बोर्ड के पिछले वर्षों के प्रश्न (Board PYQs)

बोर्ड PYQs को कैसे हल करें

यह खंड रैखिक समीकरण युग्म पर उन प्रकार के प्रश्नों को एकत्र करता है जो CBSE और राज्य बोर्ड परीक्षाओं में बार-बार आते हैं, पूर्ण चरणबद्ध हल सहित। इन 26 प्रश्नों को हल करना आपकी परीक्षा का अनुमान लगाने का सबसे अच्छा तरीका है।

परीक्षक इस अध्याय में क्या पसंद करते हैं:

1. विलोपन/प्रतिस्थापन से हल और शब्द समस्याएँ (3 अंक)।
2. अनुपातों से अद्वितीय / कोई नहीं / अनंत हल हेतु $k$ ज्ञात करना (2–3 अंक)।
3. $1/x$, $1/y$ वाले समानीत समीकरण (3 अंक)।
4. ग्राफीय हल और क्षेत्र/त्रिभुज ज्ञात करना (3–4 अंक)।

टैग नोट: प्रश्न परीक्षा द्वारा टैग किए गए हैं (जैसे [CBSE Board]); जहाँ सटीक वर्ष अपुष्ट है, केवल परीक्षा का नाम दिया गया है।

परीक्षा सुझाव: विधि बताएँ, प्रत्येक चरण दिखाएँ, और शब्द-समस्या उत्तर इकाइयों सहित शब्दों में लिखें।

हल किए गए पिछले वर्षों के प्रश्न

PYQ 1: विलोपन से हल करें (3 अंक)

हल करें: $2x + 3y = 11$ और $2x - 4y = -24$। [CBSE Board]

हल:

1. समीकरण घटाएँ: $(2x + 3y) - (2x - 4y) = 11 - (-24) \Rightarrow 7y = 35 \Rightarrow y = 5$।
2. $2x + 15 = 11 \Rightarrow x = -2$।

अंतिम उत्तर: $x = -2$, $y = 5$।

सार: समान $x$-गुणांक ⇒ सीधे घटाएँ।

PYQ 2: कोई हल न होने हेतु $k$ ज्ञात करना (2 अंक)

$k$ के किस मान के लिए $kx + 3y = k - 3$ और $12x + ky = k$ का कोई हल नहीं है? [CBSE Board]

हल:

1. कोई हल नहीं: $\dfrac{k}{12} = \dfrac{3}{k} \neq \dfrac{k-3}{k}$।
2. $\dfrac{k}{12} = \dfrac{3}{k} \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$।
3. $k = 6$ जाँचें: $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ — समान, अतः अनंत, कोई हल नहीं नहीं। $k = -6$ जाँचें: $\dfrac{-6}{12} = -\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{-9}{-6} = \dfrac{3}{2}$ — भिन्न।

अंतिम उत्तर: $k = -6$।

सार: अनंत-स्थिति को बाहर करने हेतु सदैव $c$-अनुपात जाँचें।

PYQ 3: समानीत समीकरण (3 अंक)

हल करें: $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 13$ और $\dfrac{5}{x} - \dfrac{4}{y} = -2$। [CBSE Board]

हल:

1. माना $u = 1/x$, $v = 1/y$: $2u + 3v = 13$, $5u - 4v = -2$।
2. पहले को 4 से, दूसरे को 3 से गुणा करें: $8u + 12v = 52$, $15u - 12v = -6$। जोड़ें: $23u = 46 \Rightarrow u = 2$।
3. $2(2) + 3v = 13 \Rightarrow v = 3$। अतः $x = \dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{3}$।

सार: प्रतिस्थापित करें, हल करें, फिर $u, v$ का व्युत्क्रम लें।

PYQ 4: आयु शब्द समस्या (3 अंक)

पाँच वर्ष बाद, एक व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की आयु की तीन गुनी होगी। पाँच वर्ष पहले, व्यक्ति पुत्र से सात गुना आयु का था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना व्यक्ति $= x$, पुत्र $= y$। पाँच वर्ष बाद: $x + 5 = 3(y + 5) \Rightarrow x - 3y = 10$।
2. पाँच वर्ष पहले: $x - 5 = 7(y - 5) \Rightarrow x - 7y = -30$।
3. घटाएँ: $4y = 40 \Rightarrow y = 10$; फिर $x = 40$।

अंतिम उत्तर: व्यक्ति 40 वर्ष, पुत्र 10 वर्ष।

सार: प्रत्येक समय-कथन के लिए एक समीकरण बनाएँ, फिर विलोपन करें।

PYQ 5: वज्र-गुणन (3 अंक)

वज्र-गुणन से हल करें: $2x + y = 5$, $3x + 2y = 8$। [State Board]

हल:

1. $2x + y - 5 = 0$, $3x + 2y - 8 = 0$ के रूप में। $a_1b_2 - a_2b_1 = 4 - 3 = 1$।
2. $x = \dfrac{(1)(-8) - (2)(-5)}{1} = 2$।
3. $y = \dfrac{(-5)(3) - (-8)(2)}{1} = 1$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = 1$।

सार: सूत्र लगाने से पहले मानक रूप में बदलें।

PYQ 6: अनंत हल हेतु $k$ ज्ञात करना (3 अंक)

$k$ ज्ञात कीजिए ताकि $2x + 3y = 7$ और $2kx + (k+1)y = 7k$ के अनंत हल हों। [CBSE Board]

हल:

1. आवश्यक $\dfrac{2}{2k} = \dfrac{3}{k+1} = \dfrac{7}{7k}$।
2. $\dfrac{2}{2k} = \dfrac{1}{k}$ और $\dfrac{7}{7k} = \dfrac{1}{k}$ ✓।
3. $\dfrac{1}{k} = \dfrac{3}{k+1} \Rightarrow k + 1 = 3k \Rightarrow k = \dfrac{1}{2}$; जाँच: $\dfrac{3}{1.5} = 2$ और $\dfrac{1}{k} = 2$ ✓।

अंतिम उत्तर: $k = \dfrac{1}{2}$।

सार: सभी तीन अनुपात समान रखकर संगत रूप से हल करें।

PYQ 7: नाव और धारा (समानीत) (3 अंक)

एक नाव 30 किमी धारा के प्रतिकूल और 44 किमी धारा के अनुकूल 10 घंटे में जाती है। 13 घंटे में वह 40 किमी प्रतिकूल और 55 किमी अनुकूल जा सकती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना शांत जल चाल $= x$, धारा चाल $= y$। प्रतिकूल चाल $= x - y$, अनुकूल $= x + y$।
2. माना $u = \dfrac{1}{x-y}$, $v = \dfrac{1}{x+y}$: $30u + 44v = 10$ और $40u + 55v = 13$।
3. हल करें: पहले को 4 से, दूसरे को 3 से गुणा करें: $120u + 176v = 40$, $120u + 165v = 39$। घटाएँ: $11v = 1 \Rightarrow v = \dfrac{1}{11}$; फिर $30u + 4 = 10 \Rightarrow u = \dfrac{1}{5}$।
4. अतः $x - y = 5$, $x + y = 11$; इसलिए $x = 8$, $y = 3$।

अंतिम उत्तर: नाव 8 किमी/घं, धारा 3 किमी/घं।

सार: अनुकूल/प्रतिकूल वाली दूरी/चाल समस्याएँ व्युत्क्रम प्रतिस्थापन ($u = 1/(x-y)$, $v = 1/(x+y)$) का उपयोग करती हैं।

PYQ 8: ग्राफीय हल (4 अंक)

ग्राफीय रूप से हल करें: $x + 2y = 4$ और $2x - 3y = 1$, तथा इन रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. प्रतिच्छेदन हेतु बीजगणितीय रूप से हल करें: पहले से $x = 4 - 2y$; प्रतिस्थापित करें: $2(4 - 2y) - 3y = 1 \Rightarrow 8 - 7y = 1 \Rightarrow y = 1$, $x = 2$। रेखाएँ $(2, 1)$ पर मिलती हैं।
2. $x + 2y = 4$ x-अक्ष ($y=0$) को $(4, 0)$ पर मिलती है।
3. $2x - 3y = 1$ x-अक्ष को $(\tfrac{1}{2}, 0)$ पर मिलती है।

अंतिम उत्तर: हल $(2,1)$; त्रिभुज शीर्ष $(2,1), (4,0), (\tfrac{1}{2},0)$।

सार: प्रतिच्छेदन ज्ञात करें, फिर त्रिभुज हेतु प्रत्येक रेखा का x-अंतःखंड।

PYQ 9: लागत समस्या (3 अंक)

4 पेन और 4 पेंसिल का मूल्य ₹100, और 3 पेन और 2 पेंसिल का मूल्य ₹70 है। एक पेन और एक पेंसिल का मूल्य ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $4x + 4y = 100 \Rightarrow x + y = 25$। और $3x + 2y = 70$।
2. पहले से $y = 25 - x$; प्रतिस्थापित करें: $3x + 2(25 - x) = 70 \Rightarrow x = 20$, $y = 5$।

अंतिम उत्तर: पेन ₹20, पेंसिल ₹5।

सार: हल करने से पहले एक समीकरण को सरल करें (उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दें)।

PYQ 10: संगति निर्धारण (2 अंक)

क्या युग्म $3x + 2y = 5$, $2x - 3y = 7$ संगत है? औचित्य दीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{2}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{2}{-3}$।
2. $\dfrac{3}{2} \neq -\dfrac{2}{3}$, अतः रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

अंतिम उत्तर: संगत (अद्वितीय हल)।

सार: पहले दो अनुपात भिन्न ⇒ संगत।

PYQ 11: अंक समस्या (3 अंक)

एक दो-अंकीय संख्या के अंकों का योग 8 है। अंक पलटने से बनी संख्या मूल से 18 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. दहाई $= x$, इकाई $= y$: $x + y = 8$ और $(10y + x) - (10x + y) = 18 \Rightarrow y - x = 2$।
2. जोड़ें: $2y = 10 \Rightarrow y = 5$, $x = 3$। संख्या $= 35$।

अंतिम उत्तर: संख्या 35 है।

सार: पलटी घटा मूल $9(y - x)$ देता है।

PYQ 12: प्रतिस्थापन (3 अंक)

हल करें: $0.4x + 0.3y = 1.7$ और $0.7x - 0.2y = 0.8$। [CBSE Board]

हल:

1. 10 से गुणा करें: $4x + 3y = 17$, $7x - 2y = 8$।
2. पहले को 2 से, दूसरे को 3 से गुणा करें: $8x + 6y = 34$, $21x - 6y = 24$। जोड़ें: $29x = 58 \Rightarrow x = 2$।
3. $4(2) + 3y = 17 \Rightarrow y = 3$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = 3$।

सार: पहले 10 से गुणा कर दशमलव हटाएँ।

PYQ 13: भिन्न समस्या (3 अंक)

अंश में से 1 घटाने पर एक भिन्न $\dfrac{1}{3}$ बन जाती है और हर में 8 जोड़ने पर $\dfrac{1}{4}$ बन जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $\dfrac{x-1}{y} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow 3x - y = 3$।
2. $\dfrac{x}{y+8} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow 4x - y = 8$।
3. घटाएँ: $x = 5$; फिर $y = 12$।

अंतिम उत्तर: भिन्न $\dfrac{5}{12}$ है।

सार: दोनों शर्तों का तिर्यक-गुणन करें, फिर विलोपन करें।

PYQ 14: अद्वितीय हल हेतु $k$ ज्ञात करना (2 अंक)

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए युग्म $x - 2y = 3$ और $3x + ky = 1$ का अद्वितीय हल हो। [CBSE Board]

हल:

1. अद्वितीय हल के लिए $\dfrac{1}{3} \neq \dfrac{-2}{k}$।
2. $\dfrac{1}{3} = \dfrac{-2}{k} \Rightarrow k = -6$ बहिष्कृत है।

अंतिम उत्तर: सभी $k \neq -6$।

सार: केवल वह $k$ बाहर करें जो पहले दो अनुपातों को समान बनाता है।

PYQ 15: ज्यामिति अनुप्रयोग (3 अंक)

एक त्रिभुज में, सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे का दुगुना है, और तीसरा कोण सबसे छोटे से 20° अधिक है। कोण ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना सबसे छोटा $= x$। सबसे बड़ा $= 2x$; तीसरा $= x + 20$।
2. कोणों का योग: $x + 2x + (x + 20) = 180 \Rightarrow 4x = 160 \Rightarrow x = 40$।
3. कोण: $40°, 80°, 60°$।

अंतिम उत्तर: 40°, 60°, 80°।

सार: कोण-योग (180°) एक समीकरण देता है; संबंध शेष देते हैं।

PYQ 16: विलोपन (3 अंक)

हल करें: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{2y}{3} = -1$ और $x - \dfrac{y}{3} = 3$। [CBSE Board]

हल:

1. पहले को 6 से गुणा करें: $3x + 4y = -6$। दूसरे को 3 से गुणा करें: $3x - y = 9$।
2. घटाएँ: $5y = -15 \Rightarrow y = -3$।
3. $3x - (-3) = 9 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = -3$।

सार: पहले भिन्न हटाएँ, फिर विलोपन करें।

PYQ 17: हलों की संख्या (वैचारिक) (1 अंक)

बताइए कि युग्म $x + y = 5$, $2x + 2y = 10$ संगत है या नहीं और इसके कितने हल हैं। [CBSE Board]

हल:

1. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}$ — सभी समान।
2. संपाती रेखाएँ।

अंतिम उत्तर: संगत; अनंत हल।

सार: माप तक समान समीकरण सभी हल साझा करते हैं।

PYQ 18: नाव/धारा समानीत (3 अंक)

एक नाव 12 किमी धारा के प्रतिकूल और 40 किमी अनुकूल 8 घंटे में जाती है। वह 16 किमी प्रतिकूल और 32 किमी अनुकूल उन्हीं 8 घंटों में जाती है। नाव और धारा की चाल ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना $u = \dfrac{1}{x-y}$, $v = \dfrac{1}{x+y}$: $12u + 40v = 8$ और $16u + 32v = 8$।
2. सरल करें: $3u + 10v = 2$ और $2u + 4v = 1$। हल करने पर $u = 0.25$, $v = 0.125$।
3. $x - y = 4$, $x + y = 8 \Rightarrow x = 6$, $y = 2$।

अंतिम उत्तर: नाव 6 किमी/घं, धारा 2 किमी/घं।

सार: व्युत्क्रम प्रतिस्थापन अनुकूल/प्रतिकूल समस्याओं को रैखिक बनाता है।

PYQ 19: दो-चर कार्य समस्या (3 अंक)

8 पुरुष और 12 लड़के एक कार्य को 10 दिन में, जबकि 6 पुरुष और 8 लड़के उसे 14 दिन में समाप्त करते हैं। एक पुरुष और एक लड़के द्वारा अकेले लिया गया समय ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना पुरुष की दर $= x$, लड़के की $= y$: $10(8x + 12y) = 1$ और $14(6x + 8y) = 1$।
2. $80x + 120y = 1$ और $84x + 112y = 1$।
3. हल करने पर $x = \dfrac{1}{140}$, $y = \dfrac{1}{280}$।

अंतिम उत्तर: एक पुरुष अकेले 140 दिन, एक लड़का अकेले 280 दिन।

सार: कार्य-दर समस्याएँ दैनिक दरों में रैखिक निकाय बन जाती हैं।

PYQ 20: $a$ और $b$ ज्ञात करना (3 अंक)

$a$ और $b$ के किन मानों के लिए $2x + 3y = 7$ और $2ax + (a+b)y = 28$ के अनंत हल हैं? [CBSE Board]

हल:

1. आवश्यक $\dfrac{2}{2a} = \dfrac{3}{a+b} = \dfrac{7}{28}$।
2. $\dfrac{7}{28} = \dfrac{1}{4}$, अतः $\dfrac{2}{2a} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow a = 4$।
3. $\dfrac{3}{a+b} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow a + b = 12 \Rightarrow b = 8$।

अंतिम उत्तर: $a = 4$, $b = 8$।

सार: मान तय करने हेतु सरलतम अनुपात ($7/28$) का उपयोग करें।

PYQ 21: हल कर वर्गीकृत करें (2 अंक)

$3x - 5y = 4$ और $9x = 2y + 7$ हल करें। [CBSE Board]

हल:

1. दूसरे को पुनः लिखें: $9x - 2y = 7$।
2. पहले को 3 से गुणा करें: $9x - 15y = 12$। घटाएँ: $13y = -5 \Rightarrow y = -\dfrac{5}{13}$।
3. $3x - 5(-\tfrac{5}{13}) = 4 \Rightarrow 3x = 4 - \dfrac{25}{13} = \dfrac{27}{13} \Rightarrow x = \dfrac{9}{13}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{9}{13}$, $y = -\dfrac{5}{13}$।

सार: विलोपन से पहले मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें।

PYQ 22: शब्द समस्या — आय (4 अंक)

दो व्यक्तियों की आय 9 : 7 के अनुपात में और उनके व्यय 4 : 3 के अनुपात में हैं। यदि प्रत्येक प्रति माह ₹2000 बचाता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. आय $9x$, $7x$; व्यय $4y$, $3y$। बचत: $9x - 4y = 2000$, $7x - 3y = 2000$।
2. पहले को 3 से, दूसरे को 4 से गुणा करें: $27x - 12y = 6000$, $28x - 12y = 8000$। घटाएँ: $x = 2000$।
3. आय $= 9(2000) = 18000$ और $7(2000) = 14000$।

अंतिम उत्तर: ₹18000 और ₹14000।

सार: अनुपातों के लिए समानुपात अचर $x, y$ लाएँ।

PYQ 23: कोष्ठक सहित समानीत (3 अंक)

हल करें: $\dfrac{1}{x+y} + \dfrac{1}{x-y} = \dfrac{3}{4}$ और $\dfrac{1}{2(x+y)} - \dfrac{1}{2(x-y)} = -\dfrac{1}{8}$। [CBSE Board]

हल:

1. माना $u = \dfrac{1}{x+y}$, $v = \dfrac{1}{x-y}$: $u + v = \dfrac{3}{4}$ और $\dfrac{u}{2} - \dfrac{v}{2} = -\dfrac{1}{8} \Rightarrow u - v = -\dfrac{1}{4}$।
2. जोड़ें: $2u = \dfrac{1}{2} \Rightarrow u = \dfrac{1}{4}$, $v = \dfrac{1}{2}$।
3. $x + y = 4$, $x - y = 2 \Rightarrow x = 3$, $y = 1$।

अंतिम उत्तर: $x = 3$, $y = 1$।

सार: कोष्ठक वाले व्युत्क्रमों के लिए प्रतिस्थापित करें, हल करें, फिर वापस बदलें।

PYQ 24: समांतर रेखाओं की शर्त (2 अंक)

$p$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखाएँ $3x - y - 5 = 0$ और $6x - 2y - p = 0$ समांतर (कोई हल नहीं) हों। [CBSE Board]

हल:

1. समांतर: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{-1}{-2} \neq \dfrac{-5}{-p}$।
2. $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ पहले से। आवश्यक $\dfrac{5}{p} \neq \dfrac{1}{2}$, अर्थात् $p \neq 10$।

अंतिम उत्तर: सभी $p \neq 10$ (समांतर/कोई हल नहीं हेतु); $p = 10$ संपाती रेखाएँ देता है।

सार: समान $a, b$ अनुपात ढाल तय करते हैं; $c$-अनुपात समांतर बनाम संपाती तय करता है।

PYQ 25: वास्तविक-जीवन युग्म हल करें (3 अंक)

एक परिवार के मासिक व्यय का एक भाग नियत है और शेष परिवार के सदस्यों की संख्या के साथ बदलता है। 4 सदस्यों के लिए व्यय ₹10,400 और 7 सदस्यों के लिए ₹15,800 है। नियत व्यय और प्रति सदस्य लागत ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. माना नियत $= x$, प्रति सदस्य $= y$: $x + 4y = 10400$ और $x + 7y = 15800$।
2. घटाएँ: $3y = 5400 \Rightarrow y = 1800$; फिर $x = 10400 - 7200 = 3200$।

अंतिम उत्तर: नियत ₹3200, प्रति सदस्य ₹1800।

सार: 'नियत + परिवर्ती' स्थितियाँ स्वच्छ रैखिक युग्म देती हैं; दर हेतु घटाएँ।

PYQ 26: ग्राफीय रूप से हल करें और छायांकित करें (4 अंक)

$2x + y = 6$ और $2x - y + 2 = 0$ के ग्राफ खींचिए। हल और x-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. प्रतिच्छेदन: $2x + y = 6$ और $2x - y = -2$ जोड़ें: $4x = 4 \Rightarrow x = 1$, $y = 4$। हल $(1, 4)$।
2. x-अंतःखंड: $2x + y = 6$ पर $(3, 0)$; $2x - y = -2$ पर $(-1, 0)$।
3. आधार $= 3 - (-1) = 4$, ऊँचाई $= 4$। क्षेत्रफल $= \dfrac{1}{2}\times 4 \times 4 = 8$ वर्ग इकाई।

अंतिम उत्तर: हल $(1, 4)$; त्रिभुज क्षेत्रफल 8 वर्ग इकाई।

सार: आधार = x-अंतःखंडों के बीच दूरी; ऊँचाई = प्रतिच्छेदन का $y$।