पूरक कोण क्या हैं?

दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग 90° हो। अतः θ\theta और (90°−θ)(90° - \theta) पूरक हैं।

समकोण त्रिभुज में, दोनों न्यून कोण सदैव पूरक होते हैं (उनका योग 90° होता है, क्योंकि तीसरा कोण समकोण है)। यह सरल तथ्य उनके अनुपातों के बीच सुंदर संबंध बनाता है।

मुख्य बिंदु: यदि θ+ϕ=90°\theta + \phi = 90°, तो ϕ=90°−θ\phi = 90° - \theta, और θ,ϕ\theta, \phi पूरक हैं।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] पूरक (योग 90°) को संपूरक (योग 180°) से न भ्रमित करें। कक्षा 10 की त्रिकोणमिति पूरक का उपयोग करती है।

पूरक-कोण संबंध

किसी न्यून कोण θ\theta के लिए:

sin⁡(90°−θ)=cos⁡θ,cos⁡(90°−θ)=sin⁡θ\sin(90° - \theta) = \cos\theta, \quad \cos(90° - \theta) = \sin\theta tan⁡(90°−θ)=cot⁡θ,cot⁡(90°−θ)=tan⁡θ\tan(90° - \theta) = \cot\theta, \quad \cot(90° - \theta) = \tan\theta sec⁡(90°−θ)=csc⁡θ,csc⁡(90°−θ)=sec⁡θ\sec(90° - \theta) = \csc\theta, \quad \csc(90° - \theta) = \sec\theta

क्यों: समकोण त्रिभुज में, θ\theta की सम्मुख भुजा (90°−θ)(90°-\theta) की संलग्न भुजा होती है, अतः 'सम्मुख' और 'संलग्न' बदल जाते हैं — जिससे sin, cos बन जाता है, tan, cot बन जाता है, आदि।

मुख्य बिंदु: (90°−θ)(90° - \theta) का प्रत्येक अनुपात θ\theta का उसका सह-अनुपात बनता है: sin↔cos, tan↔cot, sec↔cosec।

[JEE/NEET युक्ति] cosine, cotangent, cosecant में उपसर्ग 'co' का शाब्दिक अर्थ 'पूरक' है — यही स्मरण-संकेत है।

संबंधों का उपयोग

ये संबंध आपको किसी बड़े कोण के अनुपात को छोटे कोण के अनुपात के रूप में पुनर्लिखित करने देते हैं, जो सरलीकरण और पदों को युग्मित करने में काम आता है।

उदाहरण के लिए, sin⁡70°=sin⁡(90°−20°)=cos⁡20°\sin 70° = \sin(90° - 20°) = \cos 20°। अतः sin⁡70°cos⁡20°=1\dfrac{\sin 70°}{\cos 20°} = 1।

मुख्य बिंदु: ऐसे कोण-युग्म खोजें जिनका योग 90° हो — वे सह-अनुपात संबंधों से समेट जाते हैं।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] जब भी आप दो कोण 90° में जुड़ते देखें (जैसे 35° और 55°, या 18° और 72°), पूरक-कोण सरलीकरण की अपेक्षा करें।

पूरक कोणों के साथ समीकरण हल करना

यदि कोई समीकरण दो अनुपातों को बराबर करता है, मान लें sin⁡A=cos⁡B\sin A = \cos B, तो एक पक्ष को पूरक उपयोग कर पुनर्लिखित करें: cos⁡B=sin⁡(90°−B)\cos B = \sin(90° - B), अतः sin⁡A=sin⁡(90°−B)\sin A = \sin(90° - B), जिससे A=90°−BA = 90° - B, अर्थात A+B=90°A + B = 90°।

मुख्य बिंदु: sin⁡A=cos⁡B⇒A+B=90°\sin A = \cos B \Rightarrow A + B = 90° (न्यून कोणों के लिए)। यही तर्क tan/cot और sec/cosec युग्मों के लिए काम करता है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] एक बहुत सामान्य 2-अंक प्रश्न: 'यदि sin⁡3A=cos⁡(A−26°)\sin 3A = \cos(A - 26°), तो AA ज्ञात करें।' 3A+(A−26°)=90°3A + (A - 26°) = 90° रखें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: प्रत्यक्ष संबंध

sin⁡35°cos⁡55°\dfrac{\sin 35°}{\cos 55°} का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. cos⁡55°=cos⁡(90°−35°)=sin⁡35°\cos 55° = \cos(90° - 35°) = \sin 35°।
  2. अनुपात =sin⁡35°sin⁡35°=1= \dfrac{\sin 35°}{\sin 35°} = 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: 35°+55°=90°35° + 55° = 90° ⇒ वे सह-अनुपात हैं।

उदाहरण 2: tan/cot युग्म

tan⁡26°⋅tan⁡64°\tan 26° \cdot \tan 64° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡64°=tan⁡(90°−26°)=cot⁡26°\tan 64° = \tan(90° - 26°) = \cot 26°।
  2. tan⁡26°⋅cot⁡26°=tan⁡26°⋅1tan⁡26°=1\tan 26° \cdot \cot 26° = \tan 26° \cdot \dfrac{1}{\tan 26°} = 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: 26°+64°=90°26° + 64° = 90°, और tan⁡θcot⁡θ=1\tan\theta\cot\theta = 1।

उदाहरण 3: A हल करें

यदि sin⁡3A=cos⁡(A−26°)\sin 3A = \cos(A - 26°), जहाँ 3A3A न्यून है, तो AA ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. cos⁡(A−26°)=sin⁡(90°−(A−26°))=sin⁡(116°−A)\cos(A - 26°) = \sin(90° - (A - 26°)) = \sin(116° - A)।
  2. अतः 3A=116°−A⇒4A=116°⇒A=29°3A = 116° - A \Rightarrow 4A = 116° \Rightarrow A = 29°।

अंतिम उत्तर: A=29°A = 29°।

सार: cos को sin में बदलें, फिर कोण बराबर करें।

उदाहरण 4: योग सरल करें

cos⁡48°−sin⁡42°\cos 48° - \sin 42° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. sin⁡42°=sin⁡(90°−48°)=cos⁡48°\sin 42° = \sin(90° - 48°) = \cos 48°।
  2. cos⁡48°−cos⁡48°=0\cos 48° - \cos 48° = 0।

अंतिम उत्तर: 0।

सार: 48°+42°=90°48° + 42° = 90° पदों को बराबर बनाता है।

उदाहरण 5: sec/cosec

sec⁡70°csc⁡20°\dfrac{\sec 70°}{\csc 20°} का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. sec⁡70°=sec⁡(90°−20°)=csc⁡20°\sec 70° = \sec(90° - 20°) = \csc 20°।
  2. अनुपात =1= 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: sec⁡(90°−θ)=csc⁡θ\sec(90° - \theta) = \csc\theta।

उदाहरण 6: तालिका मानों के साथ संयोजित करें

sin⁡30°cos⁡60°+cos⁡30°sin⁡60°\sin 30° \cos 60° + \cos 30° \sin 60° का मान ज्ञात कीजिए और कोण पहचानें।

हल:

  1. =12⋅12+32⋅32=14+34=1= \tfrac12\cdot\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac14 + \tfrac34 = 1।
  2. यह sin⁡(30°+60°)=sin⁡90°=1\sin(30° + 60°) = \sin 90° = 1 के बराबर है।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: पूरक कोण 30° और 60° मिलकर 90° बनाते हैं।

उदाहरण 7: पूरक रूप में व्यक्त करें

cot⁡85°+cos⁡75°\cot 85° + \cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के अनुपातों में व्यक्त कीजिए।

हल:

  1. cot⁡85°=cot⁡(90°−5°)=tan⁡5°\cot 85° = \cot(90° - 5°) = \tan 5°।
  2. cos⁡75°=cos⁡(90°−15°)=sin⁡15°\cos 75° = \cos(90° - 15°) = \sin 15°।

अंतिम उत्तर: tan⁡5°+sin⁡15°\tan 5° + \sin 15°।

सार: सभी कोणों को 45° से नीचे लाने हेतु पूरक उपयोग करें।

उदाहरण 8: tan समीकरण हल करें

यदि tan⁡2A=cot⁡(A−18°)\tan 2A = \cot(A - 18°), जहाँ 2A2A न्यून है, तो AA ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. cot⁡(A−18°)=tan⁡(90°−(A−18°))=tan⁡(108°−A)\cot(A - 18°) = \tan(90° - (A - 18°)) = \tan(108° - A)।
  2. 2A=108°−A⇒3A=108°⇒A=36°2A = 108° - A \Rightarrow 3A = 108° \Rightarrow A = 36°।

अंतिम उत्तर: A=36°A = 36°।

सार: cot को tan में बदलें, फिर कोण बराबर करें।

उदाहरण 9: अनुपात सरल करें

sin⁡18°cos⁡72°\dfrac{\sin 18°}{\cos 72°} को सरल कीजिए।

हल:

  1. cos⁡72°=cos⁡(90°−18°)=sin⁡18°\cos 72° = \cos(90° - 18°) = \sin 18°।
  2. sin⁡18°sin⁡18°=1\dfrac{\sin 18°}{\sin 18°} = 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: 18°+72°=90°18° + 72° = 90° ⇒ अनुपात 1 है।

उदाहरण 10: मिश्रित मान-निर्धारण

sin⁡225°+sin⁡265°\sin^2 25° + \sin^2 65° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. sin⁡65°=sin⁡(90°−25°)=cos⁡25°\sin 65° = \sin(90° - 25°) = \cos 25°, अतः sin⁡265°=cos⁡225°\sin^2 65° = \cos^2 25°।
  2. sin⁡225°+cos⁡225°=1\sin^2 25° + \cos^2 25° = 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: पूरक कोण इसे मुख्य सर्वसमिका में बदल देते हैं।