इस खंड का उपयोग कैसे करें
यह त्रिकोणमिति के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — छह अनुपात, मानक कोण, सर्वसमिकाएँ, और पूरक कोण — मोटे तौर पर सरल से कठिन।
कैसे पढ़ें: हल ढककर प्रत्येक को स्वयं हल करें, फिर चरण जाँचें। आप जो सूत्र या सर्वसमिका उपयोग करते हैं उसे बताएँ — परीक्षक इसके अंक देते हैं।
ये साथ रखें:
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 sec 2 θ − tan 2 θ = 1 \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 sec 2 θ − tan 2 θ = 1 csc 2 θ − cot 2 θ = 1 \csc^2\theta - \cot^2\theta = 1 csc 2 θ − cot 2 θ = 1 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° 0°,30°,45°,60°,90° 0° , 30° , 45° , 60° , 90° sin ( 90 ° − θ ) = cos θ \sin(90°-\theta)=\cos\theta sin ( 90° − θ ) = cos θ tan ( 90 ° − θ ) = cot θ \tan(90°-\theta)=\cot\theta tan ( 90° − θ ) = cot θ sec ( 90 ° − θ ) = csc θ \sec(90°-\theta)=\csc\theta sec ( 90° − θ ) = csc θ tan θ = sin θ / cos θ \tan\theta = \sin\theta/\cos\theta tan θ = sin θ / cos θ हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: त्रिभुज से अनुपात
यदि sin θ = 8 17 \sin\theta = \tfrac{8}{17} sin θ = 17 8 cos θ \cos\theta cos θ tan θ \tan\theta tan θ
हल:
संलग्न = 17 2 − 8 2 = 15 = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15 = 1 7 2 − 8 2 = 15
cos θ = 15 17 \cos\theta = \tfrac{15}{17} cos θ = 17 15 tan θ = 8 15 \tan\theta = \tfrac{8}{15} tan θ = 15 8
अंतिम उत्तर: cos θ = 15 17 \cos\theta = \tfrac{15}{17} cos θ = 17 15 tan θ = 8 15 \tan\theta = \tfrac{8}{15} tan θ = 15 8
सार: ( 8 , 15 , 17 ) (8, 15, 17) ( 8 , 15 , 17 )
उदाहरण 2: मान निकालें
sin 60 ° cos 30 ° − cos 60 ° sin 30 ° \sin 60° \cos 30° - \cos 60° \sin 30° sin 60° cos 30° − cos 60° sin 30°
हल:
= 3 2 ⋅ 3 2 − 1 2 ⋅ 1 2 = 3 4 − 1 4 = 1 2 = \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} - \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac34 - \tfrac14 = \tfrac12 = 2 3 ⋅ 2 3 − 2 1 ⋅ 2 1 = 4 3 − 4 1 = 2 1
अंतिम उत्तर: 1 2 \tfrac12 2 1
सार: sin ( 60 ° − 30 ° ) = sin 30 ° = 1 2 \sin(60° - 30°) = \sin 30° = \tfrac12 sin ( 60° − 30° ) = sin 30° = 2 1
उदाहरण 3: सर्वसमिका का उपयोग
यदि cos θ = 20 29 \cos\theta = \tfrac{20}{29} cos θ = 29 20 sin θ \sin\theta sin θ
हल:
sin 2 θ = 1 − 400 841 = 441 841 \sin^2\theta = 1 - \tfrac{400}{841} = \tfrac{441}{841} sin 2 θ = 1 − 841 400 = 841 441 sin θ = 21 29 \sin\theta = \tfrac{21}{29} sin θ = 29 21
अंतिम उत्तर: sin θ = 21 29 \sin\theta = \tfrac{21}{29} sin θ = 29 21
सार: ( 20 , 21 , 29 ) (20, 21, 29) ( 20 , 21 , 29 )
उदाहरण 4: पूरक
cos 37 ° sin 53 ° \dfrac{\cos 37°}{\sin 53°} sin 53° cos 37°
हल:
sin 53 ° = sin ( 90 ° − 37 ° ) = cos 37 ° \sin 53° = \sin(90° - 37°) = \cos 37° sin 53° = sin ( 90° − 37° ) = cos 37° अनुपात = 1 = 1 = 1
अंतिम उत्तर: 1।
सार: 37 ° + 53 ° = 90 ° 37° + 53° = 90° 37° + 53° = 90°
उदाहरण 5: मानक-कोण योग
cos 2 45 ° + sin 2 45 ° \cos^2 45° + \sin^2 45° cos 2 45° + sin 2 45°
हल:
= 1 2 + 1 2 = 1 = \tfrac12 + \tfrac12 = 1 = 2 1 + 2 1 = 1
अंतिम उत्तर: 1।
सार: sin 2 + cos 2 = 1 \sin^2+\cos^2=1 sin 2 + cos 2 = 1
उदाहरण 6: सिद्ध करें
सिद्ध कीजिए cos 2 θ ( 1 + tan 2 θ ) = 1 \cos^2\theta(1 + \tan^2\theta) = 1 cos 2 θ ( 1 + tan 2 θ ) = 1
हल:
1 + tan 2 θ = sec 2 θ = 1 cos 2 θ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} 1 + tan 2 θ = sec 2 θ = cos 2 θ 1 cos 2 θ ⋅ 1 cos 2 θ = 1 \cos^2\theta\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 cos 2 θ ⋅ cos 2 θ 1 = 1
अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।
सार: 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta 1 + tan 2 θ = sec 2 θ
उदाहरण 7: त्रिभुज से tan
यदि cot θ = 12 5 \cot\theta = \tfrac{12}{5} cot θ = 5 12 sin θ \sin\theta sin θ cos θ \cos\theta cos θ
हल:
संलग्न 12, सम्मुख 5, कर्ण = 13 = 13 = 13
sin θ = 5 13 \sin\theta = \tfrac{5}{13} sin θ = 13 5 cos θ = 12 13 \cos\theta = \tfrac{12}{13} cos θ = 13 12
अंतिम उत्तर: sin θ = 5 13 \sin\theta = \tfrac{5}{13} sin θ = 13 5 cos θ = 12 13 \cos\theta = \tfrac{12}{13} cos θ = 13 12
सार: cot = संलग्न/सम्मुख, अतः संलग्न 12, सम्मुख 5।
उदाहरण 8: व्यंजक का मान
tan 45 ° csc 30 ° + sec 60 ° \dfrac{\tan 45°}{\csc 30° + \sec 60°} csc 30° + sec 60° tan 45°
हल:
tan 45 ° = 1 \tan 45° = 1 tan 45° = 1 csc 30 ° = 2 \csc 30° = 2 csc 30° = 2 sec 60 ° = 2 \sec 60° = 2 sec 60° = 2 1 2 + 2 = 1 4 \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac14 2 + 2 1 = 4 1
अंतिम उत्तर: 1 4 \tfrac14 4 1
सार: मानक मान प्रतिस्थापित करें, फिर सरल करें।
उदाहरण 9: कोण हल करें
यदि tan θ = 3 \tan\theta = \sqrt3 tan θ = 3 θ \theta θ
हल:
tan 60 ° = 3 \tan 60° = \sqrt3 tan 60° = 3
अंतिम उत्तर: θ = 60 ° \theta = 60° θ = 60°
सार: तालिका को उल्टा पढ़ें।
उदाहरण 10: सिद्ध करें
सिद्ध कीजिए cos θ 1 − tan θ + sin θ 1 − cot θ = sin θ + cos θ \dfrac{\cos\theta}{1 - \tan\theta} + \dfrac{\sin\theta}{1 - \cot\theta} = \sin\theta + \cos\theta 1 − tan θ cos θ + 1 − cot θ sin θ = sin θ + cos θ
हल:
cos θ 1 − sin θ cos θ = cos 2 θ cos θ − sin θ \dfrac{\cos\theta}{1 - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \dfrac{\cos^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta} 1 − c o s θ s i n θ cos θ = cos θ − sin θ cos 2 θ sin θ 1 − cos θ sin θ = sin 2 θ sin θ − cos θ = − sin 2 θ cos θ − sin θ \dfrac{\sin\theta}{1 - \frac{\cos\theta}{\sin\theta}} = \dfrac{\sin^2\theta}{\sin\theta - \cos\theta} = -\dfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta} 1 − s i n θ c o s θ sin θ = sin θ − cos θ sin 2 θ = − cos θ − sin θ sin 2 θ योग = cos 2 θ − sin 2 θ cos θ − sin θ = ( cos θ − sin θ ) ( cos θ + sin θ ) cos θ − sin θ = cos θ + sin θ = \dfrac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta} = \dfrac{(\cos\theta-\sin\theta)(\cos\theta+\sin\theta)}{\cos\theta - \sin\theta} = \cos\theta + \sin\theta = cos θ − sin θ cos 2 θ − sin 2 θ = cos θ − sin θ ( cos θ − sin θ ) ( cos θ + sin θ ) = cos θ + sin θ
अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।
सार: tan, cot को sin/cos में बदलें; वर्गों के अंतर का गुणनखंड करें।
उदाहरण 11: sin दिया हो, मान निकालें
यदि sin θ = 1 2 \sin\theta = \tfrac{1}{2} sin θ = 2 1 3 cos θ − 4 cos 3 θ 3\cos\theta - 4\cos^3\theta 3 cos θ − 4 cos 3 θ
हल:
cos θ = 3 2 \cos\theta = \tfrac{\sqrt3}{2} cos θ = 2 3 3 ⋅ 3 2 − 4 ⋅ 3 3 8 = 3 3 2 − 3 3 2 = 0 3\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} - 4\cdot\tfrac{3\sqrt3}{8} = \tfrac{3\sqrt3}{2} - \tfrac{3\sqrt3}{2} = 0 3 ⋅ 2 3 − 4 ⋅ 8 3 3 = 2 3 3 − 2 3 3 = 0
अंतिम उत्तर: 0।
सार: 3 cos θ − 4 cos 3 θ = cos 3 θ 3\cos\theta - 4\cos^3\theta = \cos 3\theta 3 cos θ − 4 cos 3 θ = cos 3 θ cos 90 ° = 0 \cos 90° = 0 cos 90° = 0
उदाहरण 12: पूरक समीकरण
यदि cos 2 A = sin ( A + 30 ° ) \cos 2A = \sin(A + 30°) cos 2 A = sin ( A + 30° ) 2 A 2A 2 A A A A
हल:
cos 2 A = sin ( 90 ° − 2 A ) \cos 2A = \sin(90° - 2A) cos 2 A = sin ( 90° − 2 A ) sin ( 90 ° − 2 A ) = sin ( A + 30 ° ) \sin(90° - 2A) = \sin(A + 30°) sin ( 90° − 2 A ) = sin ( A + 30° ) 90 ° − 2 A = A + 30 ° ⇒ 60 ° = 3 A ⇒ A = 20 ° 90° - 2A = A + 30° \Rightarrow 60° = 3A \Rightarrow A = 20° 90° − 2 A = A + 30° ⇒ 60° = 3 A ⇒ A = 20°
अंतिम उत्तर: A = 20 ° A = 20° A = 20°
सार: cos को sin में बदलें, कोण बराबर करें।
उदाहरण 13: सर्वसमिका उपपत्ति
सिद्ध कीजिए ( sin θ + csc θ ) 2 + ( cos θ + sec θ ) 2 = 7 + tan 2 θ + cot 2 θ (\sin\theta + \csc\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 = 7 + \tan^2\theta + \cot^2\theta ( sin θ + csc θ ) 2 + ( cos θ + sec θ ) 2 = 7 + tan 2 θ + cot 2 θ
हल:
प्रसार करें: sin 2 θ + 2 + csc 2 θ + cos 2 θ + 2 + sec 2 θ \sin^2\theta + 2 + \csc^2\theta + \cos^2\theta + 2 + \sec^2\theta sin 2 θ + 2 + csc 2 θ + cos 2 θ + 2 + sec 2 θ
= ( sin 2 θ + cos 2 θ ) + 4 + csc 2 θ + sec 2 θ = 1 + 4 + ( 1 + cot 2 θ ) + ( 1 + tan 2 θ ) = (\sin^2\theta + \cos^2\theta) + 4 + \csc^2\theta + \sec^2\theta = 1 + 4 + (1 + \cot^2\theta) + (1 + \tan^2\theta) = ( sin 2 θ + cos 2 θ ) + 4 + csc 2 θ + sec 2 θ = 1 + 4 + ( 1 + cot 2 θ ) + ( 1 + tan 2 θ ) = 7 + tan 2 θ + cot 2 θ = 7 + \tan^2\theta + \cot^2\theta = 7 + tan 2 θ + cot 2 θ
अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।
सार: क्रॉस-पद 2 sin θ csc θ = 2 2\sin\theta\csc\theta = 2 2 sin θ csc θ = 2 2 cos θ sec θ = 2 2\cos\theta\sec\theta = 2 2 cos θ sec θ = 2
उदाहरण 14: अनुपात का मान
यदि tan θ = a b \tan\theta = \tfrac{a}{b} tan θ = b a a sin θ − b cos θ a sin θ + b cos θ \dfrac{a\sin\theta - b\cos\theta}{a\sin\theta + b\cos\theta} a sin θ + b cos θ a sin θ − b cos θ
हल:
cos θ \cos\theta cos θ a tan θ − b a tan θ + b \dfrac{a\tan\theta - b}{a\tan\theta + b} a tan θ + b a tan θ − b = a ⋅ a b − b a ⋅ a b + b = a 2 − b 2 a 2 + b 2 = \dfrac{a\cdot\frac{a}{b} - b}{a\cdot\frac{a}{b} + b} = \dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = a ⋅ b a + b a ⋅ b a − b = a 2 + b 2 a 2 − b 2
अंतिम उत्तर: a 2 − b 2 a 2 + b 2 \dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} a 2 + b 2 a 2 − b 2
सार: tan θ \tan\theta tan θ cos θ \cos\theta cos θ
उदाहरण 15: मानक-कोण गुणनफल
tan 30 ° tan 60 ° \tan 30° \tan 60° tan 30° tan 60°
हल:
= 1 3 ⋅ 3 = 1 = \tfrac{1}{\sqrt3}\cdot\sqrt3 = 1 = 3 1 ⋅ 3 = 1
अंतिम उत्तर: 1।
सार: tan 30 ° \tan 30° tan 30° tan 60 ° \tan 60° tan 60°
उदाहरण 16: सिद्ध करें
सिद्ध कीजिए 1 − cos θ 1 + cos θ = csc θ − cot θ \sqrt{\dfrac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \csc\theta - \cot\theta 1 + cos θ 1 − cos θ = csc θ − cot θ
हल:
अंदर 1 − cos θ 1 − cos θ \dfrac{1 - \cos\theta}{1 - \cos\theta} 1 − cos θ 1 − cos θ ( 1 − cos θ ) 2 1 − cos 2 θ = ( 1 − cos θ ) 2 sin 2 θ \dfrac{(1-\cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta} = \dfrac{(1-\cos\theta)^2}{\sin^2\theta} 1 − cos 2 θ ( 1 − cos θ ) 2 = sin 2 θ ( 1 − cos θ ) 2
वर्गमूल: 1 − cos θ sin θ = 1 sin θ − cos θ sin θ = csc θ − cot θ \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta} - \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \csc\theta - \cot\theta sin θ 1 − cos θ = sin θ 1 − sin θ cos θ = csc θ − cot θ
अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।
सार: संयुग्मी उपयोग कर मूल के अंदर परिमेयकरण करें।
उदाहरण 17: मिश्रित मान-निर्धारण
cos 0 ° + sin 90 ° + 2 sin 45 ° \cos 0° + \sin 90° + \sqrt2\sin 45° cos 0° + sin 90° + 2 sin 45°
हल:
cos 0 ° = 1 \cos 0° = 1 cos 0° = 1 sin 90 ° = 1 \sin 90° = 1 sin 90° = 1 2 sin 45 ° = 2 ⋅ 1 2 = 1 \sqrt2\sin 45° = \sqrt2\cdot\tfrac{1}{\sqrt2} = 1 2 sin 45° = 2 ⋅ 2 1 = 1 योग = 1 + 1 + 1 = 3 = 1 + 1 + 1 = 3 = 1 + 1 + 1 = 3
अंतिम उत्तर: 3।
सार: सीमा मानों 0° और 90° का ध्यान रखें।
उदाहरण 18: sec दिया हो, मान निकालें
यदि sec θ = 5 4 \sec\theta = \tfrac{5}{4} sec θ = 4 5 sin θ − 2 cos θ tan θ − cot θ \dfrac{\sin\theta - 2\cos\theta}{\tan\theta - \cot\theta} tan θ − cot θ sin θ − 2 cos θ
हल:
cos θ = 4 5 \cos\theta = \tfrac45 cos θ = 5 4 = 3 = 3 = 3 sin θ = 3 5 \sin\theta = \tfrac35 sin θ = 5 3 tan θ = 3 4 \tan\theta = \tfrac34 tan θ = 4 3 cot θ = 4 3 \cot\theta = \tfrac43 cot θ = 3 4 अंश = 3 5 − 2 ⋅ 4 5 = 3 5 − 8 5 = − 1 = \tfrac35 - 2\cdot\tfrac45 = \tfrac35 - \tfrac85 = -1 = 5 3 − 2 ⋅ 5 4 = 5 3 − 5 8 = − 1
हर = 3 4 − 4 3 = 9 − 16 12 = − 7 12 = \tfrac34 - \tfrac43 = \tfrac{9 - 16}{12} = -\tfrac{7}{12} = 4 3 − 3 4 = 12 9 − 16 = − 12 7
− 1 − 7 / 12 = 12 7 \dfrac{-1}{-7/12} = \tfrac{12}{7} − 7/12 − 1 = 7 12
अंतिम उत्तर: 12 7 \tfrac{12}{7} 7 12
सार: त्रिभुज से सभी अनुपात बनाएँ, फिर प्रतिस्थापित करें।
उदाहरण 19: सिद्ध करें
सिद्ध कीजिए tan θ 1 − cot θ + cot θ 1 − tan θ = 1 + sec θ csc θ \dfrac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \dfrac{\cot\theta}{1 - \tan\theta} = 1 + \sec\theta\csc\theta 1 − cot θ tan θ + 1 − tan θ cot θ = 1 + sec θ csc θ
हल:
sin/cos में लिखें। tan θ 1 − cot θ = sin 2 θ cos θ ( sin θ − cos θ ) \dfrac{\tan\theta}{1-\cot\theta} = \dfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta(\sin\theta - \cos\theta)} 1 − cot θ tan θ = cos θ ( sin θ − cos θ ) sin 2 θ cot θ 1 − tan θ = cos 2 θ sin θ ( cos θ − sin θ ) \dfrac{\cot\theta}{1-\tan\theta} = \dfrac{\cos^2\theta}{\sin\theta(\cos\theta - \sin\theta)} 1 − tan θ cot θ = sin θ ( cos θ − sin θ ) cos 2 θ
योग = 1 sin θ − cos θ [ sin 2 θ cos θ − cos 2 θ sin θ ] = sin 3 θ − cos 3 θ sin θ cos θ ( sin θ − cos θ ) = \dfrac{1}{\sin\theta - \cos\theta}\left[\dfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta} - \dfrac{\cos^2\theta}{\sin\theta}\right] = \dfrac{\sin^3\theta - \cos^3\theta}{\sin\theta\cos\theta(\sin\theta - \cos\theta)} = sin θ − cos θ 1 [ cos θ sin 2 θ − sin θ cos 2 θ ] = sin θ cos θ ( sin θ − cos θ ) sin 3 θ − cos 3 θ
sin 3 − cos 3 = ( sin θ − cos θ ) ( sin 2 + sin θ cos θ + cos 2 ) \sin^3 - \cos^3 = (\sin\theta-\cos\theta)(\sin^2 + \sin\theta\cos\theta + \cos^2) sin 3 − cos 3 = ( sin θ − cos θ ) ( sin 2 + sin θ cos θ + cos 2 ) = 1 + sin θ cos θ sin θ cos θ = 1 + 1 sin θ cos θ = 1 + sec θ csc θ = \dfrac{1 + \sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = 1 + \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} = 1 + \sec\theta\csc\theta = sin θ cos θ 1 + sin θ cos θ = 1 + sin θ cos θ 1 = 1 + sec θ csc θ
अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।
सार: संयोजन के बाद घनों के अंतर का गुणनखंड करें।
उदाहरण 20: theta हटाएँ
यदि x = a cos θ x = a\cos\theta x = a cos θ y = b sin θ y = b\sin\theta y = b sin θ x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1
हल:
x 2 a 2 = cos 2 θ \dfrac{x^2}{a^2} = \cos^2\theta a 2 x 2 = cos 2 θ y 2 b 2 = sin 2 θ \dfrac{y^2}{b^2} = \sin^2\theta b 2 y 2 = sin 2 θ योग = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1
अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।
सार: sin 2 + cos 2 = 1 \sin^2+\cos^2=1 sin 2 + cos 2 = 1 θ \theta θ
उदाहरण 21: संख्यात्मक सर्वसमिका
4 cot 2 30 ° + 1 sin 2 30 ° − 2 cos 2 45 ° − sin 2 0 ° \dfrac{4}{\cot^2 30°} + \dfrac{1}{\sin^2 30°} - 2\cos^2 45° - \sin^2 0° cot 2 30° 4 + sin 2 30° 1 − 2 cos 2 45° − sin 2 0°
हल:
cot 30 ° = 3 \cot 30° = \sqrt3 cot 30° = 3 cot 2 30 ° = 3 \cot^2 30° = 3 cot 2 30° = 3 4 3 \tfrac43 3 4 sin 2 30 ° = 1 4 \sin^2 30° = \tfrac14 sin 2 30° = 4 1 1 1 / 4 = 4 \tfrac{1}{1/4} = 4 1/4 1 = 4 2 cos 2 45 ° = 2 ⋅ 1 2 = 1 2\cos^2 45° = 2\cdot\tfrac12 = 1 2 cos 2 45° = 2 ⋅ 2 1 = 1 sin 2 0 ° = 0 \sin^2 0° = 0 sin 2 0° = 0 4 3 + 4 − 1 − 0 = 4 3 + 3 = 13 3 \tfrac43 + 4 - 1 - 0 = \tfrac43 + 3 = \tfrac{13}{3} 3 4 + 4 − 1 − 0 = 3 4 + 3 = 3 13
अंतिम उत्तर: 13 3 \tfrac{13}{3} 3 13
सार: पद-दर-पद, भिन्न यथार्थ रखते हुए।
उदाहरण 22: पूरक गुणनफल
cos 1 ° cos 2 ° ⋯ cos 89 ° cos 90 ° \cos 1° \cos 2° \cdots \cos 89° \cos 90° cos 1° cos 2° ⋯ cos 89° cos 90°
हल:
गुणनफल में गुणनखंड cos 90 ° = 0 \cos 90° = 0 cos 90° = 0
किसी को 0 से गुणा करने पर 0।
अंतिम उत्तर: 0।
सार: लंबे गुणनफल में cos 90 ° \cos 90° cos 90°
उदाहरण 23: दिए व्यंजक का मान
यदि tan θ + cot θ = 2 \tan\theta + \cot\theta = 2 tan θ + cot θ = 2 tan 2 θ + cot 2 θ \tan^2\theta + \cot^2\theta tan 2 θ + cot 2 θ
हल:
वर्ग करें: tan 2 θ + 2 + cot 2 θ = 4 \tan^2\theta + 2 + \cot^2\theta = 4 tan 2 θ + 2 + cot 2 θ = 4
tan 2 θ + cot 2 θ = 2 \tan^2\theta + \cot^2\theta = 2 tan 2 θ + cot 2 θ = 2
अंतिम उत्तर: 2।
सार: योग का वर्ग करें; क्रॉस-पद 2 tan θ cot θ = 2 2\tan\theta\cot\theta = 2 2 tan θ cot θ = 2
उदाहरण 24: सिद्ध करें
सिद्ध कीजिए 1 + cos θ − sin 2 θ sin θ ( 1 + cos θ ) = cot θ \dfrac{1 + \cos\theta - \sin^2\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \cot\theta sin θ ( 1 + cos θ ) 1 + cos θ − sin 2 θ = cot θ
हल:
अंश = 1 + cos θ − ( 1 − cos 2 θ ) = cos θ + cos 2 θ = cos θ ( 1 + cos θ ) = 1 + \cos\theta - (1 - \cos^2\theta) = \cos\theta + \cos^2\theta = \cos\theta(1 + \cos\theta) = 1 + cos θ − ( 1 − cos 2 θ ) = cos θ + cos 2 θ = cos θ ( 1 + cos θ )
cos θ ( 1 + cos θ ) sin θ ( 1 + cos θ ) = cos θ sin θ = cot θ \dfrac{\cos\theta(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta sin θ ( 1 + cos θ ) cos θ ( 1 + cos θ ) = sin θ cos θ = cot θ
अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।
सार: sin 2 θ \sin^2\theta sin 2 θ 1 − cos 2 θ 1 - \cos^2\theta 1 − cos 2 θ
उदाहरण 25: मान निकालें
2 tan 2 45 ° + cos 2 30 ° − sin 2 60 ° 2\tan^2 45° + \cos^2 30° - \sin^2 60° 2 tan 2 45° + cos 2 30° − sin 2 60°
हल:
tan 2 45 ° = 1 \tan^2 45° = 1 tan 2 45° = 1 2 2 2 cos 2 30 ° = 3 4 \cos^2 30° = \tfrac34 cos 2 30° = 4 3 sin 2 60 ° = 3 4 \sin^2 60° = \tfrac34 sin 2 60° = 4 3 2 + 3 4 − 3 4 = 2 2 + \tfrac34 - \tfrac34 = 2 2 + 4 3 − 4 3 = 2
अंतिम उत्तर: 2।
सार: cos 30 ° = sin 60 ° \cos 30° = \sin 60° cos 30° = sin 60°
उदाहरण 26: दिया संबंध
यदि 5 tan θ = 4 5\tan\theta = 4 5 tan θ = 4 5 sin θ − 3 cos θ 5 sin θ + 2 cos θ \dfrac{5\sin\theta - 3\cos\theta}{5\sin\theta + 2\cos\theta} 5 sin θ + 2 cos θ 5 sin θ − 3 cos θ
हल:
tan θ = 4 5 \tan\theta = \tfrac45 tan θ = 5 4 cos θ \cos\theta cos θ 5 tan θ − 3 5 tan θ + 2 \dfrac{5\tan\theta - 3}{5\tan\theta + 2} 5 tan θ + 2 5 tan θ − 3 = 5 ⋅ 4 5 − 3 5 ⋅ 4 5 + 2 = 4 − 3 4 + 2 = 1 6 = \dfrac{5\cdot\frac45 - 3}{5\cdot\frac45 + 2} = \dfrac{4 - 3}{4 + 2} = \dfrac16 = 5 ⋅ 5 4 + 2 5 ⋅ 5 4 − 3 = 4 + 2 4 − 3 = 6 1
अंतिम उत्तर: 1 6 \tfrac16 6 1
सार: अंश और हर को cos θ \cos\theta cos θ
उदाहरण 27: पूरक सरलीकरण
sin 35 ° cos 55 ° + cos 35 ° sin 55 ° \sin 35° \cos 55° + \cos 35° \sin 55° sin 35° cos 55° + cos 35° sin 55°
हल:
cos 55 ° = sin 35 ° \cos 55° = \sin 35° cos 55° = sin 35° sin 55 ° = cos 35 ° \sin 55° = \cos 35° sin 55° = cos 35° sin 2 35 ° + cos 2 35 ° = 1 \sin^2 35° + \cos^2 35° = 1 sin 2 35° + cos 2 35° = 1
अंतिम उत्तर: 1।
सार: पूरक प्रतिस्थापन इसे मुख्य सर्वसमिका में बदल देता है।
उदाहरण 28: सिद्ध करें
सिद्ध कीजिए sec 4 θ − sec 2 θ = tan 4 θ + tan 2 θ \sec^4\theta - \sec^2\theta = \tan^4\theta + \tan^2\theta sec 4 θ − sec 2 θ = tan 4 θ + tan 2 θ
हल:
LHS = sec 2 θ ( sec 2 θ − 1 ) = sec 2 θ tan 2 θ = \sec^2\theta(\sec^2\theta - 1) = \sec^2\theta\tan^2\theta = sec 2 θ ( sec 2 θ − 1 ) = sec 2 θ tan 2 θ
RHS = tan 2 θ ( tan 2 θ + 1 ) = tan 2 θ sec 2 θ = \tan^2\theta(\tan^2\theta + 1) = \tan^2\theta\sec^2\theta = tan 2 θ ( tan 2 θ + 1 ) = tan 2 θ sec 2 θ
LHS = RHS।
अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।
सार: दोनों पक्षों का गुणनखंड करें; sec 2 − 1 = tan 2 \sec^2 - 1 = \tan^2 sec 2 − 1 = tan 2 tan 2 + 1 = sec 2 \tan^2 + 1 = \sec^2 tan 2 + 1 = sec 2
उदाहरण 29: सीमा मान
क्या किसी कोण θ \theta θ cos θ = 3 2 \cos\theta = \tfrac32 cos θ = 2 3
हल:
cos θ \cos\theta cos θ 3 2 > 1 \tfrac32 > 1 2 3 > 1
अंतिम उत्तर: नहीं।
सार: हर कोण के लिए − 1 ≤ cos θ ≤ 1 -1 \le \cos\theta \le 1 − 1 ≤ cos θ ≤ 1
उदाहरण 30: समीकरण से कोण ज्ञात करें
यदि sin θ cos θ = 3 4 \sin\theta\cos\theta = \tfrac{\sqrt3}{4} sin θ cos θ = 4 3 θ \theta θ
हल:
2 sin θ cos θ = 3 2 2\sin\theta\cos\theta = \tfrac{\sqrt3}{2} 2 sin θ cos θ = 2 3 sin 2 θ = 3 2 \sin 2\theta = \tfrac{\sqrt3}{2} sin 2 θ = 2 3 2 θ = 60 ° ⇒ θ = 30 ° 2\theta = 60° \Rightarrow \theta = 30° 2 θ = 60° ⇒ θ = 30°
अंतिम उत्तर: θ = 30 ° \theta = 30° θ = 30°
सार: 2 sin θ cos θ = sin 2 θ 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta 2 sin θ cos θ = sin 2 θ
उदाहरण 31: संयुक्त
cos 58 ° sin 32 ° + sin 22 ° cos 68 ° − cos 38 ° csc 52 ° tan 18 ° tan 35 ° tan 60 ° tan 72 ° tan 55 ° \dfrac{\cos 58°}{\sin 32°} + \dfrac{\sin 22°}{\cos 68°} - \dfrac{\cos 38° \csc 52°}{\tan 18° \tan 35° \tan 60° \tan 72° \tan 55°} sin 32° cos 58° + cos 68° sin 22° − tan 18° tan 35° tan 60° tan 72° tan 55° cos 38° csc 52°
हल:
sin 32 ° = cos 58 ° \sin 32° = \cos 58° sin 32° = cos 58° = 1 = 1 = 1 cos 68 ° = sin 22 ° \cos 68° = \sin 22° cos 68° = sin 22° = 1 = 1 = 1 csc 52 ° = sec 38 ° \csc 52° = \sec 38° csc 52° = sec 38° cos 38 ° csc 52 ° = cos 38 ° sec 38 ° = 1 \cos 38°\csc 52° = \cos 38°\sec 38° = 1 cos 38° csc 52° = cos 38° sec 38° = 1 हर: tan 18 ° tan 72 ° = 1 \tan 18°\tan 72° = 1 tan 18° tan 72° = 1 tan 35 ° tan 55 ° = 1 \tan 35°\tan 55° = 1 tan 35° tan 55° = 1 tan 60 ° = 3 \tan 60° = \sqrt3 tan 60° = 3 = 3 = \sqrt3 = 3
तीसरा पद = 1 3 = \dfrac{1}{\sqrt3} = 3 1
कुल = 1 + 1 − 1 3 = 2 − 1 3 = 1 + 1 - \tfrac{1}{\sqrt3} = 2 - \tfrac{1}{\sqrt3} = 1 + 1 − 3 1 = 2 − 3 1
अंतिम उत्तर: 2 − 1 3 2 - \tfrac{1}{\sqrt3} 2 − 3 1
सार: गणना से पहले हर जगह पूरक कोण युग्मित करें।
