उपकरणों को एक साथ लाना

यह खंड सब कुछ मिलाता है: छह अनुपात, मानक-कोण तालिका, तीन सर्वसमिकाएँ, और पूरक कोण। अधिकांश परीक्षा प्रश्न इनमें से दो या तीन विचारों को मिलाते हैं, अतः कौशल यह पहचानना है कि कौन-सा उपकरण उपयुक्त है।

एक त्वरित निर्णय मार्गदर्शिका:

  • मानक कोणों में संख्यात्मक व्यंजक ⇒ तालिका उपयोग करें।
  • 'एक अनुपात दिया हो, दूसरा ज्ञात करें' ⇒ त्रिभुज बनाएँ या सर्वसमिका उपयोग करें।
  • ऐसे कोण जिनका योग 90° हो ⇒ पूरक संबंध उपयोग करें।
  • 'सिद्ध कीजिए …' ⇒ sin/cos में बदलें और sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1 उपयोग करें।

मुख्य बिंदु: प्रश्न पढ़ें, संरचना पहचानें, फिर मेल खाता उपकरण चुनें।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] विधि स्पष्ट दिखाना तब भी अंक देता है जब अंतिम मान एक उलझी करणी हो।

एक दिए अनुपात से अन्य अनुपात ज्ञात करना

जब एक अनुपात दिया हो, तो दो मार्ग काम करते हैं:

  1. त्रिभुज मार्ग: अनुपात से मेल खाती भुजाएँ निर्धारित करें, तीसरी भुजा हेतु पाइथागोरस उपयोग करें, शेष पढ़ें।
  2. सर्वसमिका मार्ग: sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1, sec⁡2−tan⁡2=1\sec^2-\tan^2=1, या csc⁡2−cot⁡2=1\csc^2-\cot^2=1 उपयोग करें।

न्यून कोणों के लिए, सभी अनुपात धनात्मक हैं, अतः धनात्मक वर्गमूल लें।

मुख्य बिंदु: त्रिभुज मार्ग अधिक सहज है; सर्वसमिका मार्ग तेज़ है एक बार आप निपुण हो जाएँ।

[JEE/NEET युक्ति] न्यून कोणों के लिए आपको कभी चिह्नों की चिंता नहीं — हर अनुपात धनात्मक है। (चिह्न केवल कक्षा 11 में मायने रखते हैं जब कोण 90° से अधिक हों।)

संयुक्त व्यंजकों का मान निकालना

लंबे व्यंजक के लिए, पद-दर-पद मान निकालें:

  • प्रत्येक मानक-कोण अनुपात को उसके मान से बदलें।
  • जोड़ने से पहले वर्गों और गुणनफलों को सरल करें।
  • पदों को युग्मित करने और काटने हेतु पूरक संबंध उपयोग करें।

2,3\sqrt2, \sqrt3 जैसी करणियों को यथार्थ रखें; आवश्यक हो तो केवल अंत में परिमेयकरण करें।

मुख्य बिंदु: पद-दर-पद प्रतिस्थापन, फिर सरल करें — सब कुछ एक पंक्ति में करने की कोशिश न करें।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] एक सामान्य चूक गलत वर्ग करना है: (32)2=34(\tfrac{\sqrt3}{2})^2 = \tfrac34, 34\tfrac{\sqrt3}{4} नहीं।

ऊँचाई और दूरी की एक झलक

अगला अध्याय (त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग) इन अनुपातों का उपयोग उन्नयन कोण (ऊपर देखना) या अवनमन कोण (नीचे देखना) के साथ वास्तविक-दुनिया की समस्याओं में करता है। मूल विचार: स्थिति को समकोण त्रिभुज के रूप में मॉडल करें, फिर sin⁡\sin, cos⁡\cos, या tan⁡\tan लगाएँ।

उदाहरण के लिए, यदि ऊँचाई hh की मीनार लंबाई ℓ\ell की छाया डालती है और सूर्य का उन्नयन θ\theta है, तो tan⁡θ=hℓ\tan\theta = \dfrac{h}{\ell}।

मुख्य बिंदु: वास्तविक-दुनिया की ऊँचाई/दूरी समस्याएँ उस अनुपात को चुनने तक सिमट जाती हैं जो ज्ञात और अज्ञात भुजाओं को जोड़ता है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] यहाँ अनुपातों में निपुणता अगले अध्याय को लगभग यांत्रिक बना देती है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: tan दिया हो, मान निकालें

यदि tan⁡θ=34\tan\theta = \tfrac34, तो 1−sin⁡θ1+sin⁡θ\dfrac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta} का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. सम्मुख 3, संलग्न 4, कर्ण 5 के साथ: sin⁡θ=35\sin\theta = \tfrac35।
  2. 1−3/51+3/5=2/58/5=14\dfrac{1 - 3/5}{1 + 3/5} = \dfrac{2/5}{8/5} = \dfrac14।

अंतिम उत्तर: 14\tfrac14।

सार: त्रिभुज बनाएँ, फिर प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 2: मानक-कोण व्यंजक

5cos⁡260°+4sec⁡230°−tan⁡245°sin⁡230°+cos⁡230°\dfrac{5\cos^2 60° + 4\sec^2 30° - \tan^2 45°}{\sin^2 30° + \cos^2 30°} का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. अंश: 5(12)2+4(23)2−12=5⋅14+4⋅43−1=54+163−15(\tfrac12)^2 + 4(\tfrac{2}{\sqrt3})^2 - 1^2 = 5\cdot\tfrac14 + 4\cdot\tfrac43 - 1 = \tfrac54 + \tfrac{16}{3} - 1।
  2. =1512+6412−1212=6712= \tfrac{15}{12} + \tfrac{64}{12} - \tfrac{12}{12} = \tfrac{67}{12}।
  3. हर =1= 1।

अंतिम उत्तर: 6712\tfrac{67}{12}।

सार: अंश पद-दर-पद निकालें; हर सर्वसमिका = 1 है।

उदाहरण 3: सर्वसमिका + मान

यदि cos⁡θ=725\cos\theta = \tfrac{7}{25}, तो sin⁡θ−cos⁡θsin⁡θ+cos⁡θ\dfrac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta} ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. sin⁡θ=1−(7/25)2=2425\sin\theta = \sqrt{1 - (7/25)^2} = \tfrac{24}{25}।
  2. 24/25−7/2524/25+7/25=1731\dfrac{24/25 - 7/25}{24/25 + 7/25} = \dfrac{17}{31}।

अंतिम उत्तर: 1731\tfrac{17}{31}।

सार: cos से sin निकालें, फिर प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 4: पूरक के साथ मिश्रित

tan⁡65°cot⁡25°\dfrac{\tan 65°}{\cot 25°} का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. cot⁡25°=cot⁡(90°−65°)=tan⁡65°\cot 25° = \cot(90° - 65°) = \tan 65°।
  2. अनुपात =1= 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: 65°+25°=90°65° + 25° = 90°, और tan⁡\tan, cot⁡\cot के साथ युग्मित होता है।

उदाहरण 5: सिद्ध करें और मान निकालें

यदि 3tan⁡θ=43\tan\theta = 4, तो 3sin⁡θ+2cos⁡θ3sin⁡θ−2cos⁡θ\dfrac{3\sin\theta + 2\cos\theta}{3\sin\theta - 2\cos\theta} ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡θ=43\tan\theta = \tfrac43। अंश और हर को cos⁡θ\cos\theta से भाग दें: 3tan⁡θ+23tan⁡θ−2\dfrac{3\tan\theta + 2}{3\tan\theta - 2}।
  2. =3⋅43+23⋅43−2=4+24−2=62=3= \dfrac{3\cdot\tfrac43 + 2}{3\cdot\tfrac43 - 2} = \dfrac{4 + 2}{4 - 2} = \dfrac{6}{2} = 3।

अंतिम उत्तर: 3।

सार: cos⁡θ\cos\theta से भाग देने पर व्यंजक tan⁡θ\tan\theta में बदल जाता है।

उदाहरण 6: ऊँचाई अनुप्रयोग

एक मीनार 15 मी लंबी छाया डालती है जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡60°=h15⇒h=15tan⁡60°=153\tan 60° = \dfrac{h}{15} \Rightarrow h = 15\tan 60° = 15\sqrt3।

अंतिम उत्तर: 153≈25.9815\sqrt3 \approx 25.98 मी।

सार: tan⁡(उन्नयन)=ऊँचाईछाया\tan(\text{उन्नयन}) = \dfrac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया}}।

उदाहरण 7: सर्वसमिकाएँ संयोजित करें

यदि sin⁡θ+cos⁡θ=p\sin\theta + \cos\theta = p और sec⁡θ+csc⁡θ=q\sec\theta + \csc\theta = q, तो दिखाइए q(p2−1)=2pq(p^2 - 1) = 2p।

हल:

  1. p2−1=(sin⁡θ+cos⁡θ)2−1=2sin⁡θcos⁡θp^2 - 1 = (\sin\theta+\cos\theta)^2 - 1 = 2\sin\theta\cos\theta।
  2. q=1cos⁡θ+1sin⁡θ=sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θcos⁡θ=psin⁡θcos⁡θq = \dfrac{1}{\cos\theta} + \dfrac{1}{\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{p}{\sin\theta\cos\theta}।
  3. q(p2−1)=psin⁡θcos⁡θ⋅2sin⁡θcos⁡θ=2pq(p^2 - 1) = \dfrac{p}{\sin\theta\cos\theta}\cdot 2\sin\theta\cos\theta = 2p।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

सार: p2−1p^2-1 और qq दोनों को sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta के पदों में व्यक्त करें।

उदाहरण 8: theta हटाएँ

यदि x=rsin⁡θcos⁡ϕx = r\sin\theta\cos\phi, y=rsin⁡θsin⁡ϕy = r\sin\theta\sin\phi, z=rcos⁡θz = r\cos\theta, तो दिखाइए x2+y2+z2=r2x^2 + y^2 + z^2 = r^2।

हल:

  1. x2+y2=r2sin⁡2θ(cos⁡2ϕ+sin⁡2ϕ)=r2sin⁡2θx^2 + y^2 = r^2\sin^2\theta(\cos^2\phi + \sin^2\phi) = r^2\sin^2\theta।
  2. z2=r2cos⁡2θz^2 = r^2\cos^2\theta जोड़ें: r2sin⁡2θ+r2cos⁡2θ=r2r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta = r^2।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

सार: sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1 दो बार लगाएँ (एक बार ϕ\phi में, एक बार θ\theta में)।

उदाहरण 9: दिए sec के साथ मान

यदि sec⁡θ+tan⁡θ=2\sec\theta + \tan\theta = 2, तो sec⁡θ−tan⁡θ\sec\theta - \tan\theta और अतः sec⁡θ\sec\theta ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. (sec⁡θ+tan⁡θ)(sec⁡θ−tan⁡θ)=sec⁡2θ−tan⁡2θ=1(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1।
  2. अतः sec⁡θ−tan⁡θ=12\sec\theta - \tan\theta = \tfrac12।
  3. जोड़ने पर: 2sec⁡θ=2+12=52⇒sec⁡θ=542\sec\theta = 2 + \tfrac12 = \tfrac52 \Rightarrow \sec\theta = \tfrac54।

अंतिम उत्तर: sec⁡θ−tan⁡θ=12\sec\theta - \tan\theta = \tfrac12, sec⁡θ=54\sec\theta = \tfrac54।

सार: संयुग्मी गुणनफल 1 के बराबर; दोनों समीकरण जोड़कर sec पृथक करें।

उदाहरण 10: पूर्ण मिश्रित मान-निर्धारण

sin⁡18°cos⁡72°+3 tan⁡10°tan⁡30°tan⁡80°\dfrac{\sin 18°}{\cos 72°} + \sqrt3\,\tan 10° \tan 30° \tan 80° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. cos⁡72°=sin⁡18°\cos 72° = \sin 18°, अतः पहला पद =1= 1।
  2. tan⁡80°=cot⁡10°\tan 80° = \cot 10°, अतः tan⁡10°tan⁡80°=1\tan 10°\tan 80° = 1।
  3. 3 tan⁡30°=3⋅13=1\sqrt3\,\tan 30° = \sqrt3\cdot\tfrac{1}{\sqrt3} = 1।
  4. दूसरा पद =1⋅1=1= 1\cdot 1 = 1।
  5. कुल =1+1=2= 1 + 1 = 2।

अंतिम उत्तर: 2।

सार: व्यंजक को समेटने हेतु पूरक युग्म (18°,72°18°,72° और 10°,80°10°,80°) पहचानें।