60 = 24 मिनट, तो उत्तर 5 घंटे 24 मिनट है। यहाँ एक जानी-पहचानी चूक होती है। कई छात्र 5.4 घंटे को "5 घंटे 4 मिनट" या "5 घंटे 40 मिनट" पढ़ लेते हैं।

तीन भरने वाले नल: A, B और C टंकी को 10, 14 और 35 घंटे में भरते हैं। टंकी = 70 इकाई लीजिए। हर घंटे 7 + 5 + 2 = 14 इकाई पानी भरता है, तो तीनों मिलकर टंकी 5 घंटे में भर देंगे।

हर नल का हिस्सा: जो नल पूरे समय साथ चलते हैं, वे टंकी को अपनी दरों के अनुपात में भरते हैं। ऊपर वाले तीन भरने वाले नलों की दरें 7 : 5 : 2 हैं। तो A ने टंकी का $\frac{1}{2}$, B ने $\frac{5}{14}$ और C ने $\frac{1}{7}$ भरा।

कुछ घंटों में भरा भाग: 6, 27 और 54 घंटे वाली टंकी फिर लीजिए। 3 घंटे बाद उसमें 54 में से 3 × 10 = 30 इकाई पानी होगा। मतलब टंकी $\frac{5}{9}$ भरी है।

[Tier 2] जोड़ियों में दिए आँकड़े: कभी दो-दो नलों के आँकड़े दिए होते हैं, और साथ में एक खाली करने वाला नल भी होता है। तब भी A + B, B + C, C + A वाली विधि ही लगती है, जो "समय और कार्य: दर, कार्यक्षमता और मिलकर कार्य" वाले खंड में आ चुकी है। बस चिह्नों का ध्यान रखिए। जैसे, "भरने वाले नल A और B मिलकर किसी टंकी को 8 घंटे में भरते हैं। खाली करने वाले नल C के खुले रहते A उसे 16 घंटे में भरता है, और C के खुले रहते B उसे 48 घंटे में भरता है।"

टंकी = 48 इकाई लीजिए। तब A + B = 6, A − C = 3 और B − C = 1। आख़िरी दोनों को जोड़िए, तो A + B − 2C = 4 आता है। इसलिए 2C = 6 − 4 = 2, और C = 1। मतलब C भरी टंकी को 48 घंटे में खाली करता है। A = 3 + 1 = 4 इकाई प्रति घंटा है, यानी वह टंकी 12 घंटे में भरता है। B = 1 + 1 = 2 इकाई प्रति घंटा है, यानी 24 घंटे में।

दो जाँचें हमेशा कर लीजिए। केवल भरने वाले नल खुले हों, तो उनका मिलकर लगा समय सबसे तेज़ नल के अपने समय से कम होगा। खाली करने वाला नल भी खुला हो, तो समय केवल भरने वाले नलों के मिलकर लगे समय से अधिक होगा। इन्हीं दो जाँचों से ज़्यादातर गलत विकल्प हट जाते हैं।

बाद में पता चला रिसाव

SSC में यह प्रश्न बहुत आता है। नल टंकी को एक तय समय में भरता है, पर इस बार ज़्यादा समय लग जाता है। बाद में पता चलता है कि वजह रिसाव है। पूछा जाता है कि अकेला रिसाव भरी टंकी को कितने समय में खाली करेगा।

जैसे, "एक नल किसी टंकी को 25 घंटे में भरता है। रिसाव के कारण उसे 30 घंटे लगते हैं। रिसाव भरी टंकी को कितने समय में खाली कर सकता है?"

25 और 30 का ल.स. 150 है, तो टंकी = 150 इकाई लीजिए।

• अकेला नल हर घंटे 150 ÷ 25 = 6 इकाई भरता है।
• रिसाव खुला हो, तो टंकी हर घंटे केवल 150 ÷ 30 = 5 इकाई बढ़ती है।
• मतलब रिसाव हर घंटे 6 − 5 = 1 इकाई बाहर निकालता है। भरी टंकी को वह 150 घंटे में खाली कर देगा।

यहाँ भी वही सूत्र लगता है। $x$ को सामान्य समय और $y$ को रिसाव के साथ लगा समय लीजिए। तब $\frac{xy}{y - x} = \frac{25 \times 30}{5} = 150$।

"आधा घंटा अधिक" वाले प्रश्न: मान लीजिए नल टंकी को 3 घंटे में भरता है, और रिसाव के साथ उसे $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ घंटे लगते हैं। रिसाव की दर = $\frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{7 - 6}{21} = \frac{1}{21}$, तो रिसाव टंकी को 21 घंटे में खाली करेगा। ध्यान रखिए, समय मिश्र भिन्न में दिया हो, तो दर निकालने से पहले उसे साधारण भिन्न में बदल लीजिए।

दो नल और रिसाव: A और B टंकी को 18 और 36 घंटे में भरते हैं, तो मिलकर 12 घंटे में भरेंगे। पर रिसाव के कारण 15 घंटे लगते हैं। अब 12 और 15 घंटे की तुलना कीजिए। टंकी = 60 इकाई। रिसाव न हो तो नल हर घंटे 5 इकाई भरते हैं, और रिसाव के साथ 4। तो रिसाव हर घंटे 1 इकाई निकालता है, और अकेला रिसाव टंकी को 60 घंटे में खाली करेगा। तरीका यही है। पहले नलों का मिलकर सामान्य समय निकालिए, फिर उन्हें एक ही नल मान लीजिए।

रिसाव बीच में शुरू हो: नल टंकी को 14 घंटे में भरता है। टंकी आधी भरने पर रिसाव शुरू होता है, जो भरी टंकी को 42 घंटे में खाली कर सकता है। पहला आधा 7 घंटे में भरा। उसके बाद शुद्ध दर $\frac{1}{14} - \frac{1}{42} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}$ है, तो दूसरा आधा 10.5 घंटे में भरेगा। कुल समय 17 घंटे 30 मिनट है, 21 घंटे नहीं। 21 घंटे तभी सही होता, जब रिसाव शुरू से होता।

रिसाव से भरने वाला नल निकालना: जैसे यह प्रश्न, "एक रिसाव भरी टंकी को 56 घंटे में खाली करता है। भरने वाला एक नल भी खुला हो, तो खाली टंकी 8 घंटे में भरती है। अकेले भरने वाले नल को कितना समय लगेगा?" रिसाव से जो पानी निकलता है, उसे भी भरने वाले नल को ही भरना पड़ता है। इसलिए भरने वाले नल की दर के लिए शुद्ध दर में रिसाव की दर जोड़नी होगी। उसकी दर $\frac{1}{8} + \frac{1}{56} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$ है, तो अकेले उसे 7 घंटे लगेंगे। कुछ छात्र यहाँ जोड़ने की जगह घटा देते हैं और $9\frac{1}{3}$ घंटे लिखते हैं। यह हो ही नहीं सकता, क्योंकि तब अकेला नल, रिसाव के रहते लगे समय से भी ज़्यादा समय लेता।

[SSC टिप] रिसाव को टंकी खाली करने में हमेशा उस समय से ज़्यादा लगता है, जितना रिसाव के साथ टंकी भरने में लगा। "25 घंटे के 30 घंटे हो गए" वाले प्रश्न में 5 घंटे (30 − 25) या 55 घंटे (25 + 30) जैसे विकल्प जाल हैं। रिसाव को 150 घंटे लगते हैं, जो इन दोनों से अधिक है।

अलग-अलग समय पर खोलना या बंद करना

जब नल अलग-अलग समय पर खुलें या बंद हों, तो एक छोटी समय-रेखा बना लीजिए। हर नल के लिए देखिए कि वह कितनी देर खुला रहा, और उस समय को उसकी इकाई प्रति घंटा से गुणा कीजिए। फिर सबको चिह्न सहित जोड़िए। यह जोड़ पूरी टंकी के बराबर होगा।

कुछ घंटे बाद एक नल बंद: A और B टंकी को 12 और 36 घंटे में भरते हैं। दोनों खोले गए और 5 घंटे बाद A बंद कर दिया गया। टंकी = 36 इकाई, तो A हर घंटे 3 और B 1 इकाई भरता है। 5 घंटे साथ चलकर दोनों ने 20 इकाई भरीं। बाकी 16 इकाई B अकेले 1 इकाई प्रति घंटा से भरेगा, यानी 16 घंटे में। तो B को 16 घंटे और लगेंगे, और टंकी शुरुआत से 21 घंटे बाद भरेगी। प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि "और कितना समय" पूछा है या "कुल समय"।

एक नल बाद में खुले: A टंकी को 27 घंटे में भरता है और B 18 घंटे में। A पूर्वाह्न 7 बजे खोला गया और B पूर्वाह्न 9 बजे। टंकी = 54 इकाई, तो A हर घंटे 2 और B 3 इकाई भरता है।

पूर्वाह्न 9 बजे के बाद 50 इकाई बचीं, जो दोनों मिलकर 50 ÷ 5 = 10 घंटे में भरेंगे। तो टंकी सायं 7 बजे भरेगी।

भरने से पहले बंद: A और B टंकी को 35 और 70 मिनट में भरते हैं। टंकी = 70 इकाई, तो A हर मिनट 2 और B 1 इकाई भरता है। दोनों खोले गए, और टंकी भरने से 5 मिनट पहले B बंद कर दिया गया। मान लीजिए टंकी T मिनट में भरी। तो A, T मिनट चला और B, T − 5 मिनट। 2T + (T − 5) = 70, यानी 3T = 75 और T = 25 मिनट।

इसे दूसरी तरह भी देख सकते हैं। मान लीजिए B आख़िरी 5 मिनट भी चलता रहता। तब 5 इकाई और भरतीं। यानी दोनों नल T मिनट में 75 इकाई भरते, 3 इकाई प्रति मिनट की दर से।

खाली करने वाला नल कब बंद हो: भरने वाला नल A टंकी को 16 मिनट में भरता है और खाली करने वाला नल B उसे 40 मिनट में खाली करता है। टंकी = 80 इकाई, तो हर मिनट A +5 और B −2। दोनों साथ खोले गए। पूछा है कि B को कितने मिनट बाद बंद करें कि टंकी 18 मिनट में भर जाए।

A पूरे 18 मिनट चलता है, तो 90 इकाई डालता है। पर टंकी में तो 80 इकाई ही समाती हैं। मतलब B ने 10 इकाई निकालीं, और इसमें उसे 10 ÷ 2 = 5 मिनट लगे।

ध्यान दीजिए, यहाँ "B, 5 मिनट बाद बंद हुआ" और "B, टंकी भरने से 13 मिनट पहले बंद हुआ" एक ही बात है। प्रश्न दोनों तरह से पूछे जाते हैं, और विकल्पों में अक्सर दोनों संख्याएँ होती हैं। इसलिए देख लीजिए कि कौन-सी पूछी गई है।

सब खुले, फिर कुछ बंद

सब खुले, फिर एक बंद: A और B टंकी को 12 और 28 घंटे में भरते हैं, और C उसे 21 घंटे में खाली करता है। तीनों साथ खोले गए और 4 घंटे बाद C बंद कर दिया गया। टंकी = 84 इकाई। A +7, B +3 और C −4, तो तीनों मिलकर हर घंटे 6 इकाई भरते हैं। 4 घंटे में 24 इकाई भरीं। बाकी 60 इकाई A और B मिलकर 10 इकाई प्रति घंटा से भरेंगे, यानी 6 घंटे और लगेंगे। टंकी शुरुआत से 10 घंटे बाद भरेगी।

मिलकर, फिर एक बंद: इस तरह के प्रश्न से एक नल का समय भी निकाला जाता है। प्रश्न है, "नल A, B और C मिलकर किसी टंकी को 16 घंटे में भरते हैं। 4 घंटे बाद C बंद कर दिया जाता है, और शेष टंकी को A और B 18 घंटे में भरते हैं। अकेले C को कितना समय लगेगा?" टंकी = 48 इकाई लीजिए। तीनों हर घंटे 3 इकाई भरते हैं, तो 4 घंटे में 12 इकाई भरीं। फिर A और B ने 36 इकाई 18 घंटे में भरीं, यानी 2 इकाई प्रति घंटा। तो C = 3 − 2 = 1 इकाई प्रति घंटा, और अकेले C को 48 ÷ 1 = 48 घंटे लगेंगे।

आधी भरने पर और नल: एक और प्रश्न लीजिए, "एक नल किसी टंकी को 10 घंटे में भरता है। टंकी आधी भर जाने पर उसी आकार के तीन और नल खोल दिए जाते हैं। कुल कितना समय लगता है?" पहला आधा 5 घंटे में भरा। फिर 4 नल साथ चले, तो दूसरा आधा 5 ÷ 4 = $1\frac{1}{4}$ घंटे में भरा। कुल समय 6 घंटे 15 मिनट है। आम चूक यह है कि 4 नलों से पूरी टंकी भरवा दी जाती है (10 ÷ 4 = 2.5 घंटे), जबकि बची केवल आधी थी।

आधा-आधा समय या आधी-आधी टंकी: A टंकी को 10 घंटे में भरता है और B 90 घंटे में। दोनों मिलकर 9 घंटे में भरेंगे, क्योंकि $\frac{1}{10} + \frac{1}{90} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}$। इन्हीं दो नलों पर दो अलग तरह के प्रश्न बनते हैं।

• पहले आधे समय A, दूसरे आधे समय B: टंकी T घंटे में भरे, तो $\frac{T}{2} \times \frac{1}{10} + \frac{T}{2} \times \frac{1}{90} = 1$, यानी $\frac{T}{2} \times \frac{1}{9} = 1$। तो T = 18 घंटे। यह हमेशा दोनों नलों के मिलकर लगे समय का दोगुना होता है।
• आधी टंकी A, बाकी आधी B: A को अपना आधा भरने में 5 घंटे लगते हैं और B को अपना आधा भरने में 45 घंटे। कुल 50 घंटे। यह हमेशा दोनों समयों का औसत होता है।

[SSC टिप] "सब खुले, फिर कुछ बंद" वाले प्रश्नों में दो पंक्तियों की एक छोटी तालिका बना लीजिए। पहली पंक्ति में लिखिए कि पहले चरण में कौन-से नल खुले थे और कितनी देर। दूसरी पंक्ति में दूसरे चरण के नल लिखिए। दोनों पंक्तियों की इकाइयाँ जोड़ने पर पूरी टंकी आनी चाहिए। ज़्यादातर गलती यहीं होती है कि बंद हो चुका खाली करने वाला नल दूसरे चरण में भी गिन लिया जाता है, या पहले चरण में ही छूट जाता है। "आधा समय" और "आधी टंकी" के उत्तर अलग आते हैं, और SSC दोनों को विकल्पों में रखना पसंद करता है।

एकांतर घंटे: बारी-बारी से दो नल

कभी नल बारी-बारी से खोले जाते हैं। पहले एक घंटा A, फिर एक घंटा B, फिर दोबारा A। ऐसे में घंटों को चक्रों में बाँट लीजिए। हर नल की एक-एक बारी को एक चक्र कहेंगे। पर अंत का हिस्सा घंटा-दर-घंटा देखिए, क्योंकि टंकी किसी चक्र के बीच में भी भर सकती है।

यह प्रश्न देखिए, "नल A और B किसी टंकी को 4 घंटे और 9 घंटे में भरते हैं। उन्हें बारी-बारी से 1-1 घंटे के लिए खोला जाता है, और शुरुआत A से होती है। खाली टंकी कब भरेगी?"

टंकी = 36 इकाई लीजिए। A अपनी बारी के घंटे में 9 इकाई भरता है और B 4। तो एक चक्र, यानी 2 घंटे में 13 इकाई भरती हैं।

दो चक्र, यानी 4 घंटे में 26 इकाई भरीं। A के अगले घंटे के बाद 35 हो गईं। बची 1 इकाई B की बारी में भरेगी, और इसके लिए B को घंटे का $\frac{1}{4}$ चाहिए। तो टंकी $5\frac{1}{4}$ घंटे, यानी 5 घंटे 15 मिनट में भरी।

B से शुरुआत हो तो: केवल अंत बदलता है। दो चक्रों, यानी 4 घंटे में फिर भी 26 इकाई ही भरती हैं। पर अब अगला घंटा B का है, तो 30 इकाई हुईं। बाकी 6 इकाई A भरेगा। वह घंटे भर में 9 इकाई भरता है, तो इसमें घंटे का $\frac{2}{3}$ लगेगा। टंकी 5 घंटे 40 मिनट में भरेगी।

तेज़ तरीका: टंकी भरे बिना जितने पूरे चक्र हो सकते हैं, उतने एक साथ ले लीजिए। फिर जो बचे, उसे बारियों के सही क्रम में घंटा-दर-घंटा देखिए।

तीन नल बारी-बारी से: A, B और C टंकी को 4, 8 और 16 घंटे में भरते हैं। क्रम A, B, C है और हर नल एक घंटा खुलता है। टंकी = 16 इकाई, तो अपनी बारी में ये 4, 2 और 1 इकाई भरते हैं। 3 घंटे के एक चक्र में 7 इकाई भरती हैं। दो चक्र, यानी 6 घंटे में 14 इकाई भरीं। A की अगली बारी में केवल 2 इकाई चाहिए, जो वह आधे घंटे में भर देगा। तो टंकी $6\frac{1}{2}$ घंटे में भरेगी।

A और B साथ, फिर A अकेला: कुछ प्रश्नों में बारियाँ दूसरी तरह से बनती हैं। पहले घंटे A और B साथ खुलते हैं, और अगले घंटे A अकेला। विधि यहाँ भी वही है। ये दो घंटे एक चक्र हैं, और अंत का भाग घंटा-दर-घंटा देखना है।

यहाँ एक आम गलती देखिए। कुछ छात्र टंकी को एक चक्र की इकाइयों से भाग देकर चक्र की लंबाई से गुणा कर देते हैं, 36 ÷ 13 × 2 = $5\frac{7}{13}$ घंटे। यह गलत विकल्प अक्सर दिया होता है। गलती यह है कि दोनों नलों को किसी औसत दर से चलता मान लिया गया, जबकि आख़िरी हिस्सा एक ही नल अपनी दर से भरता है।

बारी-बारी से भरना-खाली करना: आख़िरी घंटे का जाल

भरने वाला और खाली करने वाला नल बारी-बारी से चलें, तो हर चक्र में थोड़ी-सी बढ़त होती है। मन करता है कि टंकी को इसी छोटी बढ़त से भाग दे दें। पर टंकी किसी भरने वाले घंटे के बीच में ही भर सकती है, और तब खाली करने वाले नल की अगली बारी आती ही नहीं।

यह प्रश्न देखिए, "नल A किसी टंकी को 4 घंटे में भरता है और नल B उसे 7 घंटे में खाली करता है। A से शुरू करते हुए, उन्हें बारी-बारी से 1-1 घंटे के लिए खोला जाता है। खाली टंकी कब भरेगी?"

टंकी = 28 इकाई लीजिए। A अपने घंटे में 7 इकाई डालता है और B 4 निकालता है। तो एक चक्र, यानी 2 घंटे में बढ़त केवल 3 इकाई है। जल्दी में लोग 28 ÷ 3 चक्र × 2 घंटे = $18\frac{2}{3}$ घंटे लिख देते हैं, जो गलत है।

सही तरीका तीन कदम का है।

1. एक चक्र की शुद्ध बढ़त निकालिए। यहाँ यह +3 इकाई है।
2. वह स्तर निकालिए, जहाँ से A का एक घंटा टंकी भर दे। यहाँ 28 − 7 = 21 इकाई।
3. देखिए कि उस स्तर तक कितने चक्र लगेंगे। 21 ÷ 3 = 7 चक्र, यानी 14 घंटे। उसके बाद A का अगला घंटा टंकी भर देगा।

तो टंकी 15 घंटे में भरती है। आख़िरी कुछ घंटे ऐसे चलते हैं।

13वें घंटे के बाद टंकी में 25 इकाई हैं। टंकी भरने के करीब है, पर भरी नहीं है। खाली करने वाला नल उसे फिर 21 पर ले आता है, और 15वें घंटे में A कार्य पूरा करता है।

नियम याद रखिए। आख़िरी घंटे की शुरुआत में देखिए कि कितनी इकाइयाँ भरनी बाकी हैं। भरने वाला नल एक घंटे में इससे ज़्यादा भर सकता हो, तो उस घंटे का केवल ज़रूरी भाग गिनिए।

भरी टंकी को बारी-बारी से खाली करना: यहाँ भी वही जाल है, बस उलटी दिशा में। प्रश्न देखिए, "एक भरी टंकी में खाली करने वाला एक नल है, जो उसे 7 घंटे में खाली करता है, और भरने वाला एक नल है, जो उसे 14 घंटे में भरता है। खाली करने वाले नल से शुरू करते हुए, उन्हें बारी-बारी से 1-1 घंटे के लिए खोला जाता है। टंकी कब खाली होगी?"

टंकी = 14 इकाई लीजिए। खाली करने वाला अपने घंटे में 2 इकाई निकालता है और भरने वाला 1 वापस डालता है। तो हर चक्र में 1 इकाई की कमी होती है। जब 2 या उससे कम इकाई बचें, तब खाली करने वाला एक ही घंटे में कार्य पूरा कर देगा। 12 चक्र, यानी 24 घंटे बाद 2 इकाई बचती हैं। खाली करने वाले के अगले घंटे में टंकी खाली हो जाती है। तो उत्तर 25 घंटे है, 28 नहीं।

आंशिक भरी टंकी और खाली करना

सबसे पहले इकाइयों में दो बातें लिख लीजिए। टंकी अभी कितनी भरी है, और पानी को कहाँ तक पहुँचना है। फिर समय = (भरी या निकाली जाने वाली इकाइयाँ) ÷ (शुद्ध दर)।

पहले से आंशिक भरी टंकी: टंकी $\frac{1}{4}$ भरी है, और भरने वाला नल पूरी टंकी 16 घंटे में भरता है। भरना केवल $\frac{3}{4}$ है, तो $\frac{3}{4}$ × 16 = 12 घंटे लगेंगे।

आंशिक भरी टंकी पर भरने वाला और खाली करने वाला नल: पहले तय कीजिए कि टंकी भरेगी या खाली होगी। इसके लिए शुद्ध दर का चिह्न देखिए। उदाहरण के लिए, "एक टंकी $\frac{2}{5}$ भरी है। नल A उसे 30 घंटे में भरता है और नल B उसे 24 घंटे में खाली करता है। दोनों नल खोल दिए जाते हैं।" टंकी = 120 इकाई लीजिए। A +4 और B −5, तो हर घंटे 1 इकाई की कमी होती है। अभी टंकी में 48 इकाई हैं, तो यह 48 घंटे में खाली होगी। कई छात्र मान लेते हैं कि टंकी भरेगी, और बचे हुए खाली $\frac{3}{5}$ भाग पर हिसाब लगाकर 72 घंटे लिख देते हैं। पर यह टंकी कभी नहीं भरती।

दो खाली करने वाले नल: A और B भरी टंकी को 7 और 28 घंटे में खाली करते हैं। टंकी = 28 इकाई लीजिए। हर घंटे 4 + 1 = 5 इकाई बाहर जाती हैं। तो दोनों मिलकर टंकी को 28 ÷ 5 = 5.6 घंटे, यानी 5 घंटे 36 मिनट में खाली करेंगे।

पहले खाली करने वाला, फिर भरने वाला: प्रश्न है, "एक भरी टंकी को खाली करने वाला एक नल 9 घंटे में खाली करता है। 1 घंटे बाद, टंकी को 27 घंटे में भरने वाला एक नल भी खोल दिया जाता है। टंकी कब खाली होगी?" टंकी = 27 इकाई लीजिए। खाली करने वाला हर घंटे 3 इकाई निकालता है, तो 1 घंटे बाद 24 इकाई बचीं। फिर हर घंटे 3 − 1 = 2 इकाई की कमी होती है, यानी 12 घंटे और लगेंगे।

तो टंकी शुरुआत से 13 घंटे बाद खाली होगी।

पहले भरने वाला, बाद में खाली करने वाला: भरने वाला नल टंकी को 3 घंटे में भरता है। टंकी आधी भरने पर खाली करने वाला नल भी खोला गया, जो उसे 6 घंटे में खाली करता है। पहला आधा $1\frac{1}{2}$ घंटे में भरा। फिर भरने की दर $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ टंकी प्रति घंटा है, तो दूसरा आधा 3 घंटे में भरेगा। कुल समय 4 घंटे 30 मिनट हुआ।

लीटर में धारिता

टंकी की धारिता (capacity) पूछी जाए और दरें लीटर में दी हों, तो लीटर को ही इकाई मान लीजिए। पूरे हिसाब में समय की एक ही इकाई रखिए, आमतौर पर मिनट।

सीधे दरें दी हों: भरने वाले दो नल हर मिनट 25 और 18 लीटर पानी भरते हैं, और खाली करने वाला 13 लीटर प्रति मिनट निकालता है। शुद्ध प्रवाह = 25 + 18 − 13 = 30 लीटर प्रति मिनट। तो 2,400 लीटर की टंकी 2,400 ÷ 30 = 80 मिनट में भरेगी।

नल का समय और लीटर वाली दर: प्रश्न है, "नल A किसी टंकी को 40 मिनट में भरता है। खाली करने वाला एक नल प्रति मिनट 9 लीटर पानी निकालता है। दोनों के खुले रहने पर टंकी 1 घंटे में भरती है। टंकी की धारिता ज्ञात कीजिए।" धारिता = C लीटर मान लीजिए। A हर मिनट $\frac{C}{40}$ लीटर डालता है। खाली करने वाला भी खुला हो, तो बढ़त $\frac{C}{60}$ लीटर प्रति मिनट रह जाती है।

$$\frac{C}{40} - 9 = \frac{C}{60} \Rightarrow \frac{3C - 2C}{120} = 9 \Rightarrow C = 1080$$

टंकी में 1,080 लीटर पानी आता है। जाँच कर लीजिए। A हर मिनट 27 लीटर डालता है, बढ़त 18 लीटर प्रति मिनट है, और 1,080 ÷ 18 = 60 मिनट।

रिसाव, फिर भरने वाला नल भी: अब यह प्रश्न देखिए, "एक रिसाव भरी टंकी को 2 घंटे में खाली करता है। प्रति मिनट 12 लीटर पानी भरने वाला एक नल खोला जाता है, और अब भरी टंकी 3 घंटे में खाली होती है।" सब मिनटों में लीजिए। रिसाव हर मिनट $\frac{C}{120}$ लीटर निकालता है। भरने वाला भी खुला हो, तो कमी $\frac{C}{180}$ लीटर प्रति मिनट रह जाती है। इन दोनों का अंतर ही भरने वाले नल की दर है।

$$\frac{C}{120} - \frac{C}{180} = 12 \Rightarrow \frac{C}{360} = 12 \Rightarrow C = 4320$$

टंकी में 4,320 लीटर पानी आता है। अब मिलान कर लीजिए। रिसाव हर मिनट 36 लीटर निकालता है और भरने वाला 12 लीटर वापस डालता है। 4,320 ÷ 24 = 180 मिनट, यानी 3 घंटे।

दरों के अंतर से: मान लीजिए प्रश्न में दिया है, "नल A किसी टंकी को 21 मिनट में और नल B उसे 35 मिनट में भरता है। A, B से प्रति मिनट 4 लीटर अधिक पानी भरता है।" हर मिनट A टंकी का $\frac{1}{21}$ भरता है और B $\frac{1}{35}$। अंतर $\frac{5 - 3}{105} = \frac{2}{105}$ टंकी है, और यही 4 लीटर है। तो $\frac{1}{105}$ टंकी = 2 लीटर, और टंकी में 210 लीटर पानी आता है। A हर मिनट 10 लीटर भरता है और B 6 लीटर।

समयों के अंतर से: जैसे, "एक नल किसी टंकी को 4 घंटे में भरता है। यदि उससे प्रति मिनट 50 लीटर अधिक पानी आए, तो उसे केवल 3 घंटे लगेंगे।" मिनटों में लिखिए। $\frac{C}{180} - \frac{C}{240} = 50$, यानी $\frac{C}{720} = 50$, तो C = 36,000 लीटर। मिलाकर देखिए, 150 लीटर प्रति मिनट से 240 मिनट में और 200 लीटर प्रति मिनट से 180 मिनट में, दोनों बार 36,000 लीटर ही आता है।

ये इकाइयाँ याद रखिए। 1 घंटा = 60 मिनट, 1 घन मीटर = 1,000 लीटर और 1 किलोलीटर = 1,000 लीटर।

[SSC टिप] घंटे और लीटर प्रति मिनट एक ही हिसाब में मिला दिए, तो उत्तर 60 गुना बड़ा या छोटा आ जाता है। SSC ठीक यही संख्याएँ विकल्पों में रखता है। इसलिए समीकरण लिखने से पहले हर समय को मिनट में बदल लीजिए।

सापेक्ष दरें, एक जैसे नल, बचा समय

"दोगुनी तेज़ी": A, B से दोगुनी तेज़ी से भरता है, तो A को B का आधा समय लगेगा और दरें 2 : 1 होंगी। अब कहा जाए, "दोनों मिलकर टंकी को 10 घंटे में भरते हैं।" A को 2 और B को 1 इकाई प्रति घंटा दीजिए। दोनों मिलकर हर घंटे 3 इकाई भरते हैं और टंकी 10 घंटे में भरती है, तो टंकी 30 इकाई की है। अकेले A को 15 घंटे और अकेले B को 30 घंटे लगेंगे।

प्रतिशत में कार्यक्षमता: "A, B से 25% अधिक कुशल है" का मतलब है कि दरें 125 : 100 = 5 : 4 हैं, और समय 4 : 5। कार्यक्षमता (efficiency) बढ़ती है तो समय घटता है। दर और समय हमेशा उलटी दिशा में चलते हैं।

दरों की कड़ी: प्रश्न है, "A, B से दोगुनी तेज़ी से भरता है, और B, C से तीन गुनी तेज़ी से। तीनों मिलकर टंकी को 6 घंटे में भरते हैं।" दरें A : B : C = 6 : 3 : 1 हैं, कुल 10 इकाई प्रति घंटा। टंकी 60 इकाई है। अकेले C को 60 घंटे, B को 20 घंटे और A को 10 घंटे लगेंगे।

एक जैसे नल: यहाँ नल-मिनट गिनिए, जैसे कार्य में मानव-दिवस गिनते हैं। यह प्रश्न देखिए, "एक जैसे 12 नल किसी टंकी को 35 मिनट में भरते हैं। यदि इनमें से 5 बंद कर दिए जाएँ, तो शेष नल कितना समय लेंगे?" टंकी को 12 × 35 = 420 नल-मिनट चाहिए। 7 नल बचे, तो 420 ÷ 7 = 60 मिनट।

बचा या अधिक लगा समय: पहले और बाद का समय अलग-अलग निकालिए और घटा दीजिए।

• भरने वाला नल जोड़ना: A और B टंकी को 24 और 120 घंटे में भरते हैं। टंकी = 120 इकाई, तो 5 + 1 = 6 इकाई प्रति घंटा, और मिलकर 20 घंटे। अब नल C जोड़ा गया, जो टंकी को 30 घंटे में भरता है, यानी 4 इकाई प्रति घंटा। कुल 10 इकाई प्रति घंटा, तो 12 घंटे लगेंगे। 8 घंटे बचे।
• खाली करने वाला नल बंद करना: भरने वाले नल मिलकर टंकी को 3 घंटे में भरते हैं, और खाली करने वाला नल उसे 6 घंटे में खाली करता है। खाली करने वाला खुला हो, तो $\frac{3 \times 6}{6 - 3}$ = 6 घंटे लगते हैं। उसे बंद कर दें, तो 3 घंटे ही लगेंगे। 3 घंटे बचे।

[Tier 2] तय अंतर वाले समय: मान लीजिए दिया है, "A को B से 8 घंटे कम लगते हैं, और दोनों मिलकर टंकी को $7\frac{1}{2}$ घंटे में भरते हैं।" ऐसे में विकल्प रखकर देखना सबसे तेज़ रहता है। A = 12 और B = 20 सही निकलते हैं, क्योंकि $\frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$, और यही $7\frac{1}{2}$ घंटे वाली दर है। (पूरा हल चाहिए तो B = $x$ लीजिए। तब $x^2 - 23x + 60 = 0$ आता है, जिससे $x$ = 20 मिलता है।)

[Tier 2] वर्गमूल नियम: मान लीजिए अकेले A को, A और B के मिलकर लगे समय से $a$ घंटे अधिक लगते हैं, और अकेले B को $b$ घंटे अधिक। तब मिलकर लगने वाला समय = $\sqrt{ab}$। जैसे $a$ = 6 और $b$ = 54 हो, तो मिलकर $\sqrt{324}$ = 18 घंटे लगेंगे। मतलब A को 24 घंटे और B को 72 घंटे। जाँच कर लीजिए, $\frac{1}{24} + \frac{1}{72} = \frac{3 + 1}{72} = \frac{1}{18}$।

[Tier 2] नल का आकार: प्रवाह की चाल एक जैसी हो, तो नल से आने वाला पानी उसके व्यास के वर्ग के अनुपात में होता है। जैसे 2 सेमी का नल टंकी को 36 मिनट में भरता है, तो 3 सेमी वाला नल उसे 36 × $\frac{4}{9}$ = 16 मिनट में भरेगा।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

नल A किसी टंकी को 24 घंटे में भर सकता है और नल B भरी टंकी को 56 घंटे में खाली कर सकता है। यदि टंकी खाली होने पर दोनों नल एक साथ खोल दिए जाएँ, तो टंकी कितने घंटे में भर जाएगी? (a) 16.8 घंटे (b) 32 घंटे (c) 42 घंटे (d) 80 घंटे

उत्तर: 24 और 56 का ल.स. 168 है, तो टंकी = 168 इकाई मान लेते हैं। A हर घंटे 7 इकाई डालता है और B 3 निकालता है, यानी हर घंटे 4 इकाई की बढ़त। तो 168 ÷ 4 = (c) 42 घंटे। जल्दबाज़ी में लोग B की 3 इकाई घटाने की जगह जोड़ देते हैं और 168 ÷ 10 = 16.8 घंटे लिख देते हैं, जो दो भरने वाले नलों का समय है। B तो पानी निकाल रहा है, इसलिए 24 घंटे से कम कोई उत्तर सही हो ही नहीं सकता।

प्रश्न 2

दो नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 20 मिनट और 25 मिनट में भर सकते हैं, और तीसरा नल C भरी टंकी को 50 मिनट में खाली कर सकता है। यदि तीनों नल एक साथ खोल दिए जाएँ, तो खाली टंकी कितने समय में भर जाएगी? (a) $14\frac{2}{7}$ मिनट (b) $11\frac{1}{9}$ मिनट (c) $9\frac{1}{11}$ मिनट (d) $33\frac{1}{3}$ मिनट

उत्तर: 20, 25 और 50 का ल.स. 100 है, तो टंकी = 100 इकाई लेते हैं। हर मिनट A 5 इकाई डालता है, B 4 डालता है और C 2 निकालता है। शुद्ध दर 5 + 4 − 2 = 7 इकाई प्रति मिनट हुई। तो समय = $\frac{100}{7}$ = (a) $14\frac{2}{7}$ मिनट।

प्रश्न 3

नल A, B और C किसी टंकी को क्रमशः 14 घंटे, 35 घंटे और 70 घंटे में भर सकते हैं। टंकी खाली होने पर तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं। टंकी भरने तक उसका कितना भाग नल B ने भरा होगा? (a) $\frac{5}{8}$ (b) $\frac{1}{35}$ (c) $\frac{1}{3}$ (d) $\frac{1}{4}$

उत्तर: पूरी टंकी को 70 इकाई मान लेते हैं। A हर घंटे 5, B 2 और C 1 इकाई भरता है, कुल 8। तो टंकी 70 ÷ 8 = 8.75 घंटे में भरती है। इतने समय में B ने 2 × 8.75 = 17.5 इकाई भरीं, यानी टंकी का $\frac{17.5}{70}$, जो (d) $\frac{1}{4}$ है। इसे और जल्दी भी कर सकते हैं। तीनों नल पूरे समय साथ चले, तो हर नल ने अपनी दर के हिसाब से भरा। दरें 5 : 2 : 1 हैं, तो B का हिस्सा $\frac{2}{8}$ हुआ।

प्रश्न 4

एक नल किसी टंकी को 7 घंटे में भर सकता है। तली में रिसाव के कारण उसे भरने में 9 घंटे लगते हैं। यदि टंकी भरी हो, तो अकेला रिसाव उसे कितने समय में खाली कर देगा? (a) 2 घंटे (b) 31.5 घंटे (c) 63 घंटे (d) 16 घंटे

उत्तर: 7 और 9 का ल.स. 63 है, तो टंकी = 63 इकाई लेते हैं। अकेला नल हर घंटे 9 इकाई भरता है, पर रिसाव के साथ बढ़त केवल 7 इकाई प्रति घंटा है। मतलब रिसाव हर घंटे 9 − 7 = 2 इकाई बाहर निकालता है, और भरी टंकी को 63 ÷ 2 = (b) 31.5 घंटे में खाली कर देगा। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{xy}{y - x} = \frac{7 \times 9}{2}$।

प्रश्न 5

दो नल किसी टंकी को 45 मिनट और 90 मिनट में भर सकते हैं। दोनों नल एक साथ खोले जाते हैं, लेकिन रिसाव के कारण टंकी भरने में सामान्य से 10 मिनट अधिक लगते हैं। अकेला रिसाव भरी टंकी को कितने समय में खाली कर सकता है? (a) 2 घंटे (b) 5 घंटे (c) 1 घंटा 30 मिनट (d) 1 घंटा 10 मिनट

उत्तर: पहले सामान्य समय निकालते हैं। टंकी = 90 इकाई, तो दोनों नल हर मिनट 2 + 1 = 3 इकाई भरते हैं, यानी सामान्य रूप से टंकी 30 मिनट में भरती। रिसाव के साथ 40 मिनट लगे। अब 30 और 40 मिनट की तुलना करनी है, तो टंकी = 120 इकाई लेते हैं। रिसाव न हो तो नल हर मिनट 4 इकाई भरते हैं, और रिसाव के साथ 3, यानी रिसाव हर मिनट 1 इकाई निकालता है। भरी टंकी को वह 120 मिनट में खाली करेगा, जो (a) 2 घंटे है।

प्रश्न 6

एक नल किसी खाली टंकी को 24 घंटे में भर सकता है। जब टंकी एक-चौथाई भर जाती है, तब उसमें एक रिसाव हो जाता है, जो अकेले भरी टंकी को 96 घंटे में खाली कर सकता है। टंकी को भरने में कुल कितना समय लगता है? (a) 32 घंटे (b) 24 घंटे (c) 30 घंटे (d) 38 घंटे

उत्तर: एक-चौथाई तक कोई रिसाव नहीं था, तो इसमें $\frac{1}{4}$ × 24 = 6 घंटे लगे। उसके बाद शुद्ध दर $\frac{1}{24} - \frac{1}{96} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32}$ टंकी प्रति घंटा है। बाकी $\frac{3}{4}$ भरने में $\frac{3}{4}$ × 32 = 24 घंटे लगेंगे। कुल = 6 + 24 = (c) 30 घंटे। जो रिसाव को शुरू से खुला मान लेते हैं, उन्हें 32 घंटे आता है, जो गलत है।

प्रश्न 7

नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 12 घंटे और 42 घंटे में भर सकते हैं। दोनों को एक साथ खोला जाता है, और 6 घंटे बाद नल A बंद कर दिया जाता है। टंकी को भरने में नल B को और कितना समय लगेगा? (a) 21 घंटे (b) $4\frac{2}{7}$ घंटे (c) 12 घंटे (d) 15 घंटे

उत्तर: टंकी 84 इकाई की मानें, तो A हर घंटे 7 और B 2 इकाई भरता है। 6 घंटे साथ चलकर दोनों ने 54 इकाई भरीं। बाकी 30 इकाई B अकेले 2 इकाई प्रति घंटा से भरेगा, तो उसे (d) 15 घंटे और लगेंगे।

प्रश्न 8

नल A, B और C किसी टंकी को क्रमशः 8 घंटे, 36 घंटे और 72 घंटे में भर सकते हैं। नल A पूर्वाह्न 6 बजे, नल B पूर्वाह्न 8 बजे और नल C पूर्वाह्न 10 बजे खोला जाता है। खाली टंकी किस समय भर जाएगी? (a) दोपहर 12 बजे (b) अपराह्न 12:40 बजे (c) अपराह्न 1:40 बजे (d) अपराह्न 12:20 बजे

उत्तर: यहाँ टंकी को 72 इकाई मानना ठीक रहेगा। तब A हर घंटे 9, B 2 और C 1 इकाई भरता है।

पूर्वाह्न 10 बजे के बाद 32 इकाई बचीं, जो 12 इकाई प्रति घंटा से $2\frac{2}{3}$ घंटे, यानी 2 घंटे 40 मिनट में भरेंगी। तो टंकी (b) अपराह्न 12:40 बजे भर जाएगी।

प्रश्न 9

नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 40 मिनट और 60 मिनट में भर सकते हैं। दोनों को एक साथ खोला जाता है, लेकिन टंकी भरने से 10 मिनट पहले नल B बंद कर दिया जाता है। टंकी कितने समय में भरती है? (a) 28 मिनट (b) 24 मिनट (c) 34 मिनट (d) 30 मिनट

उत्तर: टंकी = 120 इकाई लेते हैं, तो A हर मिनट 3 और B 2 इकाई भरता है। मान लेते हैं टंकी T मिनट में भरी। A पूरे T मिनट चला और B, T − 10 मिनट। तो 3T + 2(T − 10) = 120, यानी 5T = 140 और T = (a) 28 मिनट। जाँच कर लेते हैं। A ने 3 × 28 = 84 इकाई भरीं और B ने 2 × 18 = 36, और 84 + 36 = 120।

प्रश्न 10

नल A किसी टंकी को 20 मिनट में भर सकता है और नल B भरी टंकी को 35 मिनट में खाली कर सकता है। टंकी खाली होने पर दोनों नल एक साथ खोले जाते हैं। नल B को कितने मिनट बाद बंद किया जाए ताकि टंकी ठीक 24 मिनट में भर जाए? (a) 4 मिनट (b) 17 मिनट (c) 7 मिनट (d) 12 मिनट

उत्तर: 20 और 35 का ल.स. 140 है, तो टंकी = 140 इकाई मान लेते हैं। A हर मिनट 7 इकाई डालता है और B 4 निकालता है। A पूरे 24 मिनट चलता है, तो 168 इकाई डालता है। पर टंकी में तो 140 इकाई ही समाती हैं, तो B ने 168 − 140 = 28 इकाई निकालीं। इसमें उसे 28 ÷ 4 = 7 मिनट लगे, यानी B को (c) 7 मिनट बाद बंद करना है। मिलान भी कर लेते हैं। पहले 7 मिनट में बढ़त 3 इकाई प्रति मिनट रही, यानी 21 इकाई, और अगले 17 मिनट में A अकेले 119 इकाई और भरता है। 21 + 119 = 140, यानी टंकी ठीक भर गई। B बंद होने के बाद A जो 17 मिनट अकेला चलता है, उसे उत्तर समझने की गलती न कीजिए।

प्रश्न 11

नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 12 घंटे और 27 घंटे में भर सकते हैं, और नल C उसे 36 घंटे में खाली कर सकता है। टंकी खाली होने पर तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं। 3 घंटे बाद नल C बंद कर दिया जाता है। टंकी और कितने समय में भर जाएगी? (a) 9 घंटे (b) 6 घंटे (c) 7 घंटे 48 मिनट (d) $8\frac{4}{13}$ घंटे

उत्तर: 12, 27 और 36 का ल.स. 108 है, इसलिए टंकी = 108 इकाई लेते हैं। हर घंटे A 9 और B 4 इकाई डालते हैं, और C 3 निकालता है। तीनों खुले हों तो बढ़त 10 इकाई प्रति घंटा है, यानी 3 घंटे में 30 इकाई। फिर बाकी 78 इकाई A और B मिलकर 13 इकाई प्रति घंटा से भरेंगे, तो 78 ÷ 13 = (b) 6 घंटे।

प्रश्न 12

तीन नल A, B और C मिलकर किसी टंकी को 14 घंटे में भर सकते हैं। तीनों नलों के 4 घंटे खुले रहने के बाद नल C बंद कर दिया जाता है, और शेष टंकी को A और B 15 घंटे में भरते हैं। अकेला नल C टंकी को कितने घंटे में भर सकता है? (a) 21 घंटे (b) 35 घंटे (c) 63 घंटे (d) 42 घंटे

उत्तर: 4 घंटे में तीनों नल $\frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ टंकी भरते हैं। बाकी $\frac{5}{7}$ टंकी A और B ने 15 घंटे में भरी, तो पूरी टंकी वे मिलकर 21 घंटे में भरेंगे। C की दर = $\frac{1}{14} - \frac{1}{21} = \frac{3 - 2}{42} = \frac{1}{42}$, तो अकेले C को (d) 42 घंटे लगेंगे। इकाइयों में करें तो टंकी = 42 इकाई। तीनों मिलकर हर घंटे 3 इकाई भरते हैं और A और B 2, तो C 1 इकाई भरता है।

प्रश्न 13

एक नल किसी टंकी को 12 घंटे में भर सकता है। आधी टंकी भर जाने के बाद उसी आकार के दो और नल खोल दिए जाते हैं। टंकी को भरने में कुल कितना समय लगता है? (a) 8 घंटे (b) 10 घंटे (c) 4 घंटे (d) 6 घंटे

उत्तर: पहला आधा 6 घंटे में भरा। फिर तीन नल साथ चले, तो दूसरा आधा 6 ÷ 3 = 2 घंटे में भरा। कुल = 6 + 2 = (a) 8 घंटे। जो छात्र आधी टंकी भरने के बाद भी तीनों नलों से पूरी टंकी भरवा देते हैं, उनका उत्तर 10 घंटे आता है, जबकि बची केवल आधी थी।

प्रश्न 14

नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 4 घंटे और 10 घंटे में भर सकते हैं। उन्हें बारी-बारी से 1-1 घंटे के लिए खोला जाता है, और शुरुआत A से होती है। खाली टंकी कितने समय में भर जाएगी? (a) $5\frac{5}{7}$ घंटे (b) 6 घंटे (c) $5\frac{1}{2}$ घंटे (d) $2\frac{6}{7}$ घंटे

उत्तर: टंकी = 20 इकाई लेते हैं। A अपने घंटे में 5 इकाई भरता है और B 2, तो 2 घंटे के हर चक्र में 7 इकाई भरती हैं। 2 चक्र, यानी 4 घंटे में 14 इकाई भरीं। अगला घंटा A का है, तो 5 घंटे बाद 19 इकाई हो गईं। अब B को केवल 1 इकाई और भरनी है, जिसमें उसके घंटे का $\frac{1}{2}$ लगेगा। तो टंकी (c) $5\frac{1}{2}$ घंटे में भरती है।

प्रश्न 15

नल A किसी टंकी को 6 घंटे में भर सकता है और नल B भरी टंकी को 11 घंटे में खाली कर सकता है। उन्हें बारी-बारी से 1-1 घंटे के लिए खोला जाता है, और शुरुआत A से होती है। खाली टंकी कितने घंटे बाद भरेगी? (a) $26\frac{2}{5}$ घंटे (b) 23 घंटे (c) 22 घंटे (d) 24 घंटे

उत्तर: 6 और 11 का ल.स. 66 है, तो टंकी को 66 इकाई मान लेते हैं। A अपने घंटे में 11 इकाई डालता है और B 6 निकालता है, तो 2 घंटे के हर चक्र में बढ़त केवल 5 इकाई है। यहाँ सीधे 66 को 5 से भाग नहीं देना है। देखना यह है कि A की बारी शुरू होते समय टंकी में 55 इकाई कब होती हैं, क्योंकि तब A की 11 इकाई से टंकी पूरी भर जाएगी। 11 चक्र, यानी 22 घंटे में 55 इकाई भरती हैं, और फिर A के अगले घंटे में 66। तो उत्तर (b) 23 घंटे है। अंत के पास गिनती ऐसे चलती है, 20वें घंटे के बाद 50, 21वें के बाद 61, 22वें के बाद 55 और 23वें के बाद 66।

प्रश्न 16

नल A और B किसी टंकी को 5 घंटे और 10 घंटे में भर सकते हैं, और नल C उसे 20 घंटे में खाली कर सकता है। तीनों नलों को A, B, C के क्रम में एक-एक करके 1-1 घंटे के लिए खोला जाता है, और यही क्रम दोहराया जाता है। खाली टंकी कितने समय में भर जाएगी? (a) 12 घंटे (b) 11 घंटे (c) 10 घंटे (d) $10\frac{1}{2}$ घंटे

उत्तर: टंकी = 20 इकाई लेते हैं। A अपनी बारी में 4 इकाई डालता है, B 2 डालता है और C 1 निकालता है, तो 3 घंटे के हर चक्र में बढ़त 5 इकाई होती है। 3 चक्र, यानी 9 घंटे में 15 इकाई भरीं। A के अगले घंटे के बाद 19 हुईं, और अब B को केवल 1 इकाई और भरनी है, जो वह आधे घंटे में भर देगा। तो टंकी (d) $10\frac{1}{2}$ घंटे में भरती है।

प्रश्न 17

एक टंकी एक-तिहाई भरी है। नल A टंकी को 42 मिनट में भर सकता है और नल B उसे 30 मिनट में खाली कर सकता है। यदि दोनों नल एक साथ खोल दिए जाएँ, तो क्या होगा? (a) टंकी 35 मिनट में खाली हो जाएगी (b) टंकी 70 मिनट में भर जाएगी (c) टंकी 105 मिनट में खाली हो जाएगी (d) टंकी 35 मिनट में भर जाएगी

उत्तर: B टंकी को 30 मिनट में खाली कर देता है, जबकि A को भरने में 42 मिनट लगते हैं। तो पानी का स्तर घटेगा। शुद्ध दर = $\frac{1}{30} - \frac{1}{42} = \frac{7 - 5}{210} = \frac{1}{105}$, यानी हर मिनट टंकी का इतना भाग कम होता है। टंकी में केवल $\frac{1}{3}$ पानी है, तो वह $\frac{1}{3}$ × 105 = 35 मिनट में खाली होगी। उत्तर है (a) टंकी 35 मिनट में खाली हो जाएगी। 105 मिनट तो भरी टंकी के खाली होने का समय है, जबकि यहाँ टंकी में केवल एक-तिहाई पानी है।

प्रश्न 18

एक भरी टंकी में खाली करने वाले दो नल हैं, जो उसे 4 घंटे और 15 घंटे में खाली कर सकते हैं, और भरने वाला एक नल है, जो उसे 20 घंटे में भर सकता है। यदि तीनों नल एक साथ खोल दिए जाएँ, तो टंकी कितने समय में खाली हो जाएगी? (a) $3\frac{3}{19}$ घंटे (b) 3 घंटे 45 मिनट (c) $2\frac{8}{11}$ घंटे (d) 5 घंटे

उत्तर: यहाँ टंकी = 60 इकाई लेना ठीक रहेगा। खाली करने वाले नल हर घंटे 15 और 4 इकाई निकालते हैं, और भरने वाला 3 डालता है। तो हर घंटे 15 + 4 − 3 = 16 इकाई की कमी होती है। भरी टंकी 60 ÷ 16 = 3.75 घंटे, यानी (b) 3 घंटे 45 मिनट में खाली होगी।

प्रश्न 19

भरने वाले दो नल किसी टंकी में प्रति मिनट 17 लीटर और 13 लीटर पानी भरते हैं, और खाली करने वाला एक नल उसमें से प्रति मिनट 8 लीटर पानी निकालता है। तीनों नल खुले होने पर खाली टंकी 1 घंटा 15 मिनट में भरती है। टंकी की धारिता कितनी है? (a) 2,850 लीटर (b) 2,250 लीटर (c) 1,650 लीटर (d) 1,320 लीटर

उत्तर: शुद्ध प्रवाह = 17 + 13 − 8 = 22 लीटर प्रति मिनट। समय 1 घंटा 15 मिनट है, यानी 75 मिनट। तो धारिता = 22 × 75 = (c) 1,650 लीटर।

प्रश्न 20

किसी टंकी की तली में बना एक रिसाव भरी टंकी को 7 घंटे में खाली कर सकता है। प्रति मिनट 5 लीटर पानी भरने वाला एक नल खोल दिया जाता है, और अब भरी टंकी 12 घंटे में खाली होती है। टंकी की धारिता कितने लीटर है? (a) 1,500 लीटर (b) 2,520 लीटर (c) 10,080 लीटर (d) 5,040 लीटर

उत्तर: हिसाब मिनटों में करेंगे। 7 घंटे = 420 मिनट और 12 घंटे = 720 मिनट। धारिता = C लीटर मान लेते हैं। रिसाव हर मिनट $\frac{C}{420}$ लीटर निकालता है, और भरने वाला नल भी खुला हो तो कमी $\frac{C}{720}$ लीटर प्रति मिनट रह जाती है। इन दोनों का अंतर ही भरने वाले नल की दर है, तो $\frac{C}{420} - \frac{C}{720} = 5$। 420 और 720 का ल.स. 5,040 है, तो $\frac{12C - 7C}{5040} = 5$, और C = (d) 5,040 लीटर। उलटकर देखें तो रिसाव हर मिनट 12 लीटर निकालता है और नल 5 लीटर वापस डालता है, तो 5,040 ÷ 7 = 720 मिनट, यानी 12 घंटे।

प्रश्न 21

नल A किसी टंकी को 36 मिनट में और नल B उसे 60 मिनट में भर सकता है। नल A, नल B से प्रति मिनट 4 लीटर अधिक पानी भरता है। टंकी की धारिता कितनी है? (a) 96 लीटर (b) 360 लीटर (c) 180 लीटर (d) 720 लीटर

उत्तर: हर मिनट A टंकी का $\frac{1}{36}$ भरता है और B $\frac{1}{60}$। अंतर = $\frac{1}{36} - \frac{1}{60} = \frac{5 - 3}{180} = \frac{1}{90}$ टंकी, और यही 4 लीटर है। तो धारिता = 4 × 90 = (b) 360 लीटर। इससे A हर मिनट 360 ÷ 36 = 10 लीटर भरता है और B 360 ÷ 60 = 6 लीटर, यानी अंतर सच में 4 लीटर है।

प्रश्न 22

नल A किसी टंकी को नल B से तीन गुनी तेज़ी से भरता है। दोनों नल मिलकर टंकी को 18 मिनट में भरते हैं। अकेले नल B को उसे भरने में कितना समय लगेगा? (a) 72 मिनट (b) 24 मिनट (c) 54 मिनट (d) 36 मिनट

उत्तर: दरें 3 : 1 हैं, तो मान लेते हैं कि A हर मिनट 3 इकाई भरता है और B 1 इकाई। दोनों मिलकर हर मिनट 4 इकाई भरते हैं और 18 मिनट में टंकी भर देते हैं, तो टंकी 4 × 18 = 72 इकाई की है। अकेले B को 72 ÷ 1 = (a) 72 मिनट लगेंगे, और अकेले A को 72 ÷ 3 = 24 मिनट। कुछ लोग 18 × 3 = 54 मिनट लिख देते हैं। वे भूल जाते हैं कि ज़्यादातर पानी तो A भर रहा था।

प्रश्न 23

एक ही आकार के आठ नल मिलकर किसी टंकी को 45 मिनट में भरते हैं। यदि इनमें से दो नल काम करना बंद कर दें, तो शेष नल टंकी को कितने समय में भरेंगे? (a) $33\frac{3}{4}$ मिनट (b) 54 मिनट (c) 90 मिनट (d) 60 मिनट

उत्तर: टंकी को 8 × 45 = 360 नल-मिनट चाहिए, ठीक वैसे ही जैसे कार्य में मानव-दिवस गिनते हैं। 6 नल बचे, तो 360 ÷ 6 = (d) 60 मिनट।

प्रश्न 24

[Tier 2] नल A किसी टंकी को भरने में नल B से 21 घंटे कम लेता है। दोनों मिलकर उसे 10 घंटे में भरते हैं। अकेले नल A को कितना समय लगता है? (a) 35 घंटे (b) 21 घंटे (c) 14 घंटे (d) 15 घंटे

उत्तर: B को $x$ घंटे लगते हैं, तो A को $x - 21$ घंटे लगेंगे, और समीकरण होगा $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 21} = \frac{1}{10}$। पर विकल्प दिए हों, तो उन्हें रखकर देखना ज़्यादा जल्दी होता है। A को 14 घंटे लें, तो B को 35, और $\frac{1}{14} + \frac{1}{35} = \frac{5 + 2}{70} = \frac{1}{10}$ सही निकलता है। तो A को (c) 14 घंटे लगते हैं। पूरा हल करें तो $x^2 - 41x + 210 = 0$ आता है, जिससे $x$ = 35 या 6 मिलता है। $x$ = 6 नहीं हो सकता, क्योंकि तब A का समय ऋणात्मक हो जाएगा।