त्रिकोणमितीय अनुपात

त्रिकोणमिति क्या है?

त्रिकोणमिति शब्द ग्रीक से आया है: tri (तीन), gon (भुजाएँ), metron (माप) — शाब्दिक अर्थ 'त्रिभुजों को मापना'। कक्षा 10 के स्तर पर, यह समकोण त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच संबंध का अध्ययन करती है।

इसे ऐसे समझें: यदि आप समकोण त्रिभुज का एक न्यून कोण और एक भुजा जानते हैं, तो त्रिकोणमिति आपको हर दूसरी भुजा ज्ञात करने देती है।

मुख्य बिंदु: इस अध्याय के सभी त्रिकोणमितीय अनुपात समकोण त्रिभुज के भीतर किसी न्यून कोण के लिए परिभाषित हैं।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] कर्ण सदैव समकोण के सम्मुख भुजा होता है — यह कभी नहीं बदलता। पर 'सम्मुख' और 'संलग्न' इस पर निर्भर करते हैं कि आप किस न्यून कोण को देख रहे हैं।

किसी कोण के सापेक्ष तीन भुजाएँ

समकोण त्रिभुज में किसी न्यून कोण $\theta$ के लिए, तीन भुजाओं को $\theta$ के सापेक्ष नाम दिया जाता है:

• कर्ण — समकोण के सम्मुख भुजा (सबसे लंबी भुजा)।
• सम्मुख (लंब) — $\theta$ के ठीक सामने की भुजा।
• संलग्न (आधार) — शेष भुजा, $\theta$ के पास (कर्ण नहीं)।

मुख्य बिंदु: यदि आप ध्यान दूसरे न्यून कोण पर ले जाते हैं, तो 'सम्मुख' और 'संलग्न' भुजाएँ आपस में बदल जाती हैं। कर्ण वही रहता है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] सदैव प्रश्न के कोण के लिए भुजाओं को नए सिरे से पहचानें। एक सामान्य त्रुटि गलत कोण की सम्मुख भुजा का उपयोग करना है।

छह त्रिकोणमितीय अनुपात

किसी न्यून कोण $\theta$ के लिए:

$$\sin\theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{कर्ण}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{संलग्न}}{\text{कर्ण}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{संलग्न}}$$

$$\csc\theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{सम्मुख}}, \quad \sec\theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{संलग्न}}, \quad \cot\theta = \frac{\text{संलग्न}}{\text{सम्मुख}}$$

एक प्रसिद्ध स्मरण-युक्ति: 'पंडित बद्री प्रसाद हर हर बोले' → sin, cos, tan के लिए लंब/कर्ण, आधार/कर्ण, लंब/आधार। अंग्रेज़ी में, SOH-CAH-TOA।

मुख्य बिंदु: sin, cos, tan तीन मूल अनुपात हैं; cosec, sec, cot उनके व्युत्क्रम हैं।

[JEE/NEET युक्ति] SOH-CAH-TOA को पक्का याद करें — यह पूरी त्रिकोणमिति में सर्वाधिक प्रयुक्त तथ्य है।

व्युत्क्रम और भागफल संबंध

अंतिम तीन अनुपात केवल पहले तीन के व्युत्क्रम हैं: $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$$

साथ ही, दो भागफल संबंध उन्हें जोड़ते हैं: $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

मुख्य बिंदु: प्रत्येक अनुपात को उसके व्युत्क्रम के साथ जोड़ें: sin↔cosec, cos↔sec, tan↔cot। और $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] ये संबंध आपको किसी एक अनुपात (और त्रिभुज) के ज्ञात होने पर सभी छह अनुपात ज्ञात करने देते हैं, तीसरी भुजा पाने हेतु पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मूल अनुपात

एक समकोण त्रिभुज में, $\theta$ की सम्मुख भुजा 3 और कर्ण 5 है। $\sin\theta$ और $\cos\theta$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\sin\theta = \dfrac{\text{सम्मुख}}{\text{कर्ण}} = \dfrac{3}{5}$।
2. संलग्न $= \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$, अतः $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$।

अंतिम उत्तर: $\sin\theta = \tfrac35$, $\cos\theta = \tfrac45$।

सार: लुप्त भुजा पाने हेतु पाइथागोरस उपयोग करें।

उदाहरण 2: सभी छह अनुपात

यदि $\tan\theta = \dfrac{4}{3}$, तो सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. सम्मुख $= 4$, संलग्न $= 3$, अतः कर्ण $= \sqrt{16+9} = 5$।
2. $\sin\theta = \tfrac45$, $\cos\theta = \tfrac35$, $\tan\theta = \tfrac43$।
3. $\csc\theta = \tfrac54$, $\sec\theta = \tfrac53$, $\cot\theta = \tfrac34$।

अंतिम उत्तर: उपरोक्त अनुसार।

सार: एक अनुपात से त्रिभुज बनाएँ, फिर सभी छह पढ़ें।

उदाहरण 3: व्युत्क्रम

यदि $\sin\theta = \dfrac{7}{25}$, तो $\csc\theta$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta} = \dfrac{25}{7}$।

अंतिम उत्तर: $\csc\theta = \tfrac{25}{7}$।

सार: cosec केवल sin का व्युत्क्रम है।

उदाहरण 4: sin से cos ज्ञात करना

यदि $\sin\theta = \dfrac{12}{13}$, तो $\cos\theta$ और $\tan\theta$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. संलग्न $= \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$।
2. $\cos\theta = \tfrac{5}{13}$, $\tan\theta = \tfrac{12}{5}$।

अंतिम उत्तर: $\cos\theta = \tfrac{5}{13}$, $\tan\theta = \tfrac{12}{5}$।

सार: $(5, 12, 13)$ एक पाइथागोरस त्रिक है।

उदाहरण 5: भागफल संबंध

यदि $\sin\theta = \dfrac35$ और $\cos\theta = \dfrac45$, तो $\tan\theta$ सत्यापित कीजिए।

हल:

1. $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac34$।

अंतिम उत्तर: $\tan\theta = \tfrac34$।

सार: $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ सदैव सत्य है।

उदाहरण 6: त्रिभुज से cot

एक समकोण त्रिभुज में, $\theta$ की संलग्न भुजा 8 और सम्मुख 15 है। $\cot\theta$ और $\sec\theta$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\cot\theta = \dfrac{\text{संलग्न}}{\text{सम्मुख}} = \dfrac{8}{15}$।
2. कर्ण $= \sqrt{64 + 225} = 17$, अतः $\sec\theta = \dfrac{17}{8}$।

अंतिम उत्तर: $\cot\theta = \tfrac{8}{15}$, $\sec\theta = \tfrac{17}{8}$।

सार: $(8, 15, 17)$ एक पाइथागोरस त्रिक है।

उदाहरण 7: व्यंजक का मान

यदि $\tan\theta = \dfrac34$, तो $\dfrac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta}$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. सम्मुख 3, संलग्न 4 के साथ: $\sin\theta = \tfrac35$, $\cos\theta = \tfrac45$।
2. $\dfrac{3/5 + 4/5}{3/5 - 4/5} = \dfrac{7/5}{-1/5} = -7$।

अंतिम उत्तर: $-7$।

सार: वास्तविक अनुपात मान प्रतिस्थापित करें, फिर सरल करें।

उदाहरण 8: दोनों न्यून कोण

समकोण $\triangle ABC$ ($B$ पर समकोण) में, $AB = 24$, $BC = 7$। $\sin A$ और $\sin C$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AC = \sqrt{24^2 + 7^2} = 25$।
2. $\sin A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{7}{25}$ ($A$ की सम्मुख $BC$ है)।
3. $\sin C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{24}{25}$ ($C$ की सम्मुख $AB$ है)।

अंतिम उत्तर: $\sin A = \tfrac{7}{25}$, $\sin C = \tfrac{24}{25}$।

सार: 'सम्मुख' चुने गए कोण के साथ बदलती है।

उदाहरण 9: दिखाएँ कि अनुपात 1 से अधिक नहीं हो सकता

क्या किसी न्यून कोण के लिए $\sin\theta = \dfrac54$ हो सकता है?

हल:

1. $\sin\theta = \dfrac{\text{सम्मुख}}{\text{कर्ण}}$, और कर्ण सबसे लंबी भुजा है, अतः सम्मुख < कर्ण।
2. अतः $\sin\theta < 1$ सदैव। $\tfrac54 > 1$ असंभव है।

अंतिम उत्तर: नहीं — किसी न्यून कोण का $\sin\theta$ सदैव 1 से कम होता है।

सार: न्यून कोणों के लिए $\sin\theta$ और $\cos\theta$ दोनों 0 और 1 के बीच होते हैं।

उदाहरण 10: मिश्रित अनुपात व्यंजक

यदि $\cos\theta = \dfrac{15}{17}$, तो $\dfrac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. सम्मुख $= \sqrt{17^2 - 15^2} = 8$, अतः $\tan\theta = \tfrac{8}{15}$।
2. $\tan^2\theta = \tfrac{64}{225}$।
3. $\dfrac{1 - 64/225}{1 + 64/225} = \dfrac{161/225}{289/225} = \dfrac{161}{289}$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{161}{289}$।

सार: त्रिभुज बनाएँ, tan ज्ञात करें, फिर प्रतिस्थापित करें।