समय और कार्य: दर, कार्यक्षमता और मिलकर कार्य

पूरा कार्य = 1, एक दिन का कार्य

समय और कार्य के हर प्रश्न में पूरे कार्य को 1 मान लेते हैं। फिर देखते हैं कि कोई व्यक्ति एक दिन में, या एक घंटे में, इस कार्य का कितना भाग कर लेता है। यही उसकी गति है, और इसी को उसका एक दिन का कार्य (one day's work) कहते हैं।

• मान लीजिए कबीर एक बाड़ को 9 दिनों में रंग सकता है। तो वह हर दिन बाड़ का $\frac{1}{9}$ भाग रंगता है।
• 4 दिनों में वह $\frac{4}{9}$ भाग रंग लेगा, और $\frac{5}{9}$ भाग अभी बचा रहेगा।
• इसे उलटा भी सोच सकते हैं। कोई हर दिन कार्य का $\frac{2}{15}$ भाग करता है, तो पूरे कार्य में उसे $\frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ दिन लगेंगे।

ये दोनों बातें याद रखिए।

$$\text{एक दिन का कार्य} = \frac{1}{\text{पूरे कार्य के दिन}} \qquad \text{किया गया कार्य} = \text{एक दिन का कार्य} \times \text{दिन}$$

मिलकर कार्य: जब कई लोग साथ कार्य करें, तो उनके एक दिन के कार्य जोड़े जाते हैं। दिन कभी नहीं जोड़े जाते।

कबीर इस बाड़ को 9 दिनों में रंगता है और रुचि अकेले 18 दिनों में। दोनों मिलकर एक दिन में इतना भाग रंगेंगे।

$$\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2 + 1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$$

यानी दोनों मिलकर हर दिन बाड़ का छठा भाग रंगते हैं, तो पूरी बाड़ 6 दिन में रंग जाएगी।

केवल दो व्यक्ति हों, तो सीधे यह सूत्र लगा सकते हैं। यहाँ x और y दोनों के अकेले-अकेले लगने वाले दिन हैं, और T मिलकर लगने वाला समय।

$$T = \frac{xy}{x + y} = \frac{9 \times 18}{9 + 18} = \frac{162}{27} = 6$$

उत्तर भिन्न में भी आ सकता है: A किसी कार्य को 8 दिनों में करता है और B 12 दिनों में। मिलकर वे एक दिन में $\frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 2}{24} = \frac{5}{24}$ भाग करते हैं। तो पूरा कार्य $\frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$ दिन में होगा। विकल्पों में यह $4\frac{4}{5}$ दिन भी लिखा हो सकता है और 4.8 दिन भी। इसलिए अंत तक पूरा सटीक मान ही रखिए, बीच में गोल न कीजिए।

तुरंत जाँच: दो लोग मिलकर कार्य करें, तो कार्य तेज़ वाले के अकेले करने से जल्दी होगा। पर ज़्यादा से ज़्यादा दोगुनी तेज़ी से होगा, उससे अधिक नहीं। मतलब मिलकर लगने वाला समय तेज़ व्यक्ति के समय से कम होगा, पर उसके आधे से कम नहीं होगा। 9 और 18 दिन वाले उदाहरण में उत्तर 4.5 और 9 के बीच ही आना था, और 6 इसी बीच में है। और अगर दोनों ही अकेले x दिन लेते हों, तो मिलकर ठीक $\frac{x}{2}$ दिन लगेंगे।

घंटों में भी यही: एक मशीन छपाई का कोई काम 5 घंटे में करती है, तो वह हर घंटे उसका $\frac{1}{5}$ भाग करती है। सूत्रों में जहाँ "दिन" लिखा है, वहाँ समय की कोई भी इकाई चल जाती है। बस सबका समय एक ही इकाई में होना चाहिए।

प्रश्न ध्यान से पढ़िए: देखिए, किस वाक्य से क्या पता चलता है।

• "A कार्य को 12 दिनों में पूरा कर सकता है" का मतलब है कि A हर दिन $\frac{1}{12}$ भाग करता है।
• "A कार्य का $\frac{1}{4}$ भाग 3 दिनों में पूरा करता है" का मतलब है कि A को पूरे कार्य में 12 दिन लगेंगे। यानी यहाँ भी वह हर दिन $\frac{1}{12}$ भाग ही करता है।
• "A और B मिलकर 12 दिन लेते हैं" से केवल जोड़ी की गति पता चलती है। इससे न अकेले A का समय पता चलता है, न अकेले B का।

[SSC टिप] ऐसे प्रश्नों में दो गलत विकल्प लगभग हमेशा दिए होते हैं। एक में दोनों के दिन जोड़ दिए जाते हैं (9 + 18 = 27), और दूसरे में उनका औसत ले लिया जाता है (13.5)। ये दोनों तेज़ व्यक्ति के अपने समय से भी अधिक हैं, इसलिए ऊपर वाली तुरंत जाँच से ही कट जाते हैं।

ल.स. विधि (कुल कार्य विधि)

भिन्नों वाला तरीका ठीक है, पर जब कोई बीच में कार्य छोड़ दे या बाद में आकर जुड़े, तब इसमें हिसाब लंबा हो जाता है। इससे तेज़ तरीका ल.स. विधि (LCM method) है। इसमें पूरे कार्य को कुछ इकाइयों का मान लेते हैं, और यह संख्या सबके समयों का ल.स. होती है। इस अध्याय में आगे हर जगह यही विधि चलेगी।

कदम: ल.स. विधि ऐसे लगाते हैं।

1. सबके समयों का ल.स. निकालिए और कुल कार्य उतनी इकाई मान लीजिए।
2. हर व्यक्ति की इकाई प्रतिदिन = कुल कार्य ÷ उसका समय।
3. मिलकर कार्य हो, तो सबकी इकाई प्रतिदिन जोड़ दीजिए। फिर समय = जितनी इकाइयाँ करनी हैं ÷ इकाई प्रतिदिन।

एक उदाहरण देखिए। A एक हॉल को 22 दिनों में रंगता है और B उसे 33 दिनों में। 22 और 33 का ल.स. 66 है, तो मान लीजिए कुल कार्य = 66 इकाई।

• A हर दिन 66 ÷ 22 = 3 इकाई करता है, और B हर दिन 66 ÷ 33 = 2 इकाई।
• मिलकर वे हर दिन 5 इकाई करेंगे, तो हॉल 66 ÷ 5 = $13\frac{1}{5}$ दिन में रंग जाएगा।

भिन्नों से भी यही आता है। $\frac{1}{22} + \frac{1}{33} = \frac{3 + 2}{66} = \frac{5}{66}$, तो समय $\frac{66}{5}$ दिन। ध्यान से देखिए, इकाइयाँ असल में इन्हीं भिन्नों के अंश हैं।

फ़ायदा कहाँ है: मान लीजिए A और B 6 दिन मिलकर कार्य करते हैं, फिर B कार्य छोड़ देता है। इकाइयों में देखिए। 6 × 5 = 30 इकाई हो गईं और 36 बचीं। A को इनके लिए 36 ÷ 3 = 12 दिन और लगेंगे।

भिन्नों में यही हिसाब ऐसे होगा। $6 \times \frac{5}{66} = \frac{5}{11}$ भाग हो गया, $\frac{6}{11}$ भाग बचा, और $\frac{6}{11} \div \frac{1}{22} = 12$ दिन। उत्तर वही है, पर इकाइयों में हर कदम मन में ही हो जाता है।

कुछ और उदाहरण तालिका में देखिए।

$7\frac{1}{2}$ दिन जैसा समय हो, तो कुल कार्य ऐसा लीजिए जो दोनों समयों से पूरा-पूरा बँट जाए। जैसे यहाँ 30 ÷ 7.5 = 4 और 30 ÷ 10 = 3।

भिन्नें कब तेज़ हैं: तीन स्थितियों में भिन्नों से जल्दी होता है।

• केवल दो व्यक्ति हों और पूछा जाए कि मिलकर कितना समय लगेगा। तब $\frac{xy}{x + y}$ लगाइए, एक पंक्ति में उत्तर आ जाएगा।
• प्रश्न में कार्य के भाग दिए हों, जैसे "A कार्य का $\frac{3}{8}$ भाग 6 दिनों में करता है…"। तब या तो पहले हर भाग को पूरे कार्य के समय में बदलिए (A: 6 × $\frac{8}{3}$ = 16 दिन) और फिर इकाइयाँ लीजिए, या पूरा हल भिन्नों में ही कीजिए।
• जोड़ी का समय पता हो पर किसी एक का नहीं, जैसे A और B मिलकर कार्य 12 दिनों में करते हैं, और फिर बचा कार्य B अकेले करता है। तब जोड़ी ने कार्य का कितना भाग किया, यह भिन्न में निकालकर चलना तेज़ रहता है। इसे आगे "कार्य का भाग, फिर शेष" वाले हिस्से में देखेंगे।

समय की जगह कार्यक्षमता दी हो: कभी प्रश्न में समय नहीं, कार्यक्षमता (efficiency) दी होती है, जैसे "A, B से दोगुनी तेज़ी से कार्य करता है"। तब ल.स. की ज़रूरत नहीं पड़ती। कार्यक्षमताएँ ही इकाई प्रतिदिन होती हैं। इसे आगे "कार्यक्षमता और समय" वाले हिस्से में देखेंगे।

कुल कार्य के लिए समयों का कोई भी सार्वगुणज ले सकते हैं, उनका गुणनफल भी। बस ल.स. लेने से संख्याएँ छोटी रहती हैं। और एक बार इकाई प्रतिदिन मिल जाए, तो अंत तक इकाइयों में ही रहिए। ज़्यादातर गलतियाँ बीच में भिन्नों पर लौटने से ही होती हैं।

जोड़ी के समय से एक का समय

दो व्यक्ति: प्रश्न ऐसे आता है, "A और B मिलकर एक कार्य 12 दिनों में पूरा करते हैं, और A अकेले 20 दिन लेता है। B अकेले कितने दिन लेगा?"

• इकाइयों से करें, तो 12 और 20 का ल.स. 60 है। दोनों मिलकर 5 इकाई प्रतिदिन करते हैं और A अकेले 3 इकाई। तो B = 5 − 3 = 2 इकाई प्रतिदिन, और B को अकेले 60 ÷ 2 = 30 दिन लगेंगे।
• भिन्नों से करें, तो यही हिसाब $\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5 - 3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ हो जाता है।

इसका सूत्र भी है। जोड़ी p दिन लेती है और A अकेले a दिन, तो B अकेले $\frac{ap}{a - p}$ दिन लेगा। यहाँ $\frac{20 \times 12}{20 - 12} = \frac{240}{8} = 30$ आता है।

तीन व्यक्ति: "A, B और C मिलकर 7 दिनों में पूरा करते हैं। A अकेले 14 दिन और B अकेले 42 दिन लेता है। C अकेले कितने दिन लेगा?" 7, 14 और 42 का ल.स. 42 है। तीनों मिलकर 6 इकाई प्रतिदिन करते हैं, A 3 और B 1। तो C = 6 − 3 − 1 = 2 इकाई प्रतिदिन, और C अकेले 21 दिन लेगा।

एक को दूसरे से कुछ दिन अधिक लगें: "B, A से 8 दिन अधिक लेता है। मिलकर वे 3 दिनों में पूरा करते हैं। दोनों का अलग-अलग समय ज्ञात कीजिए।" A का समय x दिन मान लीजिए।

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 8} = \frac{1}{3} \Rightarrow x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x = 4$$

तो A को 4 दिन और B को 12 दिन लगते हैं। परीक्षा में यह समीकरण हल करने की ज़रूरत नहीं है, विकल्प रखकर देख लीजिए। 4 और 12 दिन रखें, तो $\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ आता है, जो ठीक मेल खाता है। और जिस विकल्प में दोनों समयों का अंतर 8 न हो, उसे देखते ही काट दीजिए।

[Tier 2] दोनों के समय जोड़ी से अधिक दिए हों: "अकेले कार्य करते हुए A, A और B द्वारा मिलकर लिए गए समय से 2 दिन अधिक लेता है, और B 50 दिन अधिक।" ऐसे में मिलकर लगने वाला समय सीधे निकल आता है।

$$T = \sqrt{2 \times 50} = 10 \text{ दिन}$$

तो A को 12 दिन और B को 60 दिन लगते हैं। जाँच कर लीजिए, $\frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{5 + 1}{60} = \frac{1}{10}$। यह तरीका किन्हीं भी दो व्यक्तियों पर चलता है। वजह यह है कि $T = \frac{xy}{x + y}$ को थोड़ा बदलकर लिखें, तो $(x - T)(y - T) = T^2$ हो जाता है।

घटाकर जिस व्यक्ति का समय निकाला जाए, उसका समय हमेशा जोड़ी के समय से अधिक आता है। इसलिए B का समय जोड़ी से कम आए, या ऋणात्मक आ जाए, तो समझ लीजिए कि घटाव उलटी तरफ़ से हो गया है। और घटाई हमेशा इकाई प्रतिदिन जाती है (6 − 3 − 1), दिन कभी नहीं (7 − 14 − 42)।

तीन मिलकर, और जोड़ियों के आँकड़े

तीनों मिलकर: A, B और C एक कार्य को क्रमशः 12, 16 और 24 दिनों में करते हैं। ल.स. 48 लीजिए। तो A, B और C हर दिन 4, 3 और 2 इकाई करते हैं, और तीनों मिलकर 9 इकाई प्रतिदिन। पूरा कार्य 48 ÷ 9 = $5\frac{1}{3}$ दिन में होगा।

भिन्नों से $\frac{1}{12} + \frac{1}{16} + \frac{1}{24} = \frac{4 + 3 + 2}{48} = \frac{9}{48} = \frac{3}{16}$ आता है, यानी $\frac{16}{3}$ दिन। उत्तर वही है।

जोड़ियों के आँकड़े: "A और B मिलकर 36 दिन लेते हैं, B और C 45 दिन, तथा C और A 60 दिन। तीनों मिलकर कितने दिन लेंगे, और हर एक अकेले कितने दिन?" यहाँ 36, 45 और 60 का ल.स. 180 लीजिए।

• A + B = 5 इकाई प्रतिदिन, B + C = 4 और C + A = 3।
• तीनों जोड़ियों को जोड़ें, तो हर व्यक्ति दो बार गिना जाता है। 2(A + B + C) = 12, तो A + B + C = 6 इकाई प्रतिदिन। तीनों मिलकर 180 ÷ 6 = 30 दिन लेंगे।
• A = (A + B + C) − (B + C) = 6 − 4 = 2 इकाई प्रतिदिन, तो A अकेले 180 ÷ 2 = 90 दिन लेगा।
• B = 6 − 3 = 3 इकाई प्रतिदिन, यानी 60 दिन। C = 6 − 5 = 1 इकाई प्रतिदिन, यानी 180 दिन।

भिन्नों में तीनों का मिलकर समय ऐसे निकलता है, $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{36} + \frac{1}{45} + \frac{1}{60}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{5 + 4 + 3}{180} = \frac{1}{30}$, यानी 30 दिन।

दो जोड़ियाँ और तीनों साथ: "A और B 9 दिन लेते हैं, B और C 12 दिन, और तीनों मिलकर 6 दिन। A और C मिलकर कितने दिन लेंगे?" ल.स. 36 लीजिए। A + B = 4, B + C = 3 और तीनों मिलकर 6 इकाई प्रतिदिन। तो C = 6 − 4 = 2, A = 6 − 3 = 3 और B = 1। अब A + C = 5 इकाई प्रतिदिन, तो दोनों मिलकर 36 ÷ 5 = $7\frac{1}{5}$ दिन लेंगे।

एक व्यक्ति, दो के बराबर: "A की कार्यक्षमता, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता के बराबर है" का मतलब है कि A की इकाई प्रतिदिन, B और C की इकाई प्रतिदिन के जोड़ के बराबर है। मान लीजिए B और C अकेले 20 और 30 दिन लेते हैं। ल.स. 60 लें, तो वे 3 और 2 इकाई प्रतिदिन करते हैं। तब A 5 इकाई प्रतिदिन करेगा और अकेले 12 दिन लेगा। तीनों मिलकर 10 इकाई प्रतिदिन करेंगे, तो कार्य 6 दिन में पूरा हो जाएगा।

[SSC टिप] जोड़ियों वाले प्रश्न में छात्र अक्सर आधा करना भूल जाते हैं। 12 इकाई प्रतिदिन में हर व्यक्ति दो बार गिना गया है, एक बार नहीं। अपना हल जाँचने का आसान तरीका भी है। कोई व्यक्ति जिन जोड़ियों में है, उसकी इकाई प्रतिदिन उनमें से हर जोड़ी की इकाई प्रतिदिन से कम ही आनी चाहिए। और किसी की इकाई प्रतिदिन शून्य या ऋणात्मक नहीं आनी चाहिए।

कार्यक्षमता और समय

किसी व्यक्ति की कार्यक्षमता का मतलब है कि वह एक दिन में कितना कार्य करता है। कार्य एक ही हो, तो जिसकी कार्यक्षमता अधिक है, उसे दिन कम लगते हैं, और ठीक उसी अनुपात में कम लगते हैं।

$$\text{समय} \propto \frac{1}{\text{कार्यक्षमता}} \qquad \frac{T_A}{T_B} = \frac{E_B}{E_A}$$

जैसे A और B एक दिन में 3 : 2 के अनुपात में कार्य करते हैं, तो उनके समय 2 : 3 के अनुपात में होंगे। इसी तरह "A, B से आधा कार्य करता है" (उतने ही समय में) और "B की कार्यक्षमता A की दोगुनी है", दोनों का मतलब एक ही है। तब A को B से दोगुना समय लगेगा।

कार्यक्षमता ही इकाई प्रतिदिन है: "A की कार्यक्षमता B की दोगुनी है। मिलकर वे एक कार्य 14 दिनों में पूरा करते हैं। हर एक अकेले कितने दिन लेगा?" यहाँ ल.स. की ज़रूरत नहीं है। A = 2 इकाई प्रतिदिन और B = 1 मान लीजिए। मिलकर 3 इकाई प्रतिदिन, और 14 दिन लगे, तो कार्य = 42 इकाई। A अकेले 42 ÷ 2 = 21 दिन लेगा और B अकेले 42 दिन।

"x% अधिक कुशल" का मतलब: "A, B से 40% अधिक कुशल है" का मतलब है कि B जितने समय में 100 इकाई कार्य करता है, उतने समय में A 140 इकाई करता है। यानी A : B = 7 : 5, तो समय 5 : 7 होगा। मान लीजिए B को 28 दिन लगते हैं। तब A को 28 × $\frac{5}{7}$ = 20 दिन लगेंगे। मिलकर कितना समय लगेगा, यह भी देख लेते हैं। B 5 इकाई प्रतिदिन करता है और 28 दिन लेता है, तो कार्य = 5 × 28 = 140 इकाई। दोनों मिलकर 7 + 5 = 12 इकाई प्रतिदिन करते हैं, तो समय $\frac{140}{12} = 11\frac{2}{3}$ दिन।

"अधिक" और "कम" का प्रतिशत एक नहीं होता: A, B से 40% अधिक कुशल है, पर B, A से केवल $\frac{2}{7}$ = $28\frac{4}{7}\%$ कम कुशल है। वजह यह है कि आधार बदल गया। पहली बात में तुलना B से है, दूसरी में A से। समय पर भी यही बात लागू होती है। B, A से 40% अधिक समय लेता है, जबकि A, B से $28\frac{4}{7}\%$ कम समय लेता है।

"x% अधिक समय लेता है": "A, B से 25% अधिक समय लेता है" का मतलब है कि समय 5 : 4 के अनुपात में हैं, तो कार्यक्षमता 4 : 5 होगी। यानी B, A से 25% अधिक कुशल है, और A, B से 20% कम कुशल।

समय से दोनों की तुलना: A एक कार्य 18 दिनों में करता है और B 24 दिनों में। कार्यक्षमता समयों के व्युत्क्रम अनुपात में होती है, तो A : B = 24 : 18 = 4 : 3। मतलब A, B से $\frac{1}{3}$ = $33\frac{1}{3}\%$ अधिक कुशल है, और B, A से $\frac{1}{4}$ = 25% कम कुशल।

कार्यक्षमता और समय का अंतर दिया हो: "A की कार्यक्षमता B की 3 गुनी है, और A कार्य को B से 30 दिन पहले पूरा कर लेता है।" समय 1 : 3 के अनुपात में हुए। दोनों का अंतर 2 भाग है, जो 30 दिन के बराबर है। तो 1 भाग = 15 दिन, यानी A को 15 दिन और B को 45 दिन लगते हैं। दोनों साथ कार्य करें, तो B के 1 और A के 3, यानी 4 इकाई प्रतिदिन होंगी। कार्य 45 इकाई का है, तो मिलकर $11\frac{1}{4}$ दिन लगेंगे।

[Tier 2] कम समय में कम कार्य: "B जितना कार्य करता है, A उसका आधा कार्य B के समय के दो-तिहाई समय में करता है।" पहले देखिए कि बराबर समय में A कितना करता है। वह B के कार्य का $\frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{4}$ भाग करेगा, तो A : B = 3 : 4। अब मान लीजिए दोनों मिलकर कार्य 12 दिनों में पूरा करते हैं। तो कार्य = 7 × 12 = 84 इकाई। A अकेले 84 ÷ 3 = 28 दिन लेगा और B अकेले 84 ÷ 4 = 21 दिन।

कार्य का भाग, फिर शेष

भाग से पूरा समय: कोई व्यक्ति कार्य का $\frac{3}{7}$ भाग 9 दिनों में करता है। पूरा कार्य करने में उसे $9 \div \frac{3}{7} = 9 \times \frac{7}{3}$ = 21 दिन लगेंगे। प्रतिशत दिया हो, तब भी यही करना है। 35% कार्य 7 दिनों में हुआ, तो पूरा कार्य 7 ÷ 0.35 = 20 दिन में होगा।

एक शुरू करे, दूसरा पूरा करे: "A किसी कार्य का $\frac{2}{5}$ भाग 8 दिनों में करता है। फिर शेष कार्य B 9 दिनों में पूरा करता है। मिलकर वे कितने दिन लेते?"

• A को पूरे कार्य में 8 × $\frac{5}{2}$ = 20 दिन लगते।
• B ने बचा हुआ $\frac{3}{5}$ भाग 9 दिनों में किया, तो उसे पूरे कार्य में 9 × $\frac{5}{3}$ = 15 दिन लगते।
• अब ल.स. 60 लीजिए। A 3 इकाई प्रतिदिन करता है और B 4, तो मिलकर 3 + 4 = 7 इकाई प्रतिदिन। समय = $\frac{60}{7} = 8\frac{4}{7}$ दिन।

कुछ दिनों बाद कितना बचा: A किसी कार्य को 14 दिनों में करता है और B 35 दिनों में। ल.स. 70 लें, तो A 5 इकाई प्रतिदिन करता है और B 2। दोनों 6 दिन मिलकर कार्य करें, तो 42 इकाई हो जाएँगी और 28 बचेंगी। यानी बचा भाग $\frac{28}{70} = \frac{2}{5}$ है।

A कुछ दिन, फिर B पूरा करे: इन्हीं A और B को लीजिए। A पहले अकेले 6 दिन कार्य करता है, तो 30 इकाई होती हैं। बाकी 40 इकाई B 2 इकाई प्रतिदिन की दर से करेगा, तो उसे 20 दिन लगेंगे।

एक ही कार्य, पूरा करने के दो ढंग: "यदि A 6 दिन और B 10 दिन कार्य करे, या A 9 दिन और B 4 दिन कार्य करे, तो कोई कार्य पूरा हो जाता है। हर एक अकेले कितने दिन लेगा?" दोनों ढंगों से वही कार्य होता है। A की इकाई प्रतिदिन a और B की b मान लीजिए।

$$6a + 10b = 9a + 4b \Rightarrow 6b = 3a \Rightarrow a = 2b$$

तो B = 1 इकाई प्रतिदिन और A = 2 इकाई प्रतिदिन ले लीजिए। कार्य = 6 × 2 + 10 × 1 = 22 इकाई। A अकेले 11 दिन लेगा और B अकेले 22 दिन। दूसरे ढंग से जाँच कर लीजिए, 9 × 2 + 4 × 1 = 22।

जोड़ी कार्य करे, फिर एक पूरा करे: "A और B मिलकर एक कार्य 12 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 4 दिन मिलकर कार्य करने के बाद A कार्य छोड़ देता है, और शेष कार्य B 10 दिनों में पूरा करता है। A अकेले कितने दिन लेगा?" 4 दिनों में जोड़ी ने $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ भाग किया। बचा हुआ $\frac{2}{3}$ भाग B ने 10 दिनों में किया, तो B अकेले 15 दिन लेगा। अब A का एक दिन का कार्य = $\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60}$, यानी A अकेले 60 दिन लेगा। यहाँ भिन्नें तेज़ रहीं, क्योंकि शुरू में B का समय पता नहीं था।

[SSC टिप] "$\frac{3}{7}$ भाग 9 दिनों में" हो, तो पूरा कार्य 9 दिन से अधिक लेगा। कई छात्र 9 को $\frac{3}{7}$ से गुणा कर देते हैं, और उत्तर 4 दिन से भी कम आ जाता है। यहाँ भिन्न से भाग देना है, गुणा नहीं।

बीच में छोड़ना या जुड़ना

कोई बीच में कार्य छोड़ दे या बाद में आकर जुड़े, ऐसे प्रश्न किसी भी रूप में आएँ, एक पक्का तरीका हर बार चलता है। पहले देखिए कि हर व्यक्ति ने असल में कितने दिन कार्य किया। उन दिनों को उसकी इकाई प्रतिदिन से गुणा कीजिए। सबका योग पूरे कार्य के बराबर होगा।

नीचे की हर स्थिति में A को 32 दिन और B को 48 दिन लगते हैं। ल.स. 96 है, तो A 3 इकाई प्रतिदिन करता है, B 2 और दोनों मिलकर 5। दोनों पूरे समय साथ रहें, तो कार्य $19\frac{1}{5}$ दिन में हो जाएगा।

1. दोनों शुरू करें, कुछ दिन बाद एक छोड़ दे: 6 दिन मिलकर कार्य करने पर 30 इकाई हुईं और 66 इकाई बचीं।

• अगर B छोड़ दे, तो A बाकी कार्य 66 ÷ 3 = 22 दिन में पूरा करेगा। कुल समय 6 + 22 = 28 दिन।
• अगर A छोड़ दे, तो B को 66 ÷ 2 = 33 दिन लगेंगे। कुल समय 39 दिन।

2. अंत से कुछ दिन पहले छोड़ना: "कार्य पूरा होने से 2 दिन पहले B कार्य छोड़ देता है।" कुल समय पता नहीं है, उसे T मान लीजिए। A पूरे T दिन कार्य करता है और B केवल T − 2 दिन।

$$3T + 2(T - 2) = 96 \Rightarrow 5T = 100 \Rightarrow T = 20 \text{ दिन}$$

इसे दूसरी तरह भी देख सकते हैं। आख़िरी 2 दिन A अकेला था और उसने 6 इकाई कीं। तो पहली 90 इकाई दोनों ने मिलकर 5 प्रतिदिन की दर से कीं, जिसमें 18 दिन लगे। कुल समय 18 + 2 = 20 दिन।

3. एक बाद में जुड़े: "A अकेले कार्य शुरू करता है और 4 दिन बाद B जुड़ता है।" A के 4 दिनों में 12 इकाई हुईं। बाकी 84 इकाई दोनों ने मिलकर कीं, जिसमें 84 ÷ 5 = $16\frac{4}{5}$ दिन लगे। कुल समय $20\frac{4}{5}$ दिन।

4. कुल समय पता हो, पूछा जाए कि छोड़ा कब: "वे साथ शुरू करते हैं, कुछ दिनों बाद A कार्य छोड़ देता है, और कार्य कुल 36 दिनों में पूरा होता है।" B पूरे 36 दिन रहा, तो उसने 72 इकाई कीं। बाकी 24 इकाई A ने 3 प्रतिदिन की दर से कीं, यानी A ने 8 दिन बाद कार्य छोड़ा।

5. एक ही प्रश्न में जुड़ना भी और छोड़ना भी: "A कार्य शुरू करता है। 4 दिन बाद B जुड़ता है, और कार्य पूरा होने से 2 दिन पहले A कार्य छोड़ देता है।" A ने T − 2 दिन कार्य किया। B पाँचवें दिन से अंत तक रहा, यानी T − 4 दिन।

$$3(T - 2) + 2(T - 4) = 96 \Rightarrow 5T = 110 \Rightarrow T = 22 \text{ दिन}$$

जाँच कर लीजिए। A ने 20 दिन में 60 इकाई कीं और B ने 18 दिन में 36 इकाई। 60 + 36 = 96।

सीमा से जाँच: ऊपर का हर उत्तर $19\frac{1}{5}$ दिन (दोनों पूरे समय साथ) और 48 दिन (B अकेले) के बीच है। विकल्प काटने में यह बहुत काम आता है।

[SSC टिप] "अंत से 2 दिन पहले छोड़ना" हो, तो वे 2 दिन केवल छोड़ने वाले के कम होते हैं। कई छात्र दोनों व्यक्तियों के कार्य के दिनों में से 2-2 दिन घटा देते हैं, या मिलकर लगने वाले समय में 2 दिन जोड़ देते हैं ($19\frac{1}{5}$ + 2)। आम गलत विकल्प इन्हीं दो गलतियों से आते हैं।

तीन व्यक्ति: छोड़ना, जुड़ना, टोली बदलना

दिन गिनने वाला यही तरीका तीन व्यक्तियों पर भी सीधे लगता है। यहाँ A को 18 दिन, B को 24 दिन और C को 72 दिन लगते हैं। ल.स. 72 लीजिए, तो A 4 इकाई प्रतिदिन करता है, B 3 और C 1। तीनों मिलकर 8 इकाई प्रतिदिन करते हैं, यानी साथ रहें तो कार्य 9 दिन में पूरा हो जाएगा।

एक जल्दी छोड़े, दूसरा अंत से पहले: "तीनों शुरू करते हैं। 2 दिन बाद A कार्य छोड़ देता है, और कार्य पूरा होने से 4 दिन पहले B छोड़ देता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होगा?" A ने केवल 2 दिन कार्य किया, B ने T − 4 दिन और C ने पूरे T दिन।

$$4 \times 2 + 3(T - 4) + 1 \times T = 72 \Rightarrow 4T = 76 \Rightarrow T = 19 \text{ दिन}$$

जाँच कर लीजिए। A ने 8 इकाई कीं, B ने 15 दिन में 45 इकाई और C ने 19 दिन में 19 इकाई। 8 + 45 + 19 = 72।

एक के बाद एक छोड़ना: "तीनों शुरू करते हैं। 4 दिन बाद A छोड़ देता है, और उसके 4 दिन और बाद B। शेष कार्य C पूरा करता है। कुल कितने दिन लगेंगे?"

• पहले 4 दिन तीनों ने कार्य किया, तो 32 इकाई हुईं।
• अगले 4 दिन B और C रहे, तो 16 इकाई और हुईं।
• बचीं 72 − 48 = 24 इकाई। इन्हें C अकेले 1 इकाई प्रतिदिन की दर से 24 दिन में करेगा।
• कुल समय 4 + 4 + 24 = 32 दिन।

छोड़ा कब, यह पूछा हो: "तीनों शुरू करते हैं, कुछ दिनों बाद A छोड़ देता है, और कार्य 12 दिनों में पूरा होता है।" B और C पूरे 12 दिन रहे, तो उन्होंने 4 × 12 = 48 इकाई कीं। बाकी 24 इकाई A ने 4 प्रतिदिन की दर से कीं, यानी A ने 6 दिन बाद कार्य छोड़ा।

बाद में जुड़ना: "A और B शुरू करते हैं, और 6 दिन बाद C जुड़ता है। कार्य कब पूरा होगा?" A और B मिलकर 7 इकाई प्रतिदिन करते हैं, तो 6 दिनों में 42 इकाई हुईं। बाकी 30 इकाई तीनों 8 प्रतिदिन की दर से $3\frac{3}{4}$ दिन में करेंगे। कुल समय $9\frac{3}{4}$ दिन।

आख़िरी, अधूरा दिन: उत्तर पूर्णांक न आए, तो इसका मतलब है कि कार्य आख़िरी दिन के बीच में ही पूरा हो गया। ऊपर वाले उदाहरण में 9 पूरे दिनों के बाद 66 इकाई हो चुकी थीं। बची 6 इकाई दसवें दिन के $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ भाग में हुईं। यानी कार्य दसवें दिन के दौरान, $9\frac{3}{4}$ दिन पर पूरा हुआ। अगर प्रश्न में पूछा हो "कार्य किस दिन पूरा होता है?", तो उत्तर दसवाँ दिन होगा।

ऐसे प्रश्नों में एक छोटी तालिका बना लीजिए। उसमें लिखिए कि कौन किस दिन से किस दिन तक रहा और कितनी इकाई प्रतिदिन करता है। कई छात्र किसी व्यक्ति से उसके छोड़ने के बाद भी कार्य करवा लेते हैं, या जो अंत तक रहा उसी को हिसाब से हटा देते हैं। विकल्पों में दिए गलत उत्तर ज़्यादातर इन्हीं दो भूलों से निकलते हैं।

अलग आकार का कार्य

अब तक हर प्रश्न में "एक कार्य" था। SSC में कभी दो दीवारें होती हैं, कभी आधा खेत, तो कभी कार्य का $\frac{3}{5}$ भाग।

वही लोग, बड़ा या छोटा कार्य: लोग वही रहें, तो समय कार्य के आकार के साथ उसी अनुपात में घटता-बढ़ता है। मान लीजिए A और B मिलकर एक दीवार 6 दिनों में बनाते हैं।

• ऐसी 2 दीवारें 12 दिनों में बनेंगी, और $2\frac{1}{2}$ दीवारें 15 दिनों में।
• $\frac{3}{4}$ दीवार $4\frac{1}{2}$ दिन में बन जाएगी।

इकाइयों में भी यही बात है। एक कार्य 60 इकाई का हो, तो दो कार्य 120 इकाई के होंगे, जबकि इकाई प्रतिदिन वही रहेगी।

हर व्यक्ति के लिए कार्य का अलग भाग दिया हो: "A किसी कार्य का $\frac{3}{5}$ भाग 12 दिनों में कर सकता है, और B उसका $\frac{3}{4}$ भाग 21 दिनों में। मिलकर वे ऐसे 3 कार्य कितने दिनों में करेंगे?"

• A एक कार्य 12 × $\frac{5}{3}$ = 20 दिन में करेगा, और B 21 × $\frac{4}{3}$ = 28 दिन में।
• ल.स. 140 लीजिए। A 7 इकाई प्रतिदिन करता है और B 5, तो मिलकर 12 इकाई प्रतिदिन।
• तीन कार्य = 420 इकाई, तो समय = 420 ÷ 12 = 35 दिन।

वस्तुओं में गिना कार्य: कार्य कमरों, पन्नों या कुर्सियों में दिया हो, तो देखिए कि हर व्यक्ति एक दिन में कितनी वस्तुएँ पूरी करता है। "A 3 दिनों में 2 कमरे रंगता है और B 6 दिनों में 3 कमरे। मिलकर वे 14 कमरे कितने दिनों में रंगेंगे?" A हर दिन $\frac{2}{3}$ कमरा रंगता है और B $\frac{1}{2}$ कमरा। मिलकर $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$ कमरा प्रतिदिन। तो 14 कमरों में $14 \times \frac{6}{7}$ = 12 दिन लगेंगे।

कुछ भाग पहले से हो चुका हो: "A, B और C मिलकर एक कार्य 9 दिनों में पूरा कर सकते हैं। किसी और ने उसका $\frac{1}{3}$ भाग पहले ही कर दिया है। शेष कार्य में A, B और C कितने दिन लेंगे?" बचा कार्य $\frac{2}{3}$ भाग है, तो $\frac{2}{3}$ × 9 = 6 दिन लगेंगे।

एक व्यक्ति, उसी तरह का लंबा कार्य: "A 8 दिनों में 20 मीटर लंबी दीवार बनाता है। उसी तरह की 35 मीटर लंबी दीवार में वह कितने दिन लेगा?" A हर दिन 2.5 मीटर दीवार बनाता है, तो 35 मीटर में 14 दिन लेगा।

अगर श्रमिकों की संख्या या प्रतिदिन के घंटे भी बदलें, तो श्रृंखला नियम (chain rule) लगता है। यह "मानव-दिवस, एकांतर दिन, कार्य और मज़दूरी" वाले खंड में है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

A किसी कार्य को 28 दिनों में और B उसे 84 दिनों में पूरा कर सकता है। मिलकर कार्य करते हुए वे उसे कितने दिनों में पूरा कर सकते हैं? (a) 21 दिन (b) 56 दिन (c) 112 दिन (d) 18 दिन

उत्तर: 28 और 84 का ल.स. 84 है, तो कुल कार्य 84 इकाई ले लेते हैं। A हर दिन 3 इकाई करता है और B 1, तो मिलकर 4 इकाई प्रतिदिन। समय = 84 ÷ 4 = (a) 21 दिन। भिन्नों से भी यही आता है, $\frac{1}{28} + \frac{1}{84} = \frac{3 + 1}{84} = \frac{1}{21}$। दोनों समयों का औसत 56 दिन है, पर यह गलत है, क्योंकि यह A के अपने 28 दिन से भी अधिक है। B की मदद मिलने पर समय बढ़ नहीं सकता।

प्रश्न 2

A और B मिलकर किसी कार्य को 9 दिनों में पूरा कर सकते हैं। A अकेले उसे 15 दिनों में पूरा कर सकता है। B अकेले उसे कितने दिनों में पूरा कर सकता है? (a) 6 दिन (b) 24 दिन (c) 22.5 दिन (d) 18 दिन

उत्तर: 9 और 15 का ल.स. 45 है, तो कार्य 45 इकाई लेते हैं। मिलकर दोनों 5 इकाई प्रतिदिन करते हैं और A अकेले 3, तो B 2 इकाई प्रतिदिन करता है। B को 45 ÷ 2 = (c) 22.5 दिन लगेंगे। भिन्नों में यह $\frac{1}{9} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 3}{45} = \frac{2}{45}$ है। जाँच भी कर लेते हैं। B का समय जोड़ी के 9 दिन से अधिक होना चाहिए, और 22.5 अधिक ही है।

प्रश्न 3

A, B और C किसी कार्य को क्रमशः 12, 28 और 42 दिनों में कर सकते हैं। मिलकर कार्य करते हुए वे उसे कितने दिनों में पूरा कर सकते हैं? (a) $27\frac{1}{3}$ दिन (b) 7 दिन (c) $8\frac{2}{5}$ दिन (d) 6 दिन

उत्तर: 12, 28 और 42 का ल.स. 84 है, तो कार्य 84 इकाई। A, B और C हर दिन क्रमशः 7, 3 और 2 इकाई करते हैं, यानी कुल 12 इकाई प्रतिदिन। समय = 84 ÷ 12 = (b) 7 दिन।

प्रश्न 4

A और B मिलकर किसी कार्य को 21 दिनों में, B और C मिलकर उसे 24 दिनों में, तथा C और A मिलकर उसे 56 दिनों में पूरा कर सकते हैं। B अकेले उसे कितने दिनों में पूरा कर सकता है? (a) 28 दिन (b) 84 दिन (c) $11\frac{1}{5}$ दिन (d) $18\frac{2}{3}$ दिन

उत्तर: 21, 24 और 56 का ल.स. 168 लेते हैं। तो A + B = 8, B + C = 7 और C + A = 3 इकाई प्रतिदिन। तीनों को जोड़ने पर 2(A + B + C) = 18, यानी तीनों मिलकर 9 इकाई प्रतिदिन करते हैं। B = 9 − (C + A) = 9 − 3 = 6 इकाई प्रतिदिन, तो B अकेले 168 ÷ 6 = (a) 28 दिन लेगा। जो 18 को आधा करना भूल जाते हैं, उन्हें B = 15 इकाई प्रतिदिन मिलता है और वे $11\frac{1}{5}$ दिन लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 5

A, B और C मिलकर किसी कार्य को 8 दिनों में पूरा कर सकते हैं। A अकेले उसे 18 दिनों में और B अकेले 36 दिनों में पूरा कर सकता है। C अकेले उसे कितने दिनों में पूरा कर सकता है? (a) 12 दिन (b) 46 दिन (c) 10 दिन (d) 24 दिन

उत्तर: 8, 18 और 36 का ल.स. 72 है। तीनों मिलकर 9 इकाई प्रतिदिन करते हैं, A अकेले 4 और B अकेले 2। तो C = 9 − 4 − 2 = 3 इकाई प्रतिदिन, और C अकेले 72 ÷ 3 = (d) 24 दिन लेगा।

प्रश्न 6

A की कार्यक्षमता B की कार्यक्षमता की तिगुनी है। मिलकर कार्य करते हुए वे किसी कार्य को 21 दिनों में पूरा कर लेते हैं। B अकेले उसे कितने दिनों में पूरा कर सकता है? (a) 28 दिन (b) 63 दिन (c) 84 दिन (d) 42 दिन

उत्तर: A को 3 इकाई प्रतिदिन और B को 1 मान लेते हैं। मिलकर 4 इकाई प्रतिदिन, और 21 दिन लगे, तो कार्य = 84 इकाई। B अकेले 84 ÷ 1 = (c) 84 दिन लेगा। साथ में A का समय भी निकल आता है, 84 ÷ 3 = 28 दिन।

प्रश्न 7

A, B से 50% अधिक कुशल है। मिलकर वे किसी कार्य को 24 दिनों में पूरा करते हैं। A अकेले उसे पूरा करने में कितने दिन लेगा? (a) 60 दिन (b) 40 दिन (c) 36 दिन (d) 48 दिन

उत्तर: 50% अधिक कुशल का मतलब है A : B = 150 : 100 = 3 : 2, तो A 3 इकाई प्रतिदिन करता है और B 2। मिलकर 5 इकाई प्रतिदिन, 24 दिन तक, तो कार्य = 120 इकाई। A अकेले 120 ÷ 3 = (b) 40 दिन लेगा, और B अकेले 120 ÷ 2 = 60 दिन।

प्रश्न 8

A की कार्यक्षमता B की दोगुनी है, और A किसी कार्य को पूरा करने में B से 12 दिन कम लेता है। मिलकर कार्य करते हुए वे उसे कितने दिनों में पूरा कर सकते हैं? (a) 12 दिन (b) 8 दिन (c) 18 दिन (d) 6 दिन

उत्तर: A की कार्यक्षमता दोगुनी है, तो समय 1 : 2 के अनुपात में होंगे। दोनों में 1 भाग का अंतर है, जो 12 दिन है। तो A को 12 दिन और B को 24 दिन लगते हैं। ल.स. 24 लें, तो A 2 इकाई प्रतिदिन करता है और B 1, यानी मिलकर 3। समय = 24 ÷ 3 = (b) 8 दिन।

प्रश्न 9

A किसी कार्य को 15 दिनों में और B उसे 24 दिनों में पूरा कर सकता है। A, B से कितने प्रतिशत अधिक कुशल है? (a) 37.5% (b) 9% (c) 62.5% (d) 60%

उत्तर: कार्यक्षमता समयों के व्युत्क्रम अनुपात में होती है, तो A : B = 24 : 15 = 8 : 5। जितने समय में B 5 इकाई करता है, उतने में A 8 करता है, यानी 3 अधिक। ये 3 इकाई B की 5 इकाई का $\frac{3}{5}$ हैं, तो A (d) 60% अधिक कुशल है। 37.5% वाला विकल्प बताता है कि B, A से कितना कम कुशल है (8 में से 3)। उसमें आधार A है, इसलिए वह यहाँ गलत है।

प्रश्न 10

किसी कार्य को पूरा करने में A, B से 27 दिन कम लेता है। मिलकर कार्य करते हुए वे उसे 18 दिनों में पूरा कर लेते हैं। B अकेले कितने दिन लेता है? (a) 54 दिन (b) 27 दिन (c) 36 दिन (d) 45 दिन

उत्तर: यहाँ विकल्प रखकर देखना सबसे जल्दी है। B को 54 दिन लें, तो A को 54 − 27 = 27 दिन लगेंगे। अब $\frac{1}{27} + \frac{1}{54} = \frac{2 + 1}{54} = \frac{1}{18}$, जो मेल खाता है। तो B (a) 54 दिन लेता है। बीजगणित से करें, तो A का समय x मानकर $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 27} = \frac{1}{18}$ लिखते हैं। इससे $x^2 - 9x - 486 = 0$ आता है और x = 27, जो A का समय है।

प्रश्न 11

A किसी कार्य का $\frac{2}{3}$ भाग 16 दिनों में कर सकता है और B उसका $\frac{3}{5}$ भाग 18 दिनों में कर सकता है। मिलकर कार्य करते हुए वे पूरा कार्य कितने दिनों में समाप्त कर सकते हैं? (a) 27 दिन (b) 34 दिन (c) $13\frac{1}{3}$ दिन (d) 12 दिन

उत्तर: पहले हर एक का पूरे कार्य का समय निकाल लेते हैं। A को 16 ÷ $\frac{2}{3}$ = 24 दिन लगेंगे और B को 18 ÷ $\frac{3}{5}$ = 30 दिन। ल.स. 120 लें, तो A 5 इकाई प्रतिदिन करता है और B 4, यानी मिलकर 9। समय = 120 ÷ 9 = $\frac{40}{3}$ = (c) $13\frac{1}{3}$ दिन।

प्रश्न 12

A किसी कार्य को 40 दिनों में और B उसे 32 दिनों में कर सकता है। A अकेले 10 दिन कार्य करके कार्य छोड़ देता है। B शेष कार्य को कितने दिनों में पूरा करेगा? (a) 22 दिन (b) 24 दिन (c) 8 दिन (d) 30 दिन

उत्तर: 10 दिनों में A ने $\frac{10}{40} = \frac{1}{4}$ भाग किया, तो $\frac{3}{4}$ भाग बचा। B को इसमें $\frac{3}{4} \times 32$ = (b) 24 दिन लगेंगे। इकाइयों में भी देख लेते हैं। ल.स. 160 लें, तो A 4 इकाई प्रतिदिन करता है और B 5। A के 10 दिनों में 40 इकाई हुईं, और बाकी 120 इकाई B 24 दिन में करेगा।

प्रश्न 13

A किसी कार्य को 18 दिनों में और B उसे 30 दिनों में पूरा कर सकता है। वे 5 दिन तक मिलकर कार्य करते हैं। कार्य का कितना भाग अभी शेष है? (a) $\frac{5}{9}$ (b) $\frac{4}{9}$ (c) $\frac{2}{3}$ (d) $\frac{7}{9}$

उत्तर: 18 और 30 का ल.स. 90 है, तो कार्य 90 इकाई लेते हैं। A हर दिन 5 इकाई करता है और B 3, यानी मिलकर 8। 5 दिनों में 40 इकाई हुईं, तो 90 में से 50 बचीं। शेष भाग = $\frac{50}{90}$ = (a) $\frac{5}{9}$।

प्रश्न 14

यदि A 8 दिन और B 6 दिन कार्य करे, या A 4 दिन और B 12 दिन कार्य करे, तो कोई कार्य पूरा हो जाता है। B अकेले उसे कितने दिनों में पूरा करेगा? (a) 12 दिन (b) 15 दिन (c) 20 दिन (d) 18 दिन

उत्तर: दोनों ढंगों से वही कार्य होता है, तो 8a + 6b = 4a + 12b। इससे 4a = 6b, यानी a : b = 3 : 2। A = 3 इकाई प्रतिदिन और B = 2 लें, तो कार्य = 8 × 3 + 6 × 2 = 36 इकाई। दूसरे ढंग से भी 4 × 3 + 12 × 2 = 36 ही आता है। B अकेले 36 ÷ 2 = (d) 18 दिन लेगा, और A अकेले 12 दिन।

प्रश्न 15

A किसी कार्य को 21 दिनों में और B उसे 42 दिनों में कर सकता है। वे मिलकर कार्य शुरू करते हैं, लेकिन 7 दिन बाद A कार्य छोड़ देता है। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा होता है? (a) 21 दिन (b) $17\frac{1}{2}$ दिन (c) 28 दिन (d) 42 दिन

उत्तर: कुल कार्य 42 इकाई मान लेते हैं। A हर दिन 2 इकाई करता है और B 1। 7 दिन मिलकर कार्य करने से 21 इकाई हुईं और 21 बचीं। इन्हें B अकेले 21 दिन में करेगा, तो कुल समय 7 + 21 = (c) 28 दिन। 21 दिन वाला विकल्प गलत है, वह तो A के जाने के बाद केवल B का हिस्सा है।

प्रश्न 16

A और B किसी कार्य को क्रमशः 25 दिनों और 50 दिनों में पूरा कर सकते हैं। वे एक साथ कार्य शुरू करते हैं, लेकिन कार्य पूरा होने से 4 दिन पहले B कार्य छोड़ देता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होता है? (a) 18 दिन (b) $16\frac{2}{3}$ दिन (c) $20\frac{2}{3}$ दिन (d) 20 दिन

उत्तर: कार्य 50 इकाई का मानें, तो A की दर 2 इकाई प्रतिदिन है और B की 1। आख़िरी 4 दिन A अकेला था, तो उसने 8 इकाई कीं। बाकी 42 इकाई दोनों ने मिलकर 3 प्रतिदिन की दर से 14 दिन में कीं। कुल समय = 14 + 4 = (a) 18 दिन। समीकरण से भी यही आता है, 2T + (T − 4) = 50, तो T = 18।

प्रश्न 17

A किसी कार्य को 18 दिनों में और B उसे 45 दिनों में पूरा कर सकता है। A अकेले कार्य शुरू करता है, और 4 दिन बाद B उसके साथ जुड़ जाता है। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा होता है? (a) 10 दिन (b) 14 दिन (c) $12\frac{6}{7}$ दिन (d) 16 दिन

उत्तर: ल.स. 90 लें, तो A 5 इकाई प्रतिदिन करता है और B 2। A के पहले 4 दिनों में 20 इकाई हुईं। बाकी 70 इकाई दोनों ने साथ मिलकर कीं। वे हर दिन 7 इकाई करते हैं, तो 10 दिन लगे। कुल समय = 4 + 10 = (b) 14 दिन।

प्रश्न 18

A और B किसी कार्य को क्रमशः 15 दिनों और 25 दिनों में पूरा कर सकते हैं। वे एक साथ कार्य शुरू करते हैं। कुछ दिनों बाद A कार्य छोड़ देता है, और शेष कार्य B पूरा करता है। पूरे कार्य में 20 दिन लगते हैं। A ने कितने दिनों बाद कार्य छोड़ा था? (a) 5 दिन (b) 4 दिन (c) 3 दिन (d) 6 दिन

उत्तर: यहाँ ल.स. 75 है। A रोज़ 5 इकाई करता है और B 3। B पूरे 20 दिन रहा, तो उसने 60 इकाई कीं। बाकी 75 − 60 = 15 इकाई A की हैं, और वह रोज़ 5 करता है, तो A ने (c) 3 दिन बाद कार्य छोड़ा। हिसाब मिला लेते हैं। 3 दिन मिलकर 24 इकाई हुईं, फिर B के 17 दिनों में 51 इकाई, और 24 + 51 = 75।

प्रश्न 19

A, B और C किसी कार्य को क्रमशः 12, 20 और 30 दिनों में पूरा कर सकते हैं। तीनों एक साथ कार्य शुरू करते हैं। 3 दिन बाद A कार्य छोड़ देता है, और कार्य पूरा होने से 5 दिन पहले B कार्य छोड़ देता है। कार्य कितने दिनों में पूरा होता है? (a) 10 दिन (b) 15 दिन (c) 11 दिन (d) 12 दिन

उत्तर: ल.स. 60 लेने पर A, B और C की दरें 5, 3 और 2 इकाई प्रतिदिन आती हैं। कुल समय T मान लेते हैं। A ने 3 दिन कार्य किया, B ने T − 5 दिन और C ने पूरे T दिन। तो 5 × 3 + 3(T − 5) + 2T = 60, यानी 5T = 60 और T = (d) 12 दिन। जोड़कर देख लेते हैं। A की 15 इकाई, B की 7 दिन में 21 इकाई और C की 12 दिन में 24 इकाई, और 15 + 21 + 24 = 60।

प्रश्न 20

A और B मिलकर किसी कार्य को 15 दिनों में पूरा कर सकते हैं। वे 6 दिन तक मिलकर कार्य करते हैं, फिर B कार्य छोड़ देता है और शेष कार्य A 30 दिनों में पूरा करता है। A अकेले पूरा कार्य कितने दिनों में कर सकता है? (a) 50 दिन (b) 36 दिन (c) 45 दिन (d) 75 दिन

उत्तर: 6 दिनों में जोड़ी ने $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ भाग किया। बचा हुआ $\frac{3}{5}$ भाग A ने 30 दिनों में किया, तो A अकेले 30 ÷ $\frac{3}{5}$ = (a) 50 दिन लेगा। 36 दिन (6 + 30) लिखना गलत है, वह तो कुल लगा समय है, A के अकेले का समय नहीं।

प्रश्न 21

A किसी कार्य का $\frac{3}{8}$ भाग 6 दिनों में कर सकता है और B उसका $\frac{5}{6}$ भाग 40 दिनों में कर सकता है। मिलकर कार्य करते हुए वे ऐसे 2 कार्य कितने दिनों में पूरे करेंगे? (a) 12 दिन (b) 24 दिन (c) 64 दिन (d) 6 दिन

उत्तर: पहले एक कार्य का समय निकाल लेते हैं। A को 6 ÷ $\frac{3}{8}$ = 16 दिन लगेंगे और B को 40 ÷ $\frac{5}{6}$ = 48 दिन। 16 और 48 का ल.स. 48 है, तो एक कार्य 48 इकाई का हुआ। A हर दिन 3 इकाई करता है और B 1, यानी मिलकर 4। दो कार्य = 96 इकाई, तो समय = 96 ÷ 4 = (b) 24 दिन। 6 दिन वाला विकल्प गलत है। उसमें दो कार्यों के लिए समय दोगुना करने की जगह आधा कर दिया गया है।

प्रश्न 22

[Tier 2] अकेले कार्य करते हुए A, A और B द्वारा मिलकर लिए गए समय से 18 दिन अधिक लेता है, और B, A और B द्वारा मिलकर लिए गए समय से 32 दिन अधिक लेता है। A अकेले कितने दिन लेता है? (a) 24 दिन (b) 56 दिन (c) 25 दिन (d) 42 दिन

उत्तर: जोड़ी का समय T दिन मान लेते हैं। तब $T^2 = 18 \times 32 = 576$, तो T = 24 दिन। A = 24 + 18 = (d) 42 दिन, और B = 24 + 32 = 56 दिन। जाँच के लिए $\frac{1}{42} + \frac{1}{56} = \frac{4 + 3}{168} = \frac{1}{24}$, यानी जोड़ी को ठीक 24 दिन ही लगते हैं।