मानक मान तालिका

कुछ गिने-चुने कोण बार-बार आते हैं: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°। उनके यथार्थ अनुपात मान पक्का याद करने योग्य हैं।

अनुपात 0° 30° 45° 60° 90°
sin⁡\sin 0 12\tfrac12 12\tfrac{1}{\sqrt2} 32\tfrac{\sqrt3}{2} 1
cos⁡\cos 1 32\tfrac{\sqrt3}{2} 12\tfrac{1}{\sqrt2} 12\tfrac12 0
tan⁡\tan 0 13\tfrac{1}{\sqrt3} 1 3\sqrt3 अपरिभाषित

मुख्य बिंदु: ध्यान दें cos⁡\cos केवल sin⁡\sin को उल्टा पढ़ने पर है। और tan⁡=sin⁡/cos⁡\tan = \sin/\cos।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] tan⁡90°\tan 90° अपरिभाषित है क्योंकि cos⁡90°=0\cos 90° = 0 और हम शून्य से भाग नहीं दे सकते। इसी प्रकार sec⁡90°\sec 90° और csc⁡0°\csc 0° अपरिभाषित हैं।

sin के लिए स्मरण-युक्ति

एक सुंदर पैटर्न है। कोणों 0°,30°,45°,60°,90°0°, 30°, 45°, 60°, 90° के नीचे 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 लिखें, फिर   \sqrt{\;} लें और 2 से भाग दें:

sin⁡θ=04,14,24,34,44=0,12,12,32,1\sin\theta = \sqrt{\frac{0}{4}}, \sqrt{\frac{1}{4}}, \sqrt{\frac{2}{4}}, \sqrt{\frac{3}{4}}, \sqrt{\frac{4}{4}} = 0, \tfrac12, \tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{\sqrt3}{2}, 1

फिर cos⁡\cos वही सूची उल्टी है।

मुख्य बिंदु: sin⁡θ=n2\sin\theta = \dfrac{\sqrt{n}}{2} जहाँ 0°,30°,45°,60°,90°0°,30°,45°,60°,90° के लिए n=0,1,2,3,4n = 0,1,2,3,4।

[JEE/NEET युक्ति] यदि परीक्षा में आप भूल जाएँ तो यह n/2\sqrt{n}/2 युक्ति तालिका पुनर्निर्मित करने का सबसे तेज़ तरीका है।

मान कहाँ से आते हैं

ये मान जादू नहीं हैं — ये दो विशेष त्रिभुजों से आते हैं:

  • एक 45°-45°-90° त्रिभुज की भुजाएँ बराबर होती हैं, अतः यदि प्रत्येक भुजा 1 हो, तो कर्ण 2\sqrt2 होता है, जिससे sin⁡45°=cos⁡45°=12\sin 45° = \cos 45° = \tfrac{1}{\sqrt2}।
  • एक 30°-60°-90° त्रिभुज (भुजा 2 के समबाहु त्रिभुज का आधा) की भुजाएँ 1,3,21, \sqrt3, 2 होती हैं, जिससे sin⁡30°=12\sin 30° = \tfrac12, sin⁡60°=32\sin 60° = \tfrac{\sqrt3}{2}, आदि।

मुख्य बिंदु: दोनों विशेष त्रिभुज याद रखें और आप हर मानक मान पुनः व्युत्पन्न कर सकते हैं।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] यदि आप तालिका भूल जाएँ तो विशेष त्रिभुज बनाना किसी मान को न्यायसंगत ठहराने की मान्य विधि है।

मानक कोणों पर व्युत्क्रम अनुपात

तालिका से, व्युत्क्रम अनुपात तुरंत निकलते हैं:

  • csc⁡30°=2\csc 30° = 2, csc⁡45°=2\csc 45° = \sqrt2, csc⁡60°=23\csc 60° = \tfrac{2}{\sqrt3}।
  • sec⁡30°=23\sec 30° = \tfrac{2}{\sqrt3}, sec⁡45°=2\sec 45° = \sqrt2, sec⁡60°=2\sec 60° = 2।
  • cot⁡30°=3\cot 30° = \sqrt3, cot⁡45°=1\cot 45° = 1, cot⁡60°=13\cot 60° = \tfrac{1}{\sqrt3}।

मुख्य बिंदु: मानक कोणों पर cosec, sec, cot केवल sin, cos, tan के व्युत्क्रम हैं।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] sec⁡0°=1\sec 0° = 1 और csc⁡90°=1\csc 90° = 1; पर sec⁡90°\sec 90° और csc⁡0°\csc 0° अपरिभाषित हैं (शून्य से भाग)।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: प्रत्यक्ष मान-निर्धारण

sin⁡30°+cos⁡60°\sin 30° + \cos 60° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. sin⁡30°=12\sin 30° = \tfrac12, cos⁡60°=12\cos 60° = \tfrac12।
  2. योग =12+12=1= \tfrac12 + \tfrac12 = 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: सीधे तालिका से पढ़ें।

उदाहरण 2: गुणनफल

sin⁡60°cos⁡30°+cos⁡60°sin⁡30°\sin 60° \cos 30° + \cos 60° \sin 30° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. =32⋅32+12⋅12=34+14=1= \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} + \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac34 + \tfrac14 = 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: यह sin⁡(60°+30°)=sin⁡90°=1\sin(60°+30°) = \sin 90° = 1 है — एक अच्छी जाँच।

उदाहरण 3: tan मान

tan⁡260°+tan⁡245°\tan^2 60° + \tan^2 45° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt3, अतः tan⁡260°=3\tan^2 60° = 3।
  2. tan⁡45°=1\tan 45° = 1, अतः tan⁡245°=1\tan^2 45° = 1।
  3. योग =3+1=4= 3 + 1 = 4।

अंतिम उत्तर: 4।

सार: मान प्रतिस्थापित करने के बाद वर्ग करें।

उदाहरण 4: मिश्रित व्यंजक

tan⁡30°cot⁡60°\dfrac{\tan 30°}{\cot 60°} का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. tan⁡30°=13\tan 30° = \tfrac{1}{\sqrt3}, cot⁡60°=13\cot 60° = \tfrac{1}{\sqrt3}।
  2. अनुपात =1/31/3=1= \dfrac{1/\sqrt3}{1/\sqrt3} = 1।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: tan⁡30°=cot⁡60°\tan 30° = \cot 60° — एक पूरक-कोण संकेत।

उदाहरण 5: कोण ज्ञात करें

यदि sin⁡θ=32\sin\theta = \tfrac{\sqrt3}{2} और θ\theta न्यून है, तो θ\theta ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. तालिका से, sin⁡60°=32\sin 60° = \tfrac{\sqrt3}{2}।

अंतिम उत्तर: θ=60°\theta = 60°।

सार: तालिका को उल्टा पढ़ने से कोण मिलता है।

उदाहरण 6: वर्गों के साथ मान-निर्धारण

4sin⁡260°−3tan⁡230°4\sin^2 60° - 3\tan^2 30° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. sin⁡260°=34\sin^2 60° = \tfrac34, अतः 4⋅34=34\cdot\tfrac34 = 3।
  2. tan⁡230°=13\tan^2 30° = \tfrac13, अतः 3⋅13=13\cdot\tfrac13 = 1।
  3. 3−1=23 - 1 = 2।

अंतिम उत्तर: 2।

सार: पहले मान का वर्ग करें, फिर गुणांक से गुणा करें।

उदाहरण 7: भिन्न

cos⁡45°sec⁡30°+csc⁡30°\dfrac{\cos 45°}{\sec 30° + \csc 30°} का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. cos⁡45°=12\cos 45° = \tfrac{1}{\sqrt2}; sec⁡30°=23\sec 30° = \tfrac{2}{\sqrt3}; csc⁡30°=2\csc 30° = 2।
  2. हर =23+2=2+233= \tfrac{2}{\sqrt3} + 2 = \tfrac{2 + 2\sqrt3}{\sqrt3}।
  3. 1/2(2+23)/3=32 (2+23)=322(1+3)\dfrac{1/\sqrt2}{(2+2\sqrt3)/\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{\sqrt2 \,(2 + 2\sqrt3)} = \dfrac{\sqrt3}{2\sqrt2(1+\sqrt3)}।
  4. परिमेयकरण: =3(3−1)22(3−1)=3−342= \dfrac{\sqrt3(\sqrt3 - 1)}{2\sqrt2(3-1)} = \dfrac{3 - \sqrt3}{4\sqrt2}।

अंतिम उत्तर: 3−342\dfrac{3 - \sqrt3}{4\sqrt2}।

सार: प्रतिस्थापित करें, संयोजित करें, फिर करणी का परिमेयकरण करें।

उदाहरण 8: सर्वसमिका संख्यात्मक रूप से सत्यापित करें

sin⁡230°+cos⁡230°=1\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1 सत्यापित कीजिए।

हल:

  1. sin⁡230°=14\sin^2 30° = \tfrac14, cos⁡230°=34\cos^2 30° = \tfrac34।
  2. योग =14+34=1= \tfrac14 + \tfrac34 = 1।

अंतिम उत्तर: 1 — सत्यापित।

सार: sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 हर कोण के लिए सत्य है।

उदाहरण 9: समीकरण में कोण हल करें

यदि 2cos⁡θ=12\cos\theta = 1, तो न्यून θ\theta ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. cos⁡θ=12\cos\theta = \tfrac12।
  2. तालिका से, cos⁡60°=12\cos 60° = \tfrac12।

अंतिम उत्तर: θ=60°\theta = 60°।

सार: अनुपात पृथक करें, फिर कोण पढ़ें।

उदाहरण 10: कोण संयोजित करें

sin⁡90°−2cos⁡245°+tan⁡260°\sin 90° - 2\cos^2 45° + \tan^2 60° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. sin⁡90°=1\sin 90° = 1।
  2. cos⁡245°=12\cos^2 45° = \tfrac12, अतः 2⋅12=12\cdot\tfrac12 = 1।
  3. tan⁡260°=3\tan^2 60° = 3।
  4. 1−1+3=31 - 1 + 3 = 3।

अंतिम उत्तर: 3।

सार: प्रत्येक पद अलग निकालें, फिर संयोजित करें।