विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

मानक मान तालिका

कुछ गिने-चुने कोण बार-बार आते हैं: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°। उनके यथार्थ अनुपात मान पक्का याद करने योग्य हैं।

मुख्य बिंदु: ध्यान दें $\cos$ केवल $\sin$ को उल्टा पढ़ने पर है। और $\tan = \sin/\cos$।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] $\tan 90°$ अपरिभाषित है क्योंकि $\cos 90° = 0$ और हम शून्य से भाग नहीं दे सकते। इसी प्रकार $\sec 90°$ और $\csc 0°$ अपरिभाषित हैं।

sin के लिए स्मरण-युक्ति

एक सुंदर पैटर्न है। कोणों $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ के नीचे $0, 1, 2, 3, 4$ लिखें, फिर $\sqrt{\;}$ लें और 2 से भाग दें:

$$\sin\theta = \sqrt{\frac{0}{4}}, \sqrt{\frac{1}{4}}, \sqrt{\frac{2}{4}}, \sqrt{\frac{3}{4}}, \sqrt{\frac{4}{4}} = 0, \tfrac12, \tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{\sqrt3}{2}, 1$$

फिर $\cos$ वही सूची उल्टी है।

मुख्य बिंदु: $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{n}}{2}$ जहाँ $0°,30°,45°,60°,90°$ के लिए $n = 0,1,2,3,4$।

[JEE/NEET युक्ति] यदि परीक्षा में आप भूल जाएँ तो यह $\sqrt{n}/2$ युक्ति तालिका पुनर्निर्मित करने का सबसे तेज़ तरीका है।

मान कहाँ से आते हैं

ये मान जादू नहीं हैं — ये दो विशेष त्रिभुजों से आते हैं:

• एक 45°-45°-90° त्रिभुज की भुजाएँ बराबर होती हैं, अतः यदि प्रत्येक भुजा 1 हो, तो कर्ण $\sqrt2$ होता है, जिससे $\sin 45° = \cos 45° = \tfrac{1}{\sqrt2}$।
• एक 30°-60°-90° त्रिभुज (भुजा 2 के समबाहु त्रिभुज का आधा) की भुजाएँ $1, \sqrt3, 2$ होती हैं, जिससे $\sin 30° = \tfrac12$, $\sin 60° = \tfrac{\sqrt3}{2}$, आदि।

मुख्य बिंदु: दोनों विशेष त्रिभुज याद रखें और आप हर मानक मान पुनः व्युत्पन्न कर सकते हैं।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] यदि आप तालिका भूल जाएँ तो विशेष त्रिभुज बनाना किसी मान को न्यायसंगत ठहराने की मान्य विधि है।

मानक कोणों पर व्युत्क्रम अनुपात

तालिका से, व्युत्क्रम अनुपात तुरंत निकलते हैं:

• $\csc 30° = 2$, $\csc 45° = \sqrt2$, $\csc 60° = \tfrac{2}{\sqrt3}$।
• $\sec 30° = \tfrac{2}{\sqrt3}$, $\sec 45° = \sqrt2$, $\sec 60° = 2$।
• $\cot 30° = \sqrt3$, $\cot 45° = 1$, $\cot 60° = \tfrac{1}{\sqrt3}$।

मुख्य बिंदु: मानक कोणों पर cosec, sec, cot केवल sin, cos, tan के व्युत्क्रम हैं।

[बोर्ड महत्वपूर्ण] $\sec 0° = 1$ और $\csc 90° = 1$; पर $\sec 90°$ और $\csc 0°$ अपरिभाषित हैं (शून्य से भाग)।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: प्रत्यक्ष मान-निर्धारण

$\sin 30° + \cos 60°$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\sin 30° = \tfrac12$, $\cos 60° = \tfrac12$।
2. योग $= \tfrac12 + \tfrac12 = 1$।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: सीधे तालिका से पढ़ें।

उदाहरण 2: गुणनफल

$\sin 60° \cos 30° + \cos 60° \sin 30°$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $= \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} + \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac34 + \tfrac14 = 1$।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: यह $\sin(60°+30°) = \sin 90° = 1$ है — एक अच्छी जाँच।

उदाहरण 3: tan मान

$\tan^2 60° + \tan^2 45°$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 60° = \sqrt3$, अतः $\tan^2 60° = 3$।
2. $\tan 45° = 1$, अतः $\tan^2 45° = 1$।
3. योग $= 3 + 1 = 4$।

अंतिम उत्तर: 4।

सार: मान प्रतिस्थापित करने के बाद वर्ग करें।

उदाहरण 4: मिश्रित व्यंजक

$\dfrac{\tan 30°}{\cot 60°}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\tan 30° = \tfrac{1}{\sqrt3}$, $\cot 60° = \tfrac{1}{\sqrt3}$।
2. अनुपात $= \dfrac{1/\sqrt3}{1/\sqrt3} = 1$।

अंतिम उत्तर: 1।

सार: $\tan 30° = \cot 60°$ — एक पूरक-कोण संकेत।

उदाहरण 5: कोण ज्ञात करें

यदि $\sin\theta = \tfrac{\sqrt3}{2}$ और $\theta$ न्यून है, तो $\theta$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. तालिका से, $\sin 60° = \tfrac{\sqrt3}{2}$।

अंतिम उत्तर: $\theta = 60°$।

सार: तालिका को उल्टा पढ़ने से कोण मिलता है।

उदाहरण 6: वर्गों के साथ मान-निर्धारण

$4\sin^2 60° - 3\tan^2 30°$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\sin^2 60° = \tfrac34$, अतः $4\cdot\tfrac34 = 3$।
2. $\tan^2 30° = \tfrac13$, अतः $3\cdot\tfrac13 = 1$।
3. $3 - 1 = 2$।

अंतिम उत्तर: 2।

सार: पहले मान का वर्ग करें, फिर गुणांक से गुणा करें।

उदाहरण 7: भिन्न

$\dfrac{\cos 45°}{\sec 30° + \csc 30°}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\cos 45° = \tfrac{1}{\sqrt2}$; $\sec 30° = \tfrac{2}{\sqrt3}$; $\csc 30° = 2$।
2. हर $= \tfrac{2}{\sqrt3} + 2 = \tfrac{2 + 2\sqrt3}{\sqrt3}$।
3. $\dfrac{1/\sqrt2}{(2+2\sqrt3)/\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{\sqrt2 \,(2 + 2\sqrt3)} = \dfrac{\sqrt3}{2\sqrt2(1+\sqrt3)}$।
4. परिमेयकरण: $= \dfrac{\sqrt3(\sqrt3 - 1)}{2\sqrt2(3-1)} = \dfrac{3 - \sqrt3}{4\sqrt2}$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{3 - \sqrt3}{4\sqrt2}$।

सार: प्रतिस्थापित करें, संयोजित करें, फिर करणी का परिमेयकरण करें।

उदाहरण 8: सर्वसमिका संख्यात्मक रूप से सत्यापित करें

$\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ सत्यापित कीजिए।

हल:

1. $\sin^2 30° = \tfrac14$, $\cos^2 30° = \tfrac34$।
2. योग $= \tfrac14 + \tfrac34 = 1$।

अंतिम उत्तर: 1 — सत्यापित।

सार: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ हर कोण के लिए सत्य है।

उदाहरण 9: समीकरण में कोण हल करें

यदि $2\cos\theta = 1$, तो न्यून $\theta$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\cos\theta = \tfrac12$।
2. तालिका से, $\cos 60° = \tfrac12$।

अंतिम उत्तर: $\theta = 60°$।

सार: अनुपात पृथक करें, फिर कोण पढ़ें।

उदाहरण 10: कोण संयोजित करें

$\sin 90° - 2\cos^2 45° + \tan^2 60°$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\sin 90° = 1$।
2. $\cos^2 45° = \tfrac12$, अतः $2\cdot\tfrac12 = 1$।
3. $\tan^2 60° = 3$।
4. $1 - 1 + 3 = 3$।

अंतिम उत्तर: 3।

सार: प्रत्येक पद अलग निकालें, फिर संयोजित करें।