मूलभूत सर्वसमिका

एक सर्वसमिका वह समीकरण है जो चर के हर मान के लिए सत्य हो। प्रमुख त्रिकोणमितीय सर्वसमिका सीधे पाइथागोरस प्रमेय से आती है:

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

क्यों: सम्मुख pp, संलग्न bb, कर्ण hh वाले समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस देता है p2+b2=h2p^2 + b^2 = h^2। h2h^2 से भाग दें: (ph)2+(bh)2=1\left(\tfrac{p}{h}\right)^2 + \left(\tfrac{b}{h}\right)^2 = 1, अर्थात sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1।

मुख्य बिंदु: sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 सभी θ\theta के लिए सत्य है। इससे आप sin⁡θ=1−cos⁡2θ\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} और इसके विपरीत प्राप्त कर सकते हैं।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] ध्यान दें sin⁡2θ\sin^2\theta का अर्थ (sin⁡θ)2(\sin\theta)^2 है, sin⁡(θ2)\sin(\theta^2) नहीं।

दो सहचर सर्वसमिकाएँ

मुख्य सर्वसमिका को cos⁡2θ\cos^2\theta और sin⁡2θ\sin^2\theta से भाग देने पर दो और मिलती हैं:

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

पहली की व्युत्पत्ति: sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 को cos⁡2θ\cos^2\theta से भाग दें: tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta।

मुख्य बिंदु: तीन सर्वसमिकाएँ हैं: sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1, sec⁡2−tan⁡2=1\sec^2-\tan^2=1, csc⁡2−cot⁡2=1\csc^2-\cot^2=1।

[JEE/NEET युक्ति] सभी तीन रूप (और उनके पुनर्व्यवस्थापन जैसे sec⁡2θ−tan⁡2θ=1\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1) जानने से उपपत्तियों में समय बचता है।

सर्वसमिकाएँ सिद्ध करने की रणनीति

किसी सर्वसमिका (LHS = RHS) को सिद्ध करने हेतु:

  1. अधिक जटिल पक्ष से आरंभ करें और उसे दूसरे की ओर सरल करें।
  2. अटकने पर सब कुछ sin⁡θ\sin\theta और cos⁡θ\cos\theta में बदलें — वे 'उभयनिष्ठ मुद्रा' हैं।
  3. पदों को बदलने या बनाने हेतु sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 उपयोग करें।
  4. संयुग्मी गुणन खोजें: 1sec⁡θ−tan⁡θ\dfrac{1}{\sec\theta - \tan\theta} को sec⁡θ+tan⁡θsec⁡θ+tan⁡θ\dfrac{\sec\theta + \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} से गुणा करें, क्योंकि sec⁡2θ−tan⁡2θ=1\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1।

मुख्य बिंदु: अटकने पर, sin और cos में बदलें और उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] किसी असिद्ध सर्वसमिका के आर-पार कभी तिर्यक-गुणन न करें — प्रत्येक पक्ष स्वतंत्र रूप से कार्य करें या एक पक्ष को दूसरे में बदलें।

उपयोगी परिणाम

कुछ काम के पुनर्व्यवस्थापन जो आप लगातार उपयोग करेंगे:

  • sin⁡2θ=1−cos⁡2θ=(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = (1-\cos\theta)(1+\cos\theta)।
  • sec⁡2θ−1=tan⁡2θ\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta और csc⁡2θ−1=cot⁡2θ\csc^2\theta - 1 = \cot^2\theta।
  • 1sec⁡θ−tan⁡θ=sec⁡θ+tan⁡θ\dfrac{1}{\sec\theta - \tan\theta} = \sec\theta + \tan\theta (संयुग्मी, गुणनफल 1)।

मुख्य बिंदु: वर्ग-अंतर गुणनखंडन 1−cos⁡2θ=(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)1 - \cos^2\theta = (1-\cos\theta)(1+\cos\theta) कई उपपत्तियाँ खोलता है।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] (sec⁡θ−tan⁡θ)(\sec\theta - \tan\theta) और (sec⁡θ+tan⁡θ)(\sec\theta + \tan\theta) जैसे संयुग्मी युग्म पहचानना एक उच्च-आवृत्ति परीक्षा कौशल है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सर्वसमिका का उपयोग

यदि cos⁡θ=35\cos\theta = \tfrac35, तो सर्वसमिका का उपयोग कर sin⁡θ\sin\theta ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. sin⁡2θ=1−cos⁡2θ=1−925=1625\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25}।
  2. sin⁡θ=45\sin\theta = \tfrac45 (धनात्मक, न्यून)।

अंतिम उत्तर: sin⁡θ=45\sin\theta = \tfrac45।

सार: न्यून कोणों के लिए sin⁡θ=1−cos⁡2θ\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}।

उदाहरण 2: सरल करें

(1−sin⁡2θ)sec⁡2θ(1 - \sin^2\theta)\sec^2\theta को सरल कीजिए।

हल:

  1. 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta।
  2. cos⁡2θ⋅sec⁡2θ=cos⁡2θ⋅1cos⁡2θ=1\cos^2\theta \cdot \sec^2\theta = \cos^2\theta \cdot \dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: 1−sin⁡2θ1 - \sin^2\theta को cos⁡2θ\cos^2\theta से बदलें।

उदाहरण 3: सर्वसमिका सिद्ध करें

सिद्ध कीजिए कि sin⁡θ1+cos⁡θ+1+cos⁡θsin⁡θ=2csc⁡θ\dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \dfrac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} = 2\csc\theta।

हल:

  1. LHS =sin⁡2θ+(1+cos⁡θ)2sin⁡θ(1+cos⁡θ)= \dfrac{\sin^2\theta + (1+\cos\theta)^2}{\sin\theta(1+\cos\theta)}।
  2. अंश =sin⁡2θ+1+2cos⁡θ+cos⁡2θ=1+1+2cos⁡θ=2(1+cos⁡θ)= \sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 1 + 2\cos\theta = 2(1+\cos\theta)।
  3. LHS =2(1+cos⁡θ)sin⁡θ(1+cos⁡θ)=2sin⁡θ=2csc⁡θ= \dfrac{2(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

सार: उभयनिष्ठ हर + sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1 अंश को समेट देता है।

उदाहरण 4: संयुग्मी युक्ति

सिद्ध कीजिए 1sec⁡θ−tan⁡θ=sec⁡θ+tan⁡θ\dfrac{1}{\sec\theta - \tan\theta} = \sec\theta + \tan\theta।

हल:

  1. अंश और हर को (sec⁡θ+tan⁡θ)(\sec\theta + \tan\theta) से गुणा करें।
  2. हर =sec⁡2θ−tan⁡2θ=1= \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1।
  3. अतः LHS =sec⁡θ+tan⁡θ= \sec\theta + \tan\theta।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

सार: sec⁡2θ−tan⁡2θ=1\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 संयुग्मियों को समेट देता है।

उदाहरण 5: सर्वसमिका से मान

यदि sec⁡θ=135\sec\theta = \tfrac{13}{5}, तो tan⁡θ\tan\theta ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡2θ=sec⁡2θ−1=16925−1=14425\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1 = \tfrac{169}{25} - 1 = \tfrac{144}{25}।
  2. tan⁡θ=125\tan\theta = \tfrac{12}{5}।

अंतिम उत्तर: tan⁡θ=125\tan\theta = \tfrac{12}{5}।

सार: tan⁡2θ=sec⁡2θ−1\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1।

उदाहरण 6: सिद्ध करें

सिद्ध कीजिए sin⁡4θ−cos⁡4θ=sin⁡2θ−cos⁡2θ\sin^4\theta - \cos^4\theta = \sin^2\theta - \cos^2\theta।

हल:

  1. LHS =(sin⁡2θ−cos⁡2θ)(sin⁡2θ+cos⁡2θ)= (\sin^2\theta - \cos^2\theta)(\sin^2\theta + \cos^2\theta)।
  2. =(sin⁡2θ−cos⁡2θ)(1)=sin⁡2θ−cos⁡2θ= (\sin^2\theta - \cos^2\theta)(1) = \sin^2\theta - \cos^2\theta।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

सार: वर्गों का अंतर + sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1।

उदाहरण 7: sin/cos में बदलें

सिद्ध कीजिए tan⁡θ+cot⁡θ=sec⁡θcsc⁡θ\tan\theta + \cot\theta = \sec\theta\csc\theta।

हल:

  1. LHS =sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ=sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ= \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}।
  2. =1sin⁡θ⋅1cos⁡θ=csc⁡θsec⁡θ= \dfrac{1}{\sin\theta}\cdot\dfrac{1}{\cos\theta} = \csc\theta\sec\theta।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

सार: sin/cos में बदलें, संयोजित करें, फिर मुख्य सर्वसमिका उपयोग करें।

उदाहरण 8: प्राचल हटाएँ

यदि x=asec⁡θx = a\sec\theta और y=btan⁡θy = b\tan\theta, तो दिखाइए x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1।

हल:

  1. x2a2=sec⁡2θ\dfrac{x^2}{a^2} = \sec^2\theta, y2b2=tan⁡2θ\dfrac{y^2}{b^2} = \tan^2\theta।
  2. sec⁡2θ−tan⁡2θ=1\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

सार: sec⁡2−tan⁡2=1\sec^2 - \tan^2 = 1 से θ\theta हटाने पर अतिपरवलय मिलता है।

उदाहरण 9: कठिन उपपत्ति

सिद्ध कीजिए 1+sin⁡θ1−sin⁡θ=(sec⁡θ+tan⁡θ)2\dfrac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta} = (\sec\theta + \tan\theta)^2।

हल:

  1. RHS =sec⁡2θ+2sec⁡θtan⁡θ+tan⁡2θ= \sec^2\theta + 2\sec\theta\tan\theta + \tan^2\theta।
  2. =1cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡2θ+sin⁡2θcos⁡2θ=1+2sin⁡θ+sin⁡2θcos⁡2θ= \dfrac{1}{\cos^2\theta} + \dfrac{2\sin\theta}{\cos^2\theta} + \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{1 + 2\sin\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}।
  3. =(1+sin⁡θ)21−sin⁡2θ=(1+sin⁡θ)2(1−sin⁡θ)(1+sin⁡θ)=1+sin⁡θ1−sin⁡θ= \dfrac{(1+\sin\theta)^2}{1 - \sin^2\theta} = \dfrac{(1+\sin\theta)^2}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)} = \dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

सार: वर्ग का प्रसार करें, cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta उपयोग करें, फिर गुणनखंड करें।

उदाहरण 10: व्यंजक का मान

यदि sin⁡θ+cos⁡θ=2\sin\theta + \cos\theta = \sqrt2, तो sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. दोनों ओर वर्ग करें: sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=2\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 2।
  2. 1+2sin⁡θcos⁡θ=2⇒sin⁡θcos⁡θ=121 + 2\sin\theta\cos\theta = 2 \Rightarrow \sin\theta\cos\theta = \tfrac12।

अंतिम उत्तर: sin⁡θcos⁡θ=12\sin\theta\cos\theta = \tfrac12।

सार: योग का वर्ग वांछित गुणनफल पद लाता है; sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1 उपयोग करें।